lecture 16 probabilidad de error para señales en awgn parte 1

2S 2009 - I. Zamora Uni VI-Conf 16: Detec. e Intr. Teoría Estimación1

Comunicaciones II

Conferencia 16: Probabilidad de error para señales en AWGN –Parte 1

UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN

Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería


Outline

• Detección• Problema de Detección• PDF condicional: Función Likelihood de

AWGN• Repaso: Teorema de Bayes

– Aplicando Bayes

• Regla de decisión• Probabilidad Máxima A Posteriori (MAP)• Detector MAP• Implementación de Receptor Óptimo• Detector Óptimo Implementado


Outline

• Demodulador Vectorial Correlador• Canal Vectorial Gaussiano Equivalente• Implementación del Demodulador Correlador:

Filtro Acoplado• Demodulador de Filtro Acoplado• Región de decisión para AWGN

– Región de decisión para AWGN: 2 señales– Región de decisión para AWGN: 4 señales– Región de decisión para AWGN:8 señales

• Probabilidad de Error para señales en AWGN• Probabilidad Correcta para señales en AWGN


Señal versus Vector

Forma de onda de señal

{ } { }

ji

2

ji

ji

N21

ji

ji

ss

sss

s

s

ss

ss

ss

−−

=⋅=>==<=

ϕ⋅=ϕ>=ϕ=<

ϕ=ϕ=

=ϕ⋅ϕ>=ϕϕ<ϕϕϕϕϕϕ

=⋅>=<

=⋅>=<

∑∫

∫

∑∑

∫ ∑

=

==

=

:distancia (t)s(t)s :distancia

s :cuadrática Longitud (t)dts(t)s(t),s(t)sE :Energía

s:escalar Valor (t)dt(t)s(t)(t),s s:escalar Valor

s :Expansión (t)s(t) s:Expansión

δ :esortonormal vectores δ(t)(t) :esortonormal les seña

,...,, :base vectores (t)(t),..., (t), :base eñales s

0 :sortogonale vectores 0(t)s(t),s :sortogonale ñales se

ss :escalar producto (t)dt(t)ss(t)s(t),s :escalar producto

, :vectores (t) s(t), s: señales

ji

N

1j

2ij

T

0

2ii

2

ii

ij

T

0 jijiij

N

1jij

N

1jjiji

jkkjjkkj

N21

ij

T

0

N

1kjkikijij

jiji

i

Vector Geométrico

( )iNi2i1

N

1jjiji s,...,s,s (t)s(t)s =↔ϕ= ∑

=is


Detección

( ) mm TMR /log2=

im

{ }1-M0,1,..., ∈im

Fuente deMensajes

CodificadorVectorial

Modulador

Sumidero deMensajes

DecodificadorVectorial

Demodulador

Un mensaje cada Tm segundos

),...,s,s(s iNii 21=is{ },...,M,i)t(si 21=

{ }im { })t(si

Una señal cada TS segundos

Al canal físico

∑)t(n

n(t)(t)sr(t) i +=

)r,...,r,(r iNi2i1=rm̂

Decisión:Muestra debe procurarmínima probabilidadde error ( corresponda a mi )m̂

r(t)

DETECTOR


Receptor (Demodulador Vectorial)

• Demodulador vectorial:– Convierte las formas de ondas recibidas del canal en un conjunto

discreto de señales de decisión

• Detector:– Utiliza la salida del demodulador para tomar decisión sobre los

datos digitales transmitidos

)t(n)t(s)t(r ii +=Demodulador

vectorialdetector

Receptor

),...,r,r(r iNii 21=irii mm →ˆ


Transmisión sobre un canal AWGN

∑)t(n)t(s)t(r ii +=

{ }{ }

[ ] [ ] Tt0 n(t),(t)s(t)r recibida onda de Forma-

)t-δ(t2

N))n(tn(tE 0n(t)E

2N espectral densidad con n(t) gaussiano blanco Ruido-

Tt0 ,s moduladas señalesde Conjunto-

)mP()P(m ,1-M0,1,...,m ninformació de Símbolo-

(AWGN) Gaussiano Blanco Aditivo Canal El

ii

ji0

ji

0

M

0ii

iii

≤≤+=

==

≤≤

→=∈

=)t(

si

modulador

{ }(t)si

n(t)


Problema de Detección

• Dada el vector de observación r, tenemos que realizar un mapeo (decodificación) de r sobre un estimado

del símbolo transmitido mi, de tal manera que minimize la probabilidad de error en el proceso de toma de decisión.

