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LA SUCESIÓN: UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA LA
CONCEPTUALIZACIÓN Y APROPIACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE
UNA FUNCIÓN REAL.
RODRIGO ANTONIO LEÓN PRATO
WEINER SANTIAGO PÉREZ
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA, ATLÁNTICO
2015
LA SUCESIÓN: UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA LA
CONCEPTUALIZACIÓN Y APROPIACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE
UNA FUNCIÓN REAL.
RODRIGO ANTONIO LEÓN PRATO
WEINER SANTIAGO PÉREZ
TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARA OPTAR AL
TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
DIRECTOR
RAFAEL ENRRIQUE AHUMADA BARRIOS
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA- ATLÁNTICO
2015
NOTA DE ACEPTACIÓN
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
PRESIDENTE DEL JURADO
_________________________________
JURADO
_________________________________
JURADO
BARRANQUILLA, FEBRERO DE 2015
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos principalmente a Dios por haber permitido estar aquí
realizando este proyecto de investigación.
A las personas que con su incondicional apoyo y confianza
brindaron su ayuda, queremos agradecerle de todo corazón por estar
siempre cuando se necesitaban.
Por último, y no menos importante, agradecemos a aquellos maestros
que contribuyeron a nuestra formación matemática.
DEDICATORIA
Este trabajo de grado es dedicado a aquellas personas que siempre
confiaron en mí y nunca dejaron de darme su grandioso apoyo.
Quiero destacar dentro de esas personas a mi madre Claudia María
Prato Torres, mi abuela Blanca Rosa Torres y a mi novia Dilibet
Salazar Rojas, las tres mujeres más importantes en mi vida.
Al profesor Rafael Ahumada, director de este proyecto, por haber
guiado con su enorme conocimiento matemático el presente trabajo.
Rodrigo Antonio León Prato
DEDICATORIA
En primera instancia, agradezco a Dios por darme la oportunidad de hacer este trabajo de
grado una realidad terminando un nuevo ciclo en mi vida profesional.
Quiero hacer un homenaje a mi padre Hugo Santiago Mercado que antes de partir al paraíso
y al encuentro con el padre Celestial me dejo una gran educación y enseñanza en mi
proyecto de vida, a mi madre Marta E. Pérez por su confianza y su apoyo incondicional.
A mis hermanos, tíos Cristina Pérez, José Pérez Y Elizabeth Angarita y demás familia que
en todo momento me han brindado su apoyo.
A esos amigos incondicionales Nhora Zapata, Yonadith Rodríguez, Diliana Sarabia, María
Mier, Erick Rodríguez, Kevin Palomino, María Gómez, Eunice Romo y Yuli Martínez por
las vivencias, por sus energías positivas en cada etapa de la carrera y así llegar al final de
esta meta.
Al compañero de tesis Rodrigo León por su apoyo y grandioso trabajo, donde hubo un
complemento para hacer grandes aportes a la Educación Matemática.
A mis profesores de la Universidad del Atlántico y en especial a Sara Noguera, Armando
Aroca y Ronald Barrios que contribuyeron a mi crecimiento intelectual, construyendo
nuevas formas de enseñanza y aprendizaje.
Rafael E. Ahumada Barrios por su gran desempeño en la Dirección del Trabajo de Grado,
por su dedicación y esfuerzo para lograr esta meta que me propuse en la vida.
Weiner Santiago Pérez
Resumen
El presente Trabajo Monográfico titulado “La sucesión: una estrategia didáctica para la
conceptualización y apropiación del concepto de límite de una función real” relata la
experiencia desarrollada con estudiantes universitarios con el objetivo de introducir el
concepto de límite de una función real, viabilizar la apropiación y conceptualización de éste
mediante una propuesta didáctica basada en las sucesiones. La presente propuesta se
desarrolló en el segundo periodo del año 2014 con los estudiantes del Programa de
Matemáticas de la Universidad del Atlántico, perteneciente a la Facultad de Ciencias
Básicas, que cursaban la asignatura de Cálculo Diferencial, quienes presentaban serias
dificultades en lo concerniente al tema de límite de una función real y detectadas mediante
la observación directa, charla con docentes y estudiantes. En consecuencia, este grupo de
investigación desarrolló el proceso de búsqueda y pesquisa en torno de las reales causas y
dificultades de esta seria problemática. Las conclusiones y aportes logrados dio lugar a la
implementación de la presente propuesta que dejó resultados favorables tanto para los
estudiantes como para el grupo de investigación. Fue oportunidad, estos logros y aportes,
para desarrollar en los estudiantes competencias lingüísticas, cognitivas, matemáticas y
generar en ellos una motivación para el estudio del límite en el Cálculo Diferencial.
ABSTRACT
The current monographic work titled "sequences: a teaching strategy for
conceptualizing and appropriation of the concept of limit of a real function" reports
the experience developed with university students in order to introduce the concept of limit
of a real function, enable appropriation and conceptualization of it through a didactic
proposal based on sequences. This current proposal was developed in the second half of
2014 with students of Math program of "Universidad Del Atlántico" belonging to the
Faculty of Basic Sciences who attended the course Differential Calculus, which had a
serious difficulty regarding the topic limit of a real function, difficulties were detected by
direct observation, talking with teachers and students. Therefore, this research group looked
for ways to address this serious problem and for it was implemented this proposal that
left favorable results for both students and research group, able to develop in each of these
students language skills, cognitive, math and generate in each motivation for studying the
limit on the Differential Calculus.
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 12
1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .................................................................. 14
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA ....................................................................... 14
1.2 DEFINICIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. ......................................... 16
1.3 PREGUNTAS SECUNDARIAS ............................................................................ 16
1.4 JUSTIFICACIÓN ................................................................................................... 17
1.5 OBJETIVOS .......................................................................................................... 20
1.5.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................... 20
1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................... 20
2 MARCO REFERENCIAL ........................................................................................ 21
2.1 ANTECEDENTES ............................................................................................ 21
2.2 MARCO TEÓRICO - CONCEPTUAL ................................................................... 24
2.2.1 EL PENSAMIENTO LÓGICO - MATEMÁTICO .......................................... 24
2.2.2 ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS EN LAS MATEMÁTICAS ........................... 27
2.2.3 IMPORTANCIA DE LA DIDÁCTICA DEL CÁLCULO PARA LA ENSEÑANZA DEL LÍMITE. ................................................................................... 31
3 MARCO METODOLÓGICO ................................................................................... 34
3.1 PARADIGMA DE INVESTIGACIÓN. .................................................................. 34
3.2 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN........................................................ 35
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA .................................................................................. 36
3.4 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN ...... 37
3.4.1 OBSERVACIÓN DIRECTA ............................................................................ 37
3.4.2 PRUEBA DIAGNÓSTICA .............................................................................. 38
3.4.3 ANÁLISIS DE LA OBSERVACIÓN DIRECTA ............................................. 38
3.4.4 ANÁLISIS DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA................................................ 39
4 PROPUESTA PEDAGÓGICA ..................................................................................... 52
4.1 TÍTULO DE LA PROPUESTA .............................................................................. 53
4.2 PRESENTACION .................................................................................................. 54
4.3 JUSTIFICACIÓN ................................................................................................... 56
4.4 OBJETIVOS .......................................................................................................... 57
4.4.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................... 57
4.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................... 57
4.5 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ......................................................................... 57
4.6 METODOLOGÍA ................................................................................................... 59
4.7 PLAN OPERATIVO DE ACCIONES .................................................................... 61
4.8 ACTOS PEDAGÓGICOS. ..................................................................................... 63
4.9 ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DE LA PROPUESTA .................................... 116
4.9.1 ANÁLISIS DE LA PRUEBA FINAL ............................................................ 130
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................... 140
5.1 CONCLUSIONES ................................................................................................ 140
5.1.2 RECOMENDACIONES ................................................................................ 142
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................... 143
ANEXOS ....................................................................................................................... 145
LISTA DE APÉNDICES
Anexo 1- Momentos fotográficos: Prueba Diagnóstica ............................................................... 146 Anexo 2- Momentos fotográficos: Desarrollo de Actividades ..................................................... 147 Anexo 3- Momentos fotográficos: Prueba Final .......................................................................... 149 Anexo 4– Formato Prueba Diagnóstica ...................................................................................... 150 Anexo 5- Solución prueba diagnóstica por un estudiante. ........................................................... 152 Anexo 6 – Formato Prueba Final ................................................................................................ 156 Anexo 7 – Solución Prueba Final por un Estudiante ................................................................... 158
LISTA DE TABLAS Plan Operativo De Acción 1 ......................................................................................................... 62
INTRODUCCIÓN
En esta propuesta de investigación centra su atención en el fenómeno didáctico
relacionado con la enseñanza de límite de una función real, considerando una oportunidad
para fortalecer básicas acciones de aprendizaje en una parte importante del Cálculo
Diferencial, contemplando elementos cognitivos, epistemológicos, didácticos, sin descuidar
los valores agregados y aportes de carácter social para explicar el fenómeno en cuestión y
avanzar en el estudio a profundidad en esta área del conocimiento matemático..
En consecuencia, exige reconocer aquellos factores de influencias en la actualidad en
torno a la Educación Matemática, en el momento de la enseñanza y del aprendizaje, hacia
el logro de la comprensión y apropiación de cierta temática tratada, el presente trabajo está
basado en la enseñanza y apropiación del concepto de límite de una función real para los
estudiantes de carreras universitarias que involucren relación con las Matemáticas, en este
caso a estudiantes de Segundo Semestre del Programa de Matemáticas de la Universidad
del Atlántico.
En la actualidad es notorio la carencia de comprensión del concepto de límite de una
función real, donde se presenta un alto porcentaje del estudiantado esta universidad. Esto,
se da y con evidencias del presente trabajo, por el método de enseñanza utilizado para el
desarrollo de esta temática que, en general, es el método tradicional donde solo se le exige
al “alumno” un dominio y manipulación de algoritmos repetitivos y de reglas algebraicas,
impidiendo así en él la comprensión y apropiación del concepto que este tiene.
En este contexto, se resalta el presente Trabajo de Grado su reorientación, en forma
alternativa, llevar al concepto de límite de una función real, mediante el uso de las
sucesiones, dejando de un lado la manera tradicional de trabajar con la definición de
épsilon-delta, presentada en la mayoría de Libros de Cálculo Diferencial, donde en muchas
ocasiones, son para el estudiante difíciles de asimilar al momento de resolver situaciones y
hacer pruebas para determinar la existencia de un límite.
Por lo tanto, esperando favorecer los resultados académicos de los estudiantes en el
cálculo diferencial, se implementan estrategias como el Software Geogebra, acompañado
de la ejecución de actividades en el aula virtual como guías, videos, y ejercicios interactivos
que faciliten a los estudiantes una mejor conceptualización y apropiación del concepto de
límite de una función real.
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1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Es evidente, en la actualidad se presentan problemáticas en los procesos enseñanza-
aprendizaje, convirtiéndose en un tema de importancia a medida que el tiempo transciende,
especialmente en lo que a las didácticas se refiere, utilizadas por el docente al momento de
la clase, creando preocupantes interrogantes sobre la enseñanza y aprendizaje en particular
en la Educación Matemática. Varios son los resultados que muestran un alto porcentaje del
estudiantado con dificultades en esta ciencia; por un lado, los recursos didácticos y
metodológicos utilizados por el docente en el ámbito de la Educación Matemática, y por
otro lado, la poca comprensión o capacidad que presenta el estudiante para la
conceptualización en lo concerniente a los conceptos matemáticos.
En la Universidad de Atlántico, esta problemática no es aislada, también existe y se
presenta entre una gran parte del estudiantado, en su mayoría en estudiantes de carreras
afines con las Matemáticas, como los estudiantes pertenecientes al Programa de
Matemáticas, quienes actualmente presentan serias dificultades referidas a la
conceptualización y apropiación del concepto del límite de una función real y su
manipulación y aprestamiento (capacidades básicas), resolviendo los ejercicios propuestos
por el docente de una forma mecánica, utilizando simplemente pasos repetitivos sin
comprender el procedimiento realizado para la resolución de éstos y al momento de
enfrentarse a ejercicios fuera de lo común, “entiéndase por éstos, ejercicios con una
estructura diferente a lo acostumbrado, pero que aborda el tema en su totalidad”,
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ocasionando o encontrando dificultades en el cómo actuar frente a dichas situaciones
problemas.
Estas dificultades que presentan los estudiantes de Matemáticas de la Universidad del
Atlántico, al momento de comprender el concepto del límite de una función real, se debe
también principalmente a la falta de conceptualización matemática, donde el docente
generalmente “suele saltar” de la definición a la práctica y resolución de ejercicios, dejando
a un lado el concepto, ocasionando al estudiante problemas o dificultades relacionados con
los conceptos previos y/o preconceptos.
