1

DERIVE 5

Derive è un software di matematica, molto diffuso nelle scuole, che consente di: � eseguire in modo semplice e preciso calcoli numerici, simbolici, algebrici; � risolvere problemi di matematica avanzata; � disegnare grafici in due e tre dimensioni.

Nelle schede che seguono si fa riferimento alla versione Derive 5. Una volta installato il programma è possibile entrare nell’ambiente di lavoro in vari modi:

1. Start –Programmi – Derive 5 2. Fare doppio clic sull’icona presente sul desktop di Windows.

Se appare la seguente finestra di dialogo , allora cliccare su Si.

All’avvio del programma compare la seguente schermata:

L’ambiente algebrico di Derive nella versione 5

2

Lo schermo di Derive comprende (dall’alto verso il basso):

� LA BARRA DEL TITOLO: (riporta l’icona; il nome del programma; il nome del file associato al foglio di lavoro: se non è già stato salvato con un nome diverso, gli viene associato un titolo del tipo Algebra N, con N numero progressivo da 1 in poi; i tipici pulsanti di ogni finestra Windows)

� LA BARRA DEI MENU: ( è composta da undici voci; facendo clic su ciascuna di esse si

apre un menu a tendina che contiene vari comandi: sono le operazioni che Derive può eseguire. Quando un menu viene aperto appare una finestra che contiene a sua volta altri comandi. Si può osservare che:

• una sola lettera di ciascun comando è sottolineata quindi si può accedere al comando premendo il tasto corrispondente alla lettera sottolineata;

• alcuni comandi sono preceduti da un’icona analoga a quella riportata sulla barra dei comandi: questo significa che si ottengono risultati analoghi nei due casi;

• alcuni comandi sono seguiti da tre puntini … La loro scelta apre una finestra che fa sparire la precedente;

• alcuni comandi sono seguiti da una freccia; in questo caso si apre un’ulteriore finestra senza che scompaia la precedente;

• alcuni comandi sono seguiti da Ctrl + lettera: questo significa che si ottiene lo stesso risultato premendo la combinazione dei tasti indicata;

• alcuni comandi sono preceduti dal simbolo di spunta: questo simbolo indica la scelta attiva cioè che il comando che lo segue è selezionato. L’effetto dei comandi può essere disattivato facendo un clic sul comando stesso.

� LA BARRA DEI COMANDI O STRUMENTI: (sono presenti alcuni pulsanti che

corrispondono ai comandi di utilizzo più frequente. Per una sintetica informazione su di un pulsante basta spostarsi sopra di esso con il mouse). Si può notare che alcuni pulsanti appaiono “spenti” (si dice che sono in dim light ), il che significa che in quello stato non sono utilizzabili. E’ semplice capire questo perché sono

3

comandi che si riferiscono ad operazioni che agiscono su qualcosa di definito, per esempio risolvono equazioni. Poiché all’avvio del programma non è stato definito nulla, non è possibile utilizzare questi pulsanti. Quando verranno inseriti i dati necessari, assumeranno l’aspetto normale e potranno essere selezionati. Occorre osservare la presenza di alcuni pulsanti che sono già noti quando si opera in Windows.

� UNA FINESTRA DI ALGEBRA VUOTA: (è la zona in cui vengono visualizzate le espressioni immesse e i calcoli che si svolgono su di esse)

� LA BARRA DI STATO: ( visualizza alcune informazioni sul documento e sulle opzioni

scelte; è suddivisa in tre parti: nella prima vengono riportati eventuali messaggi di errore oppure delle informazioni relative ai pulsanti delle barre; nella seconda dei messaggi relativi alle diverse istruzioni; nell’ultima eventuali tempi di calcolo delle espressioni)

� LA BARRA DI IMMISSIONE: ( è suddivisa in due parti:la prima contiene pulsanti di

esecuzione, la seconda è formata da una riga per l’inserimento delle espressioni servendosi, eventualmente, delle tabelle delle lettere e dei simboli presenti sotto di essa). Vedere il significato dei pulsanti presenti sulla riga di immissione.

� LE BARRE DEI SIMBOLI GRECI E MATEMATICI.

4

LA BARRA DEI COMANDI DELLA FINESTRA DI ALGEBRA

5

IMMETTERE UNA ESPRESSIONE E SEMPLIFICARLA Per immettere nella finestra Algebra un’espressione matematica occorre:

• fare clic nella riga di inserimento (in modo che il cursore lampeggi) • digitare l’espressione che si desidera immettere • premere il tasto Invio sulla tastiera oppure fare clic sul pulsante Crea espressione, che è il

primo a sinistra della Riga di immissione. Oppure

• cliccare sul comando Crea espressione (in questo modo il cursore lampeggia nella riga di inserimento)

• digitare l’espressione che si desidera immettere • premere il tasto Invio sulla tastiera oppure fare clic sul pulsante Crea espressione, che è il

primo a sinistra della Riga di immissione. Ogni espressione immessa e ogni risultato di un risultato di un calcolo vengono scritti da Derive in una nuova riga, che viene identificata dalla sua etichetta numerica, in questo caso #1. L’ultima espressione immessa o l’ultimo calcolo vengono evidenziati in colore (blu). Per importare un’espressione dalla zona algebrica alla riga di editazione delle espressioni, basta:

• fare clic sull’espressione • fare clic nella riga di editazione • battere il tasto funzione F3 • oppure battere il tasto funzione F4 nel caso in cui l’espressione venga importata fra parentesi

tonde. Attenzione Nella riga di inserimento le espressioni vengono scritte, per forza, in linea quindi bisogna inserire le parentesi in maniera opportuna (solo parentesi tonde) in modo che sia rispettata la priorità delle operazioni, che è quella ben nota in matematica. ( In genere le operazioni non associative, come sottrazione e divisione, vengono valutate da sinistra verso destra, mentre l’elevamento a potenza viene valutato da destra a sinistra). Si osserva che:

