CAPITOLO 19

L’avversione al rischio e l’utilità attesa

• In che modo gli individui reagiscono all’incertezza

• Il modello dell’utilità attesa

• ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE

• In questa lezione introduciamo il modello dell’utilità attesa, il più importante modello della scelta individuale in condizioni di incertezza.

• Alcuni mercati di primaria importanza sono stati creati principalmente allo scopo di aiutare i singoli e le imprese a gestire l’ incertezza cui essi sono soggetti. Sono i mercati dei:

– titoli finanziari, – assicurazioni – operazioni a termine

• Presentiamo un modello delle scelte effettuate dai singoli consumatori quando tali scelte presentano conseguenze incerte.

SCELTE IN SITUAZIONI DI INCERTEZZA (1)

Usiamo il termine rischiose per descrivere quelle situazioni in cui l’esito di una scelta è incerto.

Ciò che determina l’esito di una situazione incerta, o rischiosa, è noto come stato del mondo.

Una lotteria è un meccanismo usato per rappresentare situazioni rischiose.

Ci sono tre elementi fondamentali in una lotteria:

i) L’insieme degli stati possibili, gli stati del mondo;

ii) Le probabilità connesse a ogni possibile stato del mondo;

iii) I valori associati a ogni possibile stato del mondo.

SCELTE IN SITUAZIONI DI INCERTEZZA (2)

Per semplicità ci concentreremo su lotterie con un numero finito di stati e valori possibili.

La probabilità di un certo stato del mondo è una misura della verosimiglianza che questo accada.

Se un certo evento non può accadere, la sua probabilità è zero.

Se un evento accade sicuramente, la sua probabilità è uno.

Se potrebbe accadere, ma non per certo, allora la sua probabilità è fra zero e uno.

Per ogni dato processo casuale, le probabilità di tutti gli stati devono sommarsi a uno, perché è certo che uno o l’altro degli esiti possibili accadrà.

EsempioSe tiri un dado, sei davanti a una situazione di incertezza; in questo caso, la lotteria associata è caratterizzata da:

i) Stati o esiti: sei possibili esiti (le sei facce del dado)

ii) Probabilità: ogni esito ha la stessa probabilità, pari a 1/6

iii) Valori: per esempio, una somma di euro pari al numero sulla faccia del dado.

Possiamo rappresentare questa lotteria con il seguente albero decisionale:

1/6€ 1

€ 3

€ 5 € 6

1/6

1/6

1/6

€ 21/6

1/6€ 4

Valore attesoIl valore atteso di una generica variabile casuale X è il valore di X che si realizza “in media”.

Per trovare il valore atteso di X, si deve pesare il valore di X in ogni stato del mondo con la probabilità che quello stato del mondo – e quindi il relativo valore - si realizzi.

Il valore atteso di una semplice lotteria con due esiti è:

21 1 vpvpEV

dove p è la probabilità relativa al primo esito, e vj è il valore associato all’esito j.

Se vj = v per j = {1,2}, allora:

vppvvpvpEV

1

11

0,3€ 100

€ 50

€ 0

- € 200

0,2

0,4

0,1

L’avversione al rischio (1)Gli schemi comportamentali che descriviamo in seguito sono riferiti al contesto più semplice: decisioni prese in condizioni di incertezza oggettiva (con probabilità note). Analizziamo situazioni analoghe a una scommessa che offre • € 100 con una probabilità pari a 0,3• € 50 con una probabilità pari a 0,2• € 0 con una probabilità pari a 0,4• - € 200 con una probabilità pari a 0,1.

• L’avversione al rischio (2)• Per qualsiasi scommessa possiamo calcolare il valore

monetario atteso (VMA), la media della scommessa, moltiplicando ogni premio possibile per la sua probabilità e poi sommando i risultati.

• Una persona che preferisce il valore monetario atteso a una scommessa è avversa al rischio.

• Una persona che è indifferente tra una scommessa e il corrispondente valore monetario atteso invece è neutrale rispetto al rischio;

• una che preferisce una scommessa al suo valore monetario atteso è propensa al rischio.

