Le equazioni delle correnti a superficie

libera

Stefano LanzoniDipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima e Geotecnica

Universita di Padova

1

1 Introduzione

In numerosi problemi riguardanti l’Ingegneria, la Fisica e le Scienze Naturalirisulta conveniente studiare il comportamento di un fluido (cosı come, delresto, quello di un solido) utilizzando un approccio di tipo continuo. In par-ticolare, pur essendo i fluidi (liquidi e gas) costituiti da sistemi estremamentecomplessi di molecole piu o meno discoste tra loro, in continuo movimento esoggette ad urti reciproci, si postula sia lecito studiare il comportamento delfluido dal punto di vista macroscopico, ovvero su una scala spaziale moltomaggiore della distanza intermolecolare. Si assume a tal scopo che quan-tita fisiche quali la massa, la quantita di moto, l’energia, etc, siano funzionicontinue dello spazio occupato dal fluido stesso.

Le equazioni fondamentali della Meccanica dei Continui sono state ampia-mente studiate nell’ambito del corso di Meccanica Razionale e sono statespecificatamente applicate allo studio dei liquidi nel corso di Idraulica (cosıcome l’applicazione al caso dei solidi e stato oggetto del corso di Scienza delleCostruzioni). Si rimanda dunque il lettore ai testi utilizzati in tali corsi peruna trattazione sistematica del comportamento cinematico e dinamico deifluidi intesi come mezzi continui.

In questa sede si vuole piuttosto dare una visione d’insieme delle leg-gi fisiche che governano il moto dei fluidi e delle formulazioni alternativeche tali leggi possono assumere, in funzione anche delle semplificazioni ad-dottate nel problema considerato. In particolare, le equazioni fondamentalidella meccanica dei fluidi vengono qui riprese con particolare enfasi allaloro intrinseca natura di leggi di conservazione. Indipendentemente dal gra-do di complessita del sistema fluido che si vuole studiare, infatti, non soloproprieta fondamentali come la massa, la quantita di moto e l’energia si con-servano ad ogni istante, ma le tre leggi di conservazione che ne governanol’evoluzione nel tempo consentono di determinare senza ambiguita il com-portamento dinamico del sistema fluido. L’unica informazione addizionalerichiesta riguarda il tipo di fluido considerato (fluido viscoso newtoniano, flu-ido viscoplastico, fluido di Bingham,..., comprimibile, incomprimibile, etc).Tale informazione e data dal cosidetto legame costitutivo che, come vedremo,lega lo stato di tensione in ciascun punto del campo fluido con la velocita dideformazione del medesimo.

La dispensa e organizzata come segue. Nel paragrafo 1 vengono breve-mente richiamati alcuni concetti di natura cinematica riguardanti i metodidi indagine euleriano e lagrangiano. Il paragrafo 2 richiama un importanteteorema di natura cinematica (il teorema del trasporto o di Reynolds) checonsente di valutare la derivata totale (materiale) dell’integrale di una de-

2

terminata grandezza (scalare o vettoriale) esteso ad un generico volume ma-teriale di fluido. Tale teorema viene utilizzato nella sezione 3 per ricavare leequazioni di conservazione della massa, della quantita di moto e dell’energiain forma integrale. La formulazione differenziale di tali equazioni e deriva-ta nel paragrafo 4 dove vengono inoltre brevemente richiamati i concetti distato di tensione in un punto e di legame costitutivo. Un esempio dellaapplicazione delle equazioni dei continui fluidi ad un problema particolarequale quello delle correnti a pelo libero e riportato nel paragrafo 5 dove sonoderivate le equazioni di de Saint Venant. Nel paragrafo 6 vengono poi breve-mente discusse altre equazioni di conservazione - della salinita, dei sedimen-ti, della concentrazione di un soluto passivo - che spesso si incontrano nelleapplicazioni pratiche. Infine, in Appendice si introducono le notazioni utiliz-zate nella dispensa, si riportano alcuni brevi cenni di calcolo vettoriale e ten-soriale utili per la derivazione delle varie equazioni nonche alcune specifichedimostrazioni per il lettore interessato ad ulteriori approfondimenti.

3

2 Semplificazione del problema idrodinamico: leequazioni di de Saint Venant

Si riporta ora un esempio di come le equazioni discusse nei precedenti para-grafi vengono utilizzate nella pratica ingegneristica; in particolare verrannoderivate le equazioni che consentono di studiare i moti a superficie libera inacque cosidette basse.

A rigore un qualsiasi campo di moto e compiutamente descritto dal-l’equazione di continuita e dalle equazioni di Navier Stokes: nell’ipotesisemplificativa di poter trascurare gli effetti di comprimibilita del fluido,tali equazioni costituiscono un sistema di quattro equazioni differenziali allederivate parziali nelle quattro incognite u1, u2, u3, p. Il problema matematicoe completato associando a tali equazioni opportune condizioni al contorno,ovvero imponendo il soddisfacimento delle condizioni cinematica e dinamicain corrispondenza delle superfici di interfaccia. Purtroppo, allo stato attualedella tecnologia informatica, una soluzione diretta per via numerica di taliequazioni nel tempo e nello spazio appare improponibile se non per valoridel numero di Reynolds troppo bassi per gran parte delle applicazioni ditipo idraulico.

2.1 Le equazioni di Reynolds.

Un primo passo nella semplificazione del problema puo essere fatto rinun-ciando alla conoscenza dei valori istantanei delle velocita e della pressione,descrivendo cioe il moto in termini di grandezze mediate nel tempo (avendoovviamente cura di scegliere l’intervallo di tempo su cui si esegue la mediasufficientemente lungo rispetto al tempo caratteristico delle fluttuazioni tur-bolente). Indicato con . . . il procedimento di media temporale, si ricorre allaseguente decomposizione:

ui = ui + u′i; p = p + p′

dove i termini u′i, p′ rappresentano le fluttuazioni delle velocita e delle pres-

sioni rispetto ai corrispondenti valori medi. Sostituendo tale decomposizionenelle equazioni di Navier Stokes e operando la media sui vari termini si ri-cavano le cosidette equazioni di Reynolds che, nell’ipotesi di fluido incom-primibile e trascurando ogni effetto di stratificazione porgono (cfr. Ghetti,pax. xxx).