Estos aspectos señalados son una síntesis del problema detectado en el Programa de
Matemáticas/Universidad del Atlántico, del Segundo Semestre de Carrera, situación que
permitió formular varios interrogantes: ¿Por qué los estudiantes presentan dificultades en el
aprendizaje de la temática de límite de una función real? ¿Qué actitud tienen los estudiantes
frente a la clase de Cálculo Diferencial?, ¿Que metodología utiliza el docente en el aula al
momento de desarrollar la temática de límite de funciones reales? Estos interrogantes son la
base para la formulación del problema en el presente trabajo.
Debe agregarse, la problemática mencionada, también fue detectada por un miembro de
esta investigación, gracias a la labor que realiza en la Universidad Del Atlántico, en su
calidad de Monitor Académico del Grupo GES1 (Grupo de Estudiantes Solidarios), donde
su mayor parte las asesorías de más demanda son aquellas relacionadas al tema de límite de
una función real, ésto permitió contextualiza el objeto de estudio del problema y, por otro
lado, en consultas con profesores que desarrollan en el aula de clase el Cálculo Diferencial. 1 Grupo de Monitores encargado de brindar Asesorías Académicas a los estudiantes, creado en vinculación del Departamento de Bienestar Universitario y la Dependencia de Desarrollo Humano de la Universidad del Atlántico.
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Además, se realizaron una serie de observaciones en las aulas de clases durante el
período que el docente “dictaba esta temática” y escuchándose, muchas veces, entre los
estudiantes el comentario de su poca, o casi nula, comprensión y entendimiento,
evidenciando las ya referidas dificultades en torno al tema, objeto de estudio.
1.2 DEFINICIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Esta situación detectada y diagnosticada en la descripción dio lugar a la formulación del
siguiente interrogante, en coherencia con el Problema de Investigación:.
¿Qué obstáculos epistemológicos y metodológicos presentan los estudiantes del segundo
semestre del programa de Matemáticas de la Universidad del Atlántico cuando se enfrentan
a problemas relacionados con el tema de límite?
1.2.1 PREGUNTAS SECUNDARIAS
Resultado de la contextualización y delimitación temática del Problema se formularon las preguntas siguientes:
¿Cuáles son los obstáculos que impiden a los estudiantes de Matemáticas de la
Universidad del Atlántico la apropiación del concepto de límite de una función real?
¿Qué nivel de aprendizaje poseen los estudiantes de Matemáticas de la Universidad del
Atlántico sobre el tema de límite de una función real?
¿Qué didáctica utiliza el docente para motivar al estudiante durante el evento del aula,
al desarrollar la clase de límite de una función real?
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¿Cómo se apropian los estudiantes de Matemáticas del concepto de límite de una
función real?
1.3 JUSTIFICACIÓN
El aprendizaje de las Matemáticas no se basa en la manipulación algorítmica de
resolución de ejercicios, donde su uso exclusivo ocasiona que el estudiante caiga en un
“vicio” mecánico, obstaculizando, muchas veces, el proceso de comprensión
matemático. Para muchos estudiantes aprender Matemáticas es significado de tener “buena
memoria”. Es claro que la memoria juega un factor importante en el desarrollo del
aprendizaje de las Matemáticas, pero no es lo esencial, ni tampoco es el motor principal
para una buena formación en esta área de conocimiento.
En las Matemáticas, el Cálculo Diferencial estudia un concepto muy importante. Es, se
puede decir, el eje fundamental del Cálculo, donde el concepto de límite, se describe a
partir de la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa
sucesión o función se acercan o aproximan a un determinado valor. En el Cálculo, análisis
real y matemático, este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de
convergencia, continuidad, derivación, entre otros. Conceptos que se estudian en el
transcurso de una formación matemática; las cuales dificultarían su comprensión en la
totalidad si no se tiene claro el concepto del límite, que es sin duda unos de los conceptos
matemáticos que trae consigo mayor cantidad de obstáculos epistemológicos de
entendimiento y de aprendizaje, inherentes al propio concepto. En algunos inéditos viables
resulta muy fácil para el estudiante mecanizarse un procedimiento para la resolución de
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límites, dejando a un lado la comprensión de la definición de éste, lo cual impide que
adquieran un mejor saber matemático.
Por ello, la importancia del estudio-investigativo del concepto del límite de una función
real, problema tratado en el presente trabajo, orientado a la búsqueda de soluciones y la
intención formal de proponer estrategias didácticas que motiven y faciliten el aprendizaje
del concepto de límite de una función real, poder potenciar y desarrollar en los estudiantes
competencias en el área de las Matemáticas, entre otros, el razonamiento, formulación y
resolución de problemas, que ayuden a profundizar y avanzar en el conocimiento
matemático.
La claridad y el dominio del concepto de límite, es de gran relevancia en el aprendizaje
de las Matemáticas, puesto que este concepto es básico en asignaturas posteriores
relacionadas como el Cálculo II, Calculo III, Ecuaciones Diferenciales, entre otras, a
tenerse en cuenta y garantizar su precisión en la compresión de este concepto, produciendo
en el estudiante un óptimo desarrollo en estas asignaturas, sin obstáculos para la
apropiación de nuevos conceptos matemáticos ligados al concepto de límite.
Como antes se ha expresado esta investigación alrededor del tema de limites reviste
particular relevancia por cuanto se avanza en la solución de este problema, produce
cambios a nivel cognoscitivo, comunicativo y actitudinal de los estudiantes y, porque no, de
los profesores por la posibilidad de producir transformaciones entorno a su curiosidad
epistémica y sus deseos de avanzar en el estudio; beneficia al grupo de profesores de esta
área y, en consecuencia, a la comunidad educativa. Estos cambios o transformaciones
19
tienen, además de los avances en el conocimiento matemático, un valor social agregado que
repercute en los Grupos de Trabajo, Investigación y Estudio.
Por otro lado, hay un interés profesional particular en realizar este trabajo ya que
mediante éste, el Equipo de Investigación busca aplicar lo aprendido durante la formación
de Licenciatura en Matemática y la oportunidad de crear nuevas metodologías que aporte
la Educación Matemática, específicamente en el área de Cálculo Diferencial, permitiendo
una preparación a profundidad como docentes idóneos en esta área de saber, con un gran
potencial para desarrollar actividades lúdicas, dejando a un lado la monotonía y
despertando el interés en los estudiantes a estudiar esta ciencia básica: las Matemáticas.
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1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GENERAL
Determinar los obstáculos epistemológicos y metodológicos que presentan los
estudiantes de Segundo Semestre del Programa de Matemáticas de la Universidad del
Atlántico cuando se enfrenta a problemas relacionado con el tema de límite de una función
real.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar los diferentes obstáculos que impiden a los estudiantes de Matemáticas la
apropiación del concepto de límite de una función real.
Determinar las dificultades que presentan los estudiantes de Matemáticas al momento
de la conceptualización de límite de una función real.
Caracterizar el enfoque pedagógico del docente utilizado para la enseñanza de límite de
una función real.
Crear un nuevo enfoque de aprendizaje del concepto de límite de una función real para
los estudiantes de Matemáticas.
21
2 MARCO REFERENCIAL
2.1 ANTECEDENTES
Haciendo una exhaustiva búsqueda de referentes teóricos que soportaron a esta
investigación se mencionan los siguientes trabajos de grados, artículos y monografías que
involucran el concepto del límite:
Torroba, Ried, & Etcheverry (2006), en Argentina, presentaron el Proyecto
“Enseñanza-Aprendizaje del concepto de límite de funciones con el uso de TIC’S”
Trabajo aplicado a estudiantes durante el primer cuatrimestre del año 2006 que
cursaban la asignatura de Análisis I, correspondientes a las Carreras de Matemáticas y
Licenciatura en Matemáticas, de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales/UNLPam,
organizado en tres etapas, así:
1. Clase teórica usando un software; para introducir el concepto de límite mediante la
definición formal en términos de épsilon-delta.
2. Clase práctica en sala de computación, considerando aspectos gráficos y numéricos
del concepto.
3. Clase de autoevaluación en sala de computación, con la inclusión de material
extraído de Internet.
Lo anterior permitió llegar a la conclusión que, la conjunción de abordajes visuales y
algebraicos y el empleo de diversas representaciones: gráficas, tabulares, necesarias como
complemento para resolver las cuestiones planteadas en el entorno del aprendizaje de límite
de funciones. Esta investigación se ha tomado como referente teórico pues, tiene una
estrecha relación con la presente, donde ambas tienen como objetivo principal la búsqueda
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de la comprensión del concepto del límite en los estudiantes de Educación Superior.
Además, brinda alternativas nuevas, es decir, caminos diferentes a lo cotidiano para la
introducción del límite de una función real.
Bustos Gonzales (2013), en su proyecto de grado “Propuesta didáctica: la Enseñanza
de limite en Grado Undécimo, haciendo uso del Geogebra”, trabajó con estudiantes de
grado 11 de la institución Educativa Técnica María Auxiliadora de Fresno Tolima. Esta
propuesta se aplicó durante el tercer trimestre escolar del año 2012, y consistió en
utilizar el Software Geogebra como herramienta para el aprendizaje del concepto del
límite de funciones. Se realizó en cinco etapas:
1. Clases con uso de video beam y un portátil por cada dos estudiantes.
2. Conocimiento del Software y sus herramientas (exploración libre y guía de
instrucciones sobre el manejo del Software).
3. Construcción y análisis de funciones en Geogebra
4. Clase teórica usando el Software Geogebra: introducción al concepto de límite
mediante la definición formal en términos de ε y δ.
5. Clase práctica considerando aspectos gráficos y numéricos.
Con la intención de introducir el concepto de límite de una función real, mediante
una estrategia didáctica basada en la visualización y (propósito) determinar el
rendimiento académico, a través de la aplicación de un Pre-Test y Post-Test. Donde se
seleccionó un grupo experimental que recibió un tratamiento (clases utilizando un
Software Geogebra) y un grupo control como patrón de comparación, con clases
aplicando la estrategia docente tradicional. La implementación del Software en la
práctica permitió a los estudiantes ser más activos, creativos, participativos y
23
autónomos en la adquisición de conocimientos, que generó una notable mejora en las
calificaciones, reflejado en los resultados obtenidos con el grupo experimental. Esta
investigación, como la presente, tienen el mismo objetivo principal: introducir mediante
estrategias didácticas, diferentes a las tradicionales, el concepto de límite.
De La Cruz, Jalk, & Martínez (2001), realizaron su Proyecto de Grado “Propuesta,
una estrategia didáctica para la construcción del concepto de límites de sucesiones
numéricas en Undécimo Grado”, asesorado por el Dr. Boris Lora en el año
2001/Universidad del Atlántico, dando como resultado “Diseñar estrategias didácticas
para la construcción del concepto de límite de sucesiones numéricas”. Esta propuesta
fue implementada en el Colegio Distrital Calixto Álvarez de las Nieves, mediante la
realización de trabajos guías (en total fueron 6), donde poco a poco fueron
construyendo el concepto de límites de sucesiones numéricas, permitiendo mostrar de
forma totalmente diferente el enfoque de la enseñanza del concepto de límite. Esta
investigación es un referente teórico para la presente investigación, puesto que, ambas
poseen un vínculo básico en cuanto al enfoque en la construcción del concepto de
límites, brindando además una modelación de cómo introducir el concepto de límite,
mediante la construcción de éste.
24
2.2 MARCO TEÓRICO-CONCEPTUAL
2.2.1 EL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO
Hablar sobre la enseñanza matemática es realmente un tema complejo y de gran
importancia puesto que en realidad las Matemáticas no son simplemente fórmulas como
tienden a creer o pensar las personas, que se encuentran alejadas de ellas o de sus
diferentes ramas; el concepto matemático es un proceso de construcción individual que
tiene como referentes el desarrollo lógico y la contextualización.
De la Cruz, Jalk, & Martínez (2001), “En diferentes enfoques metodológicos de
aprendizaje, comunmente se asumen ideas erróneas a cerca de la enseñanza de las
Matemáticas, existe, en ciertos casos, la creencia que saturar al estudiante de contenidos
matemáticos, como, definiciones, axiomas, teoremas, postulados y resolución de
problemas genera en el joven un pensamiento matemático, lo cual no es del todo
manifiesto”. El acceso a conceptos matemáticos requiere de un largo proceso de
abstracción, es importante que el estudiante construya por sí mismo estos conceptos
matemáticos básicos y, de acuerdo a sus estructuras, utilice los diversos conocimientos que
ha adquirido a lo largo de su desarrollo, orientado a seguir la misma secuencia estructural le
lleve a desarrollar un adecuado pensamiento matemático.
De acuerdo con Von-Glaserfeld (1987), los conceptos matemáticos han de ser
construidos individualmente tomando como base a las propias concepciones del
estudiantado y sus conocimientos previos. Tener en cuenta estos aspectos, ellos influyen en
la construcción de nuevos conceptos, siendo de vital importancia para que el estudiante
pueda comprenderlos, avanzar en el conocimiento y lograr aplicaciones.