• L’avversione al rischio (3)• Data una qualsiasi scommessa, possiamo domandare: preferisci la

scommessa oppure la somma certa € X? • Quando X è fissato al livello esatto per cui l’individuo è indifferente

tra la scommessa e il pagamento certo, affermiamo che € X è il certo equivalente (CE) della scommessa per tale persona.

• Quindi • l’avversione al rischio implica un certo equivalente inferiore al

valore monetario atteso, ossia CE < VMA, • la neutralità rispetto al rischio si traduce in CE = VMA e • la preferenza per il rischio in CE > VMA.• Se CE < VMA, la differenza tra il certo equivalente e il valore

monetario atteso, VMA CE, è definita premio di rischio (PR) della scommessa.

• Maggiore è il premio di rischio, maggiore è, approssimativamente, il livello di avversione al rischio della persona per la scommessa in questione.

• Il modello dell’utilità attesa (1)• Il modello più utilizzato dagli economisti per

rappresentare il processo decisionale in presenza di esiti incerti è il modello dell’utilità attesa.

• È abbastanza valido da considerare alcuni dei fenomeni elencati in precedenza, ma ne ignora altri.

• Iniziamo descrivendone il funzionamento per le scommesse con date probabilità oggettive e premi monetari.

• Le preferenze di una persona tra tali scommesse sono determinate dalla sua funzione di utilità, che assegna a ogni livello di premio monetario un numero corrispondente, ossia l’utilità del premio

Consideriamo una generica lotteria V :

Ipotizziamo che i consumatori siano in grado di assegnare un livello di utilità a ogni valore possibile attraverso una funzione di utilità (ordinale) u(vj).

Teorema dell’utilità attesa: date alcune ipotesi sulle preferenze, l’utilità della lotteria V può essere rappresentata dalla seguente funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern:

EuvupvupVU 21 1)(Il teorema dell’utilità attesa implica che i consumatori, se chiamati a scegliere fra diverse lotterie, paragoneranno i livelli di utilità attesa Eu associati alle diverse lotterie.

pv

pvV

12

1

Il modello dell’utilità attesa (2)

Il modello dell’utilità attesa (3)Una funzione di utilità

€

U

0,33€ 750

(X)0,39

€ 1500

€ 1500

0,28

€ 250

0,3€ 0

(Y) (Z)

0,12

€ 250

0,23

0,44

-€ 750

0,21

€ 0

0,7

-€ 450

Supponiamo che l’individuo caratterizzato da questa funzione debba scegliere tra le tre scommesse rappresentate nella figura che segue:

Il modello dell’utilità attesa (4)

Dinnanzi a questo dilemma, ipotizziamo che il decisore:

1. utilizzi U per convertire ogni premio di ciascuna scommessa disponibile nel corrispondente livello di utilità;

2. calcoli l’utilità attesa di ogni scommessa: per ciascuna scommessa si moltiplica la probabilità di ogni premio per l’utilità corrispondente e si sommano i prodotti; ad es. l’utilità attesa della prima scommessa è (0,7)[2] + (0,3)[1] = [1,7]

3. scelga la scommessa caratterizzata dall’utilità attesa maggiore.

Il modello dell’utilità attesa (5)

0,33€ 750

(X)0,39

€ 1500

PREFERITE LA SCOMMESSA (X), (Y) oppure (Z)?

€ 1500

0,28

€ 250

0,3€ 0

(Y) (Z)

0,12

€ 250

0,23

0,44

-€ 750

0,21

€ 0

0,7

-€ 450

0,33€ 750

(X)0,39

€ 1500

USANDO L’UTILITA’ ATTESA PREFERISCE (X)

€ 1500

0,28

€ 250

0,3€ 0

(Y)

(Z)

0,12

€ 250

0,23

0,44

-€ 750

0,21

€ 0

0,7

-€ 450

[1,4+0,3=1,7][2]

[1]

[1,57]

[-1,5]

[1,35]

[4][1,28]

[1]

[0]

[1,35]

[4]

Il modello dell’utilità attesa (6)

• Il modello dell’utilità attesa (7)• Secondo il modello dell’utilità attesa, un soggetto decisore

caratterizzato dalla funzione di utilità della figura precedente dovrebbe scegliere la prima scommessa, in quanto essa ha l’utilità attesa maggiore.

