lectures in applied econometrics 13

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13

1/16

Κ εφάλαιο 13. Υποδείγματα

Χρονολογικών Σειρών

Στο κεφάλαιο 4 μας απασχόλησε η αυτοσυσχέτιση. Ποια άλλααπλά σχήματα αυτοσυσχέτισης μπορούμε άραγε να θεωρήσουμε

στην πράξη !ς υποθέσουμε ότι έχουμε μια τυχα"α σειρά t u . Στην

πράξη# φυσικά# $εν μπορούμε να ξέρουμε αν η σειρά ε"ναι τυχα"α ήόχι. % συγκεκριμένη σειρά# ας υποθέσουμε ότι ε"ναι οι ημερήσιεςαπο$όσεις μιας μετοχής.

&ια να κατανοήσουμε καλύτερα τη σειρά και να 'απομακρύνουμε(ή να 'απομον)σουμε( τις τυχα"ες μετα*ολές της +θεωρ)νταςφυσικά ότι $εν έχουμε μια τυχα"α σειρά, θα μπορούσαμε να

υπολογ"σουμε κινητούς μέσους της σειράς. % $ια$ικασ"α τωνκινητ)ν μέσων +moving average, λέει το εξής. !ν έχουμε μια σειρά

με τιμές 1u # 2u και 3u θα μπορούσαμε να την αντικαταστήσουμε με

την νέα σειρά ( )1 2 / 2u u+ και ( )2 3 / 2u u+ . -αμ*άνοντας μέσους#

ελπ"ουμε να $ούμε $ιαγραμματικά κάποιο πρότυπο πουεν$εχόμενα υπάρχει στη σειρά. % λογική της $ια$ικασ"ας ε"ναι ότιοι μέσοι έχουν την ι$ιότητα να αφαιρούν τις τυχα"ες μετα*ολέςκαι να επικεντρ)νονται στην 'ουσ"α( της σειράς.

!ς υποθέσουμε# λοιπόν# ότι η αρχική σειρά ε"ναι ( )~ 0, 1t u N και

θεωρούμε τον κινητό μέσο / και 01 ημερ)ν# αν έχουμε συνολικά /1παρατηρήσεις. 2α αποτελέσματα φα"νονται στο επόμενο$ιάγραμμα.

RNDSEED 11GENR U=NRNDGENR MA5=@MOVAV(U,5)GENR MA10=@MOVAV(U,10)PLOT U MA5 MA10

2


2/16

-3

-2

-1

0

1

2

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

U MA5 MA10

2ο αποτέλεσμα ε"ναι ότι παρόλο που ξεκινήσαμε από μια τυχα"ασειρά# η $ια$ικασ"α των κινητ)ν μέσων έχει παράξει σειρές στιςοπο"ες προφαν)ς υπάρχει εξάρτηση# $ηλα$ή $ομή ή$ιάρθρωση+structure,. 3α"νεται# για παρά$ειγμα# ότι οι απο$όσεις$εν ε"ναι παρά τετραγωνικές συναρτήσεις του χρόνου 2ο γεγονόςαυτό# ανακαλύφθηκε από τον στατιστικό U. Yule# στη $εκαετ"α του561 και φυσικά# ο$ήγησε στην απόρρι7η του κινητού μέσου# σαν$ια$ικασ"ας εξομάλυνσης μιας σειράς.

8στόσο# η $ια$ικασ"α του κινητού μέσου είναι σε θέση να μας$)σει ένα απλό σχήμα αυτοσυσχέτισης# εναλλακτικό τουαυτοπαλ"ν$ρομου σχήματος. 2ο σχήμα του κινητού μέσου $υοπεριό$ων# $εν ε"ναι παρά9

1 1

12 2 =

t t t v u u

−+ .

2ο σχήμα του κινητού μέσου τρι)ν περιό$ων# ε"ναι9

1 1 1

1 23 3 3 =

t t t t v u u u

− −+ + .

