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Lección 1.1
Antiderivadas y La Integral Indefinida
07/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 21
Objetivo
• Describir la antiderivada de una función
• Usar la notación de la integral indefinida
para antiderivadas
• Identificar la antiderivada de funciones
trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas básicas.
• Usar las reglas básicas de integración para
encontrar la Integral Indefinida de una
función polinómica.
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Antiderivada
• Una función F es la antiderivada de f sobre un
intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.
• Ejemplo:
• es una antiderivada de
• Otras son:
• En general, si F es una función antiderivada de f
sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f
será de la forma F(x) + c donde c es una constante.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 07/07/2011
5)( 2 xxxF
12)( xxf
1)( 2
1 xxxF xxxF 2
2 )( xxxF 2
3 )(
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Integral indefinida
• La integral indefinida de f(x) se define como el
conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).
donde c es una constante.
• Ejemplos:
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cxFdxxf )()(
dxx 12 xx 2 c
dxx cos xsin c
dxx3
4
4x c
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Ejemplo 1
1. Determine las antiderivadas de f(x) = sin x
• Como
2. Determine
• Como
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cxdxx cos sinxxdx
dsin)(cos
cxdxx tan sec2xx
dx
d 2sec)(tan
dxx sin
dxx sec2
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Otras antiderivadas para recordar ..
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dxx
1
dxxecx tans cx sec
dxxx cotcsc cx csc
dx
x21
1cx 1tan
dxx21
1cx 1sin
dxe x cex
dx a x ca
a x
ln
cx ||ln
dxxx cotcsc cx csc
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Reglas básicas de antiderivadas
• Recuerde
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ckxdxk
xndx xn1
n 1 c , n 1
dx 5 cx 5
dxx 3 cx
4
4
Ejemplos:
dx cx
Ejemplos:
dxx 21
cx
23
23
cx
3
2 23
cxx
3
2
dx cx
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Reglas básicas de antiderivadas …
• Si f, g son las funciones antiderivables en un
intervalo. Entonces:
• Ejemplos:
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dxfcdxcf (x) (x)
dx5cosx dxx cos5 cx sin5
dx 3- x dxx 3 cx
ln3 c
x
ln
3
dxx26 cx
36
3
dxx26 cx 32
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Reglas básicas de antiderivadas …
• Si f, g son las funciones antiderivables. Entonces:
• Ejemplos:
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dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[
dxxx 122
dxxdxdxx 122
3
3x
22
2x x
cxxx 23
31
c
dx
x
21
cx
x
2
12
2
1
dxx
dx1
2 1
cxx 4
dxxdx 2
1
2 1
321 cccc
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Ejercicio #1
1.
2.
3.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 07/07/2011
dxxx 121 53
dxx 4 3
dxxdxxdx 53 12
cxxx 64 24
1
dxx 43
cx
4
7
47
cxx
7
4 4 3
dx
x
61 xdxdx
x
16 ||ln6 x c
cx
7
4 4
7
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Ejercicio #2
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dxx cos
dxx sin
dxx sec2cx tan
dxxx tan sec cx sec
dxxx cot csc cx csc
dxx csc2cx cot
cx sin
cx cos
dx x
1
dxe xcex
dx a x ca
a x
ln
cx ||ln
dx
x21
1cx 1tan
dxx21
1cx 1sin
11 de 21
Ejemplo 2
• Encuentre las antiderivadas de
• Solución:
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x
xxxxf
52sin4)(
x
x
x
xxxf
2152
sin4)( 2142sin4
xxx
dxxxx 2sin4 214
dxxdxxdxx
2142 sin4
dxxdxxdxx
2142 sin4
cxx
x 21
5 21
52cos4
cxxx 25
2cos4 5
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Ejercicio #3
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2ex dx
2ex c
1
5 1 x2 dx
1
5sin1 x c
6
1 x 2 dx
6tan1 x c
dx
x
1
1
2cx 1cos
ax 3 dx
ax 3
lna c
dx
x
1
12
cx 1sin
dxx
1
11
2
Observe que hay otra solución ...
¡Estas dos son equivalentes!
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Ejercicio #4
Encuentre
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dxxex sec73 2
dxxdxex sec73 2
cxex tan73
dxx
x
23
dx
xx
x 23
dxxx 2
1
2
1
23
dxxdxx 2 3 2
1
2
1
cxx
2
12
2
33
2
1
2
3
cxxx 42
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Ejemplo 3
• Encuentre una función f si si f(1) = 3
• Solución: f es una antiderivada de f’(x)
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21
105)('
xxf x
dxx
f x
21
105 dx
xdxx
21
105
dxx
x
21
110
5ln
5
cxx
1cos105ln
5
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Solución del Ejemplo 3 …
• Si f(1) = 3
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c )1(cos105ln
53 1
)1(
c 05ln
53
cxxfx
1cos105ln
5)(
5ln
53c
5ln
53cos10
5ln
5)( 1 xxf
x
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Ejemplo 4
Determine si la siguiente aseveración es
cierta:
Solución:
¡Es cierto!
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222 235 xxxx dxxxx 14310 24
222 235 xxxxdx
d14310 24 xxx
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Ejemplo 5
Determine la solución general de la ecuación
diferencial:
• Solución:
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23xdx
dy
dxxdxdx
dy 23
cx
y 3
3 3
cxy 3
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Integral indefinido
• Observe
• Compare
• Recuerde: Al integrar, observe siempre con
respecto a qué variable lo está haciendo.
• ¡Observe el diferencial! … dx, dt, dz
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xdx3 tdt3 zdz3
cx
2
3 2
ct
2
3 2
cz
2
3 2
xdt3 tdx3 zdx3
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Ejercicio #5
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 07/07/2011
dxx sec2cx tan
dxx csc2cx cot
dx x
1
dxe xcex
cx ||ln
dxx21
1cx 1sin
dxx cos
dxx sin
dxxx tan sec cx sec
dxxx cot csc cx csc
cx sin
cx cos
dx a x ca
a x
ln
dx
x21
1cx 1tan
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Actividades 1.1
• Ejercicios de Práctica: Problemas impares 1
– 27 de las páginas 224.
• Referencias del Web:
Paul’s Online Note – Indefinite Integrals
Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals;
Tutorial sobre antiderivadas y el integral
indefinido. Table of Elementary Indefinite
Integrals. Ejercicios de práctica (Drill) usa Java.
eMathLab – Indefinite Integrals
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 07/07/2011 21 de 21