4

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj+

1ρ

∂p

∂xi+ g

∂h

∂xi= ν

∂2ui

∂x2j

− ∂

∂xjuiuj (1-a)

∂uj

∂xj= 0 (1-b)

Si noti come l’operazione di media comporta la comparsa nelle equazionidel moto dei termini aggiuntivi −uiuj . Tali termini nascono in seguito allanon linearita dei termini convettivi nelle equazioni di Navier Stokes e, fisica-mente, rappresentano scambi di quantita di moto che si realizzano in seguitoalle fluttuazioni di velocita. Essendo, dal punto di vista formale, assimilabilia delle tensioni essi vengono comunemente indicati come tensioni apparentidi Reynolds e, nel seguito verranno indicate come T t

ij = −ρuiuj . La specifi-cazione delle correlazioni uiuj , ovvero di una sorta di legame costitutivo perle tensioni di Reynolds, costituisce il cosiddetto problema di chiusura dellaturbolenza. In questi ultimi decenni tale problema e stato affrontato da nu-merosi ricercatori (cfr. Rodi, 1980), portando alla formulazione di modellidi turbolenza via via sempre piu raffinati che consentono di affrontare conbuoni risultati lo studio di svariate situazioni reali di interesse ingegneristico.Per gli scopi che ci proponiamo in questo paragrafo e sufficiente ricordare ilmodello di chiusura proposto da Boussinesq secondo cui

−uiuj = νT

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)− 2

3kδij (2)

con k = u2ii/2 energia cinetica turbolenta specifica e νT viscosita cinematica

turbolenta. Si noti come, mentre la viscosita cinematica ν e una proprietacaratteristica del fluido, la νT dipende fortemente dal campo di moto consid-erato. In particolare, indicati con U e L la velocita scala e la lunghezza scalatipiche del campo di moto, si ha che νT ∝ UL. Il secondo termine a secondomembro della (2) e assimilabile ad una pressione e viene introdotto affinchela somma degli sforzi normali sia effettivamente pari al doppio dell’energiacinetica turbolenta k.

Utilizzando il modello di chiusura di Boussinesq e ricordando la (1-b) siottiene:

−∂uiuj

∂xj= νT

(∂2ui

∂x2j

+∂2uj

∂xi∂xj

)= νT

(∂2ui

∂x2j

+∂2uj

∂xj∂xi

)= νT

∂2ui

∂x2j

Sostituendo tale espressione nelle (1-a) e sfruttando la (1-b) le equazionidella quantita di moto diventano:

5

∂ui

∂t+

∂(ujui)∂xj

+1ρ

∂p

∂xi+ g

∂h

∂xi= (ν + νT )

∂2ui

∂x2j

(3)

ovvero, in forma estesa,

1ρ

∂p

∂x+ g

∂h

∂x= −∂u

∂t− ∂u2

∂x− ∂(u v)

∂y− ∂(u w)

∂z

− (ν + νT )

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)(4-a)

1ρ

∂p

∂y+ g

∂h

∂y= −∂v

∂t− ∂(u v)

∂x− ∂v2

∂y− ∂(w v)

∂z

− (ν + νT )

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)(4-b)

1ρ

∂p

∂z+ g

∂h

∂z= −∂w

∂t− ∂(u w)

∂x− ∂(v w

∂y− ∂w2

∂z

− (ν + νT )

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

)(4-c)

La risoluzione di tali equazioni, tuttavia, risulta ancora troppo onerosadal punto di vista computazionale qualora si vogliano studiare campi di motorelativamente estesi e geometricamente complessi. D’altra parte, nella prat-ica ingegneristica e spesso sufficiente conoscere macroscopicamente, ovveromediate su una sezione, grandezze quali la velocita, la quantita di moto, l’en-ergia. Appare quindi opportuno procedere ad ulteriori semplificazioni delleequazioni del moto, sfruttando le particolari caratteristiche fisiche esibitedal problema che si intende esaminare.

2.2 L’ipotesi di onde lunghe su acque basse.

L’esempio che viene qui illustrato e quello inerente una vasta classe di motia superficie libera in cui le componenti longitudinale u e trasversale v dellavelocita media sono di un ordine di grandezza superiori alla componente ver-ticale w. Cio accade quando le scale spaziali caratterizzanti le variazioni dellegrandezze del moto in direzione longitudinale e trasversale sono molto piugrandi della profondita del moto: si parla in tal caso di moto di onde lunghein acque basse. Tali ipotesi sono in genere verificate nella propagazione delle

6

onde di piena nei corsi d’acqua e nella propagazione della marea in lagunecostiere ed estuari.

