la transposición didáctica: un modelo teórico para investigar los estatus de los objetos...
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La Transposición Didáctica:
Un Modelo Teórico para investigar los estatus de lo s objetos matemáticos
Por Roberto Vidal Cortés
Resumen
En este artículo, se pretende dar una revisión general pero necesaria de la Didáctica de la
Matemática para comprender por qué hoy es una disciplina autónoma y emergente, y que adquiere
cada vez una mejor aproximación a los fenómenos que se suscitan en el aula de matemáticas.
Para tal efecto, exploramos brevemente el origen de la palabra didáctica, luego de la didáctica de
la Matemática, sus paradigmas anglosajón y europeo, para luego centrarnos en La Teoría de la
Transposición Didáctica del Dr. Yves Chevallard, el que corresponde a uno de los Modelos
Teóricos provenientes de la Didáctica Francesa que ha traspasado las diferencias paradigmáticas.
Finalmente, se da cuenta de algunas investigaciones con este apoyo teórico en los distintos niveles
básico, medio y superior, algunas críticas a la teoría y sus aportes a la formación de profesores.
Palabras claves: Didáctica de la Matemática, Transp osición Didáctica, Educación
Matemática, Saber.
Introducción
Para enseñar matemáticas no es suficiente con dominar el contenido científico. No basta
con un gusto por la enseñanza o buena intuición para seleccionar contenidos, organizar programas
y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Se requiere de profesores que sientan la necesidad de
evaluar los efectos de nuevas propuestas o hipótesis de aprendizaje, de determinar errores,
dificultades y obstáculos, aprovecharlos para su propia preparación del escenario de enseñanza
aprendizaje, en que el saber entra en juego, formando una terna al integrarse a la dupla irreductible
enseñanza – aprendizaje1. Aquí es donde entra en juego la Didáctica de la Matemática, pero ¿Qué
entendemos por ello?.
Primero, revisemos brevemente los usos de la palabra didáctica, para introducirnos al
terreno de la Didáctica de la Matemática, sus paradigmas y desde ahí, trabajar con el tema central
de este artículo: la Transposición Didáctica.
1 Esta descripción de lo “necesario” nos parece débil, pues como lo notarán en el desarrollo de este artículo, se agregarán
otros elementos para preparar los escenarios a los que hago referencia. Aún así, creo que es importante destacarlo.
2
Sin duda al hablar de “enseñanza de las matemáticas”, está presente la palabra didáctica.
Ian Amos Comenuis2 introdujo esta palabra en su obra “Didáctica Magna”, dándole el significado
de “arte de enseñar”. De la misma forma aparece en el diccionario de la Real Academia Española.
En el Petit Larousse Ilustrada de 1980, la definición es la siguiente: “Ciencia que tiene por objeto
los métodos de enseñanza”. Hasta ahora, podemos ver que la Didáctica se reduce a la
Metodología.
Entrando en el terreno de la Didáctica de la Matemática, para el pedagogo alemán Heinz
Griesel, “La Didáctica de la Matemática es la ciencia del desarrollo de las planificaciones
realizables en la enseñanza de la Matemática”. Una interpretación que da importancia a los
programas, a las secuencias de enseñanza, elaboración de manuales. Nuevamente reducida al
método. Otras interpretaciones relacionadas con la innovación de propuestas de enseñanza se
encuentran en la “Didattica della matematica” de Emma Castelnuovo y “Didáctica matemática
heurística” de Pedro Puig.
Guy Brousseau, didacta francés, considerado como Padre de la Didáctica de la Matemática
Francesa, concibe tres interpretaciones de la palabra didáctica: como sinónimo de enseñanza, en
que se forja un proyecto social para que un sujeto se apropie un saber, como conjunto de medios
que sirven para enseñar, asociada a la metodología y como el conocimiento del arte de enseñar,
describiendo y estudiando la actividad de una disciplina científica.
Desde la década de los años 80 se ha intentado concebir la Didáctica de la Matemática
como una Ciencia preocupada de la comunicación de conocimientos y de sus transformaciones,
por medio de una epistemología experimental que intenta teorizar sobre la producción y circulación
de los saberes. Su campo de estudio corresponde a los fenómenos que ocurren en la enseñanza
de la matemática, relacionados con los alumnos, los contenidos matemáticos y los agentes
educativos.
Pero la Didáctica de la Matemática es una Ciencia Experimental que se desarrolla
relacionándose con otras áreas del saber como la Epistemología y Filosofía de las Matemáticas, la
Sociología y la Psicología. En especial, esta última, proporcionó los marcos teóricos por mucho
tiempo para la Didáctica entendida como metodología. En efecto, desde los años 60 en E.E.U.U. y
en países occidentales se puso mayor énfasis en la enseñanza de las matemáticas, siendo la
psicología la que por largo tiempo diera las directrices, apareciendo la corriente conductista basada
en acciones de tipo estímulo – respuesta, donde el avance o retroceso se expresaba en conductas
observables. Armendáriz, Azcarate y Deulefeu (1993), señalan al respecto “se da una gran
2 Ian Amos Comenius (1592 – 1570). Teólogo, Filósofo y Pedagogo Nacido en la República Checa. Es llamado el Padre de la Pedagogía, por establecer sus primeros principios fundamentales.
3
importancia a la práctica y a la ejercitación de rutinas con la consiguiente hipertrofia de lo
sintáctico. Las secuencias en el aprendizaje son enormemente rígidas”. Sin embargo, en la
actualidad, el principio explicativo más compartido sobre el aprendizaje en general es el de la
importancia de la actividad mental constructivista del alumno, en una mirada renovada que como
hemos dicho, considera la Didáctica de la Matemática como Disciplina experimental.
Por su juventud, ha desarrollado sus paradigmas y controversias, recientemente. En los
países anglosajones en lugar de Didáctica de la Matemática como se denomina en el continente
europeo, se habla de Educación Matemática. Al respecto, Jeremy Kilpatrick reconocido didacta de
las matemáticas en los países anglosajones, no encuentra más que una diferencia en los nombres,
ya que ambos paradigmas de investigación se nutren según él, en los aportes de la sociología, la
lingüística, la psicología y la antropología.
En el contexto latinoamericano, suele hablarse de Matemática Educativa. En Chile en
tanto, encontramos un Programa de Magíster en Didáctica de la Matemática, impartido por la
Pontifica Universidad Católica de Chile y también postgrados a ese nivel en Educación Matemática.
En 1984, en el “International Congreso on Mathematical Education” celebrado en Adelaida,
se constituyó un grupo de trabajo denominado “Theory en Mathematics Education (TME)” para
elaborar las bases teóricas de la Educación Matemática, para darle el estatus de ciencia.
Así es como Steiner (1985), creador del grupo, llega a establecer que existen dos
paradigmas acerca de la Didáctica de la Matemática: Aquellos que la ven como un arte, y por tanto
no puede convertirse en un campo científico y aquellos que ven la ven como posible ciencia, por
medio de la acción de reducir los problemas a objetos de estudio específicos tales como el
contenido, desarrollo de las destrezas del alumno, métodos de enseñanza, interacción en el aula,
etc.
La Didáctica de la Matemática, puede verse hoy como una disciplina emergente, con
características propias y multidisciplinar, con un campo teórico – práctico específico que no se
traduce en la ingenua suma de las áreas del conocimiento con que se relaciona, siendo cada vez
una mejor aproximación para describir y explicar los fenómenos del aula.
Una de los Modelos Teóricos en Didáctica de la Matemática, originado dentro del
paradigma de la Escuela Francesa y que ha repercutido fuerte en el enfoque anglosajón es el
desarrollado por el Doctor Yves Chevallard que denominó Transposición Didáctica, al cual nos
referiremos a continuación.
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La Transposición Didáctica.
Para presentar la Teoría de la Transposición Didáctica, nos ha parecido conveniente por la
claridad y el nivel sintético que presenta, apoyarnos en el enfoque de Michel Henry del IREM3 el
que complementaremos con los elementos que creemos suficientes para una primera
aproximación a este modelo teórico que aún está en desarrollo.
La Trasposición Didáctica tiene por objeto de estudio el saber, en nuestro caso, el saber
matemático que tiene un lugar en el Edificio Matemático (saber sabio), que no es el mismo en el
que se sitúa en la matemática escolar (Saber enseñado). La distancia que hay entre ambos
saberes, se produce por la serie de transformaciones que los hacen accesible a un determinado
nivel. Estas transformaciones las estudia la Teoría de la Transposición Didáctica de Yves
Chevallard (1985). Considerando que el saber del profesor y su relación con el saber sabio es base
de este estudio, Chevallard dice:
“El profesor tiene que enseñar una parte del “saber sabio o erudito”, del cual los
matemáticos profesionales e investigadores puros son sus poseedores y fabricantes. La
sociedad demanda enseñar una parte de este saber, lo que supone que ella debe tener
utilidad social. Para responder a esta demanda, es necesario transformar el
conocimiento para que se vuelva enseñable a un nivel dado. Este punto es clave en
cuanto a que el profesor debe cuestionarse acerca de su relación con el saber a
enseñar, así como con el saber erudito”4.