:εν ε"ναι $ύσκολο να θεωρήσουμε γενικεύσεις. &ια παρά$ειγμα#μπορούμε να θεωρήσουμε σταθμικούς μέσους και να έχουμε9

1 2 1 =t t t v u uθ θ −+ .

3


3/16

Σε μια τέτοια $ια$ικασ"α στάθμισης# ε"ναι λογικό να έχουμε

1 21θ θ + = # αλλά αυτό $εν ε"ναι ουσι)$ες. ;πορούμε να

υιοθετήσουμε μια εναλλακτική τυποπο"ηση# για παρά$ειγμα 1 1θ =

και να έχουμε το +εν$εχόμενα απλούστερο, σχήμα9

1 =

t t t v u uθ

−+ .


4/16

Παρόμοια# θα μπορούσαμε να συν$υάσουμε τα υπο$ε"γματα ( ) AR p

και ( ) MA q στο γενικότερο υπό$ειγμα# που λέγεται ( ), ARMA p q και

έχει τη μορφή9

1 1 2 2 1 1 2 2 =

t t t p t p t t t q t qu u u u ρ ρ ρ ε θ ε θ ε θ ε

− − − − − −+ + + + + + + +

6 4 4 4 4 7 4 4 4 4 8 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48

L L

αυτοπαλ"ν$ρομο τμήμα τμήμα κινητού μέσου

.

3υσικά# τα t u ε"ναι τα σφάλματα της παλιν$ρόμησης# $ηλα$ή

t t t u y xβ = − και το t ε ε"ναι μια τυχα"α σειρά# με κατανομή

( )2~ 0,t N ε ε σ .

Στην οικονομετρ"α# υπάρχουν $υο χρήσεις των υπο$ειγμάτων

?@A?9

o Σαν σχήματα αυτοσυσχέτισης σε εξισ)σεις παλιν$ρόμησης.

o Σαν υπο$ε"γματα πρό*λε7ης όταν η σειρά t u ε"ναι

παρατηρούμενη.

% $εύτερη χρήση# ε"ναι επιθυμητή όταν $εν έχουμε οικονομική

θεωρ"α για να περιγρά7ουμε τα t u και θα πρέπει# παρόλα αυτά# να

προ*λέ7ουμε τις μελλοντικές τιμές τους. Στην περ"πτωση αυτή# τα

υπο$ε"γματα ?@A? ε"ναι μια καλή 'αγνωστικιστική( λύση στοπρό*λημα της πρό*λε7ης# όταν $ιαρθρωτικά οικονομικάυπο$ε"γματα $εν ε"ναι $ιαθέσιμα ή ε"ναι "σως $ιαθέσιμα αλλά δεν

επιθυμούμε να τα χρησιμοποιήσουμε. Bταν η σειρά t t u X ≡ ε"ναι

παρατηρούμενη# το σχετικό υπό$ειγμα# ε"ναι9

1 1 2 2 1 1 2 2 =

t t t p t p t t t q t q X X X X ρ ρ ρ ε θ ε θ ε θ ε

− − − − − −+ + + + + + + +

6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48

L L

αυτοπαλ"ν$ρομο τμήμα τμήμα κινητού μέσου.

2α ητούμενα# πρέπει να ε"ναι περ"που προφανή9

o Πως γ"νεται η εκτ"μηση των παραμέτρωνo Πως επιλέγουμε τα p και q

o Πως πραγματοποιούνται οι προ*λέ7εις του t X


5/16

>α πρέπει# πριν προχωρήσουμε παρακάτω# να επισημάνουμε ένα

*ασικό ήτημα. !κόμη κι5 αν έχουμε το απλό σχήμα ( )1 AR της

μορφής9 1t t t X X ρ ε −= + # το οπο"ο $εν ε"ναι παρά ( )1,0 ARMA # θα πρέπει

να έχουμε 1 1 ρ − < < # $ηλα$ή 1 ρ < . :ηλα$ή# η σειρά t X # θα πρέπεινα ε"ναι στάσιμη.

