Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

CONTROL DE PROCESOS

Manual Del Curso

M.C. Antonio Rodríguez García

Departamento de Control

Revisión 1

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ÍNDICE

CCOONNTTEENNIIDDOO PPAAGGIINNAA Indice ………………………………………………….……………… 2 Introducción …………………………………………….…………… 3 Porciento Incompleto …………………………………….………… 4 Lugar Geométrico De Las Raíces (LGR)………………………… 10 Diagrama de Bode …….…………………………….……………… 14 Diagrama de Nyquist ……………………………….……………… 17 Controladores ……………………………………….……………… 20 Métodos De Sintonía ……………………………….……………… 22 Sistemas Cascada …………………….…………….……………… 31

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INTRODUCCIÓN En este trabajo, se expondrá paso a paso la manera adecuada de analizar un sistema de control a partir de una grafica determinada que nos muestre la respuesta de dicho sistema en el tiempo, de donde iremos obteniendo diversos datos del sistema, como sus constantes de tiempo, su función de transferencia, el comportamiento del sistema ante la frecuencia y la manera correcta de sintonizar nuestro sistema para que trabaje de acuerdo nuestros estándares deseados. También se vera el análisis necesario para la aplicación de algún controlador en los sistemas, además de diferentes métodos de sintonía para los mismos. Por ultimo se hablara acerca de los sistemas de tipo cascada además de su demostración en cuanto a la forma de análisis de los mismos.

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PORCIENTO INCOMPLETO El porciento incompleto es un método gráfico que nos sirve para obtener la función de transferencia de un sistema a partir de su grafico de respuesta a una entrada de tipo escalón. Su base está en graficar el porcentaje de lo que falta para que el proceso se complete con respecto al tiempo. Es decir del 100% del proceso sustraer el porcentaje del proceso que ya se haya completado. La gráfica del porciento incompleto se grafica en una hoja semilogarítmica, donde el porciento incompleto se grafica en el eje vertical; mientras que el tiempo se grafica en el eje horizontal. Para poder realizar la curva denominada como “A” se necesitan tabular los valores del porcentaje del proceso completado, “Y”, y restárselos al 100%. Es decir, que al inicio del proceso tendremos una “Y” de 0% y por lo tanto el porciento incompleto será de un 100%. Una vez con estos datos, veremos también en que tiempo se realiza cada uno de estos puntos para poder así pasarlos al papel semilogarítmico. Ya con la primera curva, tendremos que realizar la curva denominada como “B”. Esta curva se obtiene extendiendo la parte linear de la curva “A” hasta el tiempo 0. Al hacer esto, esta nueva curva tendrá un origen diferente a la primera curva. Este nuevo origen es el denominado punto 1 “P1” La constante de tiempo del sistema se obtiene encontrando el 36.8% de P1. Al encontrar este determinado valor en la grafica podremos ver el valor en el tiempo, y ese será nuestra primera constante de tiempo. Para obtener la segunda constante de tiempo obtendremos la curva “C”, la cual es la diferencia de las curvas “A” y “B” (C= B-A). El punto de origen de esta curva, será nuestro punto 4 y nos ayudará a obtener la segunda constante de tiempo. Para la segunda constante de tiempo hacemos el procedimiento anterior, obteniendo el 36.8% de este punto y encontrando un nuevo punto que nos determinará la segunda constante de tiempo. Para corroborar aproximadamente los resultados, los puntos se pueden obtener en base a las constantes de tiempo obtenidas, es decir:

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Ya que se obtuvieron las dos constantes de tiempo, ya se puede obtener la función de transferencia del sistema tomando en cuenta la siguiente formula.

**NOTA: Este método se utiliza para obtener la función de transferencia de un sistema forzándolo a ser un sistema de segundo orden, ya que si se realiza un análisis detallado del sistema es seguro que este sea de orden superior o muy complejo. A continuación se muestra un ejemplo en el cual se obtendrá la función de transferencia de un sistema a partir de su grafico de respuesta.