� il simbolo di moltiplicazione fra numeri può essere sia un asterisco *, sia una spaziatura; � il simbolo di divisione è / (slash) � la virgola decimale è sostituita dal punto decimale; � i simboli di addizione e di sottrazione rimangono gli stessi: � il simbolo di elevamento a potenza è l’accento circonflesso ^ (lo si può inserire premendo il

tasto presente sulla tastiera oppure quello presente nella tabella dei simboli matematici). Attenzione

� Se ci accorge di aver sbagliato a digitare un’espressione, si può correggerla portando il cursore nella parte sbagliata per poi cancellarla con il tasto CANC e poi riscriverla.

� Se si immette una espressione formalmente errata, Derive segnala il fatto con il messaggio ERRORE DI SINTASSI, seguito da un ulteriore messaggio che spiega il tipo di errore. Alcuni errori di sintassi tipici sono ad esempio:

1. l’espressione non è conclusa: esempio 2+ 2. la parentesi non è stata chiusa: esempio (1+4+5 3. sono stati usati due simboli consecutivi non accettati: esempio 3^^4

Occorre però tener presente che il cursore si posiziona automaticamente nel punto dove è stato rilevato l’errore per cui è facile individuarlo.

� Ci sono alcuni errori che non contravvengono alla sintassi di Derive, quindi non vengono segnalati, però sono errori perché conducono a risultati non voluti. Errori di questo tipo si chiamano errori logici e sono i più difficili da recuperare anche perché spesso può capitare di non accorgersi di averli fatti. Esempio:

6

• Si vuole scrivere (2/3)2 e immettiamo 2/3^2 ottenendo #1. 2/32 ; la forma corretta da usare era invece (2/3)^2

Per cancellare una o più righe basta evidenziarle con il mouse e premere sulla tastiera il testo CANC oppure fare clic sul pulsante Cancella oggetto. Se ci si accorge di avere cancellato una riga che serve, si può rimediare senza doverla riscrivere: scegliere Modifica e poi Annulla cancellazione; la rinumerazione delle righe è automatica. Per far semplificare a Derive un’espressione o parte di essa è sufficiente evidenziarla, se non è già stata evidenziata facendo clic su di essa, poi fare clic sul pulsante Semplifica. Relativamente alle semplificazioni ci sono alcune notevoli differenze con ciò che accade nelle calcolatrici scientifiche:

� I risultati non interi sono espressi in frazioni e non in numeri decimali � La potenza è espressa con tutte le cifre esatte e non con alcune cifre seguite da una potenza

di dieci. LE PARENTESI

• Derive accetta i tre tipi di parentesi: rotonda ( quadra [ e graffa{ . Il livello delle parentesi viene tradizionalmente espresso utilizzando parentesi di diverso tipo: 1) parentesi tonde: primo livello, 2) parentesi quadre: secondo livello, 3) parentesi graffe: terzo livello.

• Nel calcolo algebrico e aritmetico, in Derive, si usano solo le parentesi tonde • quando si opera con i vettori si usano le parentesi quadre • quando si lavora con gli insiemi si usano le parentesi graffe

Usare parentesi quadre o graffe nelle espressioni non è errore di sintassi ma errore logico. Esempio: immettendo [1/2+1] +[-2/3] viene visualizzata l’espressione che semplificata dà come risultato [5/6]. Il risultato è corretto però il problema è che l’espressione non rappresenta il numero 5/6 ma il vettore la cui unica componente è 5/6. SALVARE UNA SESSIONE DI LAVORO Per salvare il lavoro svolto basta seguire la procedura abituale di Windows:

� scegliere dal menu File il comando Salva con nome, oppure fai clic sul pulsante Salva; � si apre una finestra di dialogo in cui occorre specificare la cartella nella quale verrà salvato il

file e il nome che gli si vuole assegnare. Per default la cartella nella quale Derive salva i fogli di lavoro è la cartella Users

� una volta specificati la cartella e il nome fare clic su Salva � i file vengono salvati con l’estensione .dfw, che viene aggiunta automaticamente e che

caratterizza i file creati con Derive. APRIRE UN FILE GIA’ ESISTENTE

1. selezionare il comando APRI dal menu FILE 2. selezionare la cartella dove si è salvato il file 3. aprire il file che interessa facendo doppio clic su di esso.

7

ALCUNE FUNZIONI PREDEFINITE DI DERIVE 1. ABS (n) : calcola il valore assoluto di n se reale 2. APPROX(e, c): approssima l’espressione e, se numerica, o ne approssima le parti

numeriche; in ogni caso visualizza c cifre 3. ACOS (x): calcola il minimo arco in valore assoluto il cui coseno è x, nell’unità di misura

attiva, radiante per default 4. ACOT (x): calcola il minimo arco in valore assoluto il cui cotangente è x, nell’unità di

misura attiva, radiante per default 5. ASIN (x): calcola il minimo arco in valore assoluto il cui seno è x, nell’unità di misura

attiva, radiante per default 6. ATAN (x): calcola il minimo arco in valore assoluto la cui tangente è x, nell’unità di misura

