sesión 1. antiderivadas o primitivas
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8/9/2019 sesión 1. Antiderivadas o primitivas
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Sesión 1
Antiderivadas o primitivas e integración
indefinida
Frank Didier Suárez Motato
Departamento de Matemáticas
Universidad Cooperativa de Colombia
7 de febrero de 2015
Frank Didier Suárez Motato Antiderivadas o primitivas e integración indef... 1 / 9
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8/9/2019 sesión 1. Antiderivadas o primitivas
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función
Objetivos espećıficos
Escribir la solución general de una ecuación diferencial.
Usar la notación de la integral indefinida para las antiderivadas oprimitivas.
Utilizar las reglas de integración básica para encontrar
antiderivadas.
Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial.
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función
Antiderivadas o primitivas
Suponga que usted decide encontrar una función F cuya derivada es
f (x) = 3x2
.
Por lo que sabemos de nuestro curso anterior de cálculo diferencial,
podemos afirmar que
F (x) = x3, es una antiderivada porque ddx
x3
= 3x2
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F i Obj i f́i
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función
Antiderivadas o primitivas
Definición
Definici´ on de una antiderivada o primitiva . Se dice que una
funci´ on F es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I
si F (x) = f (x) para todo x en I .
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F i Obj ti f́i
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función
Antiderivadas o primitivas
Nótese que F es una antiderivada para f , en vez de decirse que es la
antiderivada de f . Pues observe que
F 1(x) = x3, F 2(x) = x3 − 5 y F 3(x) = x3 + 97
son todas antiderivadas de f (x) = 3x2. En consecuencia, para cualquier
constante C , la función dada por
F (x) = x3 + C
es una antiderivada para f .
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Funciones Objetivos espećıficos
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Objetivos especıficosFunciones y gráficasGráfica de una función
Antiderivadas o primitivas
Teorema
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces G es una
antiderivada de f en el intervalo I , si y solo si, G(x) = F (x) + C,
para todo x en I , donde C es una constante.
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Funciones Objetivos espećıficos
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Objetivos especıficosFunciones y gráficasGráfica de una función
Antiderivadas o primitivas
Observe que usando el teorema anterior, podemos representar la familia
completa de antiderivadas de una función. Por ejemplo sabiendo que
d
dx x2
= 2x
la familia completa de todas las antiderivadas se representa por
F (x) = x2 + C
donde C es una constante. La constante C recibe el nombre de cons-
tante de integración. La familia de funciones representadas por G es
la antiderivada general de f y G(x) = x2 + C es la solución general
de la ecuación diferencial
G
(x) = 2xFrank Didier Suárez Motato Antiderivadas o primitivas e integración indef... 7 / 9
Funciones Objetivos espećıficos
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funciones
Objetivos especıficosFunciones y gráficasGráfica de una función
Antiderivadas o primitivas
Una ecuación diferencial en x y y es una ecuación que incluye a x,y
y las derivadas de y. Por ejemplo, y = 3x y y = x2 + 1 son ecuaciones
diferenciales.
Resolución de una ecuación diferencial
Determinar la solución de la ecuación diferencial y = 2
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Funciones
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funcionesEjercicios de funciones
Notación de antiderivadas o primitivas
Cuando resolvemos una ecuación diferencial de la forma
dydx
= f (x)
en matemáticos usamos un método que se conoce como separación de
variables, consiste como el mismo nombre lo dice en separar lo que
conotiene x a un lado de lo que contiene y.
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Funciones
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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Ejercicios de funciones
Es decir,
dy = f (x)dx
y la operación para encontrar todas las soluciones se denomina an-
tiderivación (o integral indefinida) y se denota mediante el signo
integral . La solución general se denota por:
y =
f (x)dx = F (x) + C
La expresión f (x)dx se lee como la antiderivada o primitiva de f con
respecto a la variable x.
