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Kreps: "Microeconomia per manager" 1Maria Vittoria Levati

L’avversione al rischio e l’utilità attesa


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONEIn questa lezione introdurremo il modello dell’utilità attesa, che descrive le scelte individuali in condizioni di rischio. Alcuni mercati di primaria importanza sono stati creati per aiutare i singoli e le imprese a gestire le incertezze cui essi sono soggetti. Sono i mercati dei:

titoli finanziari, assicurazioni, opzioni e operazioni a termine


SCELTE IN SITUAZIONI DI INCERTEZZA

Usiamo il termine rischiose per descrivere quelle situazioni in cui l’esito di una scelta è incerto.Ciò che determina l’esito di una situazione incerta, o rischiosa, è noto come stato del mondo.Una lotteria è un meccanismo usato per rappresentare situazioni rischiose.Ci sono tre elementi fondamentali in una lotteria:1) l’insieme degli stati del mondo, gli stati possibili;2) le probabilità connesse a ogni possibile stato del mondo;3) i valori monetari associati a ogni stato del mondo.


Per semplicità ci concentreremo su lotterie con un numero finito di stati e valori possibili.La probabilità di un certo stato del mondo è una misura della verosimiglianza che questo accada.Se un certo evento non può accadere, la sua probabilità è zero.Se un evento accade sicuramente, la sua probabilità è uno.Se un evento potrebbe accadere, ma non per certo, la sua probabilità è fra zero e uno.Per ogni dato processo casuale, le probabilità di tutti gli stati devono sommarsi a uno, perché è certo che uno o l’altro degli esiti possibili accadrà.


EsempioSe tirate un dado, siete davanti a una situazione aleatoria (rischiosa); in questo caso, la lotteria associata è caratterizzata da:

(1) Stati del mondo o esiti: sei possibili esiti (le sei facce del dado)

(2) Probabilità: ogni esito ha la stessa probabilità, pari a 1/6

(3) Valori monetari: Es.: una somma di euro pari al numero sulla faccia del dado.

Possiamo rappresentare questa lotteria col seguente albero decisionale:

1/6€ 1

€ 3

€ 5€ 6

1/6

1/6

1/6

€ 21/6

1/6€ 4

I 6 esiti possibili sono riportati alle estremità dei rami.La prob. di occorrenza di ogni esito èindicata sul rispettivo ramo.


Valore attesoIl valore atteso di una variabile casuale X è il valore di X che si realizza “in media”.Per trovare il valore atteso di X, si deve pesare il valore di X in ogni stato del mondo con la probabilità che quello stato del mondo – e quindi il relativo valore − si realizzi.Il valore atteso di una semplice lotteria con due stati del mondo (o esiti) j = {1, 2} è:

( ) 21 1 vpvpEV ⋅−+⋅=

dove vj è il valore associato allo stato del mondo j e p è la probabilitàrelativa al primo stato del mondo.Se vj = v per ogni stato del mondo j, allora:

( ) ( ) vppvvpvpEV =−+⋅=⋅−+⋅==43421

1

11


In che modo gli individui reagiscono all’incertezza?La scelta dipende da come vengono formulate le opzioniImmaginate che per combattere un’epidemia influenzale potete attuare un programma di vaccinazione relativo a 600 persone, scegliendo tra due programmi possibili e tra loro incompatibili:

il primo salverà con certezza 400 persone; il secondo ha una probabilità pari a 1/3 di non salvare

nessuno e una probabilità pari a 2/3 di salvare 600 persone. Quale programma consigliate?


Pensate ora che la scelta sia tra i seguenti due programmi:con il primo moriranno con certezza 200 persone; con il secondo vi è una probabilità pari a 2/3 che nessuno

muoia e una probabilità di 1/3 che muoiano 600 persone. Quale programma preferite?Le risposte prevalenti sono state il primo programma per la prima formulazione del dilemma (salvare con certezza 400 persone) e il secondo per la seconda formulazione. Se tuttavia analizzate attentamente le due formulazioni, vi accorgerete che il problema è identico in termini di conseguenze effettive.