attiva, radiante per default 7. COS (x): calcola il coseno di x radianti o gradi, a seconda dell’unità di misura attiva 8. COT (x): calcola la cotangente di x radianti o gradi, a seconda dell’unità di misura attiva 9. CSC (x): calcola la cosecante di x radianti o gradi, a seconda dell’unità di misura attiva 10. SEC (x): calcola la secante di x radianti o gradi, a seconda dell’unità di misura attiva 11. SIN (x): calcola il seno di x radianti o gradi, a seconda dell’unità di misura attiva 12. TAN (x): calcola la tangente di x radianti o gradi, a seconda dell’unità di misura attiva 13. DET (A) : calcola il determinante della matrice quadrata A 14. DIF(f, v, n) : calcola la derivata della funzione f, rispetto alla variabile v. Se il parametro n

non è specificato si calcola la derivata prima altrimenti quella di ordine n 15. DIVISORS (n) : calcola un vettore formato dai divisori del numero intero n 16. ELEMENT (A, r, c): seleziona l’elemento che nella matrice A, occupa la riga r e la

colonna c 17. FACTOR(n) : restituisce la scomposizione in fattori primi di n 18. FLOOR(a, b) : fornisce il quoziente della divisione intera tra a e b 19. MOD(a, b) : fornisce il resto della divisione fra i numeri interi a e b 20. GCD (a, b, c, …, d) : calcola il M.C.D dei numeri a, b, c, …, d (Greatest Common Divisor) 21. IF( test, espressione 1, espressione 2): è una funzione che consente di esprimere una

alternativa dove: • test è la condizione che Derive valuta per stabilire se è vera o falsa • espressione 1 è l’istruzione che viene eseguita se test è vera • espressione 2 è l’istruzione che viene eseguita se test è falsa

22. INT(f, v, c): calcola l’integrale indefinito della funzione f rispetto alla variabile v. se è

specificato c, scrive una famiglia di primitive, altrimenti scrive solo quella di parametro 0 23. LCM (a, b, c, …, d) : calcola il m.c.m dei numeri a, b, c, …, d (Least Common Multiple) 24. NEXT_PRIME(numero): calcola il numero primo successivo il numero naturale n 25. LIM (f, v, p, d) : calcola il limite di una espressione (successione, funzione), per v che

tende a p e nella eventuale direzione indicata da d. Se d > 0 si intende da destra, se d < 0 da sinistra

26. LN(x): calcola il logaritmo naturale di x 27. LOG (a, b): calcola il logaritmo in base b di a 28. MOD( m, n): calcola il resto della divisione fra i numeri interi m ed n 29. NEXT_PRIME (n): calcola il primo numero primo successivo a n 30. NSOLVE (e, v): risolve numericamente un’espressione 8equzione o disequazione) 31. NTH_PRIME(numero): determina il numero primo che occupa la posizione numero

nell’insieme ordinato degli infiniti numeri primi 32. PRIME (n): determina se n è o no un numero primo 33. PREVIOUS_PRIME(numero): calcola il numero primo precedente il numero naturale n

8

34. SOLUTIONS (e, v): risolve l’equazione e(v)=0 rispetto alla variabile v, scrivendo le soluzioni in un vettore

35. SOLVE (e, v): risolve l’equazione e(v)=0 rispetto alla variabile v 36. SOLVE ( e1 and e2 and …and en, [v1, v2, …, vm]) : risolve un sistema di equazioni o

disequazioni, rispetto alle variabili indicate 37. SUBST (e, v, n): sostituisce nell’espressione e(v) tutte le occorrenze della variabile v con

l’espressione n, semplifica e restituisce il risultato 38. SUM( e(x), x, inf, sup) : calcola la somma degli elementi dell’espressione e(x), al variare di

x che assume tutti i valori interi da inf a sup 39. DIVISORS(numero): calcola i divisori di un numero naturale 40. QUOTIENT (A(x), B(x)) : restituisce il quoziente della divisione del polinomio A(x) per il

polinomio B(x) 41. REMAINDER (A(x), B(x)) : restituisce il resto della divisione del polinomio A(x) per il

polinomio B(x)

APPROSSIMAZIONE DI ESPRESSIONI NUMERICHE Derive ha una notevole capacità di calcolo e spesso riesce a calcolare e a scrivere un risultato in tempo inferiore a quello che serve a noi per leggerlo; riesce ad eseguire calcoli che fino a qualche decennio fa erano considerati quasi impossibili. Derive lavora in modalità precisione esatta e visualizza i risultati utilizzando numeri interi, frazioni, radicali e costanti irrazionali tipo π o e. Derive possiede una modalità approssimata con la quale può visualizzare i numeri decimali, rispetto alle calcolatrici, usando un numero arbitrario di cifre prima e/o dopo il punto decimale, compatibilmente con la memoria disponibile del computer. Esempi

Il simbolo posto alla fine di ciascuna riga ci informa che l’espressione continua nella riga sottostante. Tramite il menù Semplifica Approssima… si apre una finestra in cui possiamo scegliere quante cifre far visualizzare. Se premiamo OK inseriamo il comando, se invece premiamo Approssima otteniamo solo il risultato. Si può ottenere lo stesso risultato utilizzando il comando APPROX(numero, cifre). SEMPLIFICARE UN’ESPRESSIONE LETTERALE Dopo aver introdotto l’espressione da semplificare e selezionata, grazie all’utilizzo del menu Semplifica Sviluppa si apre la seguente finestra di dialogo, dove occorre specificare la variabile rispetto cui eseguire lo sviluppo

9

Nota: dopo aver effettuato le opportune scelte (variabile e tipo di sviluppo)

� Se si fa clic su OK nella finestra di Algebra compare la scrittura del comando di sviluppo, per cui occorre ciccare sul pulsante Semplifica