Los 5 actos de la transposición didáctica
Es claro que el Saber Sabio (de los matemáticos) y el Saber Escolar (de los estudiantes)
no es el mismo. Henry, considera el proceso de transposición Didáctica por medio de 5 actos como
en una obra teatral, pues inciden distintos personales como protagonistas, desde que se
transforma el saber matemático en un saber del alumno.
1º acto: Los protagonistas de este primer acto son los matemáticos, quienes tienen por misión
crear nuevos conocimientos que les permitan resolver problemas que con sus conocimientos
previos no les es posible. Construye o reconstruye herramientas, escoge lo que es útil y comunica
su descubrimiento haciéndolo lo más general posible, borrando todos los pasos en falso, errores y
falsas conclusiones. Estos nuevos aportes son publicados por la comunidad científica manteniendo
de este modo al día el “libro del Saber”. De este modo, el Saber Sabio que es legitimado por la
3 Michel Henry, matemático francés que ha trabajado durante muchos años en la formación de profesores de matemáticas en Francia en el l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques IREM. 4 La Transposición Didáctica: Del saber sabio al saber enseñado.
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comunidad científica, es un saber despersonalizado y descontextualizado, pues no sólo se ha
dejado atrás todos los episodios personales del autor, sino también se ha olvidado el contexto
inicial para hacerlo un producto lo más general posible, de modo que ingrese a la lógica de los
saberes eruditos de la comunidad.
2º acto: La noosfera (sistema social de enseñanza), da cuenta de todos los conocimientos
existentes, aquellos que son pertinentes para la formación matemática de los jóvenes, lo que
depende de varios factores tales como tipo de sociedad, nivel de desarrollo, tipo de sistema
educativo, etc. el Ministerio de Educación es el agente que decide junto a su equipo de expertos
cuáles son los objetos a enseñar. Una vez lista la selección de los objetos a enseñar, se elabora
“el texto del saber a enseñar”, el que debe integrarse en el currículo en secuencias de hipótesis de
aprendizaje. Así se tendrá el manual del profesor. En él aparecen indicaciones del tratamiento de
los temas, jerarquía de los conocimientos, etc. Para hacer un texto de saber a enseñar, los
expertos deben re-escribir las definiciones, propiedades y demostraciones para lograr una
articulación lógica, coherente y accesible a los estudiantes.
3º acto: Generalmente los profesores prefieren preparar sus clases utilizando textos que
ofrece el mercado o aquellos distribuidos por el ministerio de educación, en lugar de emplear los
propios manuales. El 3º acto de la transposición didáctica se refiere a la elaboración del Saber
Escolar, que es difundido por los textos del alumno. Las diversas editoriales presentan sus textos
proponiendo una organización del programa, aportan ilustraciones de los temas, ejercicios de
entrenamiento y problemas. Estas obras servirán durante un tiempo como referencia a la
comunidad: profesores, alumnos y apoderados. De estos textos se desprende un cierto saber que
contribuye a la instalación de una cultura particular, integrada por todos aquellos contemporáneos
de una misma época escolar. Este trabajo de selección corresponde a la NOOSFERA, conjunto de
agentes político - educativos de una nación. La Transposición hasta aquí dice Chevallard es
externa, ya que no hay participación del enseñante en estas decisiones
4º acto: El protagonista en este acto es el profesor, quien tiene la responsabilidad de administrar
esta transposición didáctica, adaptar a sus conocimientos, los objetos a enseñar, insertarlos en el
saber escolar y organizarlos en el tiempo. Se trata de una transposición interna, pues él ahora
toma decisiones importantísimas, porque ellas incidirán en la percepción del saber de los
estudiantes. El docente participa con la transposición transformando el objeto a enseñar en objeto
enseñado, para lo cual recontextualiza y personaliza el saber, de modo que los alumnos lo hagan
propio. Es en cierta manera, el trabajo inverso del que hace el investigador.
6
5º acto: Lo que el profesor enseña no es lo mismo que finalmente retienen sus alumnos. Aquí hay
otra transformación de la que se hacen cargo los estudiantes. Ellos protagonizan el 5º acto de la
transposición didáctica: transforman el saber enseñado a saber del alumno. En esta parte de la
metamorfosis del saber, los estudiantes tienen que hacer un trabajo similar al del matemático, en
relación a los episodios en que despersonaliza y descontextualiza el saber para darle un estatus
general.
La evolución de un objeto matemático
El primer acto de la transposición didáctica se observa en el quehacer de los matemáticos,
que construyen sus objetos de saber científico que contiene una historia de los mismos, hasta que
llegan al sitial que los define en su rigor. Chevallard, acerca de este proceso, indica:
“El estudio de la transposición didáctica implica una “vigilancia epistemológica”, esto es,
examinar la distancia, vista por la deformación que existe entre el objeto de saber (del
saber erudito) y el objeto de enseñanza (del saber a enseñar). A veces no queda más
que una nomenclatura en común y en el peor de los casos, un lenguaje seudo-erudito.
En casos extremos se habla de “ruptura epistemológica”, por lo que convendrá
averiguar los motivos de estas rupturas”.
Para analizar el discurso de un texto matemático, se deben tener presentes los
tratamientos de las nociones que allí aparecen. Se define como noción matemática aquella que
aparece como útil al trabajo matemático y como objeto de estudio. Una noción paramatemática, es
aquella que aparece en el entorno del trabajo matemático, generalmente como medio o
herramienta para estudiar otro objeto de saber matemático. Claro que el estatus de un mismo
objeto matemático, varía según sea al ámbito en que sea tratado, en algunos momentos puede ser
un objeto de saber y por tanto toma su estatus matemático, pero si se le considera sólo como una
herramienta para desarrollar otros objetos de estudio, su estatus es netamente paramatemático.
Así la frontera que separa estas nociones, es absolutamente variable y dependiente del nivel en
que se emplee. Por último decimos que un objeto que de herramienta ha pasado a objeto de
estudio, construyendo y preparando su noción matemática, ocupa el estatus de noción
protomatemática.
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Cabe señalar que existen ciertos cuestionamientos a la Transposición Didáctica, que por
motivos de espacio no trataremos aquí5. Chevallard consiente de ello, levanta posterormente una
nueva teoría que incluye a la Transposición y en la que resuelve algunos de los cuestionamientos,
incorporando el análisis de los “saberes institucionales” y sus praxeologías en la Teoría
Antropológica de lo Didáctico.
La Transposición Didáctica en los niveles educativo s.
Como el saber erudito circula en la comunidad científica que lo legitima, y ya se produce
incluso en ese entorno el primer acto de transposición didáctica, con mayor razón se produce en
cada uno de los niveles educativos: el nivel básico, el nivel medio y el nivel superior. Pero, ¿Cómo
participamos de esta transposición, profesores y alumnos?, ¿Es independiente el nivel respecto al
proceso?. ¿Está “más distante” el objeto de saber del correspondiente objeto de enseñanza del
nivel básico en que aparece por primera en comparación con los otros niveles? O dicho de otra
forma, ¿Estará “más cerca” un objeto de saber enseñado de su respecto objeto de saber erudito en
la educación superior que en los otros niveles?. Esta pregunta pareciera ser fácil, y optar
ligeramente por una respuesta afirmativa, pero pensamos que al poner cuidado sobre la esperable
respuesta, es necesario revisar el estatus que posee el objeto de enseñanza (aquí variable) en un
determinado nivel, esto es, una noción paramatemática, protomatemática o matemática.
No pretendemos dar respuesta a estas interrogantes que planteamos, pues es la idea para
levantar la reflexión, pero si creemos en una aproximación, respecto a que en el nivel básico, las
matemáticas escolares están más asociadas a transposiciones de modelos matemáticos de
primera generación6, en cambio, en otros niveles aparecen en su mayoría transposiciones de
modelos de segunda generación.
Sea cualquiera el nivel, los objetos de saber traspuestos para organizar la matemática
escolar que los contiene como objetos de saber enseñado, deben cuidar su proceso evolutivo
dentro de ella misma. Profundicemos algo al respecto en cada nivel para ilustrar con ejemplos.
5 Para una mayor referencia consultar: “La interpretación histórico – cultural de la Transposición Didáctica
como puente de emancipación del aprendizaje y la enseñanza” de T. Díaz, y “Reflexiones críticas sobre el
concepto de Transposición Didáctica de Chevallard” de J. Cardelli. Disponibles en: www.revistapraxis.cl/ediciones/numero3/diaz_praxis_3.htm y www.scielo.org.ar/pdf/cas/n19/n19a04.pdf 6 El concepto de modelos matemáticos de primera y segunda generación está siendo estudiado por la Dra. Ismenia Guzmán y el Dr. Héctor Hévia, en el Instituto de Matemáticas PUCV, Chile. En una aproximación restringida, a modo de dar una idea, un modelo de
primera generación se identifica por “provenir del mundo real” como lo son la geometría euclideana y el conjunto de los números
naturales, en cambio, los modelos de segunda generación se “construyen en el mundo matemático” como ocurre con el conjunto de los números enteros, los logaritmos, los espacios topológicos, etc.
