laboratorio del 29/09/05 processi ar

Laboratorio del 29/09/05 Processi AR

Esercizio proposto:

Processo reale AR(1) con autocorrelazione

Rappresentazione di una possibile realizzazione, grafico del coefficiente di autocorrelazione e della densità spettrale di potenza al variare di

Uso delle istruzioni: randn, filter, plot e stem

2( ) mx xR m

Generazione di rumore Gaussiano bianco

w=sigmaw*randn(1,N);

Generazione sequenziale di dati correlati tramite l’istruzione filter

a(1)=1;a(2)=-ro;b(1)=1;x=filter(b,a,w);


Realizzazione

Processo passa-alto


Coefficiente di

correlazione

Processo passa-alto


PSD

Processo passa-alto


Esercizio proposto:

Sia dato un processo AR(2) che soddisfa all’equazione alle differenze

Detti i poli del sistema, calcolare la relazione tra tali poli ed i

coefficienti dell’eq. alle differenze. Verificare tale relazione tramite

l’istruzione matlab poly per

continua........

1 2p p

2,1 2,2( ) ( 1) ( 2) ( )x n a x n a x n w n

3

41 0.98

jp e


• Rappresentare una possibile realizzazione del processo al variare del

modulo e della fase dei poli, supponendo che w(n) sia rumore

Gaussiano bianco con varianza unitaria. Utilizzare l’istruzione filter;

• Calcolare l’espressione della densità spettrale di potenza (DSP) del

processo, verificarne l’esattezza tramite le istruzione matlab poly e

polyval;

• Fare il grafico della DSP al variare del modulo e della fase dei poli.

continua........


• Calcolare in forma chiusa l’espressione della correlazione del

processo;

• Verificare il risultato tramite IFFT della DSP del processo;

• Fare il grafico della funzione di autocorrelazione al variare del

modulo e della fase dei poli.


Realizzazione

Processo passa-banda

3

41 0.98

jp e


PSD


3

41 0.98

jp e


Funzione di correlazione


3

41 0.98

jp e


Realizzazione

41 0.58

jp e


PSD

41 0.58

jp e


Funzione di correlazione

41 0.58

jp e


Laboratorio del 13/10/05 Media campionaria

Esercizio proposto:

•Stima del valor medio di un processo Gaussiano a valor medio

•Calcolo dell’RMSE al variare del numero di campioni N, istogramma

della ddp della stima

•Uso dell’istruzione: hist

L’RMSE diminuisce all’aumentare di N

1

0

1ˆ ( )

N

n

x nN



N=1024

N=8

Laboratorio del 20/10/05 Stima ML

Esercizio proposto:

•Stima congiunta del valor medio e della varianza di un processo

Gaussiano a valor medio e varianza unitaria

•Calcolo della polarizzazione e dell’RMSE al variare del numero di

campioni N


RMSE dello stimatore ML

del valor medio

1

0

1ˆ ( )

N

n

x nN

Polarizzazione dello stimatore ML del valor

medio


1

0

1ˆ ( )

N

n

x nN

RMSE dello stimatore ML della varianza


1

22

0

1ˆ ˆ( )

N

ML MLn

x nN

Polarizzazione dello stimatore

ML della varianza


1

22

0

1ˆ ˆ( )

N

ML MLn

x nN

Laboratorio del 27/10/05 ML vs MAP

Esercizio proposto:

•Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del numero di campioni N per SNR=-4 dB; •Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del rapporto segnale-rumore SNR per N=4;•Grafici di confronto.

)()( nwAnx

2

1) deterministico incognito

2) (0, )A

A

A N

2( ) (0, )w n N

2 2ASNR

2 2SNR A

SNR=-4 dB

1

0

1ˆ ( )N

MLn

A x nN

2 1

2 20

ˆ ( )N

AMAP

nA

A x nN


N= 4

2 2SNR A

2 2ASNR


Conclusioni

•All’aumentare di N lo stimatore MAP tende allo stimatore ML (informazioni a posteriori dominanti)

•All’aumentare di SNR lo stimatore MAP tende allo stimatore ML (informazioni a posteriori dominanti)


Stima ML dei parametri di una cosinusoide immersa in rumore termico

)()2cos()( 0 nwnTfAnx c


212

00

1ˆ arg max ( ) c

Nj fT n

MLf n

f x n eN

0

1ˆ2

0

2ˆ ( ) ML c

Nj f T n

MLn

A x n eN

1

001

00

ˆ( )sen(2 )ˆ arctg

ˆ( )cos(2 )