25
Por otro lado, desde los fines de esta investigación y su fundamento en lo dispuesto por
el Plan de Estudios del Programa de Matemáticas/Universidad del Atlántico, la asignatura
Cálculo Diferencial es parte del Bloque Común de Asignaturas de los Programas de
Ciencias Básicas. En consecuencia, comprende el estudio de las funciones reales de una
variable real desde la perspectiva del concepto de límite, donde se consideran los conceptos
de límite, continuidad y diferenciación. Estos conceptos se estudian haciendo énfasis en los
aspectos operativos y de aplicación, sin perder de vista los aspectos teórico-matemáticos
inherentes a ellos. Los estudiantes cursantes deben poseer conocimientos de Álgebra
Elemental y Geometría Euclidiana Plana (suficientes y necesarios en los cursos de
Fundamentos de Matemáticas y Geometría). Deben, además, tener la capacidad de
comprender y desarrollar razonamientos demostrativos propios de este nivel de Estudios
Universitarios. El Cálculo estudia el concepto de función haciendo uso del límite. La
mayoría de los fenómenos naturales, económicos, y hasta sociales se pueden modelar
mediante funciones. Por lo tanto, su estudio es de vital importancia para quien desee
comprender a profundidad estos eventos. La continuidad es un principio natural presente en
los fenómenos macroscópicos. En el Cálculo, este principio se modela con ayuda del límite.
Límite y continuidad forman el pilar central del curso inicial de Cálculo, son el fundamento
teórico-matemático y hasta filosófico en el estudio de muchos fenómenos naturales. Los
estudiantes, al finalizar el curso se espera tengan la capacidad para aplicar los conceptos de
límite, continuidad y diferenciación en sus respectivos campos de estudios. Sean capaces de
comprender las demostraciones matemáticas asociadas a estos conceptos, entendiendo las
líneas de pensamiento subyacentes en tales demostraciones. Podrán extrapolar los métodos
estudiados durante el curso a situaciones propias de su área de interés. Serán capaces de
26
percibir y transmitir la belleza estructural y comprender la importancia del estudio de estos
y otros conceptos. Utilizarán con propiedad el lenguaje inherente a esta área del saber.
De acuerdo con De Oliveras (2008), donde fundamenta la idea de motivar al estudiante
y hacerlo madurar en el razonamiento matemático durante el curso de Análisis Real para
que esté preparado al momento de enfrentarse a un examen. Abordando de manera
coherente los conceptos formales, propiedades, teoremas y ejercicios sobre sucesiones
numéricas. De este modo, el aporte facilita un conocimiento amplio y válido para fortalecer
el planteamiento del problema.
Lima (1997), publicación donde se expone de manera simple y directa los temas de
límite de una función real y sucesiones, entre otros, esta herramienta propone sus ejercicios
como oportunidad para que los estudiantes comprueben si realmente han entendido lo
planteado por el Grupo de Investigadores, si están trasmitiendo, en particular, como lo es el
caso de las sucesiones de números reales, donde se introduce la noción de límite en su
forma más simple, el límite de una sucesión. A partir de allí, los conceptos importantes del
Análisis Matemático, de una forma u otra se reduce a algún tipo de límite. De esta forma,
las temáticas brindan un soporte fundamental para el acceso a conceptos matemáticos y
permite ser un instrumento de conocimiento, facilitando los procesos de enseñanza-
aprendizaje de los educandos.
27
2.2.2 ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS EN LAS MATEMÁTICAS
Hablando sobre aspectos generales de la didáctica para la enseñanza del Cálculo
Diferencial y en particular del concepto de límite de una función real, es preciso decir que
este importante concepto no se comprende en los cursos de Cálculo de la Universidad,
donde se aprende, es, un conjunto de reglas y algoritmos algebraicos, sin llegar a penetrar
en el corazón del concepto. Esta situación repercute en el desarrollo de la capacidad de
aplicar el Cálculo en estudio de situaciones en contextos y el desarrollo de invenciones en
los diferentes campos profesionales, como las Ingenierías, las Matemáticas Puras y la
Licenciatura en Matemáticas, entre otros.
Sin embargo, se considera que el problema no es solo de enseñanza del Cálculo
Diferencial sino del Modelo Educativo en general, que hoy resulta anacrónico.
Debe comprenderse que el camino de acceso al concepto fundamental del límite,
permite tener un control sobre las situaciones didácticas y la mediación del docente puede
ser más efectiva, para el desarrollo del pensamiento variacional. Otro punto a considerar es
respecto a la cuestión ¿Para qué se enseña matemáticas? y, en particular, ¿Para qué se
enseña el Cálculo Diferencial? Hay varias respuestas según niveles de escolaridad y según
los propósitos de la sociedad y la cultura en donde se vive como las prospectivas
construidas al respecto, sugiriendo asumir una posición epistemológica, posibilitadora en el
cuestionamiento de las ideas propuestas en los diferentes Sistemas Curriculares.
Delgado (2009), con una experiencia con estudiantes indígenas y afrodescendientes
destinada a las prácticas empleadas en la enseñanza y aprendizaje del Cálculo, a partir de
28
una investigación, orientada a proponer una estrategia didáctica socio constructivista.
Destacando dos aspectos importantes, entre los cuales está:
Respecto a las prácticas de enseñanza: En esta estrategia de enseñanza, la evaluación
es ahora sistémica-formativa y permanente: se evalúan los resultados de la
interactividad en el marco de fundamento de los subsistemas Estudiante-Situación
didáctica; Profesor-Situación didáctica, como constitutivos del Sistema Didáctico que
los engloba. Dando a entender la necesidad de transformar las prácticas de enseñanza
tradicionales. Apoyándose en la teoría de situaciones de Guy Brousseau, se busca
transformar el papel del Profesor de Matemáticas y reorientar su actividad hacia el
diseño de situaciones, recontextualizadoras del conocimiento que se desea enseñar y
cuya solución es posible por un proceso constructivo de conocimiento a cargo del
estudiante, apoyado con la mediación didáctica del Profesor. Tal mediación, se
constituye en torno a las devoluciones de problemas a los estudiantes que el Profesor va
construyendo en la interactividad, con el objetivo de provocar el compromiso del
repertorio de conocimiento de los jóvenes en concordancia con la tarea propuesta.
Respecto a las prácticas de estudio: El estudiante no será un receptor de soluciones ya
elaboradas para los problemas, que en algún momento de la historia se plantearon los
Matemáticos y formalizaron en axiomas, definiciones, teoremas y algoritmos que él
debe memorizar y cuyo funcionamiento imita del modelo que proporciona las
representaciones y explicaciones del Profesor; sino que pasa a ser un constructor de su
propio conocimiento matemático, resolviendo problemas creativos cuyas restricciones,
en relación con los conocimientos que libremente pone en juego el estudiante, hacen
cierto conocimiento matemático sea necesario para alcanzar el éxito.
29
En concordancia con esta visión constructivista de las Matemáticas, la estrategia que
orienta las acciones del estudiante y del Profesor en torno a la construcción de
conocimiento hace necesaria cierta flexibilidad en el manejo de los tiempos oficiales
asignados para cubrir las temáticas de los Programas, de tal manera abrir posibilidades
de acompasar los contenidos a los ritmos de aprendizaje de los estudiantes, a la vez
operan ciertas transformaciones en su formación matemática y sus concepciones sobre
el aprendizaje y sobre las Matemáticas, concepciones que, en la mayoría de los
matemáticas tradicionales.
Por ello, el reto de esta investigación consiste en integrar al aula de Matemáticas
aspectos como la invención y el asombro, la intuición y la validación, el razonamiento y la
lógicas, la predicación y los conceptos, los juicios y los lenguajes matemáticos, bajo el
supuesto que estos aspectos son constitutivos de la actividad de estudio que realiza tanto el
Matemático cuando construye Matemáticas nuevas como los estudiantes que la aprendan.
Takeuchi (1976), fundamenta una teoría relacionada con el objeto de estudio, a través de
una conferencia afirma “es una equivocación grave al obligar a memorizar simplemente las
definiciones y las fórmulas como ocurre frecuentemente en la mayoría de los Colegios o
Universidades, sugiere que cualquier teoría matemática se puede desarrollar a través de un
esquema”, teniendo en cuenta:
Primero: La observación de los hechos surgidos en la naturaleza o en la vida social,
Segundo: Análisis de los datos obtenidos en la observación con el objeto de
encontrar algunas reglas o formular razonables,
Tercero: Idealizar la situación, analizada en el paso dos, para formar una teoría
matemática.
30
Por otro lado, afirma es inconveniente mostrar solamente el resultado de la teoría
matemática, puesto que el objetivo de la enseñanza matemática no es el memorizar
fórmulas inútiles en la vida social sino que, a través de los estudios, se pueda aumentar el
poder de la observación, profundizar la capacidad para analizar los hechos presentados y
fomentar la creatividad por la imaginación y por la idealización. Es por ésto que los
problemas de las sucesiones ilustran muy bien los procedimientos anteriormente
mencionados.
Este autor añade, sin aceptar la idealización imaginaria nunca se podrá llegar a los
conceptos de sucesión, de límites, de funciones continuas,… de lo relacionado con el
Análisis Matemático. Aumentar la capacidad de la imaginación conduce evidentemente a la
creatividad humana, se constituye en uno de los principales objetivos de la enseñanza de la
Matemática, y algunos problemas de la sucesión son muy útiles para tal fin.
Lo anterior demuestra, una vez más, al apostarle a las unidades didácticas y a las
estrategias empleadas, son vías o caminos en el aprendizaje de una temática específica,
comprenden un conjunto de procesos, acciones y actividades que los aprendices pueden
desplegar intencionalmente para apoyar y mejorar su aprendizaje de manera eficaz y
segura.
31
2.2.3 IMPORTANCIA DE LA DIDÁCTICA DEL CÁLCULO PARA LA ENSEÑANZA DEL LÍMITE.
Arévalo, Blanco, & Rolong (2011), en su Trabajo de Grado para optar al título de
Licenciado en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas, establecen que la enseñanza
de las Matemáticas requiere conocer las diferentes herramientas, como estrategias de
aprendizaje y la Didáctica de las Matemáticas, puesto que permite la adquisición de nuevos
conocimientos, hacia una emancipación en el aprendizaje autónomo de cada individuo.
Hecho factible introducir, en el campo educativo, escenarios para saber enseñar,
preocupado por generar y comunicar conocimientos, a través de la organización. Así como
la “didáctica de cualquier materia significa la organización de los procesos de la enseñanza
y el aprendizaje, es relevante su consideración como una herramienta que posibilita
eficientemente el saber, porque lo ejecuta de otra manera, más flexible, más consciente de
sí y más abierta”.
Cabe señalar que estos autores consideran la convergencia de manejo de los conceptos o
la divergencia en las mismas características, por ejemplo, ellos expresan “la didáctica es la
ciencia que se interesa por la producción y comunicación de conocimiento. Saber qué es lo
que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica”. Esto
muestra que para proporcionar una buena enseñanza es necesario que el Docente mantenga
un conocimiento amplio de la Ciencia Matemática y posteriormente el manejo de
estrategias que faciliten la divulgación de éstos. De igual manera, que sea el Docente el
precursor e innovador de estrategias, con la intención de ser compartidas en el aula de
clases.
32
También resaltan que en la didáctica intervienen unos aspectos fundamentales, como la
trasposición didáctica 2 y la ingeniería didáctica, donde hay quienes manifiestan: la
didáctica implementada en la Matemática, difícilmente podrá ser vista como científica, en
cuanto empieza a carecer de rigurosidad en tanto el docente inicia los procesos de
transposiciones didácticas, entonces debería entenderse a la enseñanza de las Matemáticas
realmente un arte independiente de la didáctica..
No obstante, plantean que la Didáctica de las Matemáticas deberá llevar sujetas la
transdisciplinariedad, de la que tanto habla Piaget, donde dice que la reunión, conexión
lógica de mucha disciplina y saberes se compactan para ser difundidas mejor con la
finalidad de avanzar en un problema planteado y empezar a desarrollar aptitudes propias de
cada etapa de un saber específico. Vista de este modo, la Didáctica se convierte en un
instrumento activista de la enseñanza y su empleo se torna atractivo cuando emerge una
metodología de la investigación empleada para analizar situaciones didácticas.
Azcarate, Casadevall, Casellas, & Bosch (2006), en otro contexto, Barcelona, el Grupo
Zero facilita un aprendizaje significativo del estudiantado en el Cálculo Diferencial e
Integral, destacando un aspecto esencial, es, el método de aprendizaje, que rompe con la
estructura de la clase tradicional de Matemáticas, cuyo esquema para cada concepto nuevo
puede representarse en la forma:
2 La transposición didáctica es el mecanismo mediante el cual el maestro o profesor “toma” el conocimiento y lo transforma para presentárselo a sus alumnos.