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La Transposición Didáctica en el Nivel Básico.
Aparecen en la enseñanza básica una serie de objetos que serán más adelante retomados
desde perspectivas más generales, por lo que las definiciones y propiedades iniciales, no pueden
desviar el camino que la vigilancia epistemológica ha trazado, siendo necesario - e insistimos en
ello - el conocimiento del la epistemología del objeto a enseñar por parte del profesor para evitar
inadecuadas creaciones didácticas que den origen a objetos auxiliares de saber que originen
bifurcaciones en el camino descrito y por tanto en el mejor de los inconvenientes casos, aumenten
la distancia entre el saber escolar y el erudito, pues en el peor, llegaría hasta la deformación -
mutilación del objeto. Veamos algunos ejemplos al respecto, para mayor claridad.
El concepto inicial de ángulo recto, en la matemática escolar, hace alusión a su medida, de
modo que “ángulo recto es aquel que mide 90 grados (sexagesimales)”. Más que una suerte de
bifurcación, se produce una mutilación del saber en este caso, ya que los alumnos se quedan con
esta definición y no evoluciona, convirtiéndose probablemente en obstáculo cuando en
trigonometría miden ángulos en radianes. Ésta definición inicial, como otras que veremos, quedan
instaladas y se resisten a su propio proceso evolutivo, en que posteriormente el ángulo recto no se
define en función de su medida, sino, en relación con el ángulo extendido cómo el que mide la
mitad de él o bien como la cuarta parte de un ángulo completo, lo que paradójicamente aparece en
el primer ciclo básico, al identificar los ángulos con “vueltas”, de modo que un ángulo recto se
representa por “un cuarto de vuelta”.
El concepto de Potencia aparece inicialmente en el trabajo con números naturales, y por
tanto proveniente de una multiplicación de factores iguales. Sin embargo, nuevamente, muchos
estudiantes terminan la enseñanza básica y lo que es peor la enseñanza media, sin un concepto
más general. En efecto, los estudiantes recuerdan las potencias y en el mejor de los casos hacen
correctamente los cálculos resumidos en 56, pero no logran conceptualizar las potencias como
megaconcepto, esto es, en una definición que les permita comprender lo que indica ba , siendo a y
b números reales cualesquiera, y por tanto, admitiendo incluso con justificación aquellas
restricciones, pongamos por caso cuando a y b son a la vez cero.
Chevallard, denomina autorregulación del sistema didáctico a la consecuencia a la que
llevan las transacciones que por lo general se manifiestan en la algoritmización y que pueden ser
analizadas de manera específica en los textos escolares que interpretan el texto del saber. Da
como ejemplo que:
“diversos estudios han mostrado que hasta que ingresan a la secundaria, un
porcentaje no despreciable de alumnos no saben mencionar ningún número
comprendido entre 2,16 y 2,17…
En particular los alumnos escribirán que ] [ ] [2;2,17 2,16;4∩ = ∅ ”
9
Examina los manuales y advierte que los ejercicios propuestos sólo se basan operaciones
conjuntistas con intervalos de números reales que no aprovecha la densidad de ¡ en ¡ , o al
menos de ¤ en ¤ .
Una similar situación se da al final del nivel básico y en los inicios del nivel medio, en ese
período de transición en que se estudian las ecuaciones de primer grado. Al observar el
tratamiento de este objeto matemático, es poco frecuente encontrar ejercicios que lleven a los
alumnos a reflexionar sobre las proposiciones x+1=x+1 o también x+5=x+2.
La Transposición Didáctica en el Nivel Medio
Quizá sea bueno reflexionar un instante acerca de la mecanización o algoritmización como
un tipo de transacción de la que se ha abusado en este nivel. La enseñanza del álgebra por
ejemplo, que ocupa la mayor parte de los programas de NM1 a NM4, ha estado por mucho tiempo
referida sino toda, al menos en la mayor parte a la reproducción de técnicas de cálculo. Una mirada
a los manuales puede ser útil para comprender otro proceso de autorregulación del sistema de
enseñanza en el lenguaje de Chevallard. En Ciencias Experimentales es habitual que los alumnos
demuestren una buena “manipulación de fórmulas” y aunque como se evidencia en los textos más
clásicos de álgebra, hay una ruptura entre el tratamiento de las ecuaciones y las fórmulas. Los
estudiantes aprenden a resolver ecuaciones, pero no aprenden a “despejar variables” de una
fórmula sencilla.
En la enseñanza de la Geometría similar a lo que sucede con conceptos como el de ángulo
recto que ilustramos en el nivel básico, que no evolucionan, al revisar el concepto de “congruencia
de figuras planas”, se revela ya no un estancamiento conceptual, sino una fusión que conduce a la
confusión entre dos cuerpos axiomáticos distintos pero que versan sobre los mismos contenidos:
nos referimos a la geometría euclideana plasmada en Los Elementos y Los Fundamentos de la
Geometría de D. Hilbert, tensionando así la noción de igualdad y la de congruencia. En el nivel
básico aprenden que un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, en el estatus
erudito, tomando los elementos de Euclides, estaremos de acuerdo, pues la congruencia es
utilizada a modo de sinónimo de igualdad. Sin embargo, bajo la axiomática de Hilbert, estos dos
conceptos se diferencian, precisamente por la incorporación que hace éste último de la Teoría de
Conjuntos. Es importante destacar que a veces el saber erudito obedece a un paradigma o escuela
determinada y entonces las convenciones se fijan en esas instituciones, ¿cuál es el primer número
natural?, ¿cómo se define un ángulo?, o ¿existe diferencia entre círculo y circunferencia?, son
interrogantes que nos remiten a lo que Chevallard precisamente agrega o extiende al elaborar en
1999 su teoría antropológica de lo didáctico que hemos esbozado ligeramente en este artículo.
Volvamos al ejemplo inicial entre congruencia e igualdad. Examinando libros de texto, habíamos
10
llegado en una tesis7 a encontrar que se mezclaban estos conceptos en una misma frase como
cuando se define el triángulo equilátero, de modo que si no se hace una diferencia entre los
conceptos igual e igual medida se infiere lo siguiente:
1. Los lados del triángulo equilátero son trazos.
2. Lados iguales del triángulo, quiere decir entonces, trazos iguales del triángulo.
3. Según la corriente geómetra - conjuntista, un trazo es un conjunto de puntos.
4. Como los tres trazos del triángulo son iguales, cada trazo contiene exactamente los mismos
puntos de los otros dos.
5. El triángulo equilátero es igual a un trazo.
A B’
C B A’
¡¡Lo que es una contradicción!!
Esta fina interpretación se produce por mezclar las nociones de igualdad de trazos, que
muestran las perspectivas del lenguaje cotidiano y del lenguaje conjuntista.
Lo anterior justifica entonces, la necesidad de elaborar el concepto de congruencia, que
elimina las posibilidades de inexactitud en la comunicación e intercambio de ideas. Primero, la
noción de figuras congruentes como aquellas que al superponer se ajustan perfectamente (existe
una coincidencia punto a punto), para lo cual, se define la congruencia de trazos, por medio de la
igualdad de la medida de estos, y del mismo modo para los ángulos. Sin embargo, se han
detectado algunos textos que a pesar de contener un capítulo sobre congruencia de figuras,
emplea en otras unidades el concepto de igualdad en vez del de congruencia. Otros definen
triángulos congruentes sin haber previamente conceptualizado trazos congruentes y ángulos
congruentes. Se podrá encontrar con la siguiente definición: “...Diremos, entonces, que dos o más
figuras son iguales o congruentes cuando al realizar movimientos de traslación, rotación o simetría
coinciden completamente”.
La Transposición Didáctica también permite que sobre un mismo objeto de enseñanza,
podemos realizar varias investigaciones. Es el caso de la “Raíz Cuadrada”, que ha sido estudiada
por a lo menos 2 investigadores distintos mostrando problemáticas diferentes. Sólo para
ejemplificar el amplio campo que abre la Transposición Didáctica, he aquí algunas de las
investigaciones que ha sustentado esta teoría:
7 Vidal, R. (2001) Estudio de algunos Errores en la Enseñanza de las Matemáticas. Tesis para optar al Título de Profesor de Matemática e Informática Educacional. Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación. Santiago de Chile.
