L’addizione e la sottrazione nell'Insieme

N dei numeri naturali

L’addizione e la sottrazione nell'Insieme

N dei numeri naturali

ProprietàStruttura in N

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Impareremo a …Impareremo a …

Conoscere e comprendere il concetto di operazione aritmetica

Conoscere e comprendere le operazioni di addizione e sottrazione

Conoscere e comprendere come esse sono strutturate nell'insieme N: le loro proprietà, il "comportamento", gli elementi neutri

Lo 0 nelle due operazioni

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Cos'è un'operazione aritmetica?

Cos'è un'operazione aritmetica?

Eseguiamo una piccola operazione2+3=5

Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5.

Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo +

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Diciamo che

L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni.

I due numeri dati si dicono termini dell'operazione, il numero a cui si perviene si dice risultato dell'operazione.

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Addizione in NAddizione in N Operazione e termini Procedimento Definizione addizione

Operazione interna Commutativa Associativa Dissociativa Elemento neutro

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Operazione e suoi termini

Operazione e suoi termini

Eseguiamo delle piccole addizioni considerando elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali

10+5=15 8+8=16 5+2=7

addendi somma

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Procedimento Procedimento Quale procedimento ci permette di ottenere le

somme, cioè i risultati delle addizioni? Si tratta di porsi, nel primo esempio, la domanda:

dal numero 10 come arriviamo al numero 15? Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando! E precisamente dal numero 10 contiamo tante

unità quante sono indicate dal secondo addendo, il numero 5.

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Definizione di addizioneDefinizione di addizione

L’addizione è dunque l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti addendi ad un terzo numero detto somma, al quale si arriva (o si perviene), contando successivamente al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo.

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Operazione internaOperazione interna Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsiasi,

notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali, cioè elementi di N. In generale:

a, b a+b=c c Questo ci fa dire che l'addizione è un’operazione

INTERNA ad N. L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione. In un diagramma di Eulero-Venn:

10 + 5 = 1510 + 5 = 15

8 + 8 = 16 5 + 2 = 78 + 8 = 16 5 + 2 = 7

4 + 4 = 84 + 4 = 87 + 4 = 117 + 4 = 11

15 + 5 = 2015 + 5 = 204 + 1 = 54 + 1 = 5

NN

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Le proprietà: l'addizione è commutativa

Le proprietà: l'addizione è commutativa

5+6=11

6+5=11In generale, il linguaggio degli insiemi ci

aiuta nella sintesi, a, b a+b = b+a

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l'addizione è associativa

l'addizione è associativa

4+5+3=12associo il 4 con il 5

(4+5) + 3 = 9 + 3 = 12

È la proprietà associativa a,b,c a+b+c = a+b)+c = = a+(b+c)

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Gode della proprietà dissociativa

Gode della proprietà dissociativa

3 + 25 = 283 + 20+ 5 = 28

ho dissociato l'addendo 25

Questa è la proprietà dissociativa

a,b,c,d a+b = a+(c+d) con (c+d)=b

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Ha l'elemento neutroHa l'elemento neutro6+5+0 = 11 6+5 = 11

8+9+5+0= 22 8+9+5 = 22

11+5+4+0+2+3 = 25 11+5+4+2+3 = 25

Noto che quando lo zero appare come addendo, non modifica il risultato dell’addizione

Lo zero è perciò chiamato elemento neutro dell’addizione

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La sottrazione La sottrazione

Procediamo come per l’addizione …

10 – 8 = 2

minuendo sottraendo differenza (o resto)

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Procedimento Procedimento Quale procedimento ci permette di ottenere le

la differenza, cioè il risultato della sottrazione? Dal numero 10 come arriviamo al numero 2? Considera: c’è un legame tra addizione e

sottrazione?10-8=2 2+8=10 e anche

10-2=8 8+2=10La sottrazione è l’operazione inversa

dell’addizione e, come tale …

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Definizione della sottrazione

Definizione della sottrazione

Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10!

Perciò:La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci permette

di associare due numeri detti rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o resto, che addizionato al sottraendo dia come risultato il minuendo.

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Operazione interna?Operazione interna?Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un

diagramma di Eulero-Venn

Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire l’operazione restando in N.

La sottrazione non è un’operazione INTERNA ad N: il risultato non sempre appartiene a N. L’insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione

10 – 15 =10 – 15 =8 – 8 = 0 5 – 2 = 38 – 8 = 0 5 – 2 = 37 – 4 = 37 – 4 = 3

15 – 5 = 1015 – 5 = 10 3 – 7 =3 – 7 =

NN????

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Le proprietà: la sottrazione non è

commutativa

Le proprietà: la sottrazione non è

commutativa

9-6=3

6-9≠3

In generale

a, b a-b ≠ b-a

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Gode della proprietà invariantivaGode della proprietà invariantiva Consideriamo la sottrazione

12 – 7 = 5Operiamo nel seguente modo:

(12+2) – (7+2) = 14 – 9 = 5E ancora

(12-4) – (7-4) = 8 – 3 = 5Il risultato di una sottrazione non cambia se al

minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno stesso numero: è la proprietà invariantiva

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Brevi considerazioniBrevi considerazioni Non possiamo dire che la sottrazione ha l’elemento

neutro poiché anche se 5-0=5

Essendo falso: 0-5=5lo zero non può considerarsi elemento neutro. La sottrazione, come anche le altre operazioni

inverse, poiché operazione non interna all’insieme N, ci pone di fronte all’esigenza dell’ampliamento di N, ci porta a conoscere nuovi insiemi numerici!

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E ancora …E ancora …In generale sulle operazioni: Le proprietà delle operazioni sono importanti, ai fini del

nostro studio, per il calcolo. Opportunamente utilizzate ci permettono i calcoli rapidi.

Per le operazioni esaminate abbiamo considerato in questa presentazione le caratteristiche più generali.

Di particolare interesse è

l’osservazione delle tabelle relative alle due operazioni in cui possiamo riconoscere le proprietà o notare che l’aspetto stesso delle tabelle è determinato dalle proprietà delle operazioni.

Per lo studio delle altre due operazioni fondamentali, moltiplicazione e divisione, si può procedere attraverso le stesse considerazioni ...