Teoría ordenada explicada por el profesor/a y/o el libro de texto
Simples ejercicios de aplicación
33
De lo cual se concluye, este proceso tiene el inconveniente de mantener a los estudiantes en
una actitud pasiva y únicamente receptiva, sin oportunidad para intervenir en su propio
proceso de aprendizaje. La metodología del Grupo Zero establecía en cambio, una dinámica
de clase más activa y próxima al quehacer matemático, en la fase de elaboración de una
teoría donde interviene la intuición, la improvisación, las analogías, las pruebas, las
aproximaciones,… y donde son los propios estudiantes quienes, mediante la verbalización
de estas actividades, participan en la construcción de sus concepciones tratando de
esquematizar en la forma:
Esta fuente hace un gran aporte, a partir de un estudio sobre la concepción de los
estudiantes acerca del concepto de límite, apoyados en sendas investigaciones, donde se
combinan los estudios epistemológicos y análisis de las respuestas de los participantes
enfrentados a tareas y procesos de aprendizaje, involucrado el concepto de límite. La
primera idea de límite es una noción dinámica de aproximación y la manera como se utiliza
el concepto de límite para resolver problemas, no suele estar relacionado con la definición
sino con las propiedades de un aspecto intuitivo del concepto. En este estudio se demuestra
que los estudiantes tienen lo que se denomina, concepciones espontáneas personales que
provienen de sus experiencias cotidianas; por ejemplo, la expresión “tiende hacia” se puede
interpretar de varias manera como aproximarse, aproximarse sin alcanzar, justo alcanzando.
En cuanto a la palabra “limite” tienen mayoritariamente el sentido de “no sobrepasable”, un
Problemas de introducción
Construcción de las concepciones
Formalización de la concepción
Ejercicios de aplicación
Problemas de consolidación
34
punto al que “uno se aproxima y alcanza”, un límite superior/inferior, un máximo o un
mínimo. Estas observaciones ponen de manifiesto la importancia para que los estudiantes
sean conscientes de la complejidad del concepto de límite y se facilite su reflexión acerca
de sus propias ideas y concepciones, sus imágenes, sus intuiciones, sus experiencias, antes
de introducir el concepto.
3 MARCO METODOLÓGICO
3.1 PARADIGMA DE INVESTIGACIÓN.
Dada la necesidad de definir un paradigma de investigación, el cual suministra una
apreciación amplia de los problemas presentados en el campo de las Ciencias,
específicamente en la temática de límite de una función real en los estudiantes de
Matemáticas de la Universidad Del Atlántico y, de cierto modo, el paradigma situará la
búsqueda de soluciones concediendo medios factibles para alcanzar los objetivos y
fortalecer algunas concepciones acerca de las Matemáticas.
En base a lo anterior, el paradigma que más se ajusta a las necesidades de esta
investigación es el paradigma Socio-Crítico, puesto que, su fundamento es la realidad y se
adecúa al ámbito de la Educación, desde una perspectiva con visión global y dialéctica de
la realidad educativa, donde la realidad es construida intersubjetiva, social y experiencial
mente; relaciona el sujeto y el objeto de la investigación, la epistemología es subjetivista y
critica. Además plantea una concepción de conocimiento como un proceso constructivo de
comprensión crítica y acción sobre la realidad, donde la metodología es dialógica y
35
participativa. También se centra en la auto-reflexión del Docente por su práctica y desde
allí permite transformarla y fortalecerla, a partir de un proceso dinámico entre los sujetos y
a su vez ayudándolos a forjar su emancipación, con el fin de lograr cambios en la
enseñanza del conocimiento matemático, hacia el producir un mejoramiento notable en los
problemas que atañe al proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. Además, el
paradigma Socio-Crítico hace que el investigador sea un colectivo participativo, permite se
promueva la simplificación de instrumentos de investigación, en favor de procesos
participativos.
Un gran aporte que este paradigma Socio-Crítico brinda a este trabajo investigativo,
dadas sus características, es establecer un proceso dinámico en enseñanza-aprendizaje del
concepto de límite de una función real y, además, el compromiso que adquieren tanto el
investigador como el estudiante, de ser ambos participes en el proceso. Aspecto a destacar:
el paradigma se identifica con el proyecto en la puesta en práctica el conocimiento
adquirido en un medio determinado.
3.2 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
Un tipo de investigación viabiliza los pasos a seguir en este estudio, sus técnicas y
métodos que podrían emplearse en la misma. En general el tipo de investigación determina
el enfoque de la investigación incluyendo en instrumentos, y hasta la manera de cómo se
analizan los datos recolectados.
De acuerdo a lo anterior, el tipo de investigación, fundamento del presente trabajo, es
el experimental, puesto que, permite tener un alto grado de control en las variables a
utilizar y donde se provoca o manipula el fenómeno. Además, se trabaja con una variable
36
independiente que es controlada y donde los efectos en variables dependientes son
estudiados y, de igual manera, se tiene control máximo de las variables extrañas más
significativas que puedan intervenir en los efectos que genera la variable independiente.
Por otro lado, la investigación experimental permite confiar más en los resultados que
arroja este trabajo, debido a que ésta, por su propósito, posibilita mayor confiabilidad
posible, relaciones de causa-efecto, para lo cual uno o más grupos, Grupos Experimental y
Grupos Control, donde los grupo experimentales se exponen a los estímulos
experimentales y los comportamientos resultantes se comparan con los comportamientos de
los grupos control, que no recibe tratamiento o estimulo experimental.
Otra razón de este modelo experimental, es la manera como se hace posible la selección
de la muestra de estudio, su criterio de factibilidad y poder detectar las dificultades, así
mismo trazarse objetivos que poco a poco se irían alcanzando, de igual modo reflexionar
ante cada una de las etapas del proceso o progreso que presentan los estudiante.
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA
La Universidad del Atlántico ubicada, entre la ciudad de Barranquilla y el Municipio de
Puerto Colombia/Departamento del Atlántico, en el Km. 7 Antigua Vía a Puerto Colombia,
considerada como la Universidad con más estudiantes de la Región Caribe Colombiana.
Los estudiantes de Segundo Semestre del Programa de Matemáticas de esta institución,
conformado por un grupo de 12 estudiantes aproximadamente con edades que oscilan entre
17 y 18 años de edad.
37
MUESTRA: Para la realización o aplicación de esta investigación se escogió el total de la
población, teniendo en cuentas los obstáculos epistemológicos que puedan presentar cada
uno de estos estudiantes en la apropiación del concepto del límite de una función real.
3.4 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
La investigación “Construcción y apropiación del concepto de límite de una función
real”, tiene en cuenta los diversos instrumentos de recolección de información
seleccionados como la observación directa y pruebas diagnósticas con el fin de dar un
soporte que evidencie los resultados del trabajo y, de esta forma, facilitar al lector
confiabilidad y veracidad de la investigación, a través de los resultados logrados..
El diseño de cada una de las técnicas e instrumentos está dotado de contenidos teóricos
relacionados con objetivos y en atención a cada categoría, el problema observado en su
contexto, como punto de partida. Transcurrido el proceso de aplicaciones de estos
instrumentos se pretende obtener más que una información, algo mucho más valioso como
lo es el punto de vista general y descriptiva de la situación problema, a través de las
respuestas arrojadas por la prueba diagnóstica y de la observación realizada en el aula de
clase.
3.4.1 OBSERVACIÓN DIRECTA
Esta observación técnica de recolección de datos se tomó en cuenta con el propósito de
recoger una información directa sobre el aprendizaje de los estudiantes de Matemáticas en
38
torno al tema de límite de una función real y la forma como el profesor orienta el proceso
de aprendizaje. Información recolectada básica para su posterior tratamiento y análisis de
resultados.
3.4.2 PRUEBA DIAGNÓSTICA
La prueba diagnóstica tomada como una fuente inicial de recolección de datos, orientada
a obtener una información directa sobre el nivel cognoscitivo y comunicativo que poseen
los estudiantes de Matemáticas, Segundo Semestre, de la Universidad del Atlántico. Son
caracterizaciones iniciales básicas del problema detectado.
3.4.3 ANÁLISIS DE LA OBSERVACIÓN DIRECTA
Esta técnica para el tratamiento de la información recolección fue de vital importancia
para la presente investigación, base para ser posible el análisis de los posibles resultados en
el contexto de la problemática en el manejo del tema de límite de una función real,
observar de forma directa interactuando con los estudiantes la relación que existe entre el
docente y estudiante y más aún la manera como el docente crea o no situaciones de
aprendizaje en el evento del aula, es decir, observar la metodología para transmitir cierto
conocimiento, específicamente en lo concerniente al tema abordado en esta situación
problémica.
Mediante las observaciones realizadas en las aulas de clases de la Universidad del
Atlántico se pudo detectar que el Docente al momento de abordar el tema de límite de una
39
función real entra de lleno dando la definición de 휀 − 훿 que éste tiene y enseguida procede
a realizar ejercicios prácticos dejando a un lado la interpretación geométrica de esta
definición y su aplicación para probar la existencia de un límite, lo cual hace que el
estudiante solo reciba o intente memorizar una serie de algoritmos repetitivos para la
solución de límites, sin darle importancia a la esencia del concepto y de sus implicaciones
formativas. Sin embargo, a pesar de que se trabajaban ejercicios de solo manipulación
algebraica había estudiantes tenían dificultades, sin desenvolverse muy bien, es decir,
presentaban deficiencia en el Álgebra, en la parte de factorización.
También fue notorio el no tratamiento del tema de sucesiones y de límites de sucesiones,
siendo éstos conceptos previos y de secuencia lógica anteriores al tema de límite de una
función real, dado que en estos dos conceptos hay un fuerte vínculo y objeto de estudio de
la presente problemática.
3.4.4 ANÁLISIS DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA
Inicialmente se aplicó una prueba diagnóstica al grupo de estudiantes de segundo
semestre de Matemáticas, para establecer los conocimientos previos que tenían el grupo
antes de abordar el tema sobre el límite de una función real. De lo cual se evidencio el
rendimiento académico que tienen los estudiantes en el área del Calculo Diferencial. La
prueba realizada al inicio del proceso investigativo buscaba identificar los obstáculos
epistemológicos que los estudiantes de segundo semestre de Matemáticas perteneciente a
la Facultad Ciencias Básicas de la Universidad Del Atlántico presentan en el uso y
apropiación asociado al problema de esta investigación.
40
Esta prueba se les aplicó a un total de 12 estudiantes, población total con la cual se
trabajó, la prueba contenía un total de 10 de puntos en los cuales se evaluaba, sucesiones,
límites de sucesiones, lo cual es requisito para lo que se postula en el presente proyecto, y
por último se colocaron dos puntos sobre límite de una función real para determinar el nivel
cognoscitivo que poseían los estudiantes en este tema el cual es el centro de esta
investigación.
Los resultados obtenidos evidencian que realmente existe una problemática en estos
temas mencionados anteriormente, principalmente en el de límite de una función real,
concepto de vital importancia en el estudio del cálculo diferencial lo que implica que estos
estudiantes necesitan de manera urgente una nueva metodología y estrategias didácticas que
permitan la adquisición y comprensión de este tema. El formato aplicado fue el siguiente:
41
42
43
A continuación, se presenta el análisis de las preguntas de la prueba diagnóstica.
RESULTADOS DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA
1. Dado el término 푛 − 푒푛é푠푖푚표 el estudiante calcula los primeros cinco términos.
En este primer punto de la prueba diagnóstica, se muestra las falencias que tienen los
estudiantes de matemáticas de segundo semestre para resolver el inciso c, donde se observa
que solo 2 estudiantes de 12 respondieron correctamente lo que corresponde a un 17%,
evidenciando que el 83% presento dificultad para la solución de este inciso, puesto que en
este ejercicio el estudiante debía analizar un poco más para calcular los términos pedidos a
diferencia de inciso a y b donde todos respondieron correctamente. Esto muestra que estos
estudiantes carecen de razonamiento cuando se enfrentan a ejercicios fuera de lo cotidiano,
entiéndase por este a un ejercicio donde se le cambia la estructura pero la contextualización
es la misma. Por otro lado, en el inciso d apenas 3 estudiantes respondieron correctamente
y 9 incorrecto lo que muestra una falta de manipulación en las razones trigonométricas.
0
2
4
6
8
10
12
Inciso a Inciso b Inciso c Inciso d
12 12
2
910
3
Ejercico #1
Correcto Incorrecto
44
Segundo punto:
2. Los estudiantes hallan el término general de la sucesión dada.
En este segundo punto se pedía al estudiante calcular el término general de una
sucesión dado los 5 primeros términos de ésta.