** Ejemplo ** A partir del siguiente grafico de la respuesta a una entrada escalón (Step) de un sistema, obtenga su función de transferencia.

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A partir del grafico, se obtienen y tabulan los siguientes valores:

Y 100% - Y T (Min) 0 100 0 10 90 0.6 20 80 0.8 30 70 1.1 40 60 1.5 50 50 2 60 40 2.4 70 30 3 80 20 3.8 90 10 5.2

Ya obtenida nuestra tabla, se grafica nuestra curva “A” en el papel semilogaritmico de la siguiente manera:

Ya graficada nuestra curva “A”, para obtener la curva “B”, se traza una línea recta que toque la mayor cantidad de puntos de la curva “A”, tal y como se muestra en la figura anterior.

Si usted cree necesario, puede obtener más valores para así obtener una mayor resolución y exactitud en el grafico

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Ya que se obtuvo la curva “B”, se obtiene el P1, el cual es el cruce de la curva B en el tiempo cero. Para nuestro ejemplo, el P1 es en 133. Para obtener el P2 (Punto con el cual se obtendrá la primera constante de tiempo), se utiliza la siguiente fórmula:

La primer constante de tiempo, se obtiene según el tiempo que hay en el P2 de cero hasta la curva “A” como se mostro en el grafico anterior, para nuestro ejemplo, la Tao 1 es de 2 minutos. Para obtener la curva “C” primero hay que obtener P3 (el cual nos marca el inicio de la curva “C”), y después se obtiene la diferencia entre la curva B y la curva A:

Después, se continua obteniendo la diferencia entre las curvas B y A, y el resultado de la traza de la curva C nos quedara de la siguiente manera como se muestra en el grafico.

En este caso redondeamos el resultado, con la finalidad de no meternos en problemas con los decimales, ya que se está utilizando una escala logarítmica

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Ya que se obtuvo y grafico la curva “C”, se obtiene P4. Para obtener el P4 (Punto con el cual se obtendrá la segunda constante de tiempo), se utiliza la siguiente fórmula:

La segunda constante de tiempo, se obtiene según el tiempo que hay en el P4 de cero hasta la curva “C” como se mostró en el grafico anterior, para nuestro ejemplo, la Tao 2 es de 0.5 minutos. Para comprobar nuestros resultados, se pueden utilizar las siguientes formulas:

Redondeamos el resultado, con la finalidad de no meternos en problemas con los decimales, ya que se está utilizando una escala logarítmica

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Según las ecuaciones, se comprobó que nuestros puntos obtenidos son correctos, ya con esto, se puede obtener nuestra función de transferencia mediante la siguiente ecuación:

La K se obtiene mediante la relación de la entrada escalón que le suministramos al sistema y la salida que obtenemos en estado estable. Para este caso supóngase que nuestro escalón fue de 100%, por lo tanto:

Por lo tanto la función de transferencia seria:

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LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

(LGR) En el lugar geométrico de las raíces podemos obtener diversos datos del comportamiento del sistema a diversas ganancias. En que momento se alcanza, si es posible, la inestabilidad, donde se localizan sus polos, sus ceros, como afectan estos al sistema, etc. A continuación se mostrara el método para obtener el LGR de un sistema mediante un ejemplo.

** Ejemplo ** Utilizando la ecuación obtenida en el punto del Porciento Incompleto, se obtiene:

** Puntos de Inicio ** Las trayectorias de LGR empiezan en los polos de GH(s).

Polos = 2 Localizados en -0.5 y -2

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** Puntos de Fin ** Las trayectorias del LGR terminan en los ceros del GH(s).