Meglio scommettere quando le probabilità sono “note” piuttosto che quando sono ignoteUn’urna contenente 300 palline: 100 sono rosse, le altre 200 sono alcune blu e alcune verdi. Vincete €100 se estraete dall’urna una pallina di un dato colore. Preferite che tale colore sia il rosso, il blu o il verde? Un numero elevato di persone afferma di essere indifferente tra il blu e il verde e di avere invece una preferenza stretta per il rosso. Queste persone preferiscono scommettere quando le probabilità sono note piuttosto che quando sono ignote.


Gli economisti adottano la seguente terminologia:se una situazione è incerta, ma le conseguenze possibili e le rispettive probabilità di occorrenza sono oggettivamente note, la situazione implica rischio o incertezza oggettiva; quando gli esiti possibili sono noti, ma le relative probabilità di occorrenza non sono oggettivamente note, la situazione implica incertezza o incertezza soggettiva; infine, quando l’elenco dei possibili esiti non è chiaramente definito, la situazione implica ambiguità o contingenze impreviste. L’esempio delle palline colorate nell’urna illustra l’avversione all’incertezza soggettiva.


0,3€ 100

€ 50

€ 0

− € 200

0,2

0,4

0,1

Attitudine al rischioGli schemi comportamentali che prenderemo in considerazione sonoriferiti a decisioni prese in condizioni di rischio o incertezza oggettiva. Consideriamo una lotteria che offre

€100 con una probabilità pari a 0,3€50 con una probabilità pari a 0,2€0 con una probabilità pari a 0,4− € 200 con una probabilità pari a 0,1.


Per qualsiasi lotteria possiamo calcolare il valore monetario valore monetario attesoatteso (VMA), la media della lotteria, moltiplicando ogni premio possibile per la sua probabilità e poi sommando i risultati.Qual è il VMA della lotteria appena illustrata?

I premi possibili sono: €100, €50, €0, −€200;le rispettive probabilità: 0,3 0,2 0,4 0,1.

Quindi il suo VMA è: 0,3 × 100 + 0,2 × 50 + 0,4 × 0 + 0,1 × −200 =

30 + 10 + 0 − 20 = 20Preferireste giocare la lotteria o ricevere con certezza il suo valore monetario atteso di € 20?


Una persona che preferisce il valore monetario atteso di una lotteria alla lotteria stessa è avversa al rischio.

Nell’esempio precedente: “20 preferito alla lotteria”.

Una persona che è indifferente tra una lotteria e il corrispondente valore monetario atteso è neutrale rispetto al rischio.

Nell’esempio precedente: “20 e la lotteria sono equivalenti”.

Una persona che preferisce una lotteria al suo valore monetario atteso è propensa al rischio.

Nell’esempio precedente: “la lotteria preferita a 20”.


EQUIVALENTE CERTOEQUIVALENTE CERTOData una qualsiasi lotteria, possiamo sempre determinare una somma certa € X tale che l’individuo è indifferente tra la lotteria e il pagamento certo X.“X” è l’equivalente certo (CE dall’inglese “certaintyequivalent”) della lotteria per tale persona. Quindi che relazione esiste fra CE e VMA della lotteria a seconda dell’attitudine al rischio dell’individuo?

L’avversione al rischio implica un equivalente certo inferiore al valore monetario atteso, ossia CE < VMA; la neutralità rispetto al rischio si traduce in CE = VMA e la preferenza per il rischio in CE > VMA.


PREMIO PER IL RISCHIO (PREMIO PER IL RISCHIO (riskrisk premium)premium)

Se CE < VMA, la differenza tra l’equivalente certo e il valore monetario atteso:

VMA − CEè definita premio per il rischio (PR) della lotteria.