11
1. Assude T. (1994) en su tesis doctoral8 “Un Phénomène d’arret de la transposition
didactique, Ecologie de l’objet “Racine Carrée” un analyse su currículo”, estudia la
enseñanza de la raíz cuadrada y sus propiedades en los programas de la enseñanza
secundaria en Francia. Este análisis le lleva a concluir que: "aparentemente la raíz
cuadrada es un objeto con el que se hacen multiplicaciones y divisiones. La finalidad de las
operaciones con radicales en los libros es simplificar" (p. 52). Otros fines de la enseñanza
de los radicales, es la obtención de números aproximados, que teóricamente son más
sencillos de obtener después de simplificar la expresión. Sin embargo, esta autora
considera que esta justificación resulta obsoleta, por la existencia de calculadoras y
programas computacionales que hacen inútiles estas simplificaciones para aproximar
números.
2. Vidal, R. (2006) analiza en su Tesis de Magíster9 “Las concepciones de los Profesores de
Matemáticas de Enseñanza Media, acerca del objeto de enseñanza Raíz Cuadrada”. Pone
en evidencia la existencia de confusiones conceptuales y del tratamiento de la Raíz
cuadrada, haciendo un análisis epistemológico y luego analizando los textos escolares
como entrevistando docentes del área en un estudio de casos. Alguno de los hallazgos
principales son los siguientes:
� Los profesores tienen distintas concepciones de raíz cuadrada, las que generalmente
mezclan.
� Existe confusión entre los conceptos de raíz cuadrada de un número real no negativo y
raíz de una ecuación.
� El aceptar el error del doble signo, trasciende a la extracción de raíces de números
imaginarios.
� Los profesores no utilizan por lo general las restricciones numéricas a las que posee la
función raíz cuadrada.
� Al trabajar con las propiedades de multiplicación y división de raíces, en la matemática
escolar se utilizan seudo-demostraciones basadas en las propiedades de potencias,
atribuyendo dos errores: La extensión de propiedades para exponentes enteros, a
exponentes fraccionarios sin justificación alguna y un cambio de notación de las raíces a
exponente de forma fraccionaria.
� Por lo general, una misma propiedad aparece presentada como dos propiedades
diferentes, en que se descuida entonces la simetría de la igualdad. Por ejemplo,
“multiplicación de raíces de igual índice” y “raíz de un producto”.
8 Tesis Doctoral en Didactiques des Mathématiques et de l’informatique. Université Joseph Fourier, Grenoble I. Francia. 9 Tesis de Magíster en Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
12
� La resolución de ecuaciones con radicales, generalmente, se enseña sin utilizar el
recorrido de la función raíz cuadrada.
� Los años de experiencia docente o la institución formadora, no son datos que influyan en el
fenómeno en estudio, sino más bien un tradicionalismo propagado por textos escolares
muy antiguos.
Existen muchos otros estudios que son propiciados desde la Transposición Didáctica.
Bolea, Bosch y Gascón (2001)10 ; toma como marco teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico,
explicando los procesos transpositivos sobre las restricciones matemático – didácticas que afectan
el proceso de algebrización en las instituciones por medio de la proporcionalidad, mostrando que la
transposición didáctica actúa sobre praxeologías matemáticas complejas en constante
reorganización. Ferrari, M. (2001)11: en su Tesis doctoral desarrolla en el capítulo IV, un análisis
didáctico de la Función Logaritmo comparando lo que indican los “textos del saber” en distintas
épocas desde su origen en el siglo XVII con Napier dando cuenta de las distancias entre saber
erudito y saber enseñado.
La Transposición Didáctica en el Nivel Superior
En la educación superior, Marcolini y Perales12 (2005) analizan la epistemología de la Serie
de Taylor, llegando a elaborar una propuesta de enseñanza evidenciando su estatus evolutivo
desde sus orígenes hasta su actual estatus en el edificio matemático. Font, V.13 (2001), aunque no
completa un análisis didáctico bajo la transposición, si deja bastante avanzado al revisar las
justificaciones de las técnicas que se utilizaban en el siglo XVII para construir tangentes y normales
a curvas y aplicarlo en la enseñanza del cálculo diferencial. Su propuesta de enseñanza aquí,
considera una transposición interna como diría Chevallard.
En la Educación superior, por lo general las matemáticas son presentadas
axiomáticamente, como ocurre en los programas de cálculo o álgebra moderna. Los números
reales son presentados desde los axiomas de cuerpo, los de orden y el axioma de completitud, o
de igual manera con los espacios vectoriales en álgebra lineal. Estas presentaciones poco
compresibles para los estudiantes, anulan todo episodio de su construcción y alimentan la imagen
de las matemáticas tortuosas y “bien terminadas”. Por esto, es que la Transposición Didáctica
pensamos, tiene un terreno muy fecundo en este nivel.
10 Bolea, M.; Bosch, M. ; Gascón, J. (2001): La transposición didáctica de organizaciones matemáticas en proceso de algebrización: el caso de la proporcionalidad. Universidad de La Rioja, España. 11 Ferrari, M. (2001): Una visión socio-epistemológica: Estudio de al Función Logaritmo. Centro de Investigación y estudios
avanzados del Instituto Politécnico Nacional. 12 Marcolini, J.; Perales, J. (2005): La Noción de predicción: Análisis y propuesta didáctica para la educación universitaria. En Revista RELIME Vol. 8, Núm. 1, pp. 25 – 68. 13 Font, V. (2005): Construcció de tangents I normals en el període 1630 – 1660. Aplicacions a l’ensenyament del calcul
diferencial en el batxillerat. en El valor de la ciencia (pp. 255-263). El viejo Topo: Barcelona.
13
Conclusiones y proyecciones de la Transposición Did áctica
en la formación inicial y continua de profesores
La toma de conciencia de la existencia de la transposición didáctica, de conocer e indagar
(y si se quiere investigar) acerca de la diferencia entre los contenidos de saber matemático y los
contenidos de saber de las matemáticas escolares, en el lenguaje de Chevallard, distinguir las
construcciones del saber sabio y las del saber a enseñar, puede permitir a los profesores en
formación inicial o continua, trabajar sobre una compleja realidad de la enseñanza de las
matemáticas, desmitificando creencias y concepciones que se acumulan con el tiempo como la
inocente y a veces inconsciente aceptación de un ficticio isomorfismo entre estos saberes. Por
ejemplo, el involucrarse con la transposición didáctica, requiere del análisis epistemológico de los
objetos de enseñanza, que hagan del docente un agente activo y crítico frente a la forma en que él
decida interpretar el programa y preparar los escenarios en que participarán.
La epistemología de los profesores ya sea en formación inicial o continua, da el hilo
conductor de la preparación de las clases en que ellos participan, pues como indica Brousseau14,
es su medio: de lectura de las matemáticas, de concebirlas como conocimientos proyectados a los
alumnos como distanciamientos con respecto a esta norma y para concebir una intervención.
Uno de los mayores aportes de la transposición didáctica, está en mostrar la tensión entre
el tiempo legal de enseñanza que está dado por los programas en relación a las diferencias entre
éste y la multiplicidad de tiempos de aprendizaje, dejando fuera la posibilidad de un isomorfismo
ficticio entre ellos, que probablemente nos parece, puede ser una creencia de los profesores. Por
otra parte, el saber enseñado se ordena en el tiempo, en completa linealidad, por capítulos, en
cambio el saber del alumno, no responde a este modelo, pues tiene avances y retrocesos. Un
estudiante por ejemplo puede quedarse con varias ideas sueltas que logra concretar muchas veces
en posterioridad a la finalización de la unidad temática que trabajo en el aula. El profesor sabe
desde antes que el alumno, hay una diferencia en los tiempos de saber entre los roles de
enseñante y enseñado, (cronogénesis) y tiene entonces la posibilidad de anticiparse. Chevallard
también hace alusión a la diferencia en la Topogénesis, esto es, que el profesor se sitúa en el lado
de la teoría, mientras que el alumno está al lado de la práctica. Sin embargo, nos parece en este
punto que siendo bastante claro que el profesor está en la teoría, los estudiantes a modo que
avanzan en sus niveles, disminuyen la brecha topogenética. Sucede por ejemplo con la enseñanza
14 Brousseau, G. (1999) Educación y Didáctica de las Matemáticas.
14
de la demostración en el nivel medio y más aún en el superior, claro está cuando se hace
matemática y no matematecnia15.
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15 1El término Matematecnia lo he utilizado para identificar lo que realmente se enseña en las aulas. Por ejemplo, si los alumnos siguen las indicaciones para resolver ecuaciones de segundo grado, sin ningún tipo de razonamiento auxiliar. Los profesores al comenzar la clase, dictan o colocan el título del tema que tratarán en la pizarra, luego indican en qué consiste, cómo se resuelve y luego de algunos pocos ejemplos, da un listado de ejercicios. Evalúa posteriormente la aprehensión de la o las técnicas que permiten resolver los ejercicios del tipo que mostró. Lamentable es que la matematecnia, haga pensar a la gente que el éxito en las matemáticas está en ser un hábil calculador y un rápido reproductor de técnicas o reglas que la mayoría ni siquiera conoce su razón de existencia.