No hay ceros

** Número, Centro y Ángulo de las Asíntotas ** Cuando hay ceros en el infinito se identifican por asíntotas:

No. Asíntotas = (NP ‐ NZ) No. Asíntotas = 2 – 0 No. Asíntotas = 2 

** Punto de Quiebre (σq) ** Lugar en el eje real donde las trayectorias se juntan o separan: Se despeja K de 1 + GH(s) = 0 Se deriva con respecto a s: dk/ds = 0, se obtienen las raíces Se iguala a cero dk/ds y se obtienen raíces De los valores obtenidos en dk/ds se determinan los puntos de quiebre

NP = # Polos NZ = # Ceros

Valor obtenido al sustituir los valores de “n” en la ecuación

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Nótese que el punto de quiebre y el centro de las asíntotas, coinciden en el mismo punto, para este ejemplo.

** Ganancia de Quiebre (Kq) ** Esta es la ganancia en la cual el sistema empieza a tener componente en el eje imaginario (ganancia en la cual llega el sistema al punto de quiebre) Se sustituyen los valores de los puntos de quiebre en la ecuación de K obtenida anteriormente.

La raíz obtenida, es el punto de quiebre o ruptura.

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Ya con los puntos anteriores, se puede obtener nuestro grafico de LGR de nuestro sistema, el cual nos quedaría de la siguiente forma

** Ganancia Crítica (Kc) ** Es la ganancia requerida requiere para que la trayectoria cruce el eje imaginario; es decir que el sistema sea críticamente estable. Se determina usando el criterio de Routh-Hurwitz, el cual nos establece un rango de estabilidad. En los límites de ese rango está la ganancia crítica.

** Frecuencia Crítica (ωc) ** Lugar en el eje imaginario en donde cruza una trayectoria. Se determina sustituyendo Kc en la ecuación auxiliar de segundo orden y resolviendo.

El grafico anterior fue obtenido con la ayuda del software MATLAB, con la finalidad de comprobar los resultados obtenidos anteriormente

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DIAGRAMA DE BODE El diagrama de Bode nos muestra el comportamiento de la respuesta en frecuencia del sistema en base a una determinada ganancia. Las gráficas de bode consisten en graficar el logaritmo de la magnitud de la función de transferencia contra la frecuencia y el ángulo de fase contra la frecuencia. La ventaja de este método es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma y además cuenta con un método simple, para dibujar una curva aproximada de magnitud logarítmica, basado en aproximaciones asintóticas. A continuación se muestra con un ejemplo como se obtienen las trazas de bode.

** Ejemplo ** Utilizando la ecuación obtenida en el punto del Porciento Incompleto, se obtiene:

Para obtener Bode, es necesario pasar nuestra ecuación en función de “S” a una ecuación en función de la frecuencia.

Ya que obtuvimos nuestra ecuación en función de la frecuencia, obtenemos nuestras ecuaciones respectivas para dibujar bode, las cuales son la ecuación característica para obtener magnitud (esta será en decibeles) y la ecuación para obtener el ángulo de fase del sistema

Se utilizara una K=1 según lo antes mencionado con respecto a la K del sistema, según lo mencionado al final de la sección correspondiente del Porciento Incompleto

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** Ecuación de Magnitud **

** Ecuación de Fase **

Ya obtenidas las ecuaciones de magnitud y fase, se sustituyen los valores de frecuencia por décadas, para obtener la siguiente tabulación.

ω 0.1 -0.1811 -14.1723 0.3 -1.4320 -39.4945 0.5 -3.2735 -59.0362 0.7 -5.2147 -73.7523 1 -7.9588 -90 3 -20.8008 -136.84 5 -28.6465 -152.4879 7 -34.1668 -159.9689 10 -40.1811 -165.8276 30 -59.1053 -175.2310 50 -67.9661 -177.1364 70 -73.8076 -177.9517 100 -80.0018 -178.5677 300 -99.0850 -179.5225 500 -107.9588 -179.7135 700 -113.8039 -179.7953

Si usted cree necesario, puede obtener más valores para así obtener una mayor resolución y exactitud en los gráficos

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Ya que obtuvimos nuestra tabulación, ya se pueden realizar nuestras trazas de Bode. ** NOTA: Las valores que se obtuvieron, fueron para las trazas de bode en LAZO ABIERTO, esto debido a que se utilizo nuestra ecuación de función de transferencia en lazo abierto, para obtener las trazas de bode para lazo cerrado, es necesario pasar la función de transferencia en lazo cerrado y obtener las ecuaciones de bode de la forma que se mostro en este punto.