Un individuo avverso al rischio esibirà un premio per il rischio positivo per ogni lotteria.

Maggiore è il premio per il rischio, maggiore è, approssimativamente, il livello di avversione al rischio della persona per la lotteria in questione.


LL’’avversione (assoluta) al rischio decrescenteavversione (assoluta) al rischio decrescenteCome varia il livello di avversione al rischio quando la ricchezza posseduta aumenta o diminuisce? Un metodo per misurare questa variazione consiste nell’osservare la variazione del premio di rischio per una data lotteria all’incrementare del livello complessivo della ricchezza dell’individuo.Se un individuo tende a diventare meno avverso al rischio all’aumentare della sua ricchezza, tale individuo esibisce un’avversione (assoluta) al rischio decrescente.


IL MODELLO DELL’UTILITÀATTESA

È il modello più utilizzato dagli economisti per rappresentare il processo decisionale in presenza di esiti incerti. Iniziamo descrivendone il funzionamento per le scommesse con date probabilità oggettive e dati premi monetari (ossia scommesse in condizioni di rischio).Le preferenze di una persona tra tali scommesse sono determinate dalla sua funzione di utilità, che assegna a ogni premio monetario un numero, ossia l’utilità del premio.


Consideriamo una generica lotteria V :

Ipotizziamo che un individuo sia in grado di assegnare un livello di utilità a ogni valore possibile vj attraverso una funzione di utilità u(vj). Quindi u(v1) è l’utilità che l’individuo associa al premio monetario v1.

Teorema dellTeorema dell’’utilitutilitàà attesaattesa:: date alcune ipotesi sulle preferenze, l’utilità attesa della lotteria V può essere rappresentata dalla seguente funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern:

( ) ( ) ( ) EuvupvupVU =⋅−+⋅= 21 1)(

Quindi l’utilità che l’individuo si aspetta di ottenere ex ante (l’utilitàattesa) dalla lotteria è semplicemente il valore atteso delle utilitàderivate dai due premi monetari.

⎩⎨⎧

−=

pvpv

V12

1


0,33€ 750

(X)0,39

0,280,3 € 0

(Y) (Z)

0,12

0,23

0,440,21

0,7

Il teorema dell’utilità attesa implica che un individuo, se chiamato a scegliere fra diverse lotterie, paragonerà i livelli di utilità attesa Euassociati alle diverse lotterie e sceglierà la lotteria con l’utilità attesa più elevata.

€ 1500

€ 250

− € 750

€ 1500€ 250

− € 450€ 0

Supponiamo che l’individuo debba scegliere tra le seguenti tre lotterie:


v

uSupponiamo inoltre che l’individuo sia caratterizzato dalla seguente funzione di utilità: u(v)

1

€0

2

€750

Consideriamo la lotteria (X) che paga “€750” o “0” con p = 0,7 e 0,3. L’utilità associata a € 0 è u(0) = 1; quella associata a € 750 è 2.


Dinnanzi a questa scelta, se l’individuo vuole rispettare ilmodello dell’utilità attesa:

1. utilizza la propria funzione di utilità per calcolare l’utilitàassociata ad ogni premio (vj) di ciascuna lotteria (u(vj));

2. calcola l’utilità attesa di ogni lotteria: per ogni lotteria moltiplica la probabilità di ogni premio per l’utilità corrispondente e somma i prodotti; ad esempio l’utilità attesa della prima lotteria èU(Vx) = Eux = 0,7 × u(750) + 0,3 × u(0) = 0,7 × 2 + 0,3 × 1 = 1,7;

3. sceglie la lotteria caratterizzata dall’utilità attesa maggiore.


PREFERITE LA LOTTERIA (X), (Y) oppure (Z)?