15
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optar al Grado de Magíster en Enseñanza de las Ciencias con Mención en Didáctica de la
Matemática. Instituto de Matemáticas. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,
Valparaíso, Chile.
La Transposición Didáctica:
Un Modelo Teórico para investigar los estatus de lo s objetos matemáticos
Por Roberto Vidal Cortés
Resumen
En este artículo, se pretende dar una revisión general pero necesaria de la Didáctica de la
Matemática para comprender por qué hoy es una disciplina autónoma y emergente, y que adquiere
cada vez una mejor aproximación a los fenómenos que se suscitan en el aula de matemáticas.
Para tal efecto, exploramos brevemente el origen de la palabra didáctica, luego de la didáctica de
la Matemática, sus paradigmas anglosajón y europeo, para luego centrarnos en La Teoría de la
Transposición Didáctica del Dr. Yves Chevallard, el que corresponde a uno de los Modelos
Teóricos provenientes de la Didáctica Francesa que ha traspasado las diferencias paradigmáticas.
Finalmente, se da cuenta de algunas investigaciones con este apoyo teórico en los distintos niveles
básico, medio y superior, algunas críticas a la teoría y sus aportes a la formación de profesores.
Palabras claves: Didáctica de la Matemática, Transp osición Didáctica, Educación
Matemática, Saber.
Introducción
Para enseñar matemáticas no es suficiente con dominar el contenido científico. No basta
con un gusto por la enseñanza o buena intuición para seleccionar contenidos, organizar programas
y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Se requiere de profesores que sientan la necesidad de
evaluar los efectos de nuevas propuestas o hipótesis de aprendizaje, de determinar errores,
dificultades y obstáculos, aprovecharlos para su propia preparación del escenario de enseñanza
aprendizaje, en que el saber entra en juego, formando una terna al integrarse a la dupla irreductible
enseñanza – aprendizaje1. Aquí es donde entra en juego la Didáctica de la Matemática, pero ¿Qué
entendemos por ello?.
Primero, revisemos brevemente los usos de la palabra didáctica, para introducirnos al
terreno de la Didáctica de la Matemática, sus paradigmas y desde ahí, trabajar con el tema central
de este artículo: la Transposición Didáctica.
1 Esta descripción de lo “necesario” nos parece débil, pues como lo notarán en el desarrollo de este artículo, se agregarán
otros elementos para preparar los escenarios a los que hago referencia. Aún así, creo que es importante destacarlo.
2
Sin duda al hablar de “enseñanza de las matemáticas”, está presente la palabra didáctica.
Ian Amos Comenuis2 introdujo esta palabra en su obra “Didáctica Magna”, dándole el significado
de “arte de enseñar”. De la misma forma aparece en el diccionario de la Real Academia Española.
En el Petit Larousse Ilustrada de 1980, la definición es la siguiente: “Ciencia que tiene por objeto
los métodos de enseñanza”. Hasta ahora, podemos ver que la Didáctica se reduce a la
Metodología.
Entrando en el terreno de la Didáctica de la Matemática, para el pedagogo alemán Heinz
Griesel, “La Didáctica de la Matemática es la ciencia del desarrollo de las planificaciones
realizables en la enseñanza de la Matemática”. Una interpretación que da importancia a los
programas, a las secuencias de enseñanza, elaboración de manuales. Nuevamente reducida al
método. Otras interpretaciones relacionadas con la innovación de propuestas de enseñanza se
encuentran en la “Didattica della matematica” de Emma Castelnuovo y “Didáctica matemática
heurística” de Pedro Puig.
Guy Brousseau, didacta francés, considerado como Padre de la Didáctica de la Matemática
Francesa, concibe tres interpretaciones de la palabra didáctica: como sinónimo de enseñanza, en
que se forja un proyecto social para que un sujeto se apropie un saber, como conjunto de medios
que sirven para enseñar, asociada a la metodología y como el conocimiento del arte de enseñar,
describiendo y estudiando la actividad de una disciplina científica.
Desde la década de los años 80 se ha intentado concebir la Didáctica de la Matemática
como una Ciencia preocupada de la comunicación de conocimientos y de sus transformaciones,
por medio de una epistemología experimental que intenta teorizar sobre la producción y circulación
de los saberes. Su campo de estudio corresponde a los fenómenos que ocurren en la enseñanza
de la matemática, relacionados con los alumnos, los contenidos matemáticos y los agentes
educativos.
Pero la Didáctica de la Matemática es una Ciencia Experimental que se desarrolla
relacionándose con otras áreas del saber como la Epistemología y Filosofía de las Matemáticas, la
Sociología y la Psicología. En especial, esta última, proporcionó los marcos teóricos por mucho
tiempo para la Didáctica entendida como metodología. En efecto, desde los años 60 en E.E.U.U. y
en países occidentales se puso mayor énfasis en la enseñanza de las matemáticas, siendo la
psicología la que por largo tiempo diera las directrices, apareciendo la corriente conductista basada
en acciones de tipo estímulo – respuesta, donde el avance o retroceso se expresaba en conductas
observables. Armendáriz, Azcarate y Deulefeu (1993), señalan al respecto “se da una gran
2 Ian Amos Comenius (1592 – 1570). Teólogo, Filósofo y Pedagogo Nacido en la República Checa. Es llamado el Padre de la Pedagogía, por establecer sus primeros principios fundamentales.
3
importancia a la práctica y a la ejercitación de rutinas con la consiguiente hipertrofia de lo
sintáctico. Las secuencias en el aprendizaje son enormemente rígidas”. Sin embargo, en la
actualidad, el principio explicativo más compartido sobre el aprendizaje en general es el de la
importancia de la actividad mental constructivista del alumno, en una mirada renovada que como
hemos dicho, considera la Didáctica de la Matemática como Disciplina experimental.
Por su juventud, ha desarrollado sus paradigmas y controversias, recientemente. En los
países anglosajones en lugar de Didáctica de la Matemática como se denomina en el continente
europeo, se habla de Educación Matemática. Al respecto, Jeremy Kilpatrick reconocido didacta de
las matemáticas en los países anglosajones, no encuentra más que una diferencia en los nombres,
ya que ambos paradigmas de investigación se nutren según él, en los aportes de la sociología, la
lingüística, la psicología y la antropología.
En el contexto latinoamericano, suele hablarse de Matemática Educativa. En Chile en
tanto, encontramos un Programa de Magíster en Didáctica de la Matemática, impartido por la
Pontifica Universidad Católica de Chile y también postgrados a ese nivel en Educación Matemática.
En 1984, en el “International Congreso on Mathematical Education” celebrado en Adelaida,
se constituyó un grupo de trabajo denominado “Theory en Mathematics Education (TME)” para
elaborar las bases teóricas de la Educación Matemática, para darle el estatus de ciencia.
Así es como Steiner (1985), creador del grupo, llega a establecer que existen dos
paradigmas acerca de la Didáctica de la Matemática: Aquellos que la ven como un arte, y por tanto
no puede convertirse en un campo científico y aquellos que ven la ven como posible ciencia, por
medio de la acción de reducir los problemas a objetos de estudio específicos tales como el
contenido, desarrollo de las destrezas del alumno, métodos de enseñanza, interacción en el aula,
etc.
La Didáctica de la Matemática, puede verse hoy como una disciplina emergente, con
características propias y multidisciplinar, con un campo teórico – práctico específico que no se
traduce en la ingenua suma de las áreas del conocimiento con que se relaciona, siendo cada vez
una mejor aproximación para describir y explicar los fenómenos del aula.
Una de los Modelos Teóricos en Didáctica de la Matemática, originado dentro del
paradigma de la Escuela Francesa y que ha repercutido fuerte en el enfoque anglosajón es el
desarrollado por el Doctor Yves Chevallard que denominó Transposición Didáctica, al cual nos
referiremos a continuación.
4
La Transposición Didáctica.
Para presentar la Teoría de la Transposición Didáctica, nos ha parecido conveniente por la
claridad y el nivel sintético que presenta, apoyarnos en el enfoque de Michel Henry del IREM3 el
que complementaremos con los elementos que creemos suficientes para una primera
aproximación a este modelo teórico que aún está en desarrollo.
La Trasposición Didáctica tiene por objeto de estudio el saber, en nuestro caso, el saber
matemático que tiene un lugar en el Edificio Matemático (saber sabio), que no es el mismo en el
que se sitúa en la matemática escolar (Saber enseñado). La distancia que hay entre ambos
saberes, se produce por la serie de transformaciones que los hacen accesible a un determinado
nivel. Estas transformaciones las estudia la Teoría de la Transposición Didáctica de Yves
Chevallard (1985). Considerando que el saber del profesor y su relación con el saber sabio es base
de este estudio, Chevallard dice:
“El profesor tiene que enseñar una parte del “saber sabio o erudito”, del cual los
matemáticos profesionales e investigadores puros son sus poseedores y fabricantes. La
sociedad demanda enseñar una parte de este saber, lo que supone que ella debe tener
utilidad social. Para responder a esta demanda, es necesario transformar el
conocimiento para que se vuelva enseñable a un nivel dado. Este punto es clave en
cuanto a que el profesor debe cuestionarse acerca de su relación con el saber a
enseñar, así como con el saber erudito”4.
Los 5 actos de la transposición didáctica
Es claro que el Saber Sabio (de los matemáticos) y el Saber Escolar (de los estudiantes)
no es el mismo. Henry, considera el proceso de transposición Didáctica por medio de 5 actos como
en una obra teatral, pues inciden distintos personales como protagonistas, desde que se
transforma el saber matemático en un saber del alumno.
1º acto: Los protagonistas de este primer acto son los matemáticos, quienes tienen por misión
crear nuevos conocimientos que les permitan resolver problemas que con sus conocimientos
previos no les es posible. Construye o reconstruye herramientas, escoge lo que es útil y comunica
su descubrimiento haciéndolo lo más general posible, borrando todos los pasos en falso, errores y
falsas conclusiones. Estos nuevos aportes son publicados por la comunidad científica manteniendo
de este modo al día el “libro del Saber”. De este modo, el Saber Sabio que es legitimado por la
3 Michel Henry, matemático francés que ha trabajado durante muchos años en la formación de profesores de matemáticas en Francia en el l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques IREM. 4 La Transposición Didáctica: Del saber sabio al saber enseñado.
5
comunidad científica, es un saber despersonalizado y descontextualizado, pues no sólo se ha
dejado atrás todos los episodios personales del autor, sino también se ha olvidado el contexto
inicial para hacerlo un producto lo más general posible, de modo que ingrese a la lógica de los
saberes eruditos de la comunidad.
2º acto: La noosfera (sistema social de enseñanza), da cuenta de todos los conocimientos
existentes, aquellos que son pertinentes para la formación matemática de los jóvenes, lo que
depende de varios factores tales como tipo de sociedad, nivel de desarrollo, tipo de sistema
educativo, etc. el Ministerio de Educación es el agente que decide junto a su equipo de expertos
cuáles son los objetos a enseñar. Una vez lista la selección de los objetos a enseñar, se elabora
“el texto del saber a enseñar”, el que debe integrarse en el currículo en secuencias de hipótesis de
aprendizaje. Así se tendrá el manual del profesor. En él aparecen indicaciones del tratamiento de
los temas, jerarquía de los conocimientos, etc. Para hacer un texto de saber a enseñar, los
expertos deben re-escribir las definiciones, propiedades y demostraciones para lograr una
articulación lógica, coherente y accesible a los estudiantes.
3º acto: Generalmente los profesores prefieren preparar sus clases utilizando textos que
ofrece el mercado o aquellos distribuidos por el ministerio de educación, en lugar de emplear los
propios manuales. El 3º acto de la transposición didáctica se refiere a la elaboración del Saber
Escolar, que es difundido por los textos del alumno. Las diversas editoriales presentan sus textos
proponiendo una organización del programa, aportan ilustraciones de los temas, ejercicios de
entrenamiento y problemas. Estas obras servirán durante un tiempo como referencia a la
comunidad: profesores, alumnos y apoderados. De estos textos se desprende un cierto saber que
contribuye a la instalación de una cultura particular, integrada por todos aquellos contemporáneos
de una misma época escolar. Este trabajo de selección corresponde a la NOOSFERA, conjunto de
agentes político - educativos de una nación. La Transposición hasta aquí dice Chevallard es
externa, ya que no hay participación del enseñante en estas decisiones
4º acto: El protagonista en este acto es el profesor, quien tiene la responsabilidad de administrar
esta transposición didáctica, adaptar a sus conocimientos, los objetos a enseñar, insertarlos en el
saber escolar y organizarlos en el tiempo. Se trata de una transposición interna, pues él ahora
toma decisiones importantísimas, porque ellas incidirán en la percepción del saber de los
estudiantes. El docente participa con la transposición transformando el objeto a enseñar en objeto
enseñado, para lo cual recontextualiza y personaliza el saber, de modo que los alumnos lo hagan
propio. Es en cierta manera, el trabajo inverso del que hace el investigador.
6
5º acto: Lo que el profesor enseña no es lo mismo que finalmente retienen sus alumnos. Aquí hay
otra transformación de la que se hacen cargo los estudiantes. Ellos protagonizan el 5º acto de la
transposición didáctica: transforman el saber enseñado a saber del alumno. En esta parte de la
metamorfosis del saber, los estudiantes tienen que hacer un trabajo similar al del matemático, en
relación a los episodios en que despersonaliza y descontextualiza el saber para darle un estatus
general.
La evolución de un objeto matemático
El primer acto de la transposición didáctica se observa en el quehacer de los matemáticos,
que construyen sus objetos de saber científico que contiene una historia de los mismos, hasta que
llegan al sitial que los define en su rigor. Chevallard, acerca de este proceso, indica:
“El estudio de la transposición didáctica implica una “vigilancia epistemológica”, esto es,
examinar la distancia, vista por la deformación que existe entre el objeto de saber (del
saber erudito) y el objeto de enseñanza (del saber a enseñar). A veces no queda más
que una nomenclatura en común y en el peor de los casos, un lenguaje seudo-erudito.
En casos extremos se habla de “ruptura epistemológica”, por lo que convendrá
averiguar los motivos de estas rupturas”.
Para analizar el discurso de un texto matemático, se deben tener presentes los
tratamientos de las nociones que allí aparecen. Se define como noción matemática aquella que
aparece como útil al trabajo matemático y como objeto de estudio. Una noción paramatemática, es
aquella que aparece en el entorno del trabajo matemático, generalmente como medio o
herramienta para estudiar otro objeto de saber matemático. Claro que el estatus de un mismo
objeto matemático, varía según sea al ámbito en que sea tratado, en algunos momentos puede ser
un objeto de saber y por tanto toma su estatus matemático, pero si se le considera sólo como una
herramienta para desarrollar otros objetos de estudio, su estatus es netamente paramatemático.
Así la frontera que separa estas nociones, es absolutamente variable y dependiente del nivel en
que se emplee. Por último decimos que un objeto que de herramienta ha pasado a objeto de
estudio, construyendo y preparando su noción matemática, ocupa el estatus de noción
protomatemática.
7
Cabe señalar que existen ciertos cuestionamientos a la Transposición Didáctica, que por
motivos de espacio no trataremos aquí5. Chevallard consiente de ello, levanta posterormente una
nueva teoría que incluye a la Transposición y en la que resuelve algunos de los cuestionamientos,
incorporando el análisis de los “saberes institucionales” y sus praxeologías en la Teoría
Antropológica de lo Didáctico.
La Transposición Didáctica en los niveles educativo s.
Como el saber erudito circula en la comunidad científica que lo legitima, y ya se produce
incluso en ese entorno el primer acto de transposición didáctica, con mayor razón se produce en
cada uno de los niveles educativos: el nivel básico, el nivel medio y el nivel superior. Pero, ¿Cómo
participamos de esta transposición, profesores y alumnos?, ¿Es independiente el nivel respecto al
proceso?. ¿Está “más distante” el objeto de saber del correspondiente objeto de enseñanza del
nivel básico en que aparece por primera en comparación con los otros niveles? O dicho de otra
forma, ¿Estará “más cerca” un objeto de saber enseñado de su respecto objeto de saber erudito en
la educación superior que en los otros niveles?. Esta pregunta pareciera ser fácil, y optar
ligeramente por una respuesta afirmativa, pero pensamos que al poner cuidado sobre la esperable
respuesta, es necesario revisar el estatus que posee el objeto de enseñanza (aquí variable) en un
determinado nivel, esto es, una noción paramatemática, protomatemática o matemática.
No pretendemos dar respuesta a estas interrogantes que planteamos, pues es la idea para
levantar la reflexión, pero si creemos en una aproximación, respecto a que en el nivel básico, las
matemáticas escolares están más asociadas a transposiciones de modelos matemáticos de
primera generación6, en cambio, en otros niveles aparecen en su mayoría transposiciones de
modelos de segunda generación.
Sea cualquiera el nivel, los objetos de saber traspuestos para organizar la matemática
escolar que los contiene como objetos de saber enseñado, deben cuidar su proceso evolutivo
dentro de ella misma. Profundicemos algo al respecto en cada nivel para ilustrar con ejemplos.
5 Para una mayor referencia consultar: “La interpretación histórico – cultural de la Transposición Didáctica
como puente de emancipación del aprendizaje y la enseñanza” de T. Díaz, y “Reflexiones críticas sobre el
concepto de Transposición Didáctica de Chevallard” de J. Cardelli. Disponibles en: www.revistapraxis.cl/ediciones/numero3/diaz_praxis_3.htm y www.scielo.org.ar/pdf/cas/n19/n19a04.pdf 6 El concepto de modelos matemáticos de primera y segunda generación está siendo estudiado por la Dra. Ismenia Guzmán y el Dr. Héctor Hévia, en el Instituto de Matemáticas PUCV, Chile. En una aproximación restringida, a modo de dar una idea, un modelo de
primera generación se identifica por “provenir del mundo real” como lo son la geometría euclideana y el conjunto de los números
naturales, en cambio, los modelos de segunda generación se “construyen en el mundo matemático” como ocurre con el conjunto de los números enteros, los logaritmos, los espacios topológicos, etc.
8
La Transposición Didáctica en el Nivel Básico.
Aparecen en la enseñanza básica una serie de objetos que serán más adelante retomados
desde perspectivas más generales, por lo que las definiciones y propiedades iniciales, no pueden
desviar el camino que la vigilancia epistemológica ha trazado, siendo necesario - e insistimos en
ello - el conocimiento del la epistemología del objeto a enseñar por parte del profesor para evitar
inadecuadas creaciones didácticas que den origen a objetos auxiliares de saber que originen
bifurcaciones en el camino descrito y por tanto en el mejor de los inconvenientes casos, aumenten
la distancia entre el saber escolar y el erudito, pues en el peor, llegaría hasta la deformación -
mutilación del objeto. Veamos algunos ejemplos al respecto, para mayor claridad.
El concepto inicial de ángulo recto, en la matemática escolar, hace alusión a su medida, de
modo que “ángulo recto es aquel que mide 90 grados (sexagesimales)”. Más que una suerte de
bifurcación, se produce una mutilación del saber en este caso, ya que los alumnos se quedan con
esta definición y no evoluciona, convirtiéndose probablemente en obstáculo cuando en
trigonometría miden ángulos en radianes. Ésta definición inicial, como otras que veremos, quedan
instaladas y se resisten a su propio proceso evolutivo, en que posteriormente el ángulo recto no se
define en función de su medida, sino, en relación con el ángulo extendido cómo el que mide la
mitad de él o bien como la cuarta parte de un ángulo completo, lo que paradójicamente aparece en
el primer ciclo básico, al identificar los ángulos con “vueltas”, de modo que un ángulo recto se
representa por “un cuarto de vuelta”.
El concepto de Potencia aparece inicialmente en el trabajo con números naturales, y por
tanto proveniente de una multiplicación de factores iguales. Sin embargo, nuevamente, muchos
estudiantes terminan la enseñanza básica y lo que es peor la enseñanza media, sin un concepto
más general. En efecto, los estudiantes recuerdan las potencias y en el mejor de los casos hacen
correctamente los cálculos resumidos en 56, pero no logran conceptualizar las potencias como
megaconcepto, esto es, en una definición que les permita comprender lo que indica ba , siendo a y
b números reales cualesquiera, y por tanto, admitiendo incluso con justificación aquellas
restricciones, pongamos por caso cuando a y b son a la vez cero.
Chevallard, denomina autorregulación del sistema didáctico a la consecuencia a la que
llevan las transacciones que por lo general se manifiestan en la algoritmización y que pueden ser
analizadas de manera específica en los textos escolares que interpretan el texto del saber. Da
como ejemplo que:
“diversos estudios han mostrado que hasta que ingresan a la secundaria, un
porcentaje no despreciable de alumnos no saben mencionar ningún número
comprendido entre 2,16 y 2,17…
En particular los alumnos escribirán que ] [ ] [2;2,17 2,16;4∩ = ∅ ”
9
Examina los manuales y advierte que los ejercicios propuestos sólo se basan operaciones
conjuntistas con intervalos de números reales que no aprovecha la densidad de ¡ en ¡ , o al
menos de ¤ en ¤ .
Una similar situación se da al final del nivel básico y en los inicios del nivel medio, en ese
período de transición en que se estudian las ecuaciones de primer grado. Al observar el
tratamiento de este objeto matemático, es poco frecuente encontrar ejercicios que lleven a los
alumnos a reflexionar sobre las proposiciones x+1=x+1 o también x+5=x+2.
La Transposición Didáctica en el Nivel Medio
Quizá sea bueno reflexionar un instante acerca de la mecanización o algoritmización como
un tipo de transacción de la que se ha abusado en este nivel. La enseñanza del álgebra por
ejemplo, que ocupa la mayor parte de los programas de NM1 a NM4, ha estado por mucho tiempo
referida sino toda, al menos en la mayor parte a la reproducción de técnicas de cálculo. Una mirada
a los manuales puede ser útil para comprender otro proceso de autorregulación del sistema de
enseñanza en el lenguaje de Chevallard. En Ciencias Experimentales es habitual que los alumnos
demuestren una buena “manipulación de fórmulas” y aunque como se evidencia en los textos más
clásicos de álgebra, hay una ruptura entre el tratamiento de las ecuaciones y las fórmulas. Los
estudiantes aprenden a resolver ecuaciones, pero no aprenden a “despejar variables” de una
fórmula sencilla.
En la enseñanza de la Geometría similar a lo que sucede con conceptos como el de ángulo
recto que ilustramos en el nivel básico, que no evolucionan, al revisar el concepto de “congruencia
de figuras planas”, se revela ya no un estancamiento conceptual, sino una fusión que conduce a la
confusión entre dos cuerpos axiomáticos distintos pero que versan sobre los mismos contenidos:
nos referimos a la geometría euclideana plasmada en Los Elementos y Los Fundamentos de la
Geometría de D. Hilbert, tensionando así la noción de igualdad y la de congruencia. En el nivel
básico aprenden que un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, en el estatus
erudito, tomando los elementos de Euclides, estaremos de acuerdo, pues la congruencia es
utilizada a modo de sinónimo de igualdad. Sin embargo, bajo la axiomática de Hilbert, estos dos
conceptos se diferencian, precisamente por la incorporación que hace éste último de la Teoría de
Conjuntos. Es importante destacar que a veces el saber erudito obedece a un paradigma o escuela
determinada y entonces las convenciones se fijan en esas instituciones, ¿cuál es el primer número
natural?, ¿cómo se define un ángulo?, o ¿existe diferencia entre círculo y circunferencia?, son
interrogantes que nos remiten a lo que Chevallard precisamente agrega o extiende al elaborar en
1999 su teoría antropológica de lo didáctico que hemos esbozado ligeramente en este artículo.
Volvamos al ejemplo inicial entre congruencia e igualdad. Examinando libros de texto, habíamos
10
llegado en una tesis7 a encontrar que se mezclaban estos conceptos en una misma frase como
cuando se define el triángulo equilátero, de modo que si no se hace una diferencia entre los
conceptos igual e igual medida se infiere lo siguiente:
1. Los lados del triángulo equilátero son trazos.
2. Lados iguales del triángulo, quiere decir entonces, trazos iguales del triángulo.
3. Según la corriente geómetra - conjuntista, un trazo es un conjunto de puntos.
4. Como los tres trazos del triángulo son iguales, cada trazo contiene exactamente los mismos
puntos de los otros dos.
5. El triángulo equilátero es igual a un trazo.
A B’
C B A’
¡¡Lo que es una contradicción!!
Esta fina interpretación se produce por mezclar las nociones de igualdad de trazos, que
muestran las perspectivas del lenguaje cotidiano y del lenguaje conjuntista.
Lo anterior justifica entonces, la necesidad de elaborar el concepto de congruencia, que
elimina las posibilidades de inexactitud en la comunicación e intercambio de ideas. Primero, la
noción de figuras congruentes como aquellas que al superponer se ajustan perfectamente (existe
una coincidencia punto a punto), para lo cual, se define la congruencia de trazos, por medio de la
igualdad de la medida de estos, y del mismo modo para los ángulos. Sin embargo, se han
detectado algunos textos que a pesar de contener un capítulo sobre congruencia de figuras,
emplea en otras unidades el concepto de igualdad en vez del de congruencia. Otros definen
triángulos congruentes sin haber previamente conceptualizado trazos congruentes y ángulos
congruentes. Se podrá encontrar con la siguiente definición: “...Diremos, entonces, que dos o más
figuras son iguales o congruentes cuando al realizar movimientos de traslación, rotación o simetría
coinciden completamente”.
La Transposición Didáctica también permite que sobre un mismo objeto de enseñanza,
podemos realizar varias investigaciones. Es el caso de la “Raíz Cuadrada”, que ha sido estudiada
por a lo menos 2 investigadores distintos mostrando problemáticas diferentes. Sólo para
ejemplificar el amplio campo que abre la Transposición Didáctica, he aquí algunas de las
investigaciones que ha sustentado esta teoría:
7 Vidal, R. (2001) Estudio de algunos Errores en la Enseñanza de las Matemáticas. Tesis para optar al Título de Profesor de Matemática e Informática Educacional. Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación. Santiago de Chile.
11
1. Assude T. (1994) en su tesis doctoral8 “Un Phénomène d’arret de la transposition
didactique, Ecologie de l’objet “Racine Carrée” un analyse su currículo”, estudia la
enseñanza de la raíz cuadrada y sus propiedades en los programas de la enseñanza
secundaria en Francia. Este análisis le lleva a concluir que: "aparentemente la raíz
cuadrada es un objeto con el que se hacen multiplicaciones y divisiones. La finalidad de las
operaciones con radicales en los libros es simplificar" (p. 52). Otros fines de la enseñanza
de los radicales, es la obtención de números aproximados, que teóricamente son más
sencillos de obtener después de simplificar la expresión. Sin embargo, esta autora
considera que esta justificación resulta obsoleta, por la existencia de calculadoras y
programas computacionales que hacen inútiles estas simplificaciones para aproximar
números.
2. Vidal, R. (2006) analiza en su Tesis de Magíster9 “Las concepciones de los Profesores de
Matemáticas de Enseñanza Media, acerca del objeto de enseñanza Raíz Cuadrada”. Pone
en evidencia la existencia de confusiones conceptuales y del tratamiento de la Raíz
cuadrada, haciendo un análisis epistemológico y luego analizando los textos escolares
como entrevistando docentes del área en un estudio de casos. Alguno de los hallazgos
principales son los siguientes:
� Los profesores tienen distintas concepciones de raíz cuadrada, las que generalmente
mezclan.
� Existe confusión entre los conceptos de raíz cuadrada de un número real no negativo y
raíz de una ecuación.
� El aceptar el error del doble signo, trasciende a la extracción de raíces de números
imaginarios.
� Los profesores no utilizan por lo general las restricciones numéricas a las que posee la
función raíz cuadrada.
� Al trabajar con las propiedades de multiplicación y división de raíces, en la matemática
escolar se utilizan seudo-demostraciones basadas en las propiedades de potencias,
atribuyendo dos errores: La extensión de propiedades para exponentes enteros, a
exponentes fraccionarios sin justificación alguna y un cambio de notación de las raíces a
exponente de forma fraccionaria.
� Por lo general, una misma propiedad aparece presentada como dos propiedades
diferentes, en que se descuida entonces la simetría de la igualdad. Por ejemplo,
“multiplicación de raíces de igual índice” y “raíz de un producto”.
8 Tesis Doctoral en Didactiques des Mathématiques et de l’informatique. Université Joseph Fourier, Grenoble I. Francia. 9 Tesis de Magíster en Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
12
� La resolución de ecuaciones con radicales, generalmente, se enseña sin utilizar el
recorrido de la función raíz cuadrada.
� Los años de experiencia docente o la institución formadora, no son datos que influyan en el
fenómeno en estudio, sino más bien un tradicionalismo propagado por textos escolares
muy antiguos.
Existen muchos otros estudios que son propiciados desde la Transposición Didáctica.
Bolea, Bosch y Gascón (2001)10 ; toma como marco teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico,
explicando los procesos transpositivos sobre las restricciones matemático – didácticas que afectan
el proceso de algebrización en las instituciones por medio de la proporcionalidad, mostrando que la
transposición didáctica actúa sobre praxeologías matemáticas complejas en constante
reorganización. Ferrari, M. (2001)11: en su Tesis doctoral desarrolla en el capítulo IV, un análisis
didáctico de la Función Logaritmo comparando lo que indican los “textos del saber” en distintas
épocas desde su origen en el siglo XVII con Napier dando cuenta de las distancias entre saber
erudito y saber enseñado.
La Transposición Didáctica en el Nivel Superior
En la educación superior, Marcolini y Perales12 (2005) analizan la epistemología de la Serie
de Taylor, llegando a elaborar una propuesta de enseñanza evidenciando su estatus evolutivo
desde sus orígenes hasta su actual estatus en el edificio matemático. Font, V.13 (2001), aunque no
completa un análisis didáctico bajo la transposición, si deja bastante avanzado al revisar las
justificaciones de las técnicas que se utilizaban en el siglo XVII para construir tangentes y normales
a curvas y aplicarlo en la enseñanza del cálculo diferencial. Su propuesta de enseñanza aquí,
considera una transposición interna como diría Chevallard.
En la Educación superior, por lo general las matemáticas son presentadas
axiomáticamente, como ocurre en los programas de cálculo o álgebra moderna. Los números
reales son presentados desde los axiomas de cuerpo, los de orden y el axioma de completitud, o
de igual manera con los espacios vectoriales en álgebra lineal. Estas presentaciones poco
compresibles para los estudiantes, anulan todo episodio de su construcción y alimentan la imagen
de las matemáticas tortuosas y “bien terminadas”. Por esto, es que la Transposición Didáctica
pensamos, tiene un terreno muy fecundo en este nivel.
10 Bolea, M.; Bosch, M. ; Gascón, J. (2001): La transposición didáctica de organizaciones matemáticas en proceso de algebrización: el caso de la proporcionalidad. Universidad de La Rioja, España. 11 Ferrari, M. (2001): Una visión socio-epistemológica: Estudio de al Función Logaritmo. Centro de Investigación y estudios
avanzados del Instituto Politécnico Nacional. 12 Marcolini, J.; Perales, J. (2005): La Noción de predicción: Análisis y propuesta didáctica para la educación universitaria. En Revista RELIME Vol. 8, Núm. 1, pp. 25 – 68. 13 Font, V. (2005): Construcció de tangents I normals en el període 1630 – 1660. Aplicacions a l’ensenyament del calcul
diferencial en el batxillerat. en El valor de la ciencia (pp. 255-263). El viejo Topo: Barcelona.
13
Conclusiones y proyecciones de la Transposición Did áctica
en la formación inicial y continua de profesores
La toma de conciencia de la existencia de la transposición didáctica, de conocer e indagar
(y si se quiere investigar) acerca de la diferencia entre los contenidos de saber matemático y los
contenidos de saber de las matemáticas escolares, en el lenguaje de Chevallard, distinguir las
construcciones del saber sabio y las del saber a enseñar, puede permitir a los profesores en
formación inicial o continua, trabajar sobre una compleja realidad de la enseñanza de las
matemáticas, desmitificando creencias y concepciones que se acumulan con el tiempo como la
inocente y a veces inconsciente aceptación de un ficticio isomorfismo entre estos saberes. Por
ejemplo, el involucrarse con la transposición didáctica, requiere del análisis epistemológico de los
objetos de enseñanza, que hagan del docente un agente activo y crítico frente a la forma en que él
decida interpretar el programa y preparar los escenarios en que participarán.
La epistemología de los profesores ya sea en formación inicial o continua, da el hilo
conductor de la preparación de las clases en que ellos participan, pues como indica Brousseau14,
es su medio: de lectura de las matemáticas, de concebirlas como conocimientos proyectados a los
alumnos como distanciamientos con respecto a esta norma y para concebir una intervención.
Uno de los mayores aportes de la transposición didáctica, está en mostrar la tensión entre
el tiempo legal de enseñanza que está dado por los programas en relación a las diferencias entre
éste y la multiplicidad de tiempos de aprendizaje, dejando fuera la posibilidad de un isomorfismo
ficticio entre ellos, que probablemente nos parece, puede ser una creencia de los profesores. Por
otra parte, el saber enseñado se ordena en el tiempo, en completa linealidad, por capítulos, en
cambio el saber del alumno, no responde a este modelo, pues tiene avances y retrocesos. Un
estudiante por ejemplo puede quedarse con varias ideas sueltas que logra concretar muchas veces
en posterioridad a la finalización de la unidad temática que trabajo en el aula. El profesor sabe
desde antes que el alumno, hay una diferencia en los tiempos de saber entre los roles de
enseñante y enseñado, (cronogénesis) y tiene entonces la posibilidad de anticiparse. Chevallard
también hace alusión a la diferencia en la Topogénesis, esto es, que el profesor se sitúa en el lado
de la teoría, mientras que el alumno está al lado de la práctica. Sin embargo, nos parece en este
punto que siendo bastante claro que el profesor está en la teoría, los estudiantes a modo que
avanzan en sus niveles, disminuyen la brecha topogenética. Sucede por ejemplo con la enseñanza
14 Brousseau, G. (1999) Educación y Didáctica de las Matemáticas.
14
de la demostración en el nivel medio y más aún en el superior, claro está cuando se hace
matemática y no matematecnia15.
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15 1El término Matematecnia lo he utilizado para identificar lo que realmente se enseña en las aulas. Por ejemplo, si los alumnos siguen las indicaciones para resolver ecuaciones de segundo grado, sin ningún tipo de razonamiento auxiliar. Los profesores al comenzar la clase, dictan o colocan el título del tema que tratarán en la pizarra, luego indican en qué consiste, cómo se resuelve y luego de algunos pocos ejemplos, da un listado de ejercicios. Evalúa posteriormente la aprehensión de la o las técnicas que permiten resolver los ejercicios del tipo que mostró. Lamentable es que la matematecnia, haga pensar a la gente que el éxito en las matemáticas está en ser un hábil calculador y un rápido reproductor de técnicas o reglas que la mayoría ni siquiera conoce su razón de existencia.
15
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