Ya con el grafico, se puede determinar el margen de fase y el margen de ganancia de nuestro sistema.

El grafico anterior fue obtenido con la ayuda del software MATLAB, con la finalidad de comprobar los resultados obtenidos anteriormente

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DIAGRAMA DE NYQUIST A diferencia de las trazas de Bode, el diagrama de Nyquist es obteniendo las ecuaciones de magnitud sin ser expresadas en decibeles, y la relación de magnitud y fase se dibuja en un mismo grafico, no como en las trazas de Bode que se obtenían dos gráficos, el cual es el plano cartesiano de “S”, en el cual el eje horizontal es la componente real y el vertical la parte imaginaria desde una frecuencia de cero hasta infinito. A continuación se muestra con un ejemplo como se obtienen las trazas de Nyquist.

** Ejemplo ** Utilizando la ecuación obtenida en el punto del Porciento Incompleto, se obtiene:

Para obtener Nyquist, es necesario pasar nuestra ecuación en función de “S” a una ecuación en función de la frecuencia.

Ya que obtuvimos nuestra ecuación en función de la frecuencia, obtenemos nuestras ecuaciones respectivas para dibujar Nyquist, las cuales son la ecuación característica para obtener magnitud y la ecuación para obtener el ángulo de fase del sistema

Se utilizara una K=1 según lo antes mencionado con respecto a la K del sistema, según lo mencionado al final de la sección correspondiente del Porciento Incompleto

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** Ecuación de Magnitud **

** Ecuación de Fase **

Ya obtenidas las ecuaciones de magnitud y fase, se sustituyen los valores de frecuencia desde cero hasta infinito para obtener la siguiente tabulación. **TIP: Como el sistema que se va a graficar, es de segundo orden, el grafico de Nyquist que se obtendrá no será muy complejo, por lo tanto una forma de graficarlo sencillamente es obteniendo los valores para los cuales se obtiene un ángulo de 0, -90, -180 principalmente, o bien los cruces por los ejes del plano.

ω Im+Re 0 1 0 0i + 1 - - 90 - 1 -3.2735 -90 -0.4i + 0

Infinito 0 -180 0i + 0 - - 180 -

Si usted cree necesario, puede obtener más valores para así obtener una mayor resolución y exactitud en los gráficos

La sección de “Im + Re” se obtiene convirtiendo la magnitud y fase de su forma polar, a la forma rectangular Estos valores rectangulares, serán los que se emplearan para graficar Nyquist

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Ya que obtuvimos nuestra tabulación, ya se pueden realizar nuestras trazas de Nyquist.

Ya con el grafico, se puede determinar el margen de fase y el margen de ganancia de nuestro sistema.

El grafico anterior fue obtenido con la ayuda del software MATLAB, con la finalidad de comprobar los resultados obtenidos anteriormente, en MATLAB se obtiene el diagrama de Nyquist desde menos infinito hasta más infinito, es por eso que se ve un grafico doble o de espejo, en la figura anterior

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CONTROLADORES Un controlador nos ayuda a mejorar las características de un sistema además de reducir o eliminar el error en estado estable del mismo. A continuación se mostraran las ecuaciones generales de un controlador PID, a partir de estas, se puede obtener las ecuaciones de un controlador P, I, D, PI y PD según la sección que sea omitida del mismo