• Si el símbolo mi ocurre con igual probabilidad (símbolos equiprobables) P(mi)=1/m, minimizar la probabilidad de error Pe es equivalente a maximizar la “Función de probabilidad” (Likelihood function).

• Para símbolos equiprobables el detector de “Máxima probabilidad” (Maximun likelihood detector) es el detector óptimo.

im̂


=

iN

i

i

i

r

r

r

r

2

1

,...,N,, jrij 21=

[ ] [ ] [ ] [ ] ijjijjijijr snEsEnsErEμij

=+=+==

PDF condicional: Función Likelihood de AWGN

Se define:

20N

σijr =

donde

son variables Gaussianas Independientes con:

Media:

y Varianza:

Además, rij y rik son no correlacionadas, por tanto, independientes y:

( ) 0, =ikij rrCov Cuando j ≠k


PDF condicional: Función Likelihood de AWGN (Cont.)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,...,M, , isrN

πNmrfmRf

e:tenemos qu asi srN

πN

N

μr-

Nπσ

μr-

σπ

mrfm,...,R,RRΔ fmRf

i

N

imriMR

N

jijij

N

ijijN

j

ijijN

j r

N

jiijMRiNM,...,R,RRiMR

ii

ijrij

iiNi

211

exp

1exp

exp1

2exp

2

1

2

0

20

1

2

0

20

0

2

1 022

2

12

12121

=

−−==

−−=

−=

−=

=

−

=

−

==

=

∑

∏∏

∏


Repaso: Teorema de Bayes

( ) ( ) ( ) ( ) ( )FP F EPEP E FPFEP ==

Probabilidad Condicional:Para eventos dependientes Fj y E, tenemos:

Probabilidad Total:

Sean los eventos Fj, j=1,2,…,n particiones de un espacio muestra, y sea E un evento. Si todas las probabilidades a posteriori P(E|Fj), con j=1,2,…,n, de E y las probabilidades Fj son conocidas, entonces la probabilidad a priori de E puede obtenerse de:

( ) ( )j

n

1jj FP F EP P(E) ∑

=

=

F1

F2

F4

F3

F5F7

F9

F8

Evento E

F E

FE


Repaso: Teorema de Bayes

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )j

n

1jj

jjjj

j

FP F EP

FP F EP

EP

FP F EP E FP

∑=

==

Fórmula de Bayes, con la notación utilizada anteriormente:

Evento r

• Asumiendo que los valores coordenados de r puede tomar un número finito de valores, entoces, dado r, la probabilidad a posteriori que el símbolo mi fue transmitido es:

( ) ( ) ( )( )

,...,M, i

,rP

m P mr P r mP

iimr

i r mi

i

21=

=m1

m2

m3

m4

m5

m6

Regiones de decisión de mi


Aplicando Bayes

( ) ( ) ( )( ) M1,2,...,i ,

f

mP m rf mP

iimr

i mi

i==

rr

rr

• Alternativamente:

• Donde fr|m(r|mi) es la función likelihood que recién desarrollamos, la cual es la pdf de r (o la pdf conjunta de r1,r2,…,rN) dado que se se ha transmitido el mensaje mi.


Probabilidad de Error:Se define como a probabilidad que un mensaje decodificado (en el receptor) no sea igual al mensaje que fue transmitido, es decir,

Reglas de Decisión

m̂

( ) ( )iie mm̂PmP ≠=

im

( ) ( ) ( ) ( )iiieic mm̂Pmm̂P-1mP1mP ==≠=−=

La probabilidad correspondiente de que sea decodificado correctamente es, por tanto,

El detector óptimo escoge para minimizar , o equivalentemente, para maximizar .