� Se invece si fa clic su Sviluppa Derive fornisce subito il risultato della semplificazione Oppure per sviluppare un’espressione si può utilizzare direttamente la funzione EXPAND(espressione, modalità, var1, var2,…) COME EFFETTUARE DELLE SCOMPOSIZIONI TRAMITE DERIVE

1. Immettere il polinomio che si vuole scomporre nella riga di inserimento e premere Invio 2. si ottiene la sua visualizzazione nella riga #1 3. scegliere dal menu SEMPLIFICA il comando FATTORIZZA 4. si apre una finestra di dialogo in cui bisogna selezionare le variabili rispetto alle quali

effettuare la scomposizione e il tipo di scomposizione. Si ottiene una schermata in cui è possibile scegliere tra diverse tipologie di scomposizioni: 1) triviale : consente di raccogliere solo i fattori comuni; 2) quadrati : consente di raccogliere i fattori comuni e di riconoscere le potenze di polinomi;

3) razionale: consente di raccogliere i fattori comuni, di riconoscere le potenze e i prodotti dei polinomi nell’ambito dei numeri razionali (ad esempio non scompone x2 –2); 4) reale: consente di scomporre nell’ambito dei numeri reali (scompone x2 –2 ma non x2 +1); 5) complessa: consente di inserire fattori aventi coefficienti rappresentati da numeri complessi.

5. Se nella finestra di dialogo si clicca su OK viene trascritta a parole la sequenza dei comandi immessa; poi cliccare su Semplifica (tasto =).

6. Se si vuole evitare la riscrittura del comando e passare subito alla visualizzazione della scomposizione occorre cliccare su FATTORIZZA.

10

CALCOLARE IL VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE PER ASSEGNATI VALORI ALLE VARIABILI Per calcolare un’espressione letterale si possono utilizzare due metodi:

1. il metodo della sostituzione diretta 2. il metodo della funzione.

Esaminiamo il primo metodo. • Dopo aver immesso l’espressione (che occorre digitare nella riga di inserimento), sullo

schermo apparirà l’espressione evidenziata. • Scegliere il comando da menu Semplifica – Sostituisci variabili oppure premi il pulsante

Sostituisci variabili • Si apre una finestra di dialogo nella quale Derive elenca tutte le variabili presenti

nell’espressione • Dopo aver evidenziato con un clic la variabile che interessa, si deve scrivere il valore da

sostituire ad essa nel campo Nuovo valore e analogamente si procede per le altre variabili • Se si fa clic su OK viene restituita l’espressione con i valori numerici assegnati al posto

delle variabili per cui per ottenere il risultato dell’espressione bisogna ciccare sul pulsante Semplifica

• Se nella finestra di dialogo si clicca su Semplifica, Derive avrebbe fornito subito il risultato dell’espressione.

• Osservazione: una volta effettuata una sostituzione non si può più tornare indietro e riottenere l’espressione contenete le variabili iniziali.

Esaminiamo il secondo metodo. Questo metodo consiste nel definire una funzione e per questo bisogna scrivere nell’ordine:

1. il nome della funzione che deve essere seguita dall’indicazione, tra parentesi tonde, delle variabili da cui essa dipende (se sono più di una bisogna separarle da una virgola)

2. il simbolo di assegnazione := 3. l’espressione analitica della funzione.

Esempio: #1 : F(x,y) : = (x-2y)2 –2(x+y) #2 : F(-1,-2) #3 : 15 Esiste anche un altro modo di definire una funzione in Derive. Basta utilizzare il menu Dichiara__Definisci funzione…: si apre una finestra dove bisogna completare i campi:

1. Nome della funzione ed argomenti 2. Definizione

Osservazione: questo metodo della funzione è più flessibile perché una volta definita è rapido calcolarne il valore in corrispondenza di altri valori delle variabili e inoltre l’espressione iniziale non viene mai persa.

11

COME RISOLVERE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Derive è in grado di risolvere algebricamente tutti i tipi di equazioni di grado n, intere, frazionarie o letterali. Dopo aver immesso l’equazione occorre scegliere dal menu Risolvi la voce Espressione. Si apre la seguente finestra di dialogo.

In essa possiamo scegliere:

� la Variabile rispetto alla quale risolvere l’equazione � il Metodo scegliendo tra Algebrico, cioè con risultati esatti, espressi sotto forma di frazioni

o radicali; Numerico, cioè con risultati approssimati, espressi perciò sotto forma decimale; Entrambi cioè viene lasciato a Derive la scelta del metodo migliore, sia in termini di tempo di calcolo sia di precisione;

� il Dominio della soluzione � premendo il pulsante OK viene scritto il comando, invece con Risolvi viene calcolata e

visualizzata l’eventuale soluzione. Oppure possiamo utilizzare il comando SOLVE(espressione,variabile, dominio) in cui solo il terzo termine è opzionale. Nel caso di contraddizioni nell’ambito dei numeri reali, SOLVE scrive false, nel caso di identità SOLVE scrive true. Se non dichiariamo esplicitamente il dominio, la risoluzione avverrà sempre in ambito complesso. Allo stesso modo si risolvono le disequazioni intere e fratte.

12

COME RISOLVERE SISTEMI Un sistema può essere risolto mediante l’utilizzo del menu Risolvi Sistema che avvia la seguente schermata e dopo aver scelto il numero di equazioni o disequazioni presenti nel sistema appare la seguente finestra ,in cui premendo Risolvi appare il risultato.