Ecuación en función de ganancias

Ecuación en función de tiempos

Cuando se aplica un controlador a un sistema, es necesario utilizar el análisis de las ecuaciones de Error en Estado Estable, ya que si el sistema ya con un controlador aplicado, presenta error en estado estable, significa que no podrá ser controlado y por lo tanto el controlador no es el adecuado. A continuación se muestra un ejemplo en el cual se utilizara un controlador PI

** Ejemplo ** Utilizando la ecuación obtenida en el punto del Porciento Incompleto, se obtiene:

La ecuación de un controlador PI es la siguiente (Función de ganancias):

Por lo tanto nuestra nueva ecuación del sistema será:

Siendo nuestro sistema en lazo cerrado con retroalimentación unitaria, para determinar si nuestro controlador es el adecuado para nuestro sistema, encontraremos su error en estado estable al aplicarle un escalón unitario como entrada al sistema.

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Como el error en estado estable para nuestro sistema al aplicarle un controlador PI resulto ser cero para una entrada escalón, significa que nuestro controlador va a funcionar debidamente al aplicarle una entrada escalón. Para obtener los resultados deseados en el comportamiento, es necesario analizar métodos de sintonía.

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MÉTODOS DE SINTONÍA Los métodos de sintonía nos sirven para que nuestro sistema tenga una mejor respuesta conforme a lo que nosotros deseamos que realice. A continuación se presentan cuatro métodos los cuales serán aplicados al sistema con el que hemos estado trabajando, para así obtener una respuesta más rápida en nuestro sistema. Lamentablemente no todos los métodos son idóneos para todos los sistemas, existen métodos que son mejores para determinado sistema que otros. El controlador que se utilizara será un PID, en este punto no se mostraran los análisis necesarios de Error en estado estable con la finalidad de hacer menos extenso este punto, pero no hay que olvidar que es necesario realizarlas para determinar si el controlador funcionara; Para el sistema que se mostrara, se encontró que el error en estado estable (Ess) del controlador PID es de cero.

Método a Prueba y Error Primero se coloca nuestro sistema en operación normal de forma manual, una vez hecho esto, pasamos nuestro controlador en modo automático y aplicamos un cambio de tipo escalón en el “Set Point” y observamos el comportamiento en la salida. Dependiendo el comportamiento que se haya obtenido será la forma de sintonizar nuestro controlador. A continuación se muestra un grafico en el cual se puede observar como afectarían las componentes proporcional, integral y derivativa en la respuesta de nuestro sistema.

Según los parámetros deseados en el comportamiento del sistema, será la forma de decidir la forma en que se deberá sintonizar nuestro sistema. Para demostrar este método de sintonía, se adjuntara con el siguiente método (Mapas de sintonía) ya que es necesario utilizar la prueba y error en conjunto de los mapas de sintonía para poder sintonizar un sistema

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Mapas de sintonía Asumiendo que nuestro sistema se encuentra controlado y nuestro controlador se encuentra en modo automático. En este método los ajustes de sintonía se basan más en la experiencia y entrenamiento de prueba y error. A continuación se mostrara una tabla la cual nos mostrara que tipo de ajustes serán necesarios en nuestra sintonía según el comportamiento del sistema.

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A continuación se enunciaran los pasos a seguir en este método de sintonía

1. Determinar cual mapa de sintonía se aproxima a nuestra grafica obtenida del sistema

2. Seleccionar el mapa de sintonía que, según nuestro juicio, es más satisfactoria para la respuesta deseada.

3. Ajustar la banda proporcional, integral y derivativa en la dirección indicada en el mapa de sintonía para obtener nuestro comportamiento del sistema de la manera más satisfactoria.

A continuación se muestra un ejemplo en el cual se utilizara este método de sintonía.