Vediamo ora quali sono le conseguenze dell’ipotesi di onde lunghe suacque basse. Fissato un sistema di riferimento cartesiano x, y, z, aventel’asse z diretto secondo la verticale, siano D0 la scala caratteristica delleprofondita della corrente e L0 la scala spaziale su cui si relizzano significativevariazioni delle grandezze fisiche nella direzione longitudinale x e in quellatrasversale y. Indicate con u, v, w le componenti (mediate nel tempo) delvettore velocita nelle direzioni x, y, z, siano U0 l’ordine di grandezza dellecomponenti u, v e W0 quello della componente w. L’ipotesi di onde lunghesu acque basse presuppone che

D0

L0= ε � 1 (5)

In base all’equazione di continuita si ha

∂u

∂x︸︷︷︸O(

U0L0

)

+∂v

∂y︸︷︷︸O(

U0L0

)

+∂w

∂z︸︷︷︸O(

W0D0

)

= 0

Ne consegue che

W0 ∼ O(εU0) (6)

ovvero la componente della velocita nella direzione verticale risulta almeno diun ordine di grandezza inferiore alle componenti nelle direzioni longitudinalee trasversale. Analizziamo ora l’equazione dinamica nella direzione verticalez. Assumendo le seguenti scale (crf. Ghetti, pag. xxx)

t = O(L0

U0); p = O(ρU2

0 ); h = O(D0) (7)

e utilizzando, per semplicita, il modello di chiusura di Boussinesq (2), dalmomento che nel campo di moto esaminato si puo assumere νT ∼ O(U0D0)l’equazione di Reynolds nella direzione z (cfr. eq. (4-c) porge

1ρ

∂p

∂z︸ ︷︷ ︸O(

U20

D0)

+ g∂h

∂z︸ ︷︷ ︸O(g)

= −(∂w

∂t︸︷︷︸O(ε2

U20

D0)

+∂uw

∂x+

∂vw

∂y+

∂w2

∂z︸ ︷︷ ︸O(ε2

U20

D0)

)

7

+ ν(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2)︸ ︷︷ ︸

O( 1Re

εU2

0D0

); O( 1Re

ε3U2

0D0

)

+ νT (∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2)︸ ︷︷ ︸

O(εU2

0D0

); O(ε3U2

0D0

)

(8)

essendo Re = U0D0/ν. Appare innanzitutto evidente come, nelle situazionidi moto in cui, come quelle che qui si vogliono studiare, Re � 1 i termini vis-cosi risultano trascurabili a fronte di quelli dovuti alle tensioni di Reynolds.D’altra parte, i termini legati alle tensioni di Reynolds e quelli relativi allecomponenti temporale e convettiva dell’accelerazione risultano di un ordinedi grandezza inferiore al termine gravitazionale purche siano soddisfatte,rispettivamente, le condizioni:

ε2F 20 � 1, εF 2

0 � 1 (9)

dove F 20 = U2

0 /(gD0) rappresenta il quadrato del numero di Froude carat-teristico del moto. Tali diseguaglianze sono in genere largamente soddisfat-te nei campi di moto che stiamo qui esaminando. In conclusione, quindi,a meno di infinitesimi di ordine superiore, l’equazione dinamica nella di-rezione verticale z si riduce a prescrivere che le pressioni siano distribuiteidrostaticamente in tale direzione per cui

p + γh = γH (10)

avendo indicato con H = H(x, y, t) la quota della superficie libera rispettoad un assegnato piano di riferimento orizzontale.

Con un ragionamento del tutto analogo a quello sopra esposto, e faciledimostrare che anche nelle equazioni dinamiche relative alle direzioni x ey le tensioni di natura viscosa possono essere trascurate a fronte di quelleapparenti di Reynolds. Le equazioni dei moti di onde lunghe in acque bassepertanto possono essere poste nella forma:

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (11-a)

∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂(u v)∂y

+∂(u w)

∂z+ g

∂H

∂x=

1ρ(∂T t

xx

∂x+

∂T tyx

∂y+

∂T tzx

∂z) (11-b)

∂v

∂t+

∂(v u)∂x

+∂v2

∂y+

∂(v w)∂z

+ g∂H

∂y=

1ρ(∂T t

xy

∂x+

∂T tyy

∂y+

∂T tzy

∂z) (11-c)

8

2.3 Le equazioni di De Saint Venant per i moti bidimension-ali.

Procediamo ora ad una ulteriore semplificazione delle equazioni (11-b,b,c)basata sull’osservazione che in molti problemi applicativi e sufficiente conoscerei valori mediati sulla verticale delle componenti u, v della velocita. Indicatacon η(x, y, t) la quota del fondo (che, in generale, puo variare non solo nel-lo spazio ma anche nel tempo), integriamo le (11-b,b,c) lungo la verticale.L’equazione di continuita (11-a) porge:

∫ H

η

∂u

∂xdz +

∫ H

η

∂v

∂ydz + w|H − w|η = 0 (12)

Ma, in base al teorema di derivazione sotto il segno di integrale gli integraliche compaiono a primo membro diventano:

∫ H

η

∂u

∂xdz =

∂

∂x

∫ H

ηudz − ∂H

∂xu|H +

∂η

∂xu|η∫ H

η

∂v

∂ydz =

∂

∂y

∫ H

ηvdz − ∂H

∂yv|H +

∂η

∂yv|η

Inoltre, l’imposizione della condizione cinematica (??) sulla superficie liberaz − H(x, y, t) = 0 e sul fondo z − η(x, y) = 0 comporta, rispettivamente,

∂H

∂t=

[w − u

∂H

∂x− v

∂H

∂y

]z=H

(13-a)

∂η

∂t=

[w − u

∂η

∂x− v

∂η

∂y

]z=η

(13-b)

Ne consegue che, indicata con Y = H − η la profondita locale della correntee con

U =1Y

∫ H

ηudz V =

1Y

∫ H

ηvdz (14)

i valori locali delle componenti longitudinale e trasversale della velocitamediati lungo la verticale, l’equazione di continuita diventa

∂Y

∂t+

∂(UY )∂x

+∂(V Y )

∂y= 0 (15)

9

L’equazione del moto nella direzione longitudinale x, integrata sullaverticale diventa:

∫ H

η

{∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂(u v)∂y

+∂(u w)

∂z

}dz +

∫ H

ηg∂H

∂xdz =

∫ H

η

1ρ(∂T t

xx

∂x+

∂T tyx

∂y+

∂T tzx

∂z)dz (16)