;ια σειρά λέγεται ασθενώς στάσιμη +weakly stationary , αν έχει$ιαχρονικά τον "$ιο μέσο και την "$ια $ιακύμανση.

!ν μια σειρά έχει τάση# $εν μπορε" να ε"ναι στάσιμη# εφόσον ομέσος της μετα*άλλεται $ιαχρονικά.

!ν μια σειρά έχει χρονικά μετα*αλλόμενη $ιακύμανση# επ"σης

$εν μπορε" να ε"ναι στάσιμη.

Τα υποδείγματα !" μπορο#ν να $ρησιμοποιηθο#ναποκλειστικά σε σ$%ση με στάσιμες σειρ%ς. 8στόσο# στηνπραγματικότητα# πολλές οικονομικές χρονολογικές σειρές έχουντάση κι5 έτσι $εν μπορούμε να εφαρμόσουμε απευθε"ας τημεθο$ολογ"α των υπο$ειγμάτων ?@A?. Cρισμένα παρα$ε"γματαφα"νονται στα επόμενα. Στον οριόντιο άξονα μετράμε τον χρόνοκαι στον κάθετο την τιμή της σειράς.

;ια παλαιότερη *ι*λιογραφ"α έχει 'λύσει( αυτό το πρό*λημα μ5έναν σχετικά απλό τρόπο# ο οπο"ος σήμερα ξέρουμε ότι $εν μπορε"να γ"νει απο$εκτός9 !πλά θεωρούμε αρκετές $ιαφορές της σειράς

t X # )στε να γ"νει στάσιμη και στη συνέχεια εφαρμόουμε τα

υπο$ε"γματα ?@A?.

6


6/16

&ια παρά$ειγμα# αν η σειρά έχει γραμμική τάση της μορφής

t Y t α β = + × # λαμ*άνοντας πρ)τες $ιαφορές θα έχουμε9

1t t t X X X β −∆ = − = και επομένως η σειρά θα έχει σταθερό μέσο *#

αγνο)ντας τα σφάλματα.

!ν η σειρά έχει μια $ευτερο*άθμια τάση της μορφής92

t Y t t α β γ = + × + × # η πρ)τη παράγωγος ε"ναι 2 t β γ + × και η $εύτερη

παράγωγος ε"ναι 2γ # $ηλα$ή σταθερά. 3υσικά# η παραγ)γιση καιοι πρ)τες $ιαφορές# ε"ναι 'παραπλήσιες( $ια$ικασ"ες# πράγμα πουαφήνεται σαν άσκηση.


7/16

όπου ( ) 21 21 p

p A L L L L ρ ρ ρ = − − − −L και ( )2

1 21 q

q B L L L Lθ θ θ = + + + +L $εν

ε"ναι παρά πολυ)νυμα του τελεστή L .

2ο υπό$ειγμα ( , , ARIMA p d q # μπορε" να γραφε" στη μορφή9

( ) ( ) ( )1 =d

t t A L L X B L ε − ή

( ) ( ) =t t A L x B L ε # όπου ( )1 d

t t x L X = − .

1. &κτίμηση τ'ν υποδειγμάτ'ν !"

% εκτ"μηση ενός υπο$ε"γματος ( ) AR p της μορφής9

1 1 =t t p t p t X X X α ρ ρ ε − −+ + + +L

#

μπορε" να γ"νει με τη μέθο$ο EF και να έχουμε συνεπε"ς εκτιμητές#αρκε" τα σφάλματα να μην αυτοσυσχετ"ονται.

% εκτ"μηση ενός υπο$ε"γματος ( )1 MA της μορφής9

1 =t t t X ε θε −+ #

ε"ναι επ"σης απλή αν λύσουμε ως προς t ε # για να έχουμε9

1 =t t t X ε θε −− # για κάθε 1, ,t n= L .