I VETTORI IN DERIVE Un vettore è un elenco ordinato di elementi( numeri, espressioni numeriche o algebriche) in cui ciascun elemento occupa una data posizione ed è perciò individuata da essa. Per creare un vettore esiste il comando VECTOR la cui sintassi è la seguente: VECTOR(espressione, variabile, valore_iniziale, valore_finale, passo) dove:

• espressione è una espressione dipendente da una o più variabili • variabile è la variabile rispetto a cui vogliamo costruire il vettore detta anche variabile di

iterazione o iteratore • valore_iniziale, valore_finale sono i valori di partenza e di arrivo da assegnare alla

variabile • passo è la quantità di cui viene incrementata la variabile ad ogni iterazione; se non viene

esplicitamente definita è posta uguale a 1. Esempio: Supponiamo di voler calcolare i valori assunti dal polinomio x3 + 1 quando si attribuiscono ad x tutti i numeri naturali compresi tra 0 e 5 estremi inclusi. Per questo basta immettere #1 : VECTOR(x^3 + 1, x, 0, 5 ) e fare clic sul pulsante Semplifica. Derive restituisce i valori richiesti tra parentesi quadre #2 : [1, 2, 9, 28, 65, 126]

13

Esempio: Con la funzione VECTOR si possono costruire tabelle che calcolano le funzioni goniometriche in valori assegnati. La scelta di ridurre a 5 le cifre per la visualizzazione dei risultati è una questione di comodità

Osservazioni:

1. il passo può anche essere negativo ma in questo caso il valore iniziale deve essere superiore a quello finale altrimenti viene segnalato un errore di sintassi

2. il passo può anche essere non intero ma i valori vengono calcolati sotto forma di frazione 3. il comando VECTOR calcola anche espressioni prive di significato scrivendo simboli del

tipo ? se l’espressione è 0/0 e invece ±∞ se l’espressione da calcolare è una divisione tra un numero non nullo e lo zero.

Con la funzione VECTOR è possibile ottenere fasci di rette, di parabole, di circonferenze.

14

L’AMBIENTE GRAFICO 2D DI DERIVE 5

Indipendentemente dal fatto di aver immesso o meno un’espressione, possiamo passare all’ambiente grafico 2D cliccando sull’icona (Finestra grafica 2D) presente sulla barra dei comandi dell’ambiente Algebra. Viceversa per passare dalla finestra grafica a quella algebrica occorre fare clic sul pulsante Finestra Algebra. Nella finestra grafica 2D attivata quasi tutte le barre (dei menu, dei comandi, di stato) assumono un aspetto diverso da quello dell’ambiente Algebra. Il foglio di lavoro viene sostituito da un riferimento cartesiano ortogonale in cui notiamo:

� gli assi cartesiani x, y � una scala valori sugli assi � alcuni punti segnati sul piano, chiamati punti reticolo � la presenza di un cursore a forma di croce, la cui posizione è annotata sulla barra di stato.

LA BARRA DEI MENU Il numero dei menu è ridotto e alcuni pur presentando gli stessi nomi hanno diverse opzioni mentre altri sono del tutto diversi.

La barra dei menu : � Menu Modifica:

� Menu Inserisci:

I comandi del menu permettono di cambiare il contenuto di una annotazione inserita nel foglio di lavoro, di cancellare grafici o annotazioni. La pagina grafica di Derive si ricorda, per così dire, di tutti i grafici tracciati in precedenza e non li cancella automaticamente. Quando vuoi ripulirla devi scegliere: Cancella tutti i grafici oppure Cancella grafico: nella finestra di dialogo hai le scelte Primo, Ultimo, Tutti tranne l’ultimo. Gli ultimi due comandi copiano un grafico o una sua parte per poi inserirlo in qualsiasi file dell’ambiente Windows che lo permetta

Contiene due opzioni presenti anche come icone nella barra dei comandi: la prima serve per tracciare un grafico, la seconda per inserire un’annotazione. Cliccando su annotazione si apre la seguente finestra

15

� Menu Imposta: ciascuna delle opzioni presenti rende attiva un’altra finestra in cui si effettuano le scelte che riguardano l’ambiente grafico cartesiano. Quando apriamo la pagina grafica, osserviamo che la zona di piano rappresentata sullo schermo è il quadrato [-4,4] x [-4,4], ma il nostro schermo non è un quadrato e quindi le proporzioni tra ascisse e ordinate non sono rispettate. Se visualizziamo una circonferenza essa appare deformata in un ellisse; se tracciamo rette perpendicolari, esse non appaiono tali.

Qui possiamo decidere di cambiare: • il sistema di coordinate con le opzioni (cartesiano o polare) • la posizione del cursore relativamente all’unità di misura scelta • la regione del piano che si vuole visualizzare • l’intervallo del grafico cioè i valori di massimo e di minimo visualizzati sugli assi

cartesiani • il rapporto di aspetto cioè il rapporto in pixel tra la lunghezza visualizzata dell’asse x

e quella dell’asse y (come si vede il sistema di riferimento non risulta monometrico pur avendo usato la stessa unità di misura su entrambi gli assi).

Menu Imposta:

� Menu Opzioni: esso offre delle opzioni relative alla visualizzazione dei grafici e con Visualizzazione è possibile modificare le caratteristiche del grafico

In questa distinguiamo: il riquadro in cui è possibile immettere un messaggio il pulsante per scegliere il font da usare per il carattere il pulsante per scegliere il colore del carattere le finestre in cui si immettono le coordinate di posizione in cui si vuole inserire il primo carattere del messaggio (naturalmente le coordinate si riferiscono all’unità di misura attiva in quel momento).

16

Menu Opzioni:

Cliccando sull’opzione Visualizzazione compare la seguente finestra che offre diverse scelte.