Utilizzando il teorema di derivazione sotto il segno di integrale e le relazionidate dalle condizioni cinematiche in corrispondenza della superficie libera(13-a) e del fondo (13-b), il primo integrale a primo membro della (16)diventa

∫ H

η

{∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂(u v)∂y

+∂(u w)

∂z

}dz =

+∂

∂t

∫ H

ηudz +

∂

∂x

∫ H

ηu2dz +

∂

∂y

∫ H

η(u v)dz

−[u

(∂H

∂t+ u

∂H

∂x+ v

∂H

∂y− w

)]z=H

−[u

(∂η

∂t+ u

∂η

∂x+ v

∂η

∂y− w

)]z=η

=∂

∂t

∫ H

ηudz +

∂

∂x

∫ H

ηu2dz +

∂

∂y

∫ H

η(u v)dz

D’altra parte, indicati con u,v gli scostamenti delle velocita u, v dai lorovalori mediati sulla verticale U , V , e immediato dimostrare che

∫ H

ηu2dz = Y U2 +

∫ H

ηu2dz

∫ H

ηu vdz = Y UV +

∫ H

ηu vdz

Posto:

T dxx = − ρ

Y

∫ H

ηu2dz T d

yx = − ρ

Y

∫ H

ηuvdz

possiamo pertanto scrivere

10

∫ H

η

{∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂(u v)∂y

+∂(u w)

∂z

}dz =

+∂(UY )

∂t+

∂(U2Y )∂x

+∂(U V Y )

∂y+

1ρ

[∂(Y T d

xx)∂x

+∂(Y T d

yx)∂y

](17)

Si noti come, analogamente a quanto avviene nel ricavare le equazioni diReynolds, la nonlinearita dei termini convettivi dell’accelerazione comportache nell’effettuare il processo di media nascano i termini aggiuntivi

∫Hη u2dz =

Y T dxx/ρ e

∫Hη (u v)dz = Y T d

yx/ρ. Tali termini in tal caso sono legati agliscostamenti della velocita puntuale dal valore mediato sulla verticale e sonoformalmente simili a delle tensioni per cui vengono solitamente dette ten-sioni apparenti dispersive.

Il secondo integrale a primo membro della (16) risulta immediatamenteintegrabile e porge

∫ H

ηg∂H

∂xdz = gY

∂H

∂x(18)

Consideriamo ora l’integrale che compare a secondo membro della (16).Utilizzando al solito il teorema di derivazione sotto il segno di integrale siottiene

∫ H

η

{∂T t

xx

∂x+

∂T tyx

∂y+

∂T tzx

∂z

}dz =

+∂

∂x

∫ H

ηT t

xxdz +∂

∂y

∫ H

ηT t

yxdz

−[T t

xx

∂H

∂x+ T t

yx

∂H

∂y− T t

zx

]z=H

+

[T t

xx

∂η

∂x+

T tyx∂η

∂y− T t

zx

]z=η

I termini che compaiono a secondo membro tra parentesi quadre possonoessere opportunamente semplificati ricordando che in base alla (??), i versorinormali al fondo e alla superficie libera sono

nF = (nFx, nFy, nFz) =(−∂H/∂x, −∂H/∂y, 1)√(∂H/∂x)2 + (∂H/∂y)2 + 1

;

11

nη = (nηx, nηy, nηz) =(−∂η/∂x, −∂η/∂y, 1)√(∂η/∂x)2 + (∂η/∂y)2 + 1

e che, in base alla definizione di tensione, t = (n·T). Segue immediatamenteche

tx|z=H

nFz=

[−∂H

∂xT t

xx − ∂H

∂yT t

yx + T tzx

]z=H

(19)

tx|z=η

nηz=

[−∂η

∂xT t

xx − ∂η

∂yT t

yx + T tzx

]z=η

(20)

dove tx|z=H , tx|z=η rappresentano le componenti secondo l’asse x della ten-sione agente, rispettivamente, sulla superficie libera e sul fondo. E’ evidenteche nel caso di variazioni graduali sia della superficie libera sia del fondorisulta, con buona approssimazione

1nFz

=√

(∂H/∂x)2 + (∂H/∂y)2 + 1 � 1 (21)

1nηz

=√

(∂η/∂x)2 + (∂η/∂y)2 + 1 � 1 (22)

Questo significa che e possibile confondere la normale alla superficie conla verticale e, quindi, assumere che tx|z=H

∼= τsx, tx|z=η∼= τfx, essendo

τsx e τfx le componenti secondo x delle tensioni tangenziali che agiscono,rispettivamente, sulla superficie libera e sul fondo (cfr. figura xx).

Ne consegue che, posto:

T txx =

1Y

∫ H

ηT t

xxdz; T tyx =

1Y

∫ H

ηT t

yxdz;

l’integrale che compare a secondo membro della (16) assume la forma:

∫ H

η

{∂T t

xx

∂x+

∂T tyx

∂y+

∂T tzx

∂z

}dz =

∂(Y T txx)

∂x+

∂(Y T tyx)

∂y+ τsx − τfx (23)

Sostituendo nella (16) le relazioni (17), (18), (23) e facendo delle consider-azioni del tutto analoghe per l’equazione del moto nella direzione trasversaley, le equazioni del moto mediate sulla verticale risultano infine

12

∂(Y U)∂t

+∂(Y U2)

∂x+

∂(Y UV )∂y

+ gY∂H

∂x=

1ρ(τsx − τfx)

+1ρ

{∂

∂xY (T t

xx + T dispxx ) +

∂

∂yY (T t

yx + T dispyx )

}(24-a)

∂(Y V )∂t

+∂(Y UV )

∂x+

∂(Y V 2)∂y

+ gY∂H

∂y=

1ρ(τsy − τfy)

+1ρ

{∂

∂xY (T t

xy + T dispxy ) +

∂

∂yY (T t

yy + T dispyy )

}(24-b)

Le equazioni (24-a), (24-b) associate all’equazione di continuuita (15) costi-tuiscono le cosidette equazioni di de Saint Venant bidimensionali.