0,33€ 750 [2]0,39

0,280,3 € 0 [1]

(Y) (Z)

0,12

0,23

0,440,21

0,7€ 1500 [4]

€ 250 [1,35]

− € 750 [1,5]

€ 1500 [4]€ 250 [1,35]

− € 450 [0]€ 0 [1]

0,33€ 7500,39

0,280,3 € 0

(Y) (Z)

0,12

0,23

0,440,21

0,7€ 1500

€ 250

− € 750

€ 1500€ 250

− € 450€ 0

(X)

Eux = 1,4 + 0,3 = 1,7

(X)

EuY = 1,32 + 0,59 – 0,345 = 1,57 EuZ = 1,29

SULLA BASE DELL’UTILITÀ ATTESA: (X) È PREFERITA ALLE ALTRE DUE LOTTERIE


Quindi, secondo il modello dell’utilità attesa, un individuo caratterizzato dalla funzione di utilità mostrata in precedenza dovrebbe scegliere la lotteria (X), in quanto essa ha l’utilità attesa maggiore.La funzione di utilità specifica è importante solamente per preservare l’ordine delle utilità attese: se U è la funzione di utilità che (insieme all’ipotesi di massimizzazione dell’utilità attesa) caratterizza le scelte di un dato individuo, allora la funzione W determinata

moltiplicando U per una costante positiva e aggiungendo un’altra costante

porta esattamente alle stesse scelte.


I premi non monetariI premi non monetariÈ facile estendere il modello dell’utilità attesa a premi non monetari, ossia premi non espressi in premi non espressi in monetamoneta (ad esempio, in euro):

qualsiasi sia la gamma dei premi possibili, la funzione di utilità U assegna ad ogni premio un livello di utilità e quindi possiamo misurare il valore di ogni lotteria in base alla sua utilità attesa.


Ricavare gli equivalenti certi a Ricavare gli equivalenti certi a partire da una funzione di utilitpartire da una funzione di utilitààPoiché la scala della funzione di utilità può essere dilatata o compressa a piacimento, è difficile attribuire un significato alle differenze dei livelli di utilità attesa.Nel caso di premi monetari possiamo misurare di quanto una lotteria o un qualsiasi paniere rischioso èmigliore riconvertendo i livelli di utilità attesa in quantità monetarie. A tal fine si legge la funzione di utilità a ritroso.


L’equivalente certo

1v

u

2v v

Eu

L’equivalente certo è il prospetto senza rischio che genera un livello di utilità pari all’utilità attesa della lotteria: un individuo è indifferente tra ottenere l’ammontare monetario rappresentato dall’equivalente certo con certezza e il guadagno aleatorio derivante dalla lotteria.

)( 2vu

)( 1vu

CE


1v 2v v

( )vu

⎩⎨⎧

−=

pvpv

V12

1

( )1vu

( )2vuAvversione al rischio

( ) 21 1 vpvpEV ⋅−+⋅=

( ) ( ) ( )21 1)( vupvupEuVU ⋅−+⋅==

Valore monetario atteso della lotteria:

Utilità attesa della lotteria:

EV

u(EV)

U(V)=Eu

u


Quando un individuo preferisce un prospettiva senza rischio (certa) ad una lotteria rischiosa che ha lo stesso valore monetario atteso, l’individuo è avverso al rischio.

1v

u

2v v

EuVU =)(

EV

( )EVu( )vu

EuEVu >)(

In questo esempio l’alternativa certa, EV,è preferita alla lotteria V che ha lo stesso reddito atteso.


Notate come l’avversione al rischio possa definirsi anche in termini di equivalente certo (come detto in precedenza).

2v

Eu

( )vu

( )1vu

( )2vu

1v EVCE v

Equivalente certo (CE) < Valore monetario atteso della lotteria (EV)


2v

Eu

( )vu

( )1vu

( )2vu

1v EVCE v

Chiaramente l’individuo pagherebbe per sbarazzarsi del rischio: il massimo ammontare che è disposto a pagare è dato dalla differenza tra il valore monetario atteso della lotteria (EV) e l’equivalente certo della lotteria.