** Ejemplo ** Nuestro sistema a sintonizar será el obtenido en el punto del Porciento Incompleto con un controlador PID:

Primeramente le asignamos valores arbitrarios a nuestro controlador y analizamos su respuesta, como se muestra en la siguiente figura:

La sintonía se realizara con la ayuda del software SIMULINK de MATLAB El controlador PID de SIMULNK trabaja con valores de ganancias

P= 13 I= 0.5 D= 0.12

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Como se puede ver en el grafico anterior, se aprecia que se tarde en llegar a su estado estable, para corregir eso, es necesario reducir nuestro tiempo de integración, como SIMULINK trabaja con ganancias, esto equivale a aumentar la ganancia de integración; al haber reasignado valores, se obtiene lo siguiente.

En el grafico anterior, aparentemente el sistema luce mejor, con dichos valores se puede considerar el sistema sintonizado, pero intentaremos encontrar una mejor respuesta, una más rápida, para esto dejaremos la ganancia de integración tal y como se encuentra, aumentaremos la ganancia proporcional y le aumentaremos un poco la ganancia derivativa para ver el comportamiento del sistema.

Ya con estos valores se puede considerar el sistema sintonizado y con un mejor tiempo de respuesta a comparación del obtenido con los valores mostrados anteriormente.

P= 5 I= 3 D= .3

P= 10 I= 3 D= 1.5

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Ziegler-Nichols Este método se puede aplicar cuando la respuesta del sistema ante un escalón unitario presenta en su gráfica una forma de “s”. Para este método ocuparemos encontrar gráficamente el tiempo de retardo “L” y la constante de tiempo “T”; las cuales se sabrán al proyectar una línea tangente en el punto de inflexión de la curva desde el 0 hasta el valor del escalón. De esta manera nuestra gráfica quedara dividida en dos y siendo la primera parte el retardo y la segunda hasta el punto donde cruza el escalón la constante de tiempo. Mediante este método podemos encontrar los valores de los controladores gracias a unas tablas de formulas, las cuales pueden variar según de la forma de resolver este método. A continuación se muestra la tabla con las formulas de valores para los diversos controladores:

Tipo de Controlador

Kp Ti Td

P T/L ∞ 0 PI .9 T/L L/0.3 0

PID 1.2 T/L 2L 0.5L A continuación se muestra un ejemplo en el cual se utilizara este método de sintonía.

** Ejemplo ** A continuación se muestra el grafico obtenido del sistema al aplicarle una entrada escalón.

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Ya teniendo nuestro grafico de respuesta a un escalón, se traza una línea recta por su punto de inflexión (Punto en el cual tiende a hacer forma de S) la cual toque la mayor cantidad de puntos posibles, tal y como se muestra en la figura anterior. A partir de esa traza se determina nuestra “L” y nuestra “T”

L= 0.25, T= 2.85 Aplicando nuestra tabla para un controlador PID Se obtiene que:

Tipo de Controlador

Kp Ti Td

P T/L ∞ 0 PI .9 T/L L/0.3 0

PID 1.2 T/L 2L 0.5L

Kp = 13.68 Ti = 0.5 seg/rep Td = 0.125 seg/rep Debido a que el controlador PID de SIMULINK opera con ganancias, los valores a utilizar serian:

L T

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Con los valores obtenidos se obtiene lo siguiente:

Según este método, se puede considerar con dichos valores que nuestro sistema se encuentra sintonizado, pero como se puede observar, se puede lograr una mejor sintonía del sistema. Para mayor detalle ver métodos de Prueba y Error y Mapas de Sintonía.

Ultimo periodo Para este método nuestro sistema debe ser de lazo cerrado. Este método se basa en hacer oscilar nuestro sistema con una ganancia unitaria para obtener nuestros valores de sintonía. El procedimiento es el siguiente

1. Poner el tiempo de integración al máximo 2. Poner el tiempo derivativo en el mínimo 3. Poner la banda proporcional al máximo 4. Poner el controlador en modo automático 5. Reduzca la banda proporcional hasta que el sistema empiece a oscilar con

una ganancia unitaria (Ultima banda proporcional, Bu) y con una amplitud A lo más pequeña posible.