E’ da sottolineare che nella pratica ingegneristica vengono usualmentetrascurati i termini associati alle variazioni spaziali in direzione longitudinalee trasversale delle tensioni apparenti di Reynolds mediate sulla verticale Tt

e delle tensioni apparenti dispersive Td che nascono in seguito all’operazionedi media lungo z. E, infatti, se vale l’ipotesi di onde lunghe su acque basse,effettuando un’analisi degli ordini di grandezza del tutto simile a quellautilizzata nello studio dell’equazione del moto lungo z e possibile dimostrarela trascurabilita delle derivate lungo x e lungo y di tali tensioni a fronte delletensioni tangenziali (τfx, τfy) e (τsx, τsy) che si realizzano in corrispondenzadel fondo e sulla superficie libera. Si noti, tuttavia, che esiste tutta unaserie di problemi applicativi in cui la necessita di descrivere le circolazionisecondarie che nascono in seguito alla presenza di curve, allargamenti disezione, ostacoli, etc. non consente di trascurare tali termini.

La quantificazione delle tensioni tangenziali che si realizzano in cor-rispondenza del fondo e sulla superficie libera pone un problema formalmenteanalogo a quello della chiusura della turbolenta incontrato nella derivazionedelle equazioni di Reynolds. In particolare risulta necessario legare la ten-sione al fondo alla velocita mediata sulla verticale e la tensione sulla superfi-cie libera alle caratteristiche del vento eventualmente agente su di essa. Perquanto concerne la tensione sul fondo usualmente si assume che, in virtu del-la graduale variazione delle caratteristiche del moto, localmente la correntesi comporti come se il moto fosse uniforme, ovvero che

1ρ(τfx, τfy) = g

√U2 + V 2

χ2(U , V ) (25)

essendo χ io coefficiente di Chezy.

13

2.4 Le equazioni di de Saint Venant per una corrente monodi-mensionale.

Un ulteriore semplificazione del problema del moto delle correnti a superfi-cie libera deriva dall’osservazione che spesso il campo di moto che si vuolestudiare e caratterizzato da una direzione prevalente. Si pensi, ad esem-pio, al moto nei corsi d’acqua naturali o artificiali di sezione compatta onei canali lagunari. In tal caso risulta sufficiente in gran parte delle appli-cazioni pratiche fare riferimento alle caratteristiche macroscopiche del motodescritte dai valori delle varie grandezze mediate in un piano ortogonale alladirezione prevalente del moto che, nel seguito, assumeremo coincidere conla coordinata longitudinale x.

La possibilita di schematizzare una corrente come monodimensionalecomporta non solo che la sezione sia compatta ma che l’asse dell’alveo siacaratterizzato da piccole curvature in direzione trasversale (curvature di tor-sione) e in direzione verticale (curvature di flessione). In tal caso e infattipossibile trascurare i moti secondari che si generano nel piano della sezionein seguito allo squilibrio tra il gradiente trasversale di pressione e la forzacentrifuga indotta dalle curvature delle linee di corrente. In sostanza si puoassumere che nel piano della sezione il livello del pelo libero si mantengaorizzontale.

Inoltre le variazioni delle caratteristiche del moto nello spazio e nel tem-po devono comunque essere comunque graduali. Sia dunque L0 la scalaspaziale lungo cui avvengono le variazioni graduali sia delle caratteristichegeometriche della sezione sia del campo di moto (i.e. della profondita e dellavelocita). Indicate con D0 e B0 le lunghezze scala relative alla profonditadella corrente e alla dimensione trasversale della sezione si avra:

εy =B0

L0� 1 εz =

D0

L0� 1 (26)

Si noti come molto spesso nei corsi d’acqua D0 � B0 e, quindi,εy � εz; allimite si potra avere εy

∼= εz. Ai fini dell’analisi degli ordini di grandezzapossiamo quindi assumere εy = εz = ε.

Analizziamo i termini che compaiono nell’equazione di continuita medi-ata sulla turbolenza.

∂u

∂x︸︷︷︸O(

U0L0

)

+∂v

∂y︸︷︷︸O(

V0L0

)

+∂w

∂z︸︷︷︸O(

W0D0

)

= 0

Ne consegue che

14

(V0, W0) ∼ O(εU0) (27)

Analizziamo ora le equazioni dinamiche nella direzione trasversale y e inquella verticale z. Si noti che, per le ipotesi sopra fatte, e possibile assumere∂h/∂y = 0), ovvero che h = h(x, z, t).

Utilizzando per t, p e h le scale definite dalle (7) e, al solito, utilizzandoper semplicita il modello di chiusura turbolento proposto da Boussinesql’analisi degli ordini di grandezza dei vari termini mostra come l’equazionedi Reynolds nella direzione z (cfr. eq. (8)) assume la forma:

∂p

∂z+ ρg

∂h

∂z= O(ε) (28)

nell’ipotesi, usualmente soddisfatta nel tipo di moti qui considerati, chevalgano le diseguaglianze:

ε2F 20 � 1 εF 2

0 � 1 (29)

essendo F0 =√

U20 /(gD0) il numero di Froude della corrente.