La anterior gráfica, evidencia las falencias que tienen estos estudiantes para
identificar las progresiones geométricas y las progresiones aritméticas las cuales
corresponde al inciso c y d. se observa que ningún estudiante realizo alguno de estos
inciso de forma correcta, mientras que los otros inciso los cuales su desarrollo era más
intuitivo lo realizaron en su mayoría correctamente.
0
5
10
Inciso a Inciso b Inciso c Inciso d
10 9
24
8
2 1
8
4
Ejericicio #2
Correcto Incorrecto No responde
45
Tercer punto:
3. Dada dos sucesiones calcular la suma, resta, producto y cociente.
En este punto de la prueba se le pedía al estudiante dada dos sucesiones realizar las
operaciones básicas entre ellas, estas son: suma, resta, producto y división (si está bien
definida).
De la gráfica se observa que los estudiantes en su mayoría respondieron correctamente,
pero si embargo algunos de estos estudiantes tuvieron ciertas dificultades para la solución
de estos ejercicios, por ejemplo en el inciso a él 8.3% lo que equivale a un estudiante no
respondió y el 16.7% realizó el punto de forma incorrecta, lo que muestra que un 25% no
supieron realizar este inciso; para el inciso b también el 8.3% no respondió y el 33.4% lo
hicieron de forma incorrecta; para el inciso c hay un total de 16.6% entre estudiantes que
no respondieron y e hicieron incorrecto el ejercicio y por último el inciso d se obtuvo los
mismo resultados del inciso a, estos resultados deja evidenciado que no todos los
0
2
4
6
8
10
Inciso a Inciso b Inciso c Inciso d
9
7
109
2
4
12
1 1 1 1
Ejercicio #3
Correcto Incorrecto No responde
46
estudiantes manejan algunas propiedades básicas del algebra lo cual es de vital importancia
al momento de abordar la temática de límites.
Cuarto punto:
4. Dada la sucesión ∈ℕ
, a que valor converge para un 푛 suficientemente grande.
Este punto consistía en que los estudiantes le dieran valor a la sucesión ∈ℕ
de
1, 2, 10, 100, 1000, 10000 con la finalidad de establecer intuitivamente a que valor la
sucesión converge. En la gráfica se pueden notas las falencias que tienen los estudiantes de
segundo semestre de Matemáticas para intuir ciertos resultados donde se requiere una
lógica y razonamiento matemático para seguir la secuencia y a la veces es evidente la falta
de interpretación de concepto de convergencia de una sucesión que poseen estos
estudiantes, ya que el 25% de los estudiantes, equivalente a 3 estudiantes, no respondieron
y el 58.4% respondio incorrectamente, lo que evidencia que un total de 83.4% no supieron
realizar este ejercico y apenas el 16.6% respondió correctamente. Por lo que se requiere
0123456789
101112
2
7
3
Ejercicio #4
Correcto Incorrecto No responde
47
una metodología que afiance este concepto y genere en ellos un nuevo aprendizaje
significativo en torno a este tema.
Quinto punto:
5. Pruebe que lim→
= 0
Esta parte del diagnóstico tenía como objetivo analizar que tanto manipulaban los
estudiantes de matemáticas de la Universidad del Atlántico la definición de límite de
una sucesión para demostrar la igualdad de un límite. Como se puede observar en el
grafico anterior ningún estudiante realiza correctamente el ejercicio, y solo el 33.3%
intento resolverlo pero fracaso y el 66.7% no respondió, algunos escribieron que no
sabían, que no entendían la definición y otros simplemente dejaron en blanco. Con lo
anterior podemos concluir que gran mayoría de estudiantes tienen deficiencias en la
definición de límites de sucesiones y esto les impide implementar técnicas que permitan
demostrar la existencia de un límite.
0123456789
101112
0
4
8
Ejercicio #5
Correcto Incorrecto No responde
48
Sexto punto:
6. Calcular límites de sucesiones
Este punto de la prueba diagnóstica consistía en calcular límites de sucesiones.
Para esta etapa de la prueba diagnóstica se quiso observar la capacidad que tenían los
estudiantes de matemáticas para calcular límites de sucesiones, aplicación de
propiedades y técnicas que le permitieran dar solución a las situaciones planteadas, de
lo cual se puede apreciar de este análisis de datos que para el inciso a, un 50% de los
estudiantes fueron capaz de realizar correctamente este ejercicio sencillo y el otro 50%
se divide en un 25% que no respondieron y el otro 25% lo hicieron de forma incorrecta.
Para el inciso b se tiene que solo un estudiante lo equivalente al 8.4% supo aplicarla
regla del emparedado para la solución de este ejercicio, el 41.7% utilizo un proceso
erróneo y el 50% no respondió nada, mostrando un total de 91.7% de los estudiante
tuvieron dificultad para realizar este ejercicio, considerando de manera desfavorable
los conocimientos que este grupo de estudiantes tienen frente a la regla del emparedado,
0123456789
101112
Inciso a Inciso b
6
13
53
6
Ejercicico #6
Correcto Incorrecto No responde
49
pues en su mayoría implementaron un mal procedimiento o en su defecto no sabían cuál
era la regla del emparedado.
Séptimo punto:
7. Calcular límites de funciones
Este puto de la prueba consistía en resolver límites de funciones, en caso de que éstos
existieran. Se puede observar que en inciso a que el 66.7% de los estudiantes realizo el
proceso correctamente y solamente el 23.3% lo hizo de forma incorrecta, lo cual muestra
que la población en su totalidad no tiene claro el concepto de función continua en un punto;
por otro lado en el inciso b, se refleja que 7 estudiantes, es decir, el 58.3% tuvieron éxitos
en este punto dejando un total 41.7% de estudiantes que realizaron este punto de forma
incorrecta y para el inciso c, ningún estudiante respondió de forma correcta , donde el
100% de estos estudiantes mostraron resultados no favorables, con un 66.7% de estudiantes
con un procedimiento erróneo y un 23.3% no respondieron nada. El objetivo de este punto
de la prueba diagnóstica era analizar las deficiencia que tienen los estudiantes de
0123456789
101112
Inciso a Inciso b Inciso c
87
0
45
8
0 0
4
Ejercicio #7
Correcto Incorrecto No responde
50
matemáticas para identificar si el límite de una función existe como lo es el caso del inciso
c, donde el límite no existe y frente a éste ningún estudiante fue capaz de responder
correctamente, mientras que en los otros incisos en los cuales el limite exista algunos
respondieron mal. Esto permite identificar que hay una problemática frente a identificar
cuando un imite existe y calcular éstos.
Octavo punto:
8. Demostrar igual de límites de funciones
En esta etapa de la prueba tiene como objetivo conocer qué grado de manipulación
tienen los estudiantes de matemáticas respecto al concepto o definición del límite de
funciones, para ellos les pidió demostrar igualdades de límites que se observan en el punto
8 de la prueba diagnóstica. Según el grafico queda evidenciado que estos estudiantes tienes
una gran deficiencia en lo concerniente al concepto de límites de funciones, en su mayoría
respondieron que no sabían cómo hacer, otros hicieron el cálculo simplemente del límite lo
0123456789
101112
Inciso a Inciso b
0 0
8
24
10
Ejercicio #8
Correcto Incorrecto No responde
51
que muestra que no están claro la diferencia entre demostrar un límite y calcular el límite.
Los resultados en el grafico muestran que:
Para el inciso a, ningún estudiante obtuvo resultados correctos y 8 alumnos
correspondientes a un 66.7% intentaron realizar el ejercicio pero presentaron falencias
realizando un mal procesamiento y el 23.3% ni si quiera respondió.
Para el inciso b, apenas dos estudiantes (16.7%) intentaron demostrar lo pedido y los
restantes 10 estudiantes (83.3%) no respondieron o en su defecto colocaron que no
sabían la definición o que eso no lo habían entendido.
Para ambos casos se la totalidad del 100% obtuvieron un resultado desfavorable para la
solución de este ejercicio, esto muestra toda la población de estudio en este proyecto carece
de claridad en el que se refiere al tema de límites de una función real, concepto y
manipulación de este.
52
4 PROPUESTA PEDAGÓGICA
53
4.1 TÍTULO DE LA PROPUESTA
54
4.2 PRESENTACIÓN
La presente propuesta contiene una serie de eventos pedagógicos y lúdicos, en la cual
se propone implementar estos eventos o actividades con el fin de facilitar y mejorar la
enseñanza - aprendizaje de unos de los temas de vital importancia en el estudio del cálculo I
como lo es el tema de límites de una función reales, la cual se enfoca principalmente en la
conceptualización y manipulación del concepto de éste, de una manera teórica- practica con
lo cual se logrará significados concretos en cada actividad desarrollada en la presente
propuesta y, además, se busca mediante éstas generar en el estudiante las capacidades de
poder desarrollar, sus habilidades de pensamiento matemático, interpretación gráfica y
simbólica.
En esta propuesta pedagógica se propone introducir el concepto de límite de una función
real vía sucesiones, es decir, llegar al límite de una función real pasando primero por el
concepto de sucesiones y de límite de una sucesión, éstos conceptos se introducirán al
estudiante en el siguiente orden, primeramente motivándolos con ejemplos del tema que se
apliquen a la vida cotidiana, es decir, observando hechos surgidos en la naturaleza o en la
vida social, segundo analizando los datos obtenidos en la observación con el objeto de
encontrar alguna regla o formulas razonables y como tercer paso en este proceso es
idealizar la situación analizada para formar una teoría matemática. “No es conveniente
mostrar solamente el resultado de la teoría matemática puesto que el objeto de la enseñanza
de la matemática no es memorizar fórmulas inútiles en la vida social, sino que a través de
los estudios se puede el poder de la observación, profundizar la capacidad para analizar los
55
hechos presentados y fomentar la creatividad por la imaginación y por la idealización”
Takeuchi, (1976, p.38).
Por último, se mostrará la equivalencia que existe entre las definiciones de límite de
sucesión y de una función.
En la presente propuesta también se llevará a cabo la utilización de medios informáticos,
como lo son tableros digitales y las computadoras. Éste último permitirá la utilización del
software llamado “Geogebra3” con el fin de ilustrar la visualización de los conceptos de
límite de una función real y de una sucesión, con el objetivo de facilitar a los estudiantes la
adquisición y comprensión del tema tratado.
3 GEOGEBRA: Es un software matemático interactivo libre para la educación matemática. Su creador Hohenwarter (2001), comenzó el proyecto en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida. Geogebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas. Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser usado también en otras disciplinas
56
4.3 JUSTIFICACIÓN
Debido a la información recolectada después de aplicar los diferentes instrumentos de
recolección de datos y analizar los resultados arrojados por los estudiantes de segundo
semestre del programa de matemáticas de la Universidad del Atlántico, se logró evidenciar
que estos estudiantes presentan grandes dificultades en el concepto del límite de sucesiones
y en la manipulación de éste en sus aplicaciones, como por ejemplo, verificar si el límite de
una función existe o no, y en caso de que exista demostrarlo mediante la definición de éste.
Respecto a esta problemática que existe en este estudiantado en base al tema del límite
de una función real y debido a la preocupación de encontrar una vía adecuada que cubra la
necesidad de implementar metodologías de enseñanza para incrementar el nivel de
aprendizaje del tema límite de una función en estos estudiantes a través de una didáctica
adecuada que ayude a comprender este tema, surgió la presente propuesta que busca
motivar a los estudiantes de matemáticas de segundo semestre de la Universidad del
Atlántico en el estudio de éste tema y así lograr fortalecer las deficiencias existentes
mencionadas anteriormente.
Por todo lo mencionado anteriormente, la presente propuesta se muestra como una
herramienta alternativa para que cualquier docente del área de matemáticas se apoye en ella
para disminuir el grado de deficiencias que se tornan respecto al tema de límite de una
función real, no solamente para los estudiantes de la Universidad del Atlántico sino para
cualquier institución en la cual se trabaje con este tema de vital importancia en el estudio
del cálculo diferencial.
57
4.4 OBJETIVOS
4.4.1 OBJETIVO GENERAL
Diseñar e implementar estrategias didácticas que faciliten la construcción y apropiación
del concepto de límite de una función real en estudiantes que se relacionen con el área de
las Matemáticas
4.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Facilitar la comprensión del concepto de límite de una función real mediante el uso
de las sucesiones.
Posibilitar a los estudiantes una manera alternativa de demostrar la existencia de los
límites de una función utilizando las sucesiones.
Identificar y aplicar las propiedades de las sucesiones de números reales en la
resolución de límite de una función real.
4.5 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
La presente propuesta de mejoramiento se fundamenta teniendo en cuenta aportes de
autores que trabajaron acerca de límite y a su vez tienen mucha relación con esta, por
ejemplo Delgado (1995), quien propone una vía que denomina, concreto-conceptual-
simbólico, señalando que, cuando se parte de lo concreto para abstraer el concepto de límite
el papel del profesor y del estudiante se concreta en la preparación de situaciones y de
material que propician en la actividad del alumno un proceso donde se reflexione, se razone
58
y se autoevalúe, logrando con este enfoque el desarrollo del pensamiento del estudiante en
la enseñanza- aprendizaje del Calculo diferencial.
De la misma forma, para que el aprendizaje sea significativo se considera la importancia
de los conocimientos previos que tiene el estudiante para el desarrollo y mejor comprensión
de sus habilidades y destrezas del pensamiento en cuanto al límite de una función real por
medio de distintos teoremas, demostraciones y aplicaciones que se utilicen.
Es preciso resaltar, que para el grupo investigador el trabajo de grado busca mejorar la
eficiencia del cálculo diferencial que tiene como objeto de estudio, estructurar distintas
disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar y resolver los
problemas en los distintos campos del conocimiento y la experiencia.
Resulta interesante comprobar como un grupo de estudiantes de segundo semestre de
matemáticas tratan de profundizar esta investigación cognitiva acerca de los procesos de
enseñanza del tema relacionado a límite de una función real.
Fernández (2010), propone que “el crecimiento matemático comienza con las
percepciones de y acciones sobre un objeto en el entorno. El éxito en la perspectiva deriva
en representaciones visuo-espaciales. Las acciones sobre objetos utilizan representaciones
simbólicas (que denominará procepts) que se utilizarán sobre todo en aritmética y algebra.”
Estos procepts son el camino que un estudiante necesita realizar para pasar de un proceso o
actividad que se puede considerar rutinaria al concepto que posteriormente utilizara para su
vida matemáticas.
En el campo concreto de la didáctica de las funciones se encuentra un interesante
artículo de Tall. En dicho artículo se resumen varias investigaciones acerca de conceptos
59
matemáticos avanzados como función, límite y demostraciones. Se establece además la
diferencia entre las matemáticas escolares y matemáticas universitaria.
Por lo tanto, se quiere comprobar si el enfoque actual consigue el objetivo de hacer
que los estudiantes de matemáticas o de cualquier programa que se relacionen con el
cálculo diferencial puedan al momento de abordar el tema de límite de una función real,
este tema quede con total claridad y a su vez se faciliten los estudiantes una apropiación y
una manipulación del concepto de límite de una función real.
4.6 METODOLOGÍA
La presente propuesta la cual se titula “Límite de una función vía sucesión”, realizada
en la Universidad del Atlántico a los estudiantes de matemáticas de segundo semestre de
esta institución, pretende mejorar el proceso de aprendizaje- enseñanza en dichos
estudiantes en lo concerniente al tema de límites de funciones. Para ello, se ha dividido
esta propuesta en cinco fases para logara dicho objetivo.
A continuación se enunciarán estas cinco fases y se dará de forma sintética en qué
consisten cada una de ellas.
Fase 1: “Presentación del grupo”: se hizo formal la presentación del grupo de
investigación y se explicó en qué consistía este proyecto.
60
Fase 2: “Conceptos previos”: esta fase tiene como objetivo abordar los conceptos
necesarios para abarcar la temática a tratar. Estos conceptos son los de sucesiones y límites
de sucesiones.
Fase 3: “Explorando el mundo de las sucesiones”: en esta fase se presenta una
importante teoría de las sucesiones, como lo son: Teorema de unicidad del límite de
sucesiones, Teorema del Emparedado para sucesiones, Teorema: “toda sucesión monótona
y acotada es convergente”, entre otros que se encontraran en el desarrollo de las actividades
con sus respectivas demostraciones.
Fase 4: “Generando sucesiones a partir de funciones”: esta fase es de vital importancia
ya que aquí se inicia la vinculación entre las sucesiones y las funciones, y se muestra la
relación que existe entre la definición del límite de una sucesión y el límite de una función
real. Esta relación se encuentra escrita de forma sintética en el “Teorema de Heine”.
Fase 5: “Visualización del Límite de una Sucesión”: en la presente fase se utiliza el
software Geogebra para enfocar la visualización de las definiciones del límite de
sucesiones, con el fin de lograr comprender estos conceptos y mostrando los resultados que
se obtuvieron de forma algebraica.
61
4.7 PLAN OPERATIVO DE ACCIONES
OBJETIVOS ACCIONES ACTIVIDADES RECURSOS TIEMPO LOGRO EVALUACIÓN
Motivar a las estudiantes al estudio del límite de una función real.
Fase 1 Motivación
Presentación del
grupo de investigación.
Planta física de la
institución, Tablero y marcado
1 hora
Los estudiantes presentan una actitud favorable hacia el aprendizaje de límite de una función real.
Asistencia
Comprender el concepto de sucesiones, límite de una sucesión y sus propiedades.
Fase 2
Conceptos Previos
Exposición de ejemplos de la vida cotidiana que forman una sucesión.
Desarrollo de la actividad 1 y 2 de la fase 2
Planta física de la
institución, Tablero,
marcador borrable y borrador.
6 horas
Utiliza las propiedades de las sucesiones y de los límites de sucesiones para la solución de estos.
Participación al
tablero. Realización de
actividades.
Conocer la relevante teoría que existe sobre las sucesiones de números reales y aplicarla para obtener resultados importantes en torno a este tema.
Fase 3
Explorando el mundo de
las sucesiones
Desarrollo de la actividad 1 de la fase 3.
Planta física de la institución, Tablero, marcador borrable y borrador de tablero.
3 horas
Utilizar el teorema del emparedado para sucesiones y el teorema del producto de una sucesión acotada por una que converge a cero para calcular algunos límites de sucesiones importantes.
Participación al tablero.
Realización de actividades correspondiente a cada actividad.
62
Crear nuevas
sucesiones dada una función y una sucesión.
Fase 4
Generando sucesiones a
partir de funciones
Desarrollo de la actividad 1 de la fase 4
Planta física de la institución, Tablero, marcador borrable y borrador de tablero.
3 horas
Utiliza el teorema de
Heine para Demostrar la existencia de los límites de funciones.
Participación al tablero.
Realización de actividades.
Proponer nueva estrategia de enseñanza – aprendizaje que lleven a una mejor y más rápida asimilación de los conceptos mediante la visualización.
Fase 5
Visualización del límite
de Sucesiones.
Charla acerca del software Geogebra y sus aplicaciones. Visualización de los conceptos de límites de sucesiones.
Planta física de la institución, Sala de informática de la institución, software Geogebra.
2 horas
Mejor comprensión del concepto de límite de una sucesión con ayuda de la visualización en Geogebra.
Plan Operativo De Acción 1
63
4.8 ACTOS PEDAGÓGICOS.
FASE 1: MOTIVACIÓN.
Actividad N°1: Presentación de grupo de investigación.
Objetivo: Motivar a las estudiantes al estudio de límite de una función.
Desarrollo: Este evento pedagógico se desarrolló en una aula de la Universidad del Atlántico y
consistió en la presentación del grupo, para dar así a conocernos y dar a conocer la propuesta
antes los estudiantes de matemáticas y se socializó sobre la propuestas aspectos tales como: en
qué consistía esta propuesta, como estaba dividida y cuál era el objetivo final de esta. Todo esto
se hizo con el fin de despertar en ellos una motivación por el presente proyecto.
Evaluación: Para la evaluación de esta fase solamente se tuvo en cuenta la asistencia y la actitud
que presentaron cada uno de los estudiantes.
64
FASE 2: CONCEPTOS PREVIOS.
Actividad N°1: Hacia las sucesiones parte 1.
Objetivo: Comprender el concepto de sucesiones y sus
propiedades.
Desarrollo de la Actividad.
Iniciemos esta actividad dando un concepto intuitivo de lo que es una sucesión y mencionando
algunas situaciones de la vida cotidiana que se relacionan con este concepto.
Concepto intuitivo de sucesión
Una sucesión es “una lista de números que siguen sin terminar” donde el primer número que
aparece en la lista es el primer término de la sucesión, el segundo número que aparece en la lista
es el segundo término de la sucesión, en general, el número que ocupa el 푛 − é푠푖푚표 puesto de
la lista es el 푛 − é푠푖푚표 término de la sucesión, donde n = 1, 2,3, …
Ejemplo1 (La estatura de un niño)
Imaginemos que cierto niño al cumplir un año de vida tiene como estatura 0.74 m, cuando
cumple dos años su estatura aumenta a 0.85 m, al cumplir tres años su estatura es de 0.93m. En
la siguiente tabla se mostrará de forma sintética la estatura alcanzada por el niño a medida que
los años pasan.
Edad(año) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Estatura(m) 0.74 0.85 0.93 1.00 1.06 1.12 1.17 1.27 1.31 1.35 1.39 1.43
65
Edad(año) 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 …
Estatura(m) 1.49 1.53 1.59 1.60 1.63 1.64 1.65 1.66 1.66 1.66 1.66 …
En la tabla se observa que los valores numéricos (medidos en metros) de la estatura del niño va
aumentando año tras año formando una lista de números crecientes, y estos números se
estabilizan a la altura 1.66 m a partir del vigésimo puesto. En la lista aunque siga sin terminar el
valor seguirá siendo 1.66 (suponiendo que la persona no muere). Es claro que esta lista forma
una sucesión, donde término decimo de esta sucesión 1.35 y el vigésimo primer término es
1.66.
Ejemplo 2 (Lanzamiento de un dado)
Supongamos que lanzamos un dado sucesivamente, en el primer tiro se obtuvo 6, en el segundo
tiro se obtuvo 1, en el tercer tiro se obtuvo 2, etc…
En la siguiente tabla mostraremos los números obtenido sucesivamente por los lanzamientos del
dado.
Número del tiro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
Número obtenido 6 1 2 6 5 1 3 4 3 6 2 6 1 …
Imaginemos que el lanzamiento del dado puede seguir sin terminar (Lo cual es imposible en el
mundo real). Entonces la lista de números obtenidos así sucesivamente es una sucesión.
66
Definición (Sucesión)
Una sucesión de números reales (o sucesión en ℝ) es una función con dominio el conjunto de los
número naturales y rango el conjunto de los números reales.
Notación. Para la sucesión 푿 consideremos la función
푿:ℕ → ℝ
Definida por 푋(푛) ∶= 푥 para todo 푛 ∈ ℕ. Se denotará el conjunto de puntos de la sucesión
como (푥 ) ∈ℕ o simplemente (푥 ).
Así, en el ejemplo 1 si llamamos a dicha sucesión por 푋, tendremos que
푋 = {0.74, 0.85, 0.93, 1.00, 1.06, 1.12, 1.17, 1.27, 1.31, 1.35, 1.39,⋯1.66, 1.66 ⋯ }
donde 푥 = 0.74,푥 = 0.85,⋯ , 푥 = 1.66⋯
Ejemplo 3
La sucesión ∈ℕ
tiene como conjunto de puntos ∈ℕ
= 1, 2, 3,⋯ , ,⋯ .
Ejemplo 4 (Sucesión constante)
Llamamos la sucesión constante de un número 푎 real, a (푎) ∈ℕ = (푎,푎, 푎,⋯ ). Ahora si del
ejemplo 2 (Lanzamiento de un dado), escogemos de la lista de números obtenidos solamente los
tiros en los que se obtuvo el número 6 se obtendría una nueva sucesión constante dada por
(6) ∈ℕ = (6, 6,6,⋯ ) y a esta sucesión se le llama sub-sucesión de la sucesión del ejemplo 2.
67
Ejemplo 5
Calcule los 5 primeros términos de la siguiente sucesión, dado su término 푛 − é푠푖푚표.
푦 ∶= 4 푛 = 1푦 − 5 푛 = 2,3,4 ⋯
Solución.
Nos piden calcular el valor de la sucesión para los valores de 푛 = 2,3,4,5,6. Entonces para 푛 = 2
tenemos que 푦 = 푦 − 5, pero 푦 = 4 por tanto 푦 = 4 − 5 = −1 así 푦 = −1; ahora para 푛 =
3, tenemos que 푦 = 푦 − 5 = −1 − 5 = −6, entonces 푦 = −6; para 푛 = 4 se tiene que 푦 =
−6 − 5 con lo cual 푦 = −11. De manera análoga se tiene que 푦 = −16 y 푦 = −21. Luego,
los 5 primeros términos de esta sucesión vienen dado por el siguiente conjunto de números
{−1,−6,−11,−16,−21} en su respectivo orden.
Ahora veamos el proceso contrario, es decir, dado los primeros términos de una sucesión obtener
su término general.
¡Analicemos!
i. Observe la siguiente tabla.
Orden del término
1 2 3 4
Valor del término
1 4 9 16
ii. Analicemos la relación que existe en el orden del término y el valor del término, se tiene
que:
1 = 1 , 4 = 2 , 9 = 3 , 16 = 4
68
Se puede encontrar la siguiente regla que rige para los 4 primeros términos:
(퐸푙 푣푎푙표푟 푑푒 푡é푟푚푖푛표) = (퐸푙 표푟푑푒푛 푑푒푙 푡é푟푚푖푛표)
iii. Generalizando la regla para los 5°, 6°, 7°, término de la sucesión es posible tener que:
El 5° término es igual a 5 = 25.
El 6° término es igual a 6 = 36.
El 7° término es igual a 7 = 49.
Finalmente, se podría decir que el 푛 − é푠푖푚표 término sería igual a 푛 .
Aplicación
En un cultivo de bacterias, el número de bacterias se duplica cada minuto. Comenzando con una
bacteria, ¿Cuántas bacterias hay en el cultivo al cabo de 푛 minutos?
Solución
Si denotamos por 푎 el número de bacterias 푛 minutos después de haber iniciado el cultivo,
entonces 푎 debe ser el doble del número de bacterias en un minuto antes, es decir,
푎 = 2 ∙ 푎
Remplazando 푛 = 1,2,3⋯ sucesivamente tenemos que:
푎 = 2 ∙ 푎 = 2 ∙ 1 = 2 (푎 es igual al número inicial de bacterias que es igual a 1)
푎 = 2 ∙ 푎
푎 = 2 ∙ 푎
푎 = 2 ∙ 푎
⋮ ⋮ ⋮
푎 = 2 ∙ 푎
69
Multiplicando estas 푛 igualdades miembro a miembro, se tiene que
푎 ∙ 푎 ∙ 푎 ∙ 푎 ⋯푎 ∙ 푎 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2⋯2 veces
∙ 푎 ∙ 푎 ∙ 푎 ∙ 푎 ⋯ 푎
Dividendo ambos miembros de la igualdad anterior por 푎 ∙ 푎 ∙ 푎 ⋯푎 tenemos que:
푎 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2⋯2veces
= 2
En este problema hemos encontrado una sucesión que representa los números de bacterias en
cada momento dada por (1, 2, 4, 8,⋯ , 2 ,⋯ ), la cual es una “progresión geométrica”.
Propiedades (Operaciones con sucesiones)
Dadas las sucesiones 푋 = (푥 ) ∈ℕ y 푌 = (푦 ) ∈ℕ , de números reales, definamos:
1. 푋 + 푌 ∶= (푥 + 푦 ) ∈ℕ
2. 푋 − 푌 ∶= (푥 − 푦 ) ∈ℕ
3. Si 푐 ∈ ℝ, entonces, 푐푋 ∶= (푐푥 ) ∈ℕ
4. 푋푌 ∶= (푥 푦 ) ∈ℕ
5. Si 푌 = (푦 ) ∈ℕ es una sucesión de números reales con 푦 ≠ 0 para todo 푛 ∈ ℕ entonces
∶=∈ℕ
Ejemplo 6
Consideremos las sucesiones 푋 = (푥 ) ∈ℕ =∈ℕ
y 푌 = (푦 ) ∈ℕ =∈ℕ
. Calcular
a) 푋 + 푌
b) 푋 − 푌
70
c) 푋푌
d) ¿Es posible calcular ?
Solución
a) Por definición se tiene que 푋 + 푌 ∶= (푥 + 푦 ) ∈ℕ, y como 푥 + 푦 = + = así
푋 + 푌 =∈ℕ
b) Análogo a la parte anterior. (Queda como ejercicio para el lector).
c) Como 푥 푦 = ∙ = así por definición se tiene que 푋푌 =
∈ℕ.
d) Si es posible calcular , puesto 푦 ≠ 0 para todo 푛 ∈ ℕ. Ahora = ∙ = y así
tenemos que = ∈ℕ
.
71
¡EXPLOREMOS LO APRENDIDO!
1) Dado el término 푛 − é푠푖푚표, calcular los 6 primeros términos.
a. 푎 = , 푛 = 1,2,3⋯
b. 푏풏 = 풏ퟐ ퟑ풏ퟑ풏ퟐ ퟕ
,푛 = 1,2,3⋯
c. 푐 = 푐 + 2푛, donde, 푐 = 3 para 푛 = 1,2,3⋯
d. 푑 = 푛 + 푎 , ,푛 = 1,2,3⋯ , donde 푎 es la sucesión del inciso a
2) Dado los siguientes números, los cuales corresponden a los primeros términos de una
sucesión. Hallar el término general de cada sucesión, suponiendo que los demás términos
satisfacen la relación dada.
a. 1, , , , ,⋯
b. 4,1,−2,−5,−8,⋯
c. , , , , ,⋯
d. −1,2,−4,8,−16⋯
3) Exprese la sucesión del inciso a y b del ejercicio anterior como:
a. Suma.
b. Resta.
c. Multiplicación.
d. División. (Si es posible)
4) Para la sucesión 푥 = , ¿Cuál es su 3°, 9°, 100° término?
72
5) Realice el mismo proceso que en ejercicio anterior para la sucesión cuyo término general
viene dado por: 푦 =
73
Actividad N°2: Hacia las sucesiones parte 2.
Objetivo: Comprender el concepto de límite de una sucesión y manipulación de sus propiedades.
Desarrollo de la Actividad.
Iniciemos esta actividad estableciendo el concepto del límite de una sucesión de una forma
intuitiva y posteriormente se formaliza. Luego, se estudian sus propiedades.
Ahora establezcamos un concepto pilar en el estudio de las sucesiones como lo es el concepto de
convergencia de una secesión. Se iniciará con el concepto intuitivo de convergencia de una
sucesión y después se formalizará
Límite de una Sucesión.
Concepto intuitivo (sucesiones convergentes)
Decimos que una sucesión es convergente si a partir de cierto término de la sucesión esta se
estabiliza, es decir, a partir de ciertos términos los demás términos son iguales.
Ejemplo (Sucesión convergente)
Un ejemplo muy claro es la sucesión del ejemplo 1 de la actividad 1 (La estatura de un niño). En
dicha sucesión formada por la estatura del niño se observa que a partir del vigésimo termino la
estatura del niño siempre es 1,66, esto es, de allí en adelante todos los términos de esa sucesión
va a ser 1.66, en esta situación decimos que loa sucesión converge a 1.66 o tiende al limite 1.66.
74
Ejemplo (Sucesión divergente)
En el ejemplo 2 de la actividad uno (Lanzamiento de un dado) es evidente que la sucesión
generada por el lanzamiento del dado no converge a ningún límite, puesto que es imposible que
los términos se establezcan en un valor determinado a partir de algún tiro “a menos que el dado
este cargado de forma especial y siempre caiga el mismo número”.
Ejemplo (Sucesión constante)
La sucesión del ejemplo 4 de la actividad 1, la cual es la sucesión constante 6. Esta sucesión
tiene límite 6, pues se estabiliza desde el primer término.
Observación: Toda sucesión constante es convergente.
Ahora daremos la definición formal de convergencia de sucesiones.
Definición (Límite de una sucesión)
Sea 푋 = (푥 ) ∈ℕ una sucesión de números reales, un número real 푳 se dice límite de la sucesión
푋 = (푥 ) ∈ℕ si para todo 휀 > 0, existe un número 푁 ∈ ℕ tal que para todo 푛 ≥ 푁 se tiene que
|푥 − 퐿| < 휀.
En este caso, decimos que la sucesión converge a 퐿 y lo denotamos por
lim→
푥 = 퐿
Simbólicamente,
lim→
푥 = 퐿 ⟺ ∀휖 > 0,∃푁 ∈ ℕ tal que ∀푛 ≥ 푁 ⇒ |푥 − 퐿| < 휀
75
Interpretación gráfica: la interpretación gráfica de la definición de límite de sucesiones se
realizará con detalles en la fase 5, la cual se explicará con la ayuda del software Geogebra.
Observación (Unicidad del límite): Una sucesión de números reales puede tener a lo más un
límite, es decir, en caso de que la sucesión tenga límite 푳, éste es único. En efecto, sea 푋 =
(푥 ) ∈ℕ una sucesión de números reales y supongamos que existen 퐿 y 퐿 (퐿 ≠ 퐿 ) límites de
la sucesión 푋, entonces por definición de límite de una sucesión tenemos que dado 휖 > 0 ,
existen 푁 ,푁 ∈ ℕ tales que si 푛 ≥ 푁 ,푁 , entonces |푥 − 퐿 | < ∧ |푥 − 퐿 | < .
Por otro lado, tenemos que:
|퐿 − 퐿 | = |퐿 − 푥 + 푥 − 퐿 | ≤ |퐿 − 푥 | + |푥 − 퐿 | <휖2 +
휖2 = 휖
Entonces, se tiene que |퐿 − 퐿 | < 휖, ∀휖 > 0 y |퐿 − 퐿 | ≤ 0. Por otra parte, se sabe que 0 ≤
|퐿 − 퐿 | , entonces tenemos que |퐿 − 퐿 | = 0 . Asi se concluye que 퐿 = 퐿 .
Esto es una contradicción puesto que se supuso que estos límites eran diferentes, así si el límite
de una sucesión en ℝ existe, entonces este límite es único.
Definición (Sucesión acotada superiormente)
Sea 푋 = (푥 ) ∈ℕ una sucesión enℝ, decimos que 푋 es acotada superiormente si existe algún
푘 > 0 tal que 푥 ≤ 푘 ∀푛 ∈ ℕ.
Definición (Sucesión acotada inferiormente)
Sea 푋 = (푥 ) ∈ℕ una sucesión enℝ, decimos que 푋 es acotada inferiormente si existe algún
푚 > 0 tal que 푚 ≤ 푥 ∀푛 ∈ ℕ.
76
Definición (Sucesión acotada)
Sea 푋 = (푥 ) ∈ℕ una sucesión en ℝ, decimos que 푋 es acotada si existe algún 푘 > 0 tal que
|푥 | ≤ 푘 ∀푛 ∈ ℕ.
A continuación, se enunciará un resultado derivado de la convergencia de una sucesión asociado
a la anterior definición, el cual se dará de forma sintética en el siguiente teorema.
Teorema
Toda sucesión de números reales convergente es acotada.
Demostración
Consideremos una sucesión arbitraria de números reales, 푋 = (푥 ) ∈ℕ y sea 퐿 ∈ ℝ límite de la
sucesión 푋. Entonces por definición tenemos que: dado 휖 = 1 > 0,∃푁 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥
푁, entonces |푥 − 퐿| < 1. Por otro, lado si 푛 ≥ 푁 se tiene que
|푥 | = |푥 − 퐿 + 퐿| ≤ |푥 − 퐿| + |퐿| < 1 + |퐿|, entonces |푥 | < 1 + |퐿|
Ahora consideremos el conjunto 푀 = {푥 ,푥 ,⋯ ,푥 , 1 + |퐿|}, esto es, el conjunto formado por
los términos de la sucesión antes de 푁 y el número 1 + |퐿| y tomemos 푘 = 푚á푥(푀)
Así, |푥 | ≤ 푘 , ∀푛 ∈ ℕ. Por tanto la sucesión 푋 = (푥 ) ∈ℕ es acotada y, como 푋 fue arbitraria,
entonces se concluye que toda sucesión convergente es acotada.
77
Ejercicio
Demuestre que lim→
= 0
Demostración.
Antes de empezar la demostración recordemos la propiedad arquimediana: Si 푎,푏 ∈ ℝ son
números reales con 푎 > 0, entonces existe un número 푛 ∈ ℕ tal que 푛푎 > 푏.
Ahora bien, veamos que lim→
= 0, en efecto, sea 휖 > 0 aplicando la propiedad arquimediana
para el caso particular 푎 = 휖 > 0,푏 = 1 se tiene que existe 푁 ∈ ℕ tal que 푁휖 > 1 entonces <
휖 (1). Ahora, si 푛 ≥ 푁 entonces < (2), luego de (1) y (2) por la transitividad se tiene que
< 휖 entonces − 0 = = < 휖. Con esto se ha probado que ∀휖 > 0,∃푁 ∈
ℕ tal que si 푛 ≥ 푁 ⇒ − 0 < 휖 esto implica que lim→
= 0.
Ejercicio.
Sea 푋 ∶= (푥 ) una sucesión que converge a 푥. Entonces la sucesión de valores absolutos |(푥 )|
converge a |푥|. Esto es, si 푥 ≔ lim→
(푥 ) entonces |푥| ≔ lim→
(|푥 |). ¿El reciproco es cierto?
Demostración
Como lim→
(푥 ) = 푥, entonces dado un ε > 0 , existe 푁 ∈ ℕ tal que si ℕ ≥ 푁 implica que
|푥 − 푥| < 휀. Por otro lado tenemos que |푥 |− |푥| < |푥 − 푥| < 휀 y dado que 휀 > 0 fue
arbitrario se tiene que lim→
(|푥 |) = |푥|.
78
El reciproco no es cierto. En efecto, consideremos la sucesión 푥 ( ) entonces |푥 | = |−1 | =
1 ⇒ |푥 |=1 es la sucesión constante 1 así que lim
→|푥 | = 1 = |1| pero
lim→
푥 = lim→
(−1) no converge.
Algebra de límite de sucesión.
Sean 푥 ∶= (푥 ) 푦 푌 ∶= (푦 ) sucesiones de numeros reales tales que lim→
푥 = 퐿 y lim→
푦 =
퐿 . Entonces, se tiene que
i) lim→
(푥 ± 푦 ) = 퐿 ± 퐿
ii) lim→
(푥 푦 ) = 퐿 퐿
iii) 푆푖 푦 ≠ 0 ∀ 푛 ∈ ℕ 푦 퐿 ≠ 0 , entonces lim→
=
Demostración
i) Veamos que si 푥 converge a 퐿 ,y converge a 퐿 entonces 푥 + 푦 converge a 퐿 +
퐿 . En efecto, si 휀 > 0, entonces dado que lim→
푥 = 퐿 푦 lim →
푦 = 퐿 se tiene
que
∃푁 ∈ ℕ 푡푎푙 푞푢푒 푠푖 푛 ≥ 푁 , 푒푛푡표푛푐푒푠 |푥 − 퐿 | <휀2
∃푁 ∈ ℕ 푡푎푙 푞푢푒 푠푖 푛 ≥ 푁 , 푒푛푡표푛푐푒푠 |푦 − 퐿 | <휀2
Ahora tomamos 푁 = 푚푎푥{푁 ,푁 } , dado 푛 ∈ ℕ
Si 푛 ≥ 푁, se cumple simultáneamente que |푥 − 퐿 | < ∧ |푦 − 퐿 | < . Luego se tiene que
79
|(푥 + 푦 )− (퐿 − 퐿 )| = |(푥 − 퐿 ) + (푦 − 퐿 )| ≤ |푥 − 퐿 | + |푦 − 퐿 | < + Entonces
|(푥 + 푦 )− (퐿 − 퐿 )| < 휀
Luego, se ha probado que dado 휀 > 0 ,∃푛 ∈ ℕ tal que 푠푖 푛 > ℕ, entonces:
|(푥 + 푦 )− (퐿 + 퐿 )| < 휀. Con esto se tiene que
lim→
푥 + 푦 = 퐿 + 퐿 = lim→
푥 + lim→
푦
Así lim→
(푥 + 푦 ) = lim→
푥 + lim→
푦 .
Análogamente se prueba que lim→
(푥 − 푦 ) = lim→
푥 − lim→
푦 . (Ejercicio)
ii) Veamos que si 푥 converge a 퐿 , 푦 converge a 퐿 , entonces 푥 푦 converge a 퐿 퐿 .
En efecto, como |푦 | ≤ 푘, para algún 푘 > 0 puesto que (푦 ) es acotada por ser
convergente.
Sea 휀 > 0 dado que lim→
푥 = 퐿 푦 lim→
푦 = 퐿 entonces existen 푁 ,푁 ∈ ℕ tales que
Si 푛 ≥ 푁 = 푚á푥{푁 ,푁 } se tiene que |푥 − 퐿 | < 푦 |푦 − 퐿 | <| |
Ahora,
|푥 푦 − 퐿 퐿 | = |푥 푦 − 푦 퐿 + 푦 퐿 − 퐿 퐿 |
≤ |(푥 − 퐿 )푦 | + |(푦 − 퐿 )퐿 |
= |푥 − 퐿 ||푦 | + |푦 − 퐿 ||퐿 |
≤ |푥 − 퐿 |푘 + |푦 − 퐿 ||퐿 |
<휀
2푘 푘 +휀
2|퐿 | =휀2 +
휀2 = 휀
80
Entonces, |푥 푦 − 퐿 퐿 | < 휀. Hemos probado que ∀휀 > 0 ∃푁 ∈ ℕ tal que
Si 푛 ≥ 푁, entonces |푥 푦 − 퐿 퐿 | < 휀 . Esto implica que lim→
푥 푦 = 퐿 퐿 así lim→
푥 푦 =
lim→
푥 lim→
푦 .
81
¡EXPLOREMOS LO APRENDIDO!
1) Mencione dos ejemplos de sucesiones acotadas.
2) Demuestre mediante la definición de límite que lim→
= 0.
3) Demuestre las propiedades de la resta y división de los límites de sucesiones.
4) Calcule los siguientes límites de sucesiones.
a. lim→
b. lim→
c. lim→
d. lim→
82
FASE 3: EXPLORANDO EL MUNDO DE LAS SUCESIONES.
Actividad N°1: Un poco más sobre sucesiones.
Objetivo: Aplicar algunos teoremas sobre las sucesiones para la solución de límite de una
sucesión.
Desarrollo de la Actividad.
Empecemos esta actividad formulando el siguiente teorema conocido como regla del
emparedado.
Teorema (Regla del emparedado)
Sean 푋 ∶= (푥 ) ∈ℕ , 푌 ∶= (푦 ) ∈ℕ y 푍 ∶= (푧 ) ∈ℕ sucesiones de números reales convergentes
tales que
푥 ≤ 푦 ≤ 푧 , para todo 푛 ∈ ℕ
Si lim→
푥 = lim→
푧 = 퐿, entonces lim→푦 = 퐿.
Demostración
Sea 휖 > 0 . Entonces, como lim→
푥 = lim→
푧 = 퐿 , existen 푁 ,푁 ∈ ℕ tales que
Si 푛 ≥ 푁 , entonces |푥 − 퐿| < 휖
Si 푛 ≥ 푁 , entonces |푧 − 퐿| < 휖
Tomando 푁 = máx{푁 ,푁 }, si 푛 ≥ 푁, entonces tendríamos que se cumple
83
|푥 − 퐿| < 휖 ∧ |푧 − 퐿| < 휖, de donde se tiene
퐿 − 휖 < 푥 < 퐿 + 휖 ∧ 퐿 − 휖 < 푧 < 퐿 + 휖
Y ahora, como por hipótesis 푥 ≤ 푦 ≤ 푧 , para todo 푛 ∈ ℕ, entonces se tiene que
퐿 − 휖 < 푥 ≤ 푦 ≤ 푧 < 퐿 + 휖 Para todo 푛 ∈ ℕ
Luego, por transitividad 퐿 − 휖 < 푦 < 퐿 + 휖 . Esto implica que |푦 − 퐿| < 휖.
Como 휖 fue arbitrario, hemos probado que ∀휖 > 0,∃푁 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥ 푁 ⇒ |푦 − 퐿| < 휖 y
esto implica que lim→푦 = 퐿. Con esto se concluye la demostración del teorema.
Ejemplo
Encontrar lim →
Solución
Como |sin푛 | ≤ 1 para todo 푛 ∈ ℕ, entonces −1 ≤ |sin푛| ≤ 1. Dividiendo por 푛 ∈ ℕ
tenemos que:
≤ ≤ Tomando limite cuando n→ ∞ , se obtiene
−lim→
1푛 ≤ lim
→
sin푛푛 ≤ lim
→
1푛 , como lim
→
1푛 = 0
Entonces, por la regla del emparedado se tiene
lim →
sin 푛푛 = 0
84
Teorema
Sean (푥 ) ∈ℕ una sucesión de números reales tal que lim→
푥 = 0 y (푦 ) ∈ℕ es una sucesión de
números de reales acotada. Entonces lim→푥 푦 = 0.
Demostración
Dado que (푦 ) ∈ℕ es acotada, entonces existe 푘 ∈ ℝ tal que |푦 | ≤ 푘 ∀푛 ∈ ℕ. Ahora bien,
sea 휖 > 0. Entonces > 0 y como lim→
푥 = 0 se tiene que existe 푁 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥ 푁,
entonces |푥 | < ∙ Así, tenemos que |푥 푦 | = |푥 ||푦 | < ∙ 푘 = 휖. Luego |푥 푦 | < 휖.
Se ha probado que dado 휖 > 0 existe 푁 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥ 푁 entonces |푥 푦 | < 휖. Esto implica
que lim→
푥 푦 = 0.
Ejemplo
Calcular los siguientes límites:
a. lim→
Solución
Llamemos (푥 ) ∈ℕ =∈ℕ
y (푦 ) ∈ℕ = (sin 푛) ∈ℕ como lim→
= 0 y |sin푛| ≤ 1 , para
cada 푛 ∈ ℕ, entonces la sucesión (푦 ) ∈ℕ es acotada. Luego, por el teorema anterior tenemos
que:
lim→
sin푛푛 = lim
→
1푛 sin 푛 = 0.
85
Se observa que utilizando este teorema se concluye lo mismo que aplicando la regla del
emparedado, lo cual se obtiene una nueva forma de realizar el mismo limite más corta.
b. lim→
!
Solución
Sean (푥 ) ∈ℕ =∈ℕ
y (푦 ) ∈ℕ = (sin 푛 !) ∈ℕ . Como lim→
= 0 y
|sin푛!| ≤ 1 , para cada 푛 ∈ ℕ, entonces la sucesión (푦 ) ∈ℕ es acotada. Luego, por el teorema
anterior tenemos que:
lim→
! = lim→
sin 푛! = 0. Así concluimos que
lim→
푛 sin푛!푛 + 1 = 0.
Definición (Sucesión decreciente)
Una sucesión (푥 ) ∈ℕ se dice decreciente si 푥 ≤ 푥 , para todo 푛 ∈ ℕ.
Definición (Sucesión creciente)
Una sucesión (푥 ) ∈ℕ se dice creciente si 푥 ≤ 푥 , para todo 푛 ∈ ℕ.
Definición (Sucesión monótona)
Una sucesión (푥 ) ∈ℕ se dice monótona si es creciente o decreciente.
A continuación, presentaremos un resultado que relaciona la definición de sucesión monótona
con la de sucesión acotada.
86
Teorema
Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
Demostración
Sea (푥 ) ∈ℕ una sucesión monótona y acotada entonces consideremos los siguientes casos:
i. Si (푥 ) es creciente. Entonces escribamos 푋 = {푥 ,푥 ,⋯ , 푥 ⋯ }, esto es, el conjunto de
términos de la sucesión, al ser (푥 ) acotada en particular es acotada superiormente. Por tanto,
푋 es un conjunto acotado superiormente y por el axioma de completex “Todo conjunto
acotado superiormente posee un supremo” entonces 푋 posee un supremo, sea 푎 = 푠푢푝푋.
Veamos que 푎 = lim→푥 . En efecto, sea 휖 > 0 entonces 푎 − 휖 no es cota superior de 푋,
luego existe 푁 ∈ ℕ tal que 푥 ∈ 푋 supera a 푎 − 휖, es decir, 푎 − 휖 < 푥 pero al ser 푎 =
푠푢푝푋 se tiene que 푥 ≤ 푎. Luego, 푎 − 휖 < 푥 ≤ 푎 < 푎 + 휖 entonces
푎 − 휖 < 푥 < 푎 + 휖.
Ahora, si 푛 ≥ 푁, entonces 푥 ≤ 푥 puesto que (푥 ) es creciente. Luego, se tiene que
푎 − 휖 < 푥 ≤ 푥 < 푎 + 휖. Entonces 푎 − 휖 < 푥 < 푎 + 휖 y esto implica que
|푥 − 푎| < 휖. Hemos probado que dado 휖 > 0 existe 푁 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥ 푁 Por tanto,
|푥 − 푎| < 휖 lo que equivale a que 푎 = lim→푥 , como se quería demostrar.
ii. De manera análoga se prueba que si (푥 ) es decreciente y acotada, entonces converge.
La demostración queda como ejercicio.
Establezcamos ahora un nuevo resultado.
87
Teorema
Sea (푥 ) ∈ℕ una sucesión de números reales tal que 푥 > 0 para todo 푛 ∈ ℕ. Si lim→
= 푎 <
1, entonces lim→
푥 = 0.
Demostración
La demostración de éste teorema se apoya en el anterior, se deja como ejercicio para el
interesado. Puede consultar la demostración en el texto Análise Real volumen 1 Elon Lages
Lima, pg 28.
Ejemplo
Sea 푎 > 1 y 푘 ∈ ℕ son constantes, muestre que lim→
= 0.
Solución
Escribamos 푥 = entonces 푥 = ( ) . Luego,
푥푥 =
(푛 + 1)푎푛푎
=푎 (푛 + 1)푛 푎 푎 =
(푛 + 1)푎푛 =
1푎
푛 + 1푛 =
1푎 1 +
1푛
Ahora,
lim→
푥푥 = lim
→
1푎 1 +
1푛 =
1푎 lim
→1 +
1푛 =
1푎 ∙ 1 =
1푎
88
Por otro lado, como 푎 > 1 ⇒ < 1 luego lim→
= < 1. Así, por el teorema anterior,
lim→
푥