!ν υποθέσει κανε"ς ότι 0 0ε = # τότε πρέπει να έχουμε96

1 1 0 1 = = X X ε θε − #

2 2 1 2 1 = = X X X ε θε θ − − #

( ) 23 3 2 3 2 1 3 2 1 = = = X X X X X X X ε θε θ θ θ θ − − − − + # κτλ.

2ο ουσι)$ες ε"ναι ότι (λα τα t ε μπορούν να υπολογισθούν σαν

συνάρτηση του θ και επομένως μια λογική εκτ"μηση του θ# $ενε"ναι παρά εκε"νη η οπο"α ελαχιστοποιε" το άθροισμα των

τετραγ)νων των σφαλμάτων9 ( ) 2 2 2 21 21 = =n

t nt S θ ε ε ε ε

= + + +∑ L .

3υσικά# η εκτ"μηση απαιτε" τη χρήση μη γραμμικ)ν μεθό$ων+γιατ", αλλά μπορε" να γ"νει εύκολα με τη *οήθεια τουπρογράμματος EViews.

2 "#σικά, $% &'ο% ε δεν )*ο#+ε &α'ά +ια γ'α++ική ε-σ$ση διαφο'ν &'το# α+ο.


8/16

% εκτ"μηση ενός υπο$ε"γματος ( ), ARMA p q $εν απαιτε" παρά

συν$υασμό των $υο τεχνικ)ν κι5 επομένως το ήτημα τηςεκτ"μησης τέτοιων υπο$ειγμάτων έχει πλήρως λυθε". 2α

υπο$ε"γματα ( ), , ARIMA p d q $εν προσθέτουν καμιά τεχνική

$υσκολ"α# εφόσον απλά πρέπει να θεωρήσουμε d $ιαφορές τηςαρχικής σειράς# να κατασκευάσουμε τη νέα σειρά

( )1 d d

t t t x X L X = ∆ = − και να εκτιμήσουμε το υπό$ειγμα ( ), ARMA p q .

). &πιλογ* τ'ν p και q


9/16

3υσικά# $εν ε"ναι τ"ποτε άλλο παρά η επ"$ραση του t m X − στο t X #

με $ε$ομένες των τιμές των υπόλοιπων χρονικ)ν υστερήσεων. &ια

παρά$ειγμα# ο συντελεστής 1ϕ # ε"ναι η επ"$ραση του 1t X − στο t X #

με $ε$ομένα όμως τα 2 , ,t t p X X − −L .

Ποια ε"ναι η *ασική $ιάκριση μεταξύ mr και mϕ % απάντηση ε"ναι

απλή. 2ο 2r ε"ναι ο συντελεστής ελαχ"στων τετραγ)νων στην

παλιν$ρόμηση9

2 2 =t t t X r X eα −+ + .

2ο 2ϕ # ωστόσο# ε"ναι ο συντελεστής ελαχ"στων τετραγ)νων στην

παλιν$ρόμηση9

1 1 2 2 =t t t p t p t X c X X X eϕ ϕ ϕ − − −+ + + + +L .

!ν η σειρά t X έχει κάποιο *αθμό αυτοσυσχέτισης# τότε τα mϕ και

mr ε"ναι προφαν)ς $ιαφορετικά πράγματα. 2ο 2r # ε"ναι ο απλ(ς

συντελεστής αυτοσυσχέτισης μεταξύ t X και 2t X − . 2ο 2ϕ # ε"ναι ο

συντελεστής αυτοσυσχέτισης μεταξύ των t X και 2t X − # με

δεδομ%νες τις τιμές των 1 3, , ,t t t p X X X − − −L # πράγμα που προκύπτει

αποκλειστικά και μόνο απ5 τον ορισμό της γραμμικής

παλιν$ρόμησης.

