les graphes. introduction l'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans...
TRANSCRIPT
![Page 1: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/1.jpg)
LESLES GRAPHESGRAPHES
![Page 2: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/2.jpg)
IntroductionIntroductionL'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES constitue une grande nouveauté : cette branche des mathématiques discrètes fait son entrée dans l'enseignement secondaire français le travail proposé est axé sur la seule résolution de problèmes et aucunement sur un exposé magistral.
![Page 3: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/3.jpg)
Pourquoi introduire des Pourquoi introduire des éléments sur les graphes ?éléments sur les graphes ? Donner continuité et cohérence avec le
programme 1ère S’ouvrir à de nouveaux raisonnements,
s’entraîner à avoir un autre regard mathématique Montrer des mathématiques non classiques liées
à des problèmes concrets Sensibiliser à l’algorithmique Réinvestir ce travail dans les T.P.E.
![Page 4: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/4.jpg)
Pourquoi axer le travail sur la Pourquoi axer le travail sur la seule résolution de problèmes ?seule résolution de problèmes ?
Ouvrir un grand champ de modélisation conduisant à des solutions efficaces pour de nombreux problèmes
Laisser place à l'initiative des élèves, avec un temps nécessaire de tâtonnements et d’essais
![Page 5: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/5.jpg)
LeLe programmeprogramme
Modeste : Le temps consacré à l'étude de ces notions, pourrait représenter 40% du temps total, soit environ 24 heures.
Contenu théorique réduit : L'optique étant la résolution de problèmes, c'est le bon usage des notions relatives aux graphes, et non la mémorisation de définitions formelles, qui est ici recherchée.
![Page 6: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/6.jpg)
Les Graphes : Et si ça servait Les Graphes : Et si ça servait à quelque chose ?à quelque chose ?La théorie des graphes possède de nombreuses applications et intervient dans des domaines variés comme :
La ChimieLa PhysiqueLa BiologieL’InformatiqueLes Mathématiques
Les Sciences socialesL’IndustrieLa GéographieL’Architecture
![Page 7: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/7.jpg)
Exemple 1: Exemple 1: Somme des degrés des sommets Somme des degrés des sommets d ’un graphed ’un graphe
Un tournoi d’échec oppose n personnes. Chaque joueur doit rencontrer tous les autres participants.Représenter cette situation par un graphe pour : n = 4 n = 5 n = 6 Combien doit-on prévoir de rencontres ?
![Page 8: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/8.jpg)
Propriété : La somme des degrés d’un GNO est égale à deux fois le nombre d’arêtes.
n = 4 : d = 4 3 = 12. Il y aura 6 matchs. n = 5 : d = 5 4 = 20. Il y aura 10 matchs. n = 6 : d = 6 5 = 30. Il y aura 15 matchs.
n = 4
n = 5
n = 6
![Page 9: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/9.jpg)
Maurice, le facteur doit effectuer sa tournée. Il doit s’arrêter à la Poste (P), la Gare (G), la Mairie (M), le Lycée (L), le Centre commercial (C) et distribuer le courrier dans les rues 1 à 7. Il doit définir son trajet en respectant les contraintes ci-dessous :
Exemple 2: Exemple 2:
Chaînes eulériennes.Cycles eulériensChaînes eulériennes.Cycles eulériens
1. Trouvera-t-il un circuit sans repasser dans la même rue ?
![Page 10: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/10.jpg)
Ici, le facteur peut suivre la chaîne eulérienne: 4 3 2 4 1 2 5 1 mais est obligé de partir du lycée.Il n’existe pas ici de cycle eulérien.Si le facteur ne distribuait pas le courrier de la rue 4, il pourrait effectuer un cycle eulérien: 3 4 2 5 1 2 3 ( par exemple )
Théorème d’Euler : Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2. Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si ses sommets sont de degré pair.
![Page 11: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/11.jpg)
A =
0 0 0 1 10 0 1 1 10 1 0 1 01 1 1 0 11 1 0 1 0
Propriété : Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme aij de la matrice An donne le nombre de chaînes de longueur n reliant i à j.