L’analisi degli ordini di grandezza applicata all’equazione di Reynoldsnella direzione trasversale y porge:

1ρ

∂p

∂y︸ ︷︷ ︸O(

U20

D0)

= − ∂v

∂t︸︷︷︸O(ε2

U20

D0)

−u∂v

∂x− v

∂v

∂y− w

∂v

∂z︸ ︷︷ ︸O(ε2

U20

D0)

+ ν(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2)︸ ︷︷ ︸

O( 1Re

εU2

0D0

); O( 1Re

ε3U2

0D0

)

+ νt(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2)︸ ︷︷ ︸

O(εU2

0D0

); O(ε3U2

0D0

)

(30)

Ne consegue che:

∂p

∂y= O(ε) (31)

15

Si puo quindi concludere che, a meno di infinitesimi di ordine superiore,le equazioni dinamiche nella direzione trasversale y e in quella verticale z siriducono a prescrivere che le pressioni siano distribuite idrostaticamente nelpiano della sezione, ovvero

p + γh = γH (32)

essendo H = H(x, t) la quota della superficie libera rispetto ad un assegnatopiano di riferimento orizzontale.

Con riferimento alle notazioni riportate in figura xx, ricaviamo ora leequazioni di continuita e della quantita di moto in direzione longitudinale xintegrate sulla generica sezione.

Al fine di integrare sulla sezione l’equazione di continuita e sufficienteintegrare in direzione trasversale dell’equazione di continuita mediata sullaverticale (15) ricavata precedentemente. Si ottiene:

∫ B2

−B1

∂Y

∂tdy +

∫ B2

−B1

∂UY

∂xdy +

∫ B2

−B1

∂V Y

∂ydy =

+∂

∂t

∫ B2

−B1

Y dy +∂

∂x

∫ B2

−B1

UY dy

−[Y

(∂B2

∂t+ U

∂B2

∂x− V

)]y=B2

+[Y

(∂(−B1)

∂t+ U

∂(−B1)∂x

− V

)]y=−B1

E immediato osservare che i termini tra parentesi quadre sono identicamenteuguali a zero. Infatti, nel caso di una sezione qualsiasi in cui la profondiasi annulla gradatamente spostandosi verso le rive si ha che (Y )y=−B1 =(Y )y=B2 = 0 mentre nel caso di sezione rettangolare la condizione cinematicaapplicata alle due sponde e integrata lungo la verticale impone che

∂B2

∂t+ U

∂B2

∂x− V = 0,

∂(−B1)∂t

+ U∂(−B1)

∂x− V = 0.

Indicata con Q = UA portata che fluisce nella sezione ricordando che:

∫ B2

−B1

Y dy = A

∫ B2

−B1

UY dy = Q (33)

l’equazione di continuita mediata sulla sezione assume la classica forma:

16

∂A

∂t+

∂Q

∂x= 0 (34)

Consideriamo ora l’equazione della quantita di moto nella direzione lon-gitudinale x. La (11-b) integrata sulla sezione diventa:

∫ B2

−B1

dy

∫ H

η

(∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂u v

∂y+

∂u w

∂z

)dz + g

∫ B2

−B1

dy

∫ H

η

∂H

∂xdz =

+1ρ

∫ B2

−B1

dy

∫ H

ηu

(∂T t

xx

∂x+

∂T tyx

∂y+

∂T tzx

∂z

)dz (35)

Utilizzando i teorema di derivazione sotto il segno di integrale il primotermine a primo membro della (35) diventa:

∫ B2

−B1

dy

∫ H

η

(∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂u v

∂y+

∂u w

∂z

)dz =

+∫ B2

−B1

(∂

∂t

∫ H

ηu dz +

∂

∂x

∫ H

ηu2 dz +

∂

∂y

∫ H

ηuv dz

)dy

−∫ B2

−B1

[u

(∂H

∂t+ u

∂H

∂x+ v

∂H

∂y− w

)]z=H

dy

+∫ B2

−B1

[u

(∂η

∂t+ u

∂η

∂x+ v

∂η

∂y− w

)]z=η

dy

Gli integrali contenenti i termini tra parentesi quadre sono identicamentenulli in quanto le funzioni integrande rappresentano condizioni cinematichein corrispondenza del pelo libero (13-a) e del fondo (13-b). Utilizzandonuovamente la regola di derivazione sotto il segno di integrale, il terminerimanente puo essere elaborato come segue:

∫ B2

−B1

dy

(∂

∂t

∫ H

ηu dz +

∂

∂x

∫ H

ηu2 dz +

∂

∂y

∫ H

ηuv dz

)=

+∂

∂t

∫ B2

−B1

∫ H

ηu dy dz +

∂

∂x

∫ B2

−B1

∫ H

ηu2 dy dz

−[∂B2

∂t

∫ H

ηu dz +

∂B2

∂x

∫ H

ηu2 dz −

∫ H

ηu v dz

]y=B2

+

[∂(−B1)

∂t

∫ H

ηu dz +

∂(−B1)∂x

∫ H

ηu2 dz −

∫ H

ηu v dz

]y=B1

17

E evidente che i termini che compaiono tra parentesi quadre sono identica-mente nulli. Nel caso di sezione rettangolare, infatti, essi coincidono con lacondizione cinematica imposta in corrispondenza delle pareti laterali, molti-plicata per u e integrata lungo z. Nel caso in cui, invece, la profondita dellasezione diminuisce gradualmente avvicinandosi alle sponde (cfr. figura xx)ricordando le (14) e utilizzando le seguenti definizioni:

∫ H

ηu2 dz = β1Y U2,

∫ H

ηu v dz = β2Y UV

conviene riscrivere tali termini nella forma:

∂B

∂t

∫ H

ηu dz +

∂B

∂x

∫ H

ηu2 dz−

∫ H

ηu v dz = Y

(U

∂B

∂t+ β1U

2 ∂B

∂x− β2U V

)

con B alternativamente uguale a B2 o a −B1. E allora immediato osservareche tali espressioni calcolate in y = B2 e in y = −B1 sono identicamentenulle in quanto (Y )y=B2 = (Y )y=−B1 = 0.