6. Mida el periodo de oscilación, Tu 7. Ajuste las configuraciones de la siguiente forma:

P= 13.68 I= 27.36 D= 1.71

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a. Para un controlador únicamente proporcional, B=2Bu para un 0.25 de amortiguamiento. Si el controlador tiene unidades de ganancia, la ganancia deberá ser uno y medio del valor que causo la oscilación.

b. En los tres modos de controlador, en el cual la integral está en fase con la contante de tiempo, la componente integral y derivativa deberán tener los mismos valores de tiempo. Esto deberá de producir un desfasamiento mínimo. Tiempo integral = Tiempo derivativo = Tu/2π o aproximadamente Tu/6

c. Despues de que son establecidos los tiempos de la integral y derivativa, ajuste la banda proporcional o ganancia para obtener el amortiguamiento deseado. Si se desea un amortiguamiento del 0.25, B= aproximadamente 1.77Bu.

A continuación se muestra un ejemplo en el cual se utilizara este método de sintonía.

** Ejemplo ** Nuestro sistema a sintonizar será el obtenido en el punto del Porciento Incompleto con un controlador PID:

Primero se hace oscilar nuestro sistema según los parámetros mencionados por el método (Tiempo derivativo en cero y el integral al máximo, después ir bajando la banda proporcional), como SIMULINK trabaja con ganancias, en el caso de la banda proporcional, el bajarla, implica tener una ganancia menor. Según lo mencionado, se obtuvo lo siguiente:

La sintonía se realizara con la ayuda del software SIMULINK de MATLAB El controlador PID de SIMULNK trabaja con valores de ganancias

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Con el grafico anterior se puede observar que se tienen los siguientes valores:

Tu= 4 Seg Bu=3 Los valores que se deberán utilizar en el controlador son los siguientes, según los cálculos sugeridos por el método:

Td = Ti= 0.5 seg/rep , Bu= 6 Debido a que el controlador PID de SIMULINK opera con ganancias, los valores a utilizar serian:

D = 0.5 seg , I = 2 rep/seg , Bu= 6 Con los valores obtenidos se obtiene lo siguiente:

Según este método, se puede considerar con dichos valores que nuestro sistema se encuentra sintonizado, a diferencia de los demás métodos, este obtuvo una mejor sintonía de una manera mas rápida y eficiente de tiempo requerido, pero la única desventaja de este método es que no siempre se puede utilizar en campo, debido a la necesidad de producir oscilaciones en los sistemas.

P= 3 I= 10 D= 0

P= 6 I= 2 D= 0.5

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SISTEMAS CASCADA La finalidad de este tipo de sistemas es la de controlar rápidamente las variables intermedias, corrigiendo el efecto de las perturbaciones de entradas antes de que estas afecten a la salida del proceso. La estructura básica es la siguiente:

Para poder realizar un sistema tipo cascada, se deben tener la siguiente característica; la dinámica (constante de tiempo) del lazo interno debe ser mucho más rápida que la del lazo externo. A continuación se muestra con un ejemplo la forma de analizar este tipo de sistemas:

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** Ejemplo ** Nuestro sistema a sintonizar será el siguiente:

Este es un sistema cascada en el cual, el proceso esclavo cuenta con dos constantes de tiempo de 0.2 min y 0.05 min respectivamente y el proceso maestro también cuanta con dos constantes de tiempo de 2 min y 0.5 min. Para el análisis y sintonía de este tipo de sistemas, es necesario analizar primero el sistema de mayor rapidez primero. Para sintonizar este sistema primero se analizara el proceso esclavo.

Una vez sintonizado nuestro sistema esclavo, se pasara a sintonizar el controlador maestro ya con el controlador esclavo sintonizado. El método de sintonización que se utilizara será el de último periodo, esto con la finalidad de facilitar el trabajo, además que con la ayuda del programa SIMULINK de Matlab, este método se puede utilizar sin ningún problema.