2 2 1 1 12 3 1 2 11 1 2 1 21 2 1 4 21 1 2 2 3
A2 =
2 3 3 6 53 4 5 7 73 5 2 6 36 7 6 6 75 7 3 7 4
A3 =
![Page 12: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemple 3:Exemple 3:Recherche du plus court cheminRecherche du plus court cheminPour rentrer chez lui, Maurice doit se rendre de la poste à la gare. Quel est le plus court chemin qu’il peut suivre ?
10801090
![Page 13: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/13.jpg)
800(P)
680(P)
++
1090
![Page 14: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/14.jpg)
800(P)
680(P)
1280(L)
1880(L)
1410(L)1090
![Page 15: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/15.jpg)
800(P)
680(P)
1280(L)
1880(L)
1400(M)
1890(M)
1090
![Page 16: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/16.jpg)
800(P)
680(P)
1280(L)
1880(L)
1890(M)
1870(C)
1090
![Page 17: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/17.jpg)
800(P)
680(P)
1280(L)
1870(C)
Maurice se rendra de la poste à la gare en passant par la Mairie : la distance parcourue sera 1870 m.
1090
![Page 18: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/18.jpg)
Cinq étudiants doivent passer des écrits d ’examen.
Maxime en Anglais, Physique, Mathématiques Aude en Espagnol, Biologie, Mathématiques Marion en Mathématiques, Français, Anglais Amélie en Anglais, Biologie Laurent en Physique, Français
Exemple 4:Exemple 4:Coloration d ’un grapheColoration d ’un graphe
Si chaque écrit dure 1/2 journée, quel nombre minimal de jours doit-on prévoir?
![Page 19: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/19.jpg)
Sommet M A P F B E
Ordre 5 4 3 3 3 2
Couleur R
![Page 20: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/20.jpg)
Sommet M A P F B E
Ordre 5 4 3 3 3 2
Couleur R J J
![Page 21: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/21.jpg)
Sommet M A P F B E
Ordre 5 4 3 3 3 2
Couleur R J V V J
![Page 22: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/22.jpg)
Sommet M A P F B E
Ordre 5 4 3 3 3 2
Couleur R J V B V J
![Page 23: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/23.jpg)
En appliquant l ’algorithme de coloration, il a fallu quatre couleurs pour colorier ce graphe.
Comme (A,F,M,P) forme un sous-graphe complet d ’ordre 4,
le nombre chromatique de ce graphe est 4.
Il faudra donc 4 jours pour organiser cet examen.
![Page 24: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/24.jpg)
An: l ’électeur est favorable à la liste A au n-ieme jour de campagne; probabilité pn Bn: l ’électeur est favorable à la liste B au n-ieme jour de campagne; probabilité qn
Exemple 5:Exemple 5:Graphe probabilisteGraphe probabiliste
A Clochemerle, la campagne électorale fait rage: deux listes A et B s ’affrontent. Chaque jour de campagne on interroge un électeur pris au hasard et on définit les événements suivants:
A l ’issue de chaque jour de campagne, 20% des électeurs favorables à la liste A et 30% des électeurs favorables à la liste B changent d ’avis le jour suivant.
![Page 25: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/25.jpg)
Le graphe probabiliste qui décrit cette situation est:
A B0,8 0,7
0,2
0,3
La matrice de transitionde ce graphe est:
7,03,0
2,08,0M
L ’état probabiliste au premier jour de la campagne est la matrice ligne 111 qpP
![Page 26: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/26.jpg)
L ’état probabiliste Pn à l ’étape n est:
1
11 7,03,0
2,08,0
n
nn qpqp
L ’état Pn à l ’étape n, converge vers un état P indépendant de l ’état initial et on a P=PM, soit:
03,02,07,03,0
2,08,0
qpqpqp
Comme p+q=1 alors
p=0,6 et q=0,4
La liste A gagnera l ’élection.
![Page 27: LES GRAPHES. Introduction L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081518/551d9d8d497959293b8c2940/html5/thumbnails/27.jpg)