Cι συντελεστές αυτοσυσχέτισης +?G, και οι συντελεστές μερικήςαυτοσυσχέτισης +H?G,# μπορούν να μας *οηθήσουν να

ταυτοποιήσουμε ένα υπό$ειγμα ( ), ARMA p q # $ηλα$ή να

υπολογ"σουμε λογικές τιμές των υστερήσεων p και q . &ια νακατανοήσουμε τη $ια$ικασ"α επιλογής# ας θεωρήσουμε $ιάφορασχήματα ARMA κι5 ας εξετάσουμε στη συνέχεια τη συμπεριφοράτων συναρτήσεων ?G και H?G.

10


10/16

Υπ(δειγμα !+3,

Sampl! 4 50000"#$l%&& '*+a'#! 4.../

A%'$'**la'# Pa*al '**la'# A PA -Sa P*'

1 010 010 32/.4 0000 2 066/ 0031 55015 0000 3 0515 -00.6 62./ 0000 4 03.. -0001 /6250 0000 5 0305 0000 0.5 0000 6 0234 0003 3635 0000 / 01/ -0003 522/ 0000 013 0005 61// 0000 . 0105 -0004 6/26 0000 10 00/. -0004 /035 0000 11 005 -0003 /201 0000 12 0043 0003 /2.3 0000 13 0030 -0006 /336 0000

14 0021 0001 /35 0000 15 0014 0002 /36 0000

Στο υπό$ειγμα αυτό# ε"ναι φανερό ότι η συνάρτηση H?G μπορε" ναχρησιμοποιηθε" για να επιλέξουμε την τάξη του αυτοπαλ"ν$ρομουτμήματος +να ε"ναι I, εν) η συνάρτηση ?G ακολουθε" έναχαρακτηριστικό σχήμα9 Cι απλο" συντελεστές αυτοσυσχέτισηςσυγκλ"νουν ομαλά προς το μη$έν.

Υπ(δειγμα -+/,.

Sampl! 5 50000"#$l%&& '*+a'#! 4...6


1 0300 0300 450/. 0000 2 -012 -0240 53314 0000 3 0112 02/1 5.634 0000 4 00/2 -012. 62206 0000 5 -0005 010. 6221/ 0000 6 0000 -005 6221/ 0000 / 0004 0055 62223 0000 0002 -0041 62226 0000 . 0000 002 62226 0000 10 -0004 -0025 62234 0000

11 -0002 0016 62236 0000 12 0001 -0011 6223/ 0000 13 -0002 000/ 6223 0000 14 -0004 -000 62245 0000 15 -0005 -0001 6225. 0000

11


11/16

Υπ(δειγμα !"+10),

Sampl! 3 50000"#$l%&& '*+a'#! 4...

A%'$'**la'# Pa*al '**la'# A PA -Sa P*' 1 03 03 3.5 0000 2 06. -040 626. 0000 3 054 024 ///40 0000 4 043/ -0206 /2/ 0000 5 034. 0162 .3356 0000 6 020 -0120 ./2/1 0000 / 0225 00. ..12 0000 011 -005 101442 0000 . 0143 0065 1024/1 0000 10 0114 -0053 10311/ 0000 11 00.0 0044 103522 0000 12 00/0 -0044 103/6. 0000

13 0053 002 103.0. 0000 14 003. -0024 103.5 0000 15 002. 0022 10402 0000

&ενικότερα# μπορούμε να εκτιμήσουμε εναλλακτικά υπο$ε"γματα

( ), ARMA p q # για τιμές των , 1, 2, , p q L= L και να επιλέξουμε εκε"νο

που ελαχιστοποιε" το κριτήριο του !c"war## το οπο"ο γνωρ"ουμεότι καταλήγει σε συνεπε"ς εκτιμητές των p και q . ;ιαεναλλακτική ε"ναι χρησιμοποιήσουμε τον $ιορθωμένο συντελεστήπροσ$ιορισμού 2 R # αλλά οι εκτιμητές των p και q $εν πρόκειταινα ε"ναι συνεπε"ς.

