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La teoria delle strutture di regolarita
di Martin Hairer
Massimo Iberti
22 dicembre 2014
Massimo Iberti La teoria delle strutture di regolarita di Martin Hairer
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Motivazioni
Equazioni differenziali stochastiche a derivate parziali (SPDE)
Equazione del calore
∂t u = ∆u + ξ
ξ e il “rumore” (sia nello spazio che nel tempo)
ξ e una distribuzione!
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Soluzione “ingenua”
u(t, x) =
∫R
∫ t
0G(t − s, x − y)ξ(s, y)dyds
Dove:
G(t, x) = 1√2πt
e−|x|2
2t
L’equazione del calore e lineare = usare le distribuioni
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SPDE non lineari
∂t u = ∆u − u3 + ξ
Problema: Non possiamo fare i prodotti di una distribuzione!
Regolarizzare il rumore ξε → ξ!
Problema: No convergenza uε →???
La struttura di regolarita permette di attaccare il problema tramite sviluppi “allaTaylor”
Massimo Iberti La teoria delle strutture di regolarita di Martin Hairer
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SPDE non lineari
∂t u = ∆u − u3 + ξ
Problema: Non possiamo fare i prodotti di una distribuzione!
Regolarizzare il rumore ξε → ξ!
Problema: No convergenza uε →???
La struttura di regolarita permette di attaccare il problema tramite sviluppi “allaTaylor”
Massimo Iberti La teoria delle strutture di regolarita di Martin Hairer
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Idea: Per rappresentare oggetti irregolari (distribuzioni) i polinomi nonbastano!
Aggiungiamo nuovi simboli!
Taylor
f (y) = f (x) + f ′(x)(y − x) +1
2f ′′(x)(y − x)2 + ...
Simboli 1,X,X2, ...Struttura “algebrica”
f (x)1 + f ′(x)X +1
2f ′′(x)X2 + ...
Nuovi simboli: il rumore “astratto” Ξ
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Omogeneita Ogni polinomio “astratto” Xk ha una propria omogeneitacaratteristica
Come assegnare omogeneita a Ξ?
Esempio: Il moto browniano e omogeneo?
Bλt ∼ λ1/2Bt
quasi Holder continua Bt ∈ C1/2−
Ξ avra per “grado” la sua regolarita!
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Struttura di regolarita
Definition
S = (A,T ,G) dove
A contiene i valori delle omogeneita
T =⊕α∈A Tα spazio vettoriale geneato dai simboli
G gruppo di traslazioni
Esempio: Polinomi
A = NT = R[X]
G sono le traslazionighX 7→ X− h1
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Modello
Dare un “significato” ai simboli
Definition
Il modello (Π, Γ)
Γ : Rd × Rd → GΓx0,x1 = “trasla” dal punto x0 a x1
Π associa il significato del simbolo
Πx : T → S′(Rd )
Esempio : sia data una funzione w ∈ C1/2(R)
Πx0 (a1 + bW) =a + b(w(·)− w(x0))
Γx0,x1 1 =1
Γx0,x1 W =W + (w(x0)− w(x1))1
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Struttura di regolarita S = (A,T ,G) Modello (Π, Γ)l l
Simboli Interpretazionel l
X Polinomio (Πx X)(y) Funzione polinomiale
Dati i simboli e il modello, quali altre distribuioni possiamo modellare?
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Distribuzioni modellate
Fissiamo come “grado massimo dell’espansione” il parametro γ ∈ R
F : x 7→∑β<γ
cβ,xτβ τβ ∈ Tβ
Definiamo lo spazio in cui vivono:
Definition
Dγ = {F : Rd →⊕β<γ
Tβ : per ogni compatto K ⊂ Rd , |||F |||γ,K <∞}
dove
|||F |||γ,K = supx∈K ,β<γ
cβ,x + supx,y∈K ;|x−y|<γ
supβ<γ
‖F (x)− Γx,y F (y)‖β|x − y |γ−β
Domanda: Da una distribuzione modellata, posso ricostruire una distribuzione?
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Theorem (Teorema di ricostruzione)
Esiste un operatore R : Dγ → S′(Rd ) tale che
| (RF − Πx F (x)) |Cγ . |||F |||γ,K (1)
Inoltre per γ > 0 tale operatore e unico.
Dalla dimostrazione del teorema di ricostruzione si basa emerge che R e definito comelimite debole di
RnF =∑
x∈Λn
(Πx F (x))(ϕ(n)x )ϕ
(n)x
Dove Λn = {j2−n : j ∈ Zd} e l’insieme dei numeri diadici di ordine n e ϕ(n)x e una
opportuna base di wavelets.
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Theorem (Teorema di ricostruzione)
Esiste un operatore R : Dγ → S′(Rd ) tale che
| (RF − Πx F (x)) |Cγ . |||F |||γ,K (1)
Inoltre per γ > 0 tale operatore e unico.