Ultimo periodo (Recordando el método) Para este método nuestro sistema debe ser de lazo cerrado. Este método se basa en hacer oscilar nuestro sistema con una ganancia unitaria para obtener nuestros valores de sintonía. El procedimiento es el siguiente

1. Poner el tiempo de integración al máximo 2. Poner el tiempo derivativo en el mínimo 3. Poner la banda proporcional al máximo 4. Poner el controlador en modo automático 5. Reduzca la banda proporcional hasta que el sistema empiece a oscilar con

una ganancia unitaria (Ultima banda proporcional, Bu) y con una amplitud A lo más pequeña posible.

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6. Mida el periodo de oscilación, Tu 7. Ajuste las configuraciones de la siguiente forma:

a. Para un controlador únicamente proporcional, B=2Bu para un 0.25 de amortiguamiento. Si el controlador tiene unidades de ganancia, la ganancia deberá ser uno y medio del valor que causo la oscilación.

b. En los tres modos de controlador, en el cual la integral está en fase con la contante de tiempo, la componente integral y derivativa deberán tener los mismos valores de tiempo. Esto deberá de producir un desfasamiento mínimo. Tiempo integral = Tiempo derivativo = Tu/2π o aproximadamente Tu/6

c. Despues de que son establecidos los tiempos de la integral y derivativa, ajuste la banda proporcional o ganancia para obtener el amortiguamiento deseado. Si se desea un amortiguamiento del 0.25, B= aproximadamente 1.77Bu.

Para nuestro sistema esclavo se presentaron los siguientes resultados

Por lo tanto los valores obtenidos son los siguientes:

Tu= 0.5 seg , Bu= 1

Los valores que se deberán utilizar en el controlador son los siguientes, según los cálculos sugeridos por el método:

P= 1 I= 50 D= 0

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Ti= 0.083 seg/rep , Bu= 1.77 Debido a que el controlador PID de SIMULINK opera con ganancias, los valores a utilizar serian:

I= 12 rep/seg , Bu= 1.77

Debido a que nuestro sistema es demasiado rápido, no será necesario aplicar una acción derivada en el controlador. El grafico del sistema esclavo sintonizado es el siguiente:

Ya que tenemos nuestro sistema esclavo sintonizado, ya se puede sintonizar el sistema maestro. Siguiendo utilizando el método del último periodo, se muestran los siguientes resultados:

Por lo tanto los valores obtenidos son los siguientes:

Tu= 4 seg , Bu= Indefinido

P= 1.77 I= 12 D= 0

P= 0.0001 I= 10

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Los valores que se deberán utilizar en el controlador son los siguientes, según los cálculos sugeridos por el método:

Ti= 0.66 seg/rep , Bu= indefinido

Debido a que el controlador PID de SIMULINK opera con ganancias, los valores a utilizar serian:

I= 1.5 rep/seg , Bu= Indefinido

En el grafico anterior se observo que el sistema no se logro hacer oscilar de forma unitaria, por lo tanto para esta etapa del sistema, no se puede utilizar el método de último periodo, así que se tendrá que asignar el valor de la ganancia y de ser necesario cambiar los valores de sintonía por medio de la ayuda de los métodos de prueba y error y de los mapas de sintonía.

En el grafico anterior se observa que nuestra respuesta es muy lenta, para mejorar esto, aumentaremos la ganancia integral y se aumentara la ganancia proporcional además de aplicarle una derivada pequeña.

En el grafico anterior se puede observar que la estabilización del sistema se encuentra amortiguada, para esto se le reducirá la acción derivativa y se aumentara ligeramente la integral y la proporcional

P= 1 I= 1.5 D= 0

P= 4 I= 2 D= 1

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Ya con este último grafico se puede concluir que ya nuestro Proceso en cascada se encuentra debidamente sintonizado.

P= 5 I= 2.2 D= 0.5