� Menu Finestra: La finestra grafica può essere utilizzata in diversi modi; quello di default

consiste in due schermate separate, una dedicata alla grafica e una dedicata all’algebra. Possiamo anche visualizzare contemporaneamente sullo schermo le due finestre, sia una affianco all’altra (Finestra, Affianca verticalmente), sia una sopra all’altra (Finestra, Affianca orizzontalmente). In questi casi, anche se le due finestre, affiancate sono contemporaneamente visibili, una sola delle due finestre è attiva e per rendere attiva la finestra che non lo è, basta cliccare in un punto qualunque di essa.

LA BARRA DEI COMANDI LA BARRA DI STATO Su questa barra vengono visualizzate rispettivamente:

• il tipo di ambiente (cartesiano o polare) mediante un’icona • la posizione del cursore • le coordinate del centro • il rapporto di scala

LA BARRA DI IMMISSIONE LA BARRA DEI SIMBOLI GRECI E MATEMATICI

17

LA BARRA DEI COMANDI DELLA FINESTRA GRAFICA 2D

18

DERIVE E LA GEOMETRIA ANALITICA Derive può essere utilizzato anche per la geometria; va sottolineato che la principale differenza tra Derive e i programmi tradizionali di geometria è che con Derive la maggior parte dell’attività viene svolta nella finestra Algebra mentre le finestre Grafiche vengono utilizzate per visualizzare oggetti algebrici ed attività. La geometria analitica collega la geometria classica all’algebra per cui qualsiasi oggetto geometrico in una finestra grafica richiede un corrispondente oggetto algebrico (espressione, funzione) nella finestra algebra. COME RAPPRESENTARE IN DERIVE: I PUNTI, I SEGMENTI E I POLIGON I Disegnare un punto Sappiamo che ogni punto è individuato da una coppia di numeri reali. Per rappresentare un punto in un piano cartesiano, occorre scrivere le sue coordinate tra parentesi quadre nell’ambiente Algebra e poi con l’espressione evidenziata cliccare su finestra grafica 2D e cliccare su Traccia grafico. Per modificare le dimensioni del punto, scegli: Opzioni, Visualizzazione, Punti e poi una tra le tre opzioni: Piccolo, Medio, Grande. Per avere le dimensioni modificate occorre ridisegnare il punto. Anche per i punti come per i grafici di funzione, Derive opera la scelta ciclica dei colori, attingendo da 16 colori diversi di una tavolozza. Disegnare un segmento Occorre prima immettere le coordinate dei suoi vertici all’interno di un vettore, ad esempio: [[3,-3], [2,1], [5,0]] oppure scrivendo [3,-3; 2,1; 5,0]. In questo modo si disegnano solo i punti; per disegnare il segmento: scegli Opzioni, Visualizzazione, Punti. Nella finestra Visualizzazione punti, nell’area Collega, appaiono le due scelte: Si e No. Se scegliamo Si viene visualizzato il segmento. Scegli Si e clicca su OK. Clicca di nuovo su Traccia il grafico: viene così visualizzato il segmento. Disegnare un poligono Per disegnare un poligono con n vertici bisogna assegnare i vertici del poligono nell’ordine e poi ripetere il primo vertice; si tratta quindi di n+1 punti, racchiusi dentro parentesi quadre. TRACCIARE IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE Costruire con Derive il grafico di una qualsiasi funzione reale di variabile reale è molto semplice. Esempio: Vogliamo tracciare il grafico della funzione y=x2 – 3x – 4

� digita y=x^2 –3x – 4 e premi Invio � otterrai sullo schermo l’espressione #1 evidenziata � #1: y=x2 – 3x – 4 � fai clic sul pulsante Finestra grafica 2D � aperta la finestra grafica di Derive fai clic sul pulsante Traccia il grafico dell’espressione.

Le funzioni sono spesso dei modelli algebrici di problemi reali per cui risulta spesso importante saper analizzare il grafico di una funzione. Derive mette a disposizione dell’utente una modalità particolare: per attivarla basta fare clic sul pulsante Modalità traccia. In questo modo compare un quadratino che resta vincolato al grafico della funzione e ci si può muovere su di esso utilizzando i tasti freccia. In corrispondenza al movimento del quadratino si possono leggere le coordinate del punto da esso occupato nell’area Croce della Barra di stato della finestra grafica 2D. Se si vuole migliorare l’approssimazione si può ingrandire il grafico in modo da avvicinarsi al punto che interessa (ad esempio di minimo) utilizzando un effetto a zoom. Allo scopo si usa il pulsante Ingrandisci per cui si riduce la scala da 1:1 ad esempio a 0.5:0.5; si centra il grafico in modo opportuno con il pulsante Centra sulla croce in modo che il punto al quale siamo interessati sia visibile. Si attiva quindi ancora Modalità traccia e ci si muove lungo il

19

grafico in modo da portare il quadratino in prossimità del punto interessato e si leggono le corrispondenti coordinate della croce.