Σαν ένα απλό παρά$ειγμα ας κατασκευάσουμε μια σειρά t Y ως

εξής9

1 1 21 0,! 0,5 0,2t t t t t Y Y ε ε ε − − −= + + + − # με ( )~ 0,1t N ε # για κάθε 1, ,100t = L .

RNDSEED 11GENR 7=0GENR E=NRNDSMPL 3 100

GENR 7=1 8 0/7(-1) 8 E 8 05E(-1) - 02E(-2)

% σειρά φα"νεται στο επόμενο $ιάγραμμα.

12


12/16

0

1

2

3

4

5

6

/

.

25 50 /5 100

p& ' ()*+,)*-

!c"war #

*-)/012ν- 3 4

0# 1 2..//34 05/2562

0# 0 21/5 0655655

0# 6 24.506 065/22.

0# I 22445 06530/

6# 1 2.314. 061422/

6# 0 24501 065/426# 6 2.144 065501

6# I 2.803868 06.52.0

6# 4 21421 0.701713

6# / 265642 06.26/

I# I 22601 06.4/0

4# 4 2.5342 06/.53


13/16

1 =t t t Y Y α ρ ε −+ + # για την περ"ο$ο εκτ"μησης 1, ,t n= L .

% πρό*λε7ή μας για την περ"ο$ο 1n + # θα ε"ναι9

1 1 =n n nY Y α ρ ε + ++ + .


14/16

Στατικ%ς προ2λ%εις του υποδείγματος !"+)03,

15

20

25

30

35

40

45

.2 .4 .6 . 100

7 79

4υναμικ%ς προ2λ%εις του υποδείγματος !"+)03,

16

20

24

2

32

36

40

44

4

.2 .4 .6 . 100

7 79D7N

;ε *άση αυτά τα αποτελέσματα# ε"ναι φανερό ότι 011παρατηρήσεις $εν ε"ναι αρκετές για να ταυτοποιήσουμε τοπραγματικό υπό$ειγμα και να κάνουμε καλές $υναμικές

προ*λέ7εις. 3υσικά# στα υπο$ε"γματα ?@A? γνωρ"ουμε ότι τοπραγματικό ητούμενο ε"ναι η $ιεξαγωγή *ραχυχρόνιων

15


15/16

προ*λέ7εων.


16/16

% πρ)τη σειρά κατασκευάσθηκε σαν 12t t t x x u−= + και η $εύτερη σαν

12 0,05t t t y y t v−= + × + . Cι συναρτήσεις ?G και H?G της πρ)της σειράς

φα"νονται στον επόμενο π"νακα.

Sampl! 13 100

"#$l%&& '*+a'#!


1 -0045 -0045 0154 066/

2 -0031 -0033 02/54 0/1

3 -02/0 -02/4 /0632 00/0

4 0135 0115 /00 006/

5 -01/3 -0202 11636 0040

10 -0054 -0251 22/3 0012

11 -0030 -0204 2233 001.

12 0/06 0542 /4/45 0000

13 -0041 -005/ /4.22 0000

22 -0044 0032 /42 0000

23 -0014 -0004 /451 0000

24 0415 -0113 10/2 0000

25 -003/ -000. 10 0000

26 -0022 0001 10.5 0000

35 -0004 -0001 11323 0000

36 0151 -0145 1166 0000

&ια μια εποχική σειρά με περιο$ικότητα S +προηγούμενα ε"χαμε12S = , η τυπική $ια$ικασ"α ε"ναι να λά*ουμε $ιαφορές τάξης S και

στη συνέχεια να εφαρμόσουμε ένα υπό$ειγμα ?@A?# $ηλα$ή ναέχουμε9

( )1 S t t L x y− = #

0 1 1

p q

t i t i t j t ji j y y u uβ β γ − −= == + + +∑ ∑ .

1!

lectures in applied econometrics 13

Documents