N

ML cn

ML N

ML cn

x n f T n

x n f T n


Limiti di Cramér-Rao

)1(

)12(2)(

)1()2(

12)(

2)(

220

2

NN

NCRLB

NNfCRLB

NACRLB

2

2

2 Adove

Esercizio proposto:

•implementazione della stima ML•calcolo degli RMSE al variare di N•confronto con i CRLB

istruzioni: fft, angle, max


Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener

Modello del segnale e dell’osservato

( ) ( 1) ( )s n s n w n

( ) ( ) ( )x n s n v n

2( ) (0, 1)ww n N

2( ) (0, )vv n N

w(n) rumore di generazione

v(n) rumore di osservazione indipendente dal s(n)

IIR causale: Si può dimostrare che

( ) 1 ( )nh n u n

2 2(1 ) (1 ) 1

2 2(1 ) (1 ) 1

1 10

2

dove

1 10

2

se

se

2 2

2 2

1

1s

v

2

2s

v

SNR



FIR a 3 prese

ˆ( ) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2)s n h x n h x n h x n

x xsR h r

E’ necessario risolvere questo sistema


Esercizio proposto:

•implementazione del filtro di Wiener IIR causale•implementazione del filtro FIR a tre prese•confronto tra le risposte impulsive e in frequenza dei due filtri•confronto fra le uscite dei due filtri

istruzioni: filter, inv


SNR=10 dB

=-0.9


SNR=10 dB

=0.99


SNR=0 dB

=0.99


Conclusioni:

diminuisce all’aumentare di SNR•Per SNR - (dB) =, h(n)=0 e cioè pari al suo valor medio•All’aumentare di SNR si allontana da e tende a 0. La banda aumenta e il guadagno del filtro IIR aumenta. Se SNR il polo si sposta nell’origine, =0 e il filtro di Wiener diventa passa-tutto.

ˆ( ) 0s n

)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)()(ˆ nSncanXnKnSnanS

2

)()(

v

e ncPnK

12222

2

])1()([)(

wev

ve

nPnacnP

Stimatore:

Guadagno del filtro:

MSE della stima al passo n:

0)1(ˆ SInizializzazione:

1,,1,0 Nn

2)1(ˆseP

Laboratorio del 24/11/05 Filtro di Kalman scalare


Esercizio proposto:

•implementazione del filtro di Kalman scalare per processi stazionari e c=1

•grafico del segnale generato, della stima e dell’errore di stima al variare di SNR e di a


SNR=0 dB

a=0.99


SNR=-10 dB

a=0.99


SNR=0 dB

a=0.99

Laboratorio del 1/12/05 Criterio di decisione MAP

)()(:

)(2

)(:

0

1

cc

cc

c

nTwnTxH

nTwT

TnTrectAnTxH

wx

wsx

:

:

0

1

H

AHin notazione vettoriale:

1,,1,0 Nn cT

TN dove:

Segnalazione on-off )()( 10 HPHP


Esercizio proposto:

•implementazione del filtro adattato

•grafico del segnale all’ingresso e all’uscita del filtro adattato al variare del tempo in presenza di rumore bianco

•calcolo della probabilità d’errore teorica e confronto con quella ottenuta tramite simulazione Monte Carlo in funzione del rapporto segnale-rumore

•istruzioni: conv, erfc )2(*5.0)( xerfcxQ


Filtro adattato

N=8

SNR=10 dB


Probabilità d’errore

N=8

Laboratorio del 15/12/05 Stima spettrale

[ ]d n rumore Gaussiano bianco a varianza unitaria

Sequenza dei dati utili di lunghezza N

Esercizio proposto:

•Calcolo del periodogramma dei dati al variare di N. Considerazioni sulla non consistenza dello stimatore

•istruzioni: periodogram

N=64


N=1024

1 0 2 0[ ] sin(2 ) sin(2 ) [ ]y n A f n A f N n d n

[ ]d n rumore Gaussiano bianco a varianza =10-3

0 0.2f


Sequenza dei dati utili

dove


Esercizio proposto:

•Risoluzione: si supponga A1=A2=1 e N=64. Calcolare il periodogramma della sequenza di dati per =0.1, 0.9 e 2 e commentare l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali.

•Leakage: si supponga A1=1 e N=64 e si vari il valore di A2, per es. A2=0.5, 0.1, 0.01. Calcolare il periodogramma per =4 e commentare l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali.

•In entrambi i casi disegnare il periodogramma in scala semilogaritmica

•istruzioni: periodogram


=0.1

=2

Risoluzione

laboratorio del 29/09/05 processi ar

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