GEOMETRIA ANALITICA DELLA RETTA Per consolidare le nozioni apprese in classe a proposito del piano cartesiano e della retta definiamo alcune funzioni per risolvere problemi di geometria analitica. Le funzioni che andiamo a definire e altre che si possono definire, possono essere salvate in un file in modo da avere a disposizione una serie di funzioni utili per risolvere problemi di geometria

� Assegnate le coordinate di due punti A(x1,y1) e B(x2,y2) determinare la distanza tra i punti stessi d (x1,y1,x2,y2):= √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)

� Determinare le coordinate del punto medio tra due punti assegnati Medio (x1,y1,x2,y2):= [ (x1+x2)/2, (y1+y2)/2]

� Determinare l’equazione esplicita della retta passante per un punto e di coefficiente angolare assegnato Retta (x0,y0,m): =y =y0 + m(x – x0)

� Determinare l’equazione della retta passante per due punti La funzione che si vuole definire deve prevedere un’alternativa: Derive possiede la funzione predefinita IF che viene così utilizzata Retta (x1, y1, x2, y2) := IF(x1 ≠ x2, y1 + (y2 – y1)/(x2 – x1)*( x2 –x1), x = x1)

� Determinare l’asse del lato AB Asse (x1, y1, x2, y2) := IF(y1 ≠ y2, y = (y1 + y2)/2 – (x2 – x1)/ (y2 – y1)*(x – (x1 + x2)/2), x = (x1 + x2)/2)

� Per rappresentare fasci di rette, possiamo sfruttare il comando VECTOR. Esempio: se vogliamo rappresentare alcune rette del fascio di equazione (2-k)x + (3+2k)y – 1 = 0 procediamo nel seguente modo :

20

GEOMETRIA ANALITICA DELLA CIRCONFERENZA

� Determinare l’equazione della circonferenza noti il centro ed il raggio circ_centro_raggio(xc, yc, r) : = EXPAND ((x – xc)2 + ((y– yc)2 - r2 = 0, x, y)

� Determinare i punti di intersezione di una retta con una circonferenza ; esempio : SOLUTIONS(circ_centro_raggio(1, -1, 2) ^ 2x – 3y + 1 = 0, [x, y])

� Determinare l’equazione della circonferenza passante per tre punti assegnati. Esempio:

� Per rappresentare fasci di circonferenze, possiamo sfruttare il comando VECTOR. Esempio: se vogliamo rappresentare alcune circonferenze del fascio

21

GEOMETRIA ANALITICA DELLA PARABOLA � Determiniamo le coordinate del vertice e del fuoco e le equazioni della direttrice e dell’ asse

di una parabola

ESEMPIO:

� Per rappresentare fasci di parabole, possiamo sfruttare il comando VECTOR.

22

DERIVE E LO STUDIO DI FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Derive risulta essere un ambiente ideale per studiare le funzioni reali a variabile reale e le relative proprietà in quanto dispone di avanzati metodi analitici e di notevoli strumenti grafici.

� CALCOLO DEI LIMITI DI UNA FUNZIONE: 1. si può utilizzare il pulsante Calcola lim presente nella barra degli strumenti oppure

eseguire il comando Calcola > Limite. Si apre la seguente finestra

occorre confermare i parametri proposti (n, 0 e destra e sinistra) e chiudere la finestra di dialogo cliccando sul bottone Semplifica.

Esempi:

Nel calcolo dei limiti possiamo fare un’indagine approfondita o limitarci a fare delle congetture

2. il comando LIM (funzione, variabile, valore, direzione) dove l’ultimo parametro è opzionale e stabilisce se il limite deve essere calcolato da destra ( si inserisce un

23

numero maggiore), da sinistra (si inserisce un numero minore) o sia da sinistra sia da destra (si inserisce o uno zero o non si inserisce nulla).

� CALCOLO DELLE DERIVATE DI UNA FUNZIONE:

1. si può utilizzare il bottone Calcola derivata o il comando Calcola > Derivata. Si apre la seguente finestra di dialogo

in cui occorre confermare i parametri proposti (x come Variabile e 1 come Ordine della derivata) chiudendo la finestra di dialogo mediante il bottone Semplifica. Si può anche inserire un valore negativo nel campo Ordine: in questo caso l’operazione equivale all’integrazione).

2. oppure si può usare il comando predefinito DIF (funzione, variabile, ordine) dove il comando ordine è opzionale e per default vale 1. La visualizzazione è sempre nella forma d/dx, con un eventuale esponente che indica l’ordine nei casi di derivate di ordine superiore al primo. Occorre osservare inoltre:

2.1: che Derive non calcola la derivata quando non immettiamo una variabile come secondo argomento del comando 2.2: Derive è in grado di derivare funzioni generiche, evidenziando anche le formule che applica.

� CALCOLO DEGLI INTEGRALI: 1. si può utilizzare il pulsante Calcola integrale o il menu Calcola > Integrale.

Entrambi avviano la seguente finestra

Qui possiamo scegliere sia la variabile rispetto alla quale integrare e sia il tipo di integrale, definito o indefinito. Altre scelte sono possibili e dipendono dal tipo di integrazione: se l’integrale è indefinito possiamo scegliere se scrivere il risultato come famiglia di primitive inserendo una variabile nel campo Costante (ma

24

possiamo anche inserire un numero). Se invece l’integrale è definito si rende disponibile il campo Integrale definito dove occorre specificare i limiti inferiore e superiore.

2. oppure possiamo immettere i seguenti comandi: INT (funzione, variabile, costante) se vogliamo calcolare un integrale indefinito (l’ultimo parametro è opzionale e specifica la costante additiva) INT (funzione, variabile, limit e_inferiore, limite_superiore) se vogliamo calcolare un integrale definito. Derive è in grado di calcolare un numero elevato di funzioni e per far ciò applica diversi metodi tra i quali anche quello di integrazioni per parti e per sostituzione.

3. Se si vuole vedere rappresentata e colorata la zona del piano di cui calcolare l’area della regione mediante l’integrale definito, occorre:

a. inserire PlotInt ( funzione, variabile, estremo inferiore, estremo superiore)

b. prima di tracciare questa espressione nella finestra grafica, cancellare tutti i grafici precedenti ed attivare il comando Opzioni>Semplifica prima di tracciare il grafico

c. si nota che aree positive e negative hanno colori diversi; se i colori non sono adatti usare il bottone Traccia il grafico dell’espressione una o più volte

d. ridurre opportunamente, mediante i vari pulsanti, per vedere l’intera area ombreggiata.

e. Poiché geometricamente l’area è definita come la somma dei valori assoluti delle varie aree, occorre inserire la funzione ABS( area).