( )ie mP( )ic mP


Regla de Decisión: Probabilidad Máxima A Posteriori (MAP)

• La probabilidad de decisión correcta, dada la observación del vector r, es,

( ) ( )rr,ˆ rc imi mP m mP ==

• La probabilidad de error es como sigue:

• Así, el dispositivo de decisión óptimo observa el vector particular recibido r y la salida se escoge i=1,2,...,M para maximizar la probabilidad de decisión correcta. Esta cantidad es referida como la probabilidad a posteriori que caracteriza al canal vectorial.

imm =ˆ

( ) ( ) ( )rr,ˆrˆ rc imiie mP -1 m mP,mmP ==−=≠ 1

imm =ˆ


Detector MAP

• El detector MAP, “Máximo A Posteriori” (probabilidad):

• Se define como el detector que escoge el mi para maximizar la probabilidad a posteriori dado un vector recibido r.( )rr im mP

• 1ra. Regla de detección: MAP

• Que, usando Bayes, puede reescribirse como:

( ) ( ) ik todo para mPmP simm kmimi ≠≥⇒ rrˆ rr

( ) ( )( )

( ) ( )( )r

r

r

r

r

r

r

r

f

mP m f

f

mP m f

kkimiimi ≥

( ) M1,2,...,i ,M1mP i ==

( ) ( ) ( ) ( )kkmiimi mP m fmP m f simmirrˆ rr

i≥⇒

• Cuando los símbolos son equiprobables, el resultado coincide con la regla de decisión ML.


Detector MAP (Cont.)

• Así, la regla de decisión ML es equivalente a la siguiente regla:

( ) ( ) ( ) ( ) ik todo para mP mfmP mf simm kkmiimi ≠≥⇒ rrˆ rr

• 2da. Regla de detección: Máximo Likelihood (ML)

• Recordando que:

( ) ( )

−−= − 2

0

2N

0im N1

expπNmfi ir srr

( )[ ] ( ) M1,2,...,i ,srN

1πNln

2mrfln

2

i0

0imr i=−−−=⇒ N

ik todo para -- simm22

i ≠≤⇒ ki srsrˆ

• 3ra. Regla de detección: Máximo Likelihood (ML) bajo AWGN

La regla de decisión consiste en escoger un mensaje punto (forma vectorial) que es el mascercano a la señal punto recibida, la cual se satisface intuitivamente.


Implementación de Receptor Óptimo

• De la 3ra. Regla del máximum AWGN ML, tendremos la siguiente estructura de receptor.

• La estructura de un receptor óptimo asume las condiciones indicadas para el receptor correlador (o su equivalente detector filtro acoplado, por lo que consideramos:

– (1) Símbolos fuentes equiprobables– (2) canal tipo AWGN

( )Ni ,...,r,rr rn(t) (t)sr(t) 21=⇒+=

M21 m,...,m,m

• Procedimiento de un receptor óptimo:

( ) ∑∑∑∑====

+−=−=−N

1j

2ij

N

1jijj

N

1j

2j

N

1j

2ijj ssr2rsr

2

isr

Paso 1:

desempeñado por un receptor correlador (o filtro acoplado)

Paso 2: m̂r → observe que:


Implementación de Receptor Óptimo (Cont.)

• Ya que los primeros términos de la ecuación anterior son comunes para cada i, 22

ki sr-sr- ≤

que equivalente a:

∑∑∑∑====

+−≤+−N

1j

2kj

N

1jkjj

N

1j

2ij

N

1jijj s

21

sr s21

sr

iE kE

k

N

1jkjji

N

1jijj E

21

srE21

sr −≥−⇒ ∑∑==

substituyendo,

ik todo para E21

srE21

sr simm Fijar k

N

1jkjji

N

1jijji ≠−≥−= ∑∑

==ˆ

• 3ra. Regla de Máximo Likelihood (ML) con AWGN


Seleccionael mayorde todos

Detector Óptimo Implementado

1s

r

*

∑=

N

1j*

2s

*

m̂ ri

Ms

∑=

N

1j

∑=

N

1j

2E1

∑

∑

∑

2E2

2EM

1j

N

1jjsr∑

=

2j

N

1jjsr∑

=

Mj

N

1jjsr∑

=


Detector

•El cómputo de los coeficientes rij de las señales recibida se obtiene a través de

un banco paralelo de integradores-multiplicadores. Cada combinación de integrador-multiplicador se refiere como un demodulador CORRELADOR.