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Funciones
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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
Reglas básicas de integración
La integración es lo inverso a la derivación y viceversa, entonces:
F
(x)dx = F (x) + C
además si f (x)dx = F (x) + C
y,d
dx
f (x)dx
= f (x)
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FuncionesEj i i M d l d f i
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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Derive las siguientes funciones:
1d
dx
[C ]
2d
dx [kx]
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FuncionesEj i i M d l d f i
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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Derive las siguientes funciones:
1d
dx
[C ]
2d
dx [kx]
3d
dx [kf (x)]
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FuncionesEjercicios Modelando con funciones
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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Derive las siguientes funciones:
1d
dx
[C ]
2d
dx [kx]
3d
dx [kf (x)]
4d
dx [f (x)± g(x)]
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FuncionesEjercicios Modelando con funciones
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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Derive las siguientes funciones:
1d
dx
[C ]
2d
dx [kx]
3d
dx [kf (x)]
4d
dx [f (x)± g(x)]
5d
dx [xn]
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FuncionesEjercicios Modelando con funciones
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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Derive las siguientes funciones:
1d
dx
[C ]
2d
dx [kx]
3d
dx [kf (x)]
4d
dx [f (x)± g(x)]
5d
dx [xn]
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FuncionesEjercicios Modelando con funciones
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jEjercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de derivación
Ejercicio
Deribe las siguientes funciones:
1d
dx [cosx]
2 ddx
[senx]
3d
dx [tanx]
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FuncionesEjercicios Modelando con funciones
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Ejercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de derivación
Ejercicio
Deribe las siguientes funciones:
1d
dx [cosx]
2 ddx
[senx]
3d
dx [tanx]
4d
dx
[secx]
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FuncionesEjerciciosf
Modelando con funciones
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Ejercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de derivación
Ejercicio
Deribe las siguientes funciones:
1d
dx [cosx]
2 ddx
[senx]
3d
dx [tanx]
4d
dx
[secx]
5d
dx [cotx]
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FuncionesEjercicios
Ej i i d d l f iModelando con funciones
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Ejercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de derivación
Ejercicio
Deribe las siguientes funciones:
1d
dx [cosx]
2 ddx
[senx]
3d
dx [tanx]
4d
dx
[secx]
5d
dx [cotx]
6d
dx [cscx]
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones
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Ejercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de derivación
Ejercicio
Deribe las siguientes funciones:
1d
dx [cosx]
2 ddx
[senx]
3d
dx [tanx]
4d
dx
[secx]
5d
dx [cotx]
6d
dx [cscx]
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones
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Ejercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de derivación
Ejercicio
Deribe las siguientes funciones:
1d
dx [cosx]
2 ddx
[senx]
3d
dx [tanx]
4d
dx
[secx]
5d
dx [cotx]
6d
dx [cscx]
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones
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Ejercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Integre las siguientes funciones:
1 0dx2
kdx
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Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones
-
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Ejercicios de codelos con funciones
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Integre las siguientes funciones:
1
0dx2
kdx
3
kf (x)dx
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones
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j
Reglas básicas de integración
Ejercicio
Integre las siguientes funciones:
1
0dx
2
kdx
3
kf (x)dx
4 f (x)± g(x)dx
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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
Integre las siguientes funciones:
1
0dx
2
kdx
3
kf (x)dx
4 f (x)± g(x)dx
5
xndx
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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
Integre las siguientes funciones:
1
0dx
2
kdx
3
kf (x)dx
4 f (x)± g(x)dx
5
xndx
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Modelando con funciones
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
1
cosxdx
2 senxdx
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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones
Modelando con funciones
-
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
1
cosxdx
2 senxdx3
secx tanxdx
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Modelando con funciones
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
1
cosxdx
2 senxdx3
secx tanxdx
4
sec2 xdx
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Modelando con funciones
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
1
cosxdx
2 senxdx3
secx tanxdx
4
sec2 xdx
5
csc2 xdx
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Modelando con funciones
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
1
cosxdx
2 senxdx3
secx tanxdx
4
sec2 xdx
5
csc2 xdx
6
cscx cotxdx
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Modelando con funciones
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Reglas básicas de integración
Ejercicio
1
cosxdx
2 senxdx3
secx tanxdx
4
sec2 xdx
5
csc2 xdx
6
cscx cotxdx
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