� CALCOLO DELLA RETTA TANGENTE AD UNA CURVA IN UN SUO PUNTO ASSEGNATO: si utilizza la funzione TANGENT( y,x,x0) cioè TANGENT( funzione, variabile, punto); a volte conviene usare l’etichetta perché è più breve dell’espressione.

L’AMBIENTE GRAFICO 3D DI DERIVE 5

I grafici 3D rappresentano una caratteristica particolare di Derive. I grafici di funzioni in due variabili z = f(x,y) vengono visualizzati come superfici nello spazio tridimensionale. Se le funzioni hanno equazioni espresse in forma implicita, Derive non le rappresenta graficamente, per cui devono essere sempre esplicitate, ad esempio, mediante il comando SOLVE (funzione, variabile z). Per passare nell’ambiente grafico 3D basta premere il pulsante contrassegnato dai tre assi cartesiani presente sulla barra dei comandi dell’ambiente Algebra; il foglio di lavoro assume il seguente aspetto e all’interno di questa scatola detta anche box xyz vengono tracciati i grafici. Il box predefinito è un cubo 10x10x10 con -5≤ x ≤5, -5≤ y ≤5, -5≤ z ≤5. In alto a sinistra è riportato il sistema di riferimento usato per gli assi , con le etichette x, y, z che aiuta per l’orientamento del grafico. Per capire meglio la superficie tracciata, la si può guardare da diversi punti di vista:

1) Il grafico può essere ruotato in tempo reale mediante i tasti freccia oppure usando i bottoni della barra degli strumenti Ruota a destra, a sinistra, verso il basso, verso l’alto

2) Si può far ruotare continuamente il grafico in modo orizzontale ciccando sul bottone Ruota grafici e per fermare la rotazione basta ciccare nuovamente sullo stesso bottone

3) Con o senza la rotazione automatica si può ingrandire/ridurre il grafico mediante i bottoni Ingrandisci grafico, Riduci grafico.

25

LA BARRA DEI COMANDI DELLA FINESTRA GRAFICA 3D

26

ESERCIZIO: RAPPRESENTARE NELLO SPAZIO CARTESIANO I PIANI COORDINATI Si immettono le equazioni dei tre piani all’interno di un vettore, si preme il pulsante per passare all’ambiente 3D e premendolo ancora otteniamo la loro rappresentazione grafica

CAMBIARE IL COLORE DEI GRAFICI

• Occorre attivare l’opzione Cambia colore dei grafici del menu Opzioni • Cliccare due volte con il tasto sinistro del mouse sui grafici (ad esempio dei piani) avviando

così la finestra Proprietà del grafico • Scegliere i colori preferiti nella scheda Colore grafico

OPPURE � Cliccare sui grafici con il tasto destro del mouse e scegliere Modifica dalle opzioni

proposte dalla finestra attivata

#1 : [x = 0, y = 0, z = 0]

27

CAMBIARE LA VISUALIZZAZIONE DI UN GRAFICO Scegliendo l’opzione Visualizzazione del menu Opzioni si attiva la seguente finestra in cui possiamo operare molte scelte.

CANCELLARE UN GRAFICO Si possono seguire tre diverse procedure:

1) selezionarlo con il tasto sinistro del mouse e premere il tasto Cancella 2) selezionarlo premendo contemporaneamente il tasto Canc 3) cliccare su di esso con il tasto destro del mouse e scegliere l’opzione Cancella nella finestra

che così si apre.

28

SOMMARIO

� CARATTERISTICHE DERIVE 5 PAG. 1 � LO SCHERMO DI DERIVE 5 PAG. 2 � LA BARRA DEI COMANDI DELLA FINESTRA DI ALGEBRA PAG. 4 � IMMETTERE UNA ESPRESSIONE E SEMPLIFICARLA PAG. 5 � L’USO DELLE PARENTESI PAG. 6 � SALVARE UNA SESSIONE DI LAVORO PAG. 6 � ALCUNE FUNZIONI PREDEFINITE DI DERIVE 5 PAG. 7 � APPROSSIMAZIONE DI ESPRESSIONI NUMERICHE PAG. 8 � LE SCOMPOSIZIONI CON DERIVE 5 PAG. 9 � CALCOLO DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE PAG. 10 � RISOLVERE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI PAG. 11 � RISOLVERE SISTEMI PAG. 12 � I VETTORI PAG. 12 � L’AMBIENTE GRAFICO 2D PAG. 13 � LA BARRA DEI MENU PAG. 14 � LA BARRA DEI COMANDI DELLA FINESTRA GRAFICA 2 PAG. 17 � RAPPRESENTARE PUNTI, SEGMENTI, POLIGONI PAG. 18 � TRACCIARE IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE PAG. 18 � GEOMETRIA ANALITICA DELLA RETTA PAG. 19 � GEOMETRIA ANALITICA DELLA CIRCONFERENZA PAG. 20 � GEOMETRIA ANALITICA DELLA PARABOLA PAG. 21 � CALCOLO DEI LIMITI DI UNA FUNZIONE PAG. 22 � CALCOLO DELLE DERIVATE PAG. 23 � CALCOLO DEGLI INTEGRALI PAG. 23 � L’AMBIENTE GRAFICO 3D PAG. 24 � LA BARRA DEI COMANDI DELLA FINESTRA GRAFICA 3D PAG. 25 � OPERARE SUI GRAFICI IN 3D PAG.26