Abbiamo detto prima che questa differenza viene definita premio per il rischio e rappresenta il premio che l’individuo pagherebbe per sbarazzarsi del rischio.


EuEVu <)(1v

u

2v v

EuVU =)(

EV

( )EVu

Propensione al rischio

CE

EVCE >


1v

u

2v v

( )EVu

Eu=

CEEV =

Indifferenza al rischio

EVCEEuEVu == e )(


Il grado di avversione al rischio è strettamente legato alla concavità della funzione di utilità u(v); l’individuo è:

avverso al rischioavverso al rischio se la funzione di utilità è strettamente concava;

neutrale rispetto al rischioneutrale rispetto al rischio se la funzione di utilità è lineare;

amante del rischioamante del rischio se la funzione di utilità è strettamente convessa.

Il grado di avversione al rischio è direttamente proporzionale alla curvatura della funzione: più la funzione è concava, piùavversi al rischio sono gli individui.


Coefficiente assoluto di avversione al rischioCoefficiente assoluto di avversione al rischioSulla base della precedente osservazione sulla relazione tra avversione al rischio e concavità, possiamo costruire una misura del grado di avversione al rischio di un individuo basata su quanto la sua funzione di utilità è concava.Una possibile misura è il coefficiente assoluto di avversione al rischio di Arrow-Pratt, definito come

dove u', u'' sono le derivate prima e seconda della funzione di utilità u avente come argomento un valore non aleatorio x (uno dei premi della lotteria).

)(')('')(

xuxuxRA −=


La curvatura di una funzione in un punto è data dal rapporto della sua derivata seconda rispetto alla prima.

la normalizzazione tramite u' è finalizzata a rendere il valore di RAindipendente dall’unità di misura adottata, così che RA è un numero puro, da cui l’aggettivo assoluto per identificare il coefficiente di avversione al rischio.

Dato che se una funzione è concava la sua derivata seconda ènegativa, davanti al rapporto è stato aggiunto un segno negativo per preservare la proporzionalità di RA a u''.Una curvatura decrescente implica un’avversione al rischio decrescente: se RA(x) decresce, l’individuo farà scelte sempre meno avverse al rischio man mano che il livello base della sua ricchezza aumenta.

)(')('')(

xuxuxRA −=


In base al coefficiente assoluto di avversione al rischio, una funzione di utilità si definisce:CARA (dall’inglese Constant Absolute Risk Aversion), o funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante:

se RA(x) è costante rispetto a x.

DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion), o funzione di utilità con avversione al rischio decrescente:

se RA(x) decresce al crescere di x.IARA (Increasing Absolute Risk Aversion), o funzione di utilità con avversione al rischio crescente:

se RA(x) cresce al crescere di x.


La funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante (CARA) è molto utilizzata perché sembra avere validitàempirica. Una funzione di utilità che possiede questa proprietàè:

dove A e B > 0 sono costanti.L’ipotesi di DARA (funzione di utilità con avversione assoluta al rischio decrescente) è di norma giustificata sulla base della regolarità empirica per cui individui che dispongono di maggiore ricchezza sarebbero più propensi a correre rischi. Niente vieta d’altra parte, che una funzione di utilità sia, ad esempio, CARA per dati livelli di ricchezza e DARA per livelli diversi.

xRABeAxu ⋅−−=)(


L’incertezza soggettiva e l’avversione nei confronti delle probabilità ignote

La maggior parte dei modelli utilizzati dagli economisti non ammette la possibilità che il decisore non conosca tutti gli esiti possibili. La procedura standard consiste nell’ipotizzare che il decisore:

1. assegni delle probabilità ai diversi esiti possibili; 2. consideri le probabilità soggettive esattamente come quelle

oggettive.

L’assegnazione delle probabilità è soggettiva, ossia dipende dal giudizio del decisore.