• La funzione di utilità specifica è importante solamente per preservare l’ordine delle utilità attese: se U è la funzione di utilità che (insieme all’ipotesi di massimizzazione dell’utilità attesa) caratterizza le scelte di un dato individuo, allora la funzione V determinata moltiplicando U per una costante positiva e aggiungendo un’altra costante porta esattamente alle stesse scelte; in particolare, un livello di utilità nullo non ha alcun significato cardinale.

• Ricavare i certi equivalenti a partire da una funzione di utilità (1)

• Poiché la scala della funzione di utilità (le unità di utilità o altro) può essere dilatata o compressa a piacimento, è difficile attribuire un significato alle differenze dei livelli di utilità attesa.

• Nel caso di premi monetari possiamo ottenere una misura di quanto un’offerta sia migliore riconvertendo i livelli di utilità attesa in quantità monetarie.

• A tal fine si legge la funzione di utilità a ritroso.

L’equivalente certo

1v

U

2v v

EU

CEL’equivalente certo è il prospetto senza rischio che genera un livello di utilità pari all’utilità attesa della lotteria.

)( 2vU

)( 1vU

Una funzione di utilità tipica

€

U

Le proprietà della funzione di utilità1. è crescente: una quantità maggiore di denaro è migliore di una quantità

minore;2. è continua: il valore di una scommessa per il decisore non varia in

misura notevole quando i livelli dei premi cambiano in modo continuo; la continuità garantisce che ogni scommessa abbia un certo equivalente;

3. è concava, conformemente a un comportamento avverso al rischio.

1v 2v v

)(VUEu

EV

EVu

vu

21

212

1

1)(

1 1

vupvupEuVU

vpvpEVpv

pvV

1vu

2vu

Avversione al rischio (1)

Avversione al rischio (2)Quando un consumatore preferisce un prospettiva senza rischio (certa) rispetto a una lotteria rischiosa con lo stesso valore atteso, allora quel consumatore è detto avverso al rischio.

1v

uU ,

2v v

EuVU )(

EV

EVuEVU )( vu

EuEVuVUEVU )()()(

In questo esempio l’alternativa certa, EV, è preferita a una lotteria con lo stesso valore atteso.

EuEVuVUEVU )()(

:rischio al Propenso

1v

uU ,

2v v

EuVU )(

EV

EVuEVU )(

Propensione al rischio

EuEVuVUEVU )()(

:rischio al teIndifferen

1v

uU ,

2v x

EVuEVU

EuVU

)(

)(

EV

Indifferenza al rischio

Il grado di avversione al rischio è strettamente legato alla concavità della funzione di utilità u(v); il consumatore è:

i) avverso al rischio se la funzione di utilità è strettamente concava;

ii) neutrale rispetto al rischio se la funzione di utilità è lineare (cioè concava e convessa allo stesso tempo);

iii) amante del rischio se la funzione di utilità è strettamente convessa.

Il grado di avversione al rischio è direttamente proporzionale alla curvatura della funzione: più la funzione è concava, più avversi al rischio sono i consumatori.

Attitudine al rischio (1)

• Attitudine al rischio (2)• Il modello dell’utilità attesa è quindi sufficientemente

valido da considerare il fenomeno dell’avversione al rischio: occorre semplicemente utilizzare una funzione di utilità concava. Inoltre, sebbene esso possa rappresentare l’avversione al rischio, non la implica necessariamente: a seconda della forma della funzione di utilità dell’individuo, possiamo avere un comportamento neutrale al rischio o propenso al rischio ugualmente coerente con il modello.

• E gli altri fattori che vorremmo considerare? • A questo riguardo il modello non è generalmente

soddisfacente

• Osservazioni conclusive • La teoria dell’Utilità Attesa è modello buono, soprattutto

perché contempla un fenomeno comportamentale ossia una sorta di neutralità nei confronti del rischio per scommesse in scala ridotta che riveste una notevole importanza in economia.

• Questo modello svolge inoltre un altro ruolo importante, in quanto costituisce la base della teoria normativa del processo decisionale in condizioni di incertezza, argomento che analizzeremo nella prossima lezione.