Dalla dimostrazione del teorema di ricostruzione si basa emerge che R e definito comelimite debole di
RnF =∑
x∈Λn
(Πx F (x))(ϕ(n)x )ϕ
(n)x
Dove Λn = {j2−n : j ∈ Zd} e l’insieme dei numeri diadici di ordine n e ϕ(n)x e una
opportuna base di wavelets.
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Strategia
Risolvere il problema in Dγ e ricostruire la soluzione
Punto fisso: Cerchiamo in Dγ la soluzione a
U = G ∗ (Ξ− U3)
Convoluzione per elementi in Dγ?
Problema: La convoluzione non e un operatore “locale”
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Idea: Scomporre il kernel singolare G dell’equazione del calore in
G = I +N
Dove
I = parte locale (contiene la singolarita)
N = parte regolare (e liscia)
Hanno le proprieta:
I: Agisce sui simboli in T , crea nuovi simboli con piu elevata regolarita
|Iτ | = 2 + |τ |
N : Non e locale, ma restituisce un polinomio (convoluzione con kernel regolare)
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Idea: Scomporre il kernel singolare G dell’equazione del calore in
G = I +N
Dove
I = parte locale (contiene la singolarita)
N = parte regolare (e liscia)
Hanno le proprieta:
I: Agisce sui simboli in T , crea nuovi simboli con piu elevata regolarita
|Iτ | = 2 + |τ |
N : Non e locale, ma restituisce un polinomio (convoluzione con kernel regolare)
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Il problema del punto fisso si risolve per iterazione
U = I(Ξ− U3) + (parte polinomiale)
Tuttavia dobbiamo aggiungere anche i simboli per i prodotti
Tecnica: Aggiungere solo i prodotti necessari alla descrizione del punto fisso,non di piu!
Ma quanti simboli abbiamo?
Proposition
Se l’equazione e localmente sottolineare allora
L’insieme dei simboli di regolarita inferiore a γ e finito
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Il problema del punto fisso si risolve per iterazione
U = I(Ξ− U3) + (parte polinomiale)
Tuttavia dobbiamo aggiungere anche i simboli per i prodotti
Tecnica: Aggiungere solo i prodotti necessari alla descrizione del punto fisso,non di piu!
Ma quanti simboli abbiamo?
Proposition
Se l’equazione e localmente sottolineare allora
L’insieme dei simboli di regolarita inferiore a γ e finito
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Il problema del punto fisso si risolve per iterazione
U = I(Ξ− U3) + (parte polinomiale)
Tuttavia dobbiamo aggiungere anche i simboli per i prodotti
Tecnica: Aggiungere solo i prodotti necessari alla descrizione del punto fisso,non di piu!
Ma quanti simboli abbiamo?
Proposition
Se l’equazione e localmente sottolineare allora
L’insieme dei simboli di regolarita inferiore a γ e finito
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Problemi: definire il prodotto di due distribuzioni
R(ΞΞ) := R(Ξ)R(Ξ) = ξ2 =???
che sia coerente col prodotto canonico.Approssimare ξ con una sequenza di funzioni regolari ξε → ξ. In questo modo
R(ΞΞ) := R(Ξ)R(Ξ) = ξε2
Ma!
limε→0
ξε2 !
=∞
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Problemi: definire il prodotto di due distribuzioni
R(ΞΞ) := R(Ξ)R(Ξ) = ξ2 =???
che sia coerente col prodotto canonico.Approssimare ξ con una sequenza di funzioni regolari ξε → ξ. In questo modo
R(ΞΞ) := R(Ξ)R(Ξ) = ξε2
Ma!
limε→0
ξε2 !
=∞
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Soluzione: Rinormalizzare!
Π(n)x Ξ = log(n) sin(ny) '
log(n)
n→ 0 Π
(n)x Ξ2 = log2(n) sin2(ny) '
log2(n)
2→∞
Trovare un operatore sui simboli M(n) : T → T
M(n)Ξ2 = Ξ2 − log2(n)1
21
e definire (ΠM , ΓM )
ΠMx Ξ2 = Πx M(n)Ξ2 = Πx
(Ξ2 − log2(n)
1
21
)
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esempio
∂t u = ∆u − u + ξ
La soluzione in Dγ e esprimibile come
U = IΞ + φ1 + ψX− I(IΞ3)− 3φI(IΞ2) + ...
La rinormalizzazione restituisce
∂t Uε = ∆Uε − U3ε + CεUε + ξε
Cε “compensa” la non linearita
Theorem
RM Uε → u
inoltre u non dipende dalla sequenza {ξε}.
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esempio
∂t u = ∆u − u + ξ
La soluzione in Dγ e esprimibile come
U = IΞ + φ1 + ψX− I(IΞ3)− 3φI(IΞ2) + ...
La rinormalizzazione restituisce
∂t Uε = ∆Uε − U3ε + CεUε + ξε
Cε “compensa” la non linearita
Theorem
RM Uε → u
inoltre u non dipende dalla sequenza {ξε}.
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Grazie per l’attenzione!
M. Hairer, “A theory of regularity structures”, Inventiones Mathematicae, 2014.
M. Hairer, “Introduction to regularity structures”, lecture notes (2014).
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