Relazione tra questo capitolo e il modello del consumatore che massimizza l’utilitàIndichiamo con Z = (z1, z2, …, zN) l’insieme di tutti gli Noggetti tra cui l’individuo deve scegliere; essi possono essere costituiti da una varietà di elementi. Possiamo pensare a ogni z

1. come a un paniere di beni;2. come a una lotteria. In questo caso esiste un altro insieme X

di premi possibili e ogni z rappresenta una lotteria o scommessa che offre i premi dell’insieme;

3. come a un portafoglio di titoli, dove zi sono i soldi investiti nel titolo i.


4. come a denaro contante derivante da investimenti nel tempo, dove z1 rappresenta la quantità di euro derivanti dall’investimento oggi, z2 sono gli euro accumulati il prossimo mese, e così via.

5. come a una particolare varietà di un dato prodotto di consumo, per esempio un’automobile, dove

z1 è il tipo di carrozzeria del veicolo, z2 il colore, z3 la cilindrata e z4 il consumo di carburante.

Questo tipo di rappresentazione degli oggetti viene utilizzato nel marketing dei beni di largo consumo.


Per costruire un modello del comportamento di scelta dell’individuo dinnanzi a questi oggetti supponiamo che una data funzione u associ a ogni oggetto z dell’insieme Zun indice numerico, u(z), e,

dato un insieme di oggetti tra i quali scegliere, l’individuo scelga l’oggetto che fornisce l’utilità piùelevata.

Il punto è che utilizziamo il termine funzione di utilità in due modi diversi!


Nel modello del consumatore la funzione di utilità (con la uminuscola) fornisce, per ogni oggetto che potrebbe essere scelto, una misura diretta della preferenza dell’individuo per l’oggetto. In questa lezione, invece, la funzione di utilità (con la Umaiuscola) misura le preferenze dell’individuo per le lotterie.

U(x) fornisce, infatti, un indice della desiderabilità del premio x, che deve essere moltiplicato per la probabilitàdi occorrenza di x e poi sommato agli altri risultati per ottenere la misura complessiva della desiderabilità della lotteria in questione.


RiepilogoIn questa lezione, abbiamo introdotto alcuni concetti fondamentali di scelta in condizioni di rischio. Il primo passo in questa direzione consiste nel presentare il modello dell’utilità attesa.Nel modello dell’utilità attesa:

1. una funzione di utilità assegna un dato valore di utilità a ogni premio possibile;

2. per ogni lotteria si calcola l’utilità attesa (si moltiplica l’utilità di ogni premio possibile per la probabilità di occorrenza e successivamente si sommano i prodotti) e

3. la lotteria scelta sarà quella caratterizzata dall’utilità attesa maggiore.


Quando i premi sono monetari, la funzione di utilità può essere rappresentata graficamente. La funzione di utilità (in tali grafici) è quasi sempre crescente e continua. Nella maggior parte dei modelli economici è anche concava, riflettendo l’avversione al rischio (le funzioni lineari corrispondono alla neutralità al rischio e quelle convesse alla preferenza per il rischio). Il valore delle unità della funzione di utilità non ha alcun significato particolare, e la scala su cui vengono misurate può essere spostata, allungata o compressa in modo uniforme senza modificare il comportamento di scelta dell’individuo.


Se U è concava e se il coefficiente assoluto di avversione al rischio RA(x) = −U′′(x)/U′(x) è decrescente, il livello di avversione al rischio diminuisce all’aumentare della ricchezza. Se −U′′(x)/U′(x) è costante, la funzione di utilità (CARA) ha un’avversione al rischio costante, ossia la scelta dell’individuo tra le lotterie non è influenzata dal suo livello di ricchezza; le funzioni di utilità che possiedono questa proprietà sono del tipo

per le costanti B > 0 e A.

RAxBeAxU −−=)(

l’avversione al rischio e l’utilità attesa - uniba.it · dell’utilità attesa, che descrive...

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