Demodulador Vectorial Correlador

( ) dt T

0∫ ⋅

(t)1ϕ

(t)ri

X

( ) dt T

0∫ ⋅X

(t)2ϕ

( ) dt T

0∫ ⋅X

(t)Nϕ

ir

),...,r,r(r iNii 21=ir


( ) ( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) M1,2,...,i N1

expπN

1mfmmf

por dada lcondiciona Gaussiana adprobabilid de densidad de función-

2N (t)nE varianzay 0,n(t)E media con nte,independie Gaussiano es n(t)-

n,...,n,n ,s,...,s,s ,r,...,r,r

0N/2

0

imiM

02

N21iNi2i1iNi2i1

ii=

−−===

==

===−

,srrR

nsr

irR

ii

2

Canal Vectorial Gaussiano Equivalente

( ) dt T

0∫ ⋅(t)1ϕ

X

( ) dt T

0∫ ⋅X

(t)2ϕ

( ) dt T

0∫ ⋅X

(t)Nϕ

ir(t)1ϕ

X

X

(t)2ϕ

X

(t)Nϕ

im ∑∑

n(t)

nsr ii +=

i2s

iNs

i1s

i2r

i1r

iNr


•Un correlador puede ser implementado por un filtro acoplado. La componente del la forma de onda recibida r(t) junto a si i-ésima función base es equivalentemente a la convolución de la forma de onda r(t) con un filtro ϕi(t-T) en el instante de muestreo de salida T.

Implementación del Demodulador Correlador: Filtro Acoplado

Ttj

Ttj- ij- ij

T

0 iij

t)(Tr(t)

τ)dτt-(T ) (τr)dτ (τ ) (τr(t)dt(t)rr

=

=

∞

∞

∞

∞

−ϕ∗=

+ϕ=ϕ=ϕ= ∫∫∫

t)(T(t)r(t)Γ iii −ϕ∗=

t)(Tj −ϕ iji r(t)Γ =(t)ri

Tt =(t)jϕ

( ) dt T

0∫ ⋅X(t)riijr

=(t)Γ i

•Este procedimiento es denominado demodulación de filtro acoplado, el cual está acoplado a las funciones bases correspondientes. ( Filtro+Muestreador)


Demodulador de filtro acoplado

t)(T1 −ϕ

(t)ri

t)(T2 −ϕ

t)(TN −ϕ

),...,r,r(r iNii 21=iri2r

i1r

iNr

iji r(t)Γ =Tt =

La demodulación puede basarse en los filtros:

t)(T(t)h jj −ϕ=


Región de decisión para AWGN

• En el caso de la regla MAP (Maximum A posteriori Probability), cada valor posible para un espacio observacional N-dimensional, se mapea a uno de M posibles mensajes transmitidos. Así, el vector espacial para r se particiona en M regiones correspondiente a las M posibles decisiones. Cada Región consiste de puntos los cuales son los mas cercanos al vector señal transmitido s. En otras palabras,

• Definición: (Región de Decisión)

En un canal AWGN, la región decisión usando MAP para cada símbolo mi, se define como:

{ }ii

22

i

mm fija seentonces Z si

ki Z

=∈

≠∀−≤−=

ˆr

srsrr ki


Región de decisión para AWGN: 2 señales

ϕ1

ϕ2

r

sksi

ZiZk

{ }ii

22

i


ki Z

=∈

≠∀−≤−=

ˆr

srsrr ki


Región de decisión para AWGN:4 señales

ϕ1

ϕ2

r

sk

si

Zi

Zk

{ }ii

22

i


ki Z

=∈

≠∀−≤−=

ˆr

srsrr ki


Región de decisión para AWGN:8 señales

ϕ1

ϕ2

r

sk

si Zi

Zk

{ }ii

22

i


ki Z

=∈

≠∀−≤−=

ˆr

srsrr ki


Probabilidad de Error para señales en AWGN

aplica. semáxima detección de MLregla la donde

mm m

AWGN) a (debido ik donde Z m :error Evento

ik

ki

≠=⇒≠∈⇒

ˆ

r

{ }∑=

∉=⇒M

1iiie mZrP

M1

P :lesequiprobab símbolospara

( ) { }iiie

i

mZPmP

:por determina seotransmitid es m

que dado error de adprobabilid la , vector observamos cuando Así

∉= r

r

( ) ( ) { } ( )i

M

1iii

M

1iiiee

e

mPmZrPmPmPP

es ,P error, en símbolode promedio adprobabilid La

∑∑==

∉==

:Definición


Probabilidad Correcta para señales en AWGN

{ }( ) { }

error. de adprobabilid de cómputo el en usada entefrecuentem es

fórmula Esta transmite. sem mensaje símboloel que dado correcta

recepción de adprobabilid la representa ,mZPmP donde

mZPM1

1P1P

:tanto lo por es ,P símbolo,de correcta adprobabilid La

i

iiic

M

1iiiec

c

∈=

∈−=−= ∑=

r

r

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