Indicate con U la velocita media nella sezione e con A l’area liquida dellasezione, per definizione si avra:∫ B2

−B1

∫ H

ηu dy dz = UA,

∫ B2

−B1

∫ H

ηu2 dy dz = βAU2

potremo infine scrivere:

∫ B2

−B1

dy

∫ H

η

(∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂u v

∂y+

∂u w

∂z

)dz =

∂AU

∂t+

∂βAU2

∂x(36)

Il secondo termine a primo membro della (35) e immediatamente inte-grabile in quanto, per le ipotesi fatte, H dipende solo da x e t. Si avraquindi:

g

∫ y=B2

y=−B1

dy

∫ H

η

∂H

∂xdz = gA

∂H

∂x(37)

Il termine a secondo membro della (35), infine, puo essere sviluppatocome segue utilizzando, al solito, la regola di derivazione sotto il segno diintegrale:

∫ B2

−B1

dy

∫ H

η

(∂T t

xx

∂x+

∂T tyx

∂y+

∂T tzx

∂z

)dz =

18

+∫ B2

−B1

(∂

∂x

∫ H

ηT t

xx dz +∂

∂y

∫ H

ηT t

xy dz

)dy

−∫ B2

−B1

[T t

xx

∂H

∂x+ T t

xy

∂H

∂y− T t

xz

]z=H

dy

−∫ B2

−B1

[T t

xx

∂η

∂x+ T t

xy

∂η

∂y− T t

xz

]z=η

dy (38)

Introducendo le condizioni dinamiche sulla superficie libera (19) e sul fondo(20), il secondo e il terzo termine a secondo membro risultano:

∫ B2

−B1

[T t

xx

∂H

∂x+ T t

xy

∂H

∂y− T t

xz

]z=H

dy =∫ B2

−B1

t|z=H

nFzdy (39-a)∫ B2

−B1

[T t

xx

∂η

∂x+ T t

xy

∂η

∂y− T t

xz

]z=eta

dy =∫ B2

−B1

t|z=η

nηzdy (39-b)

Anche nel caso qui considerato, avendo fatto l’ipotesi di variazioni gradualisia della superficie libera sia del fondo e possibile confondere la normale conla verticale e porre:

1nFz

=√

(∂H/∂x)2 + (∂H/∂y)2 + 1 � 1

1nηz

=√

(∂η/∂x)2 + (∂η/∂y)2 + 1 � 1

Ne consegue che tx|z=H∼= τsx, tx|z=η

∼= τfx, essendo τsx e τfx le componen-ti secondo x delle tensioni tangenziali che agiscono, rispettivamente, sullasuperficie libera e sul fondo (cfr. figura xx). Indicati con B la larghezza del-l’alveo in corrispondenza della superficie libera e con c il contorno bagnatodella sezione i valori mediati sulla sezione delle componenti secondo x deglisforzi tangenziali al fondo τfx e sulla superficie libera τsx risultano:∫ B2

−B1

t|z=H

nFzdy =

∫ B2

−B1

τfx dy = cτfx,

∫ B2

−B1

t|z=η

nηzdy =

∫ B2

−B1

τsx dy = Bτsx,

Per quanto concerne l’integrale che compare a primo membro della (38),definiti: ∫ H

ηT t

xx dz = Y T txx,

∫ H

ηT t

xy dz = Y T txy,

esso puo essere riscritto nella forma:

19

∫ B2

−B1

(∂

∂x

∫ H

ηT t

xx dz +∂

∂y

∫ H

ηT t

xy dz

)dy =

∂

∂x

∫ B2

−B1

Y T txxdy

−[Y

(T t

xx

∂B2

∂x− T t

xy

)]y=B2

+[Y

(T t

xx

∂B2

∂x− T t

xy

)]y=−B1

E immediato osservare che i termini tra parentesi quadre sono identicamenteuguali a zero in quanto (Y )y=−B1 = (Y )y=B2 = 0.

In definitiva, l’equazione della quantita di moto nella direzione longitu-dinale x, integrata sulla sezione assume la forma:

∂(UA)∂t

+∂(βU2A)

∂x+ gA

∂H

∂x= −c

τfx

ρ+ B

τsx

ρ+

1ρ

∂

∂x

∫ B2

−B1

Y T txxdy (40)

Si noti come, l’ultimo termine a secondo membro, rappresentante la vari-azione lungo x della tensione normale nella direzione del moto, viene gen-eralmente trascurato nelle applicazioni ingegneristiche. Inoltre, in virtu del-l’ipotesi fatta che le caratteristiche del campo di moto varino gradualmentesia nel tempo sia nello spazio, e possibile ovvero assumere che le perditedi energia siano equivalenti a quelle che si avrebbero in condizioni di motouniforme a parita di area liquida e velocita. Ne consegue che:

τfx

ρ= g

U2

χ2(41)

In assenza di azioni apprezzabili in corrispondenza della sulla superficie lib-era (ad esempio indotte dalla presenza di vemto) le equazioni di de SaintVenant per una corrente monodimensionale, scritte in termini delle vari-abili U (velocita media sulla sezione) e D profondita media nella sezione,assumono la classica forma:

∂BD

∂t+

∂BDU

∂x= 0 (42-a)

∂(UBD)∂t

+∂(βU2BD)

∂x+ gA

∂H

∂x+ gc

U2

χ2= 0 (42-b)

20

2.5 Equazioni del moto permanente gradualmente vario

Si consideri il caso piu generale del moto permanente che si instaura inun canale ad asse rettilineo con alveo non cilindrico e di sezione qualsiasi.Nell’ipotesi che le variazioni della forma della sezione siano sufficientementelente da consentire l’adozione di uno schema unidimensionale, le equazionidi continuita e del moto si scrivono:

Q = UA = costante (43)

d

dx(βU2A) + gA

dh

dx+ β

τ0

ρ= 0 (44)

dove, con riferimento alle notazioni di figura 1, x e l’asse orizzontale, ori-entato nella direzione del moto, rispetto a cui vengono valutate la quotadel fondo η(x) e la quota del pelo libero h(x), A(x) e l’area liquida dellasezione, U(x) e la velocita media nella sezione, g e l’accelerazione di gravita,ρ e la densita dell’acqua, β e il coefficiente correttivo di Coriolis che tieneconto della disuniforme distribuzione della velocita all’interno della sezionee, infine, τ0 e lo sforzo tangenziale al fondo. I dettagli della derivazionedell’equazione (44) sono riportati nell’appendice 1.

Il moto permanente gradualmente vario in un alveo rettangolare e rettodalle seguenti equazioni di continuita e della quantita di moto

Q = costante (45)

dy

dx=

if − J

1 − F 2r

(46)

dove Q = yBU la portata liquida, if = tan α e la pendenza del fondo, J ela perdita di energia per unita di peso e unita di lunghezza e Fr = U/(gy)1/2

e il numero di Froude della corrente.La (46) rappresenta un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine

non lineare, soggetta alle condizioni al contorno y(x0) = Y0. Matematica-mente si tratta di risolvere il seguente problema ai valori iniziali

dy

dx= f(x, y) (47)

y(x0) = Y0 (48)

Posto che la funzione f(x, y) soddisfi le condizioni di esistenza ed unicitadella soluzione si vuole determinare per via numerica approssimazioni yk dei

21

valori reali y(xk) = Yk che la soluzione esatta della (47) assume a partiredalla condizione iniziale (48) nei punti xk (k = 0, 1, 2, . . .) che identificanole sezioni di cui si conoscono le caratteristiche geometriche.

Ulteriori esempi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine,non lineari, sono date dalle equazioni che consentono di calcolare il profilodi moto gradualmente vario in canali prismatici in presenza di derivazioni oimmissioni continue di portata. In entrambe i casi l’equazione del moto sipuo porre nella forma:

dy

dx=

if − J∗

1 − F 2r

(49)

dove J∗ rappresenta formalmente una perdita di energia per unita dipeso di fluido ed unita di lunghezza che, per un canale prismatico a sezionecostante pari:

J∗ = J +Q

gA2

dQ

dxDerivazione (50)

J∗ = J +2Q

gA2

dQ

dxImmissione (51)

Si noti come la (51) sia valida nel caso in cui l’immissione di portataavvenga normalmente all’asse del canale o dall’alto.

Alla (??) ovviamente va associata l’equazione di continuita che consentedi specificare come Q vari lungo x nelle varie configurazioni che si pos-sono presentare nella pratica ingegneristica (derivazione tramite stramazzolaterale, griglia di fondo, etc; immissione continua laterale o dall’alto).

Un’ulteriore equazione differenziale ordinaria che si incontra nella prat-ica ingegneristica e quella derivata indipendentemente da Serre (1953) eBenjamin e Lightill (1954) che consente di calcolare l’andamento del pelolibero in un canale prismatico nel caso in cui non si possano trascurare lecurvature della superficie libera e, pertanto, la distribuzione delle pressionisi scosti dall’andamento idrostatico. Il problema risulta essere retto dalseguente sistema di equazioni differenziali ordinarie, non lineari

(dy

dx)2 = −6gy

q2(Y 2

2− yH(x) + M(x) − q2

2gy(52)

dH

dx= if − J (53)

dM

dx= y(if − J) (54)

22

essendo H ed M , rispettivamente, l’energia specifica rispetto al fondo ela spinta totale della corrente nella generica sezione x.

Infine, nel caso di moto vario unidimensionale, le equazioni di continuita edella quantita di moto per onde lunghe su acque basse assumono la seguenteforma (eq. di De Saint Venant)

∂A

∂t+

∂Q

∂x= 0 (55)

∂

∂t

Q

A+

12

∂

∂x(Q

A)2

∂H

∂x+

1g

Q|Q|Ξ2A2Rh

= 0 (56)

dove H rappresenta la quota del pelo libero rispetto ad un piano diriferimento assegnato, Ξ e il coefficiente di resistenza di Chezy, Q e la portataliquida, A ed Rh rappresentano, rispettivamente l’area liquida e il raggioidraulico. Si tratta di un sistema di equazioni differenziali alle derivateparziali di tipo iperbolico.

Un altro esempio di equazione di tipo iperbolico?e dato dalla classicaequazione della convezione-diffusione

∂c

∂t+ U

∂c

∂x= D

∂2c

∂c2(57)

dove x e la coordinata longitudinale orientata positivamente nel senso delmoto medio, c e la concentrazione di soluto contenuta nella miscela, U e lavelocita media con cui si muove la miscela e D e il coefficiente di diffusione.La soluzione approssimata di tale equazione:

2.6 Immissioni e sottrazioni continue di portata

2.7 L’effetto delle curvature: equazione di Benjamin-Lighthill-Serre

23

Riferimenti bibliografici

[1] Ghetti, A., Idraulica, Ed. Libreria Cortina, Padova, 1981.

[2] Lamb, H., Hydrodynamics, Cambridge University Press, 19xx.

[3] Rodi, W., Turbulence models and their application in hydraulics- A state of the art review,Institut fur Hydromechanik andSonderforschungsbereich 80, University of Karlsruhe, Germany, 1980.

[4] Shames, I., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, New York, 1992.

[5] Spigler, R., Gradiente, Rotore, Divergenza e Applicazioni, Ed. Cortina,1987.

[6] Zemansky, M.W., Abbott, M.M. e Van Ness, H.C., Fondamenti diTermodinamica per Ingegneri, Zanichelli, 1983.

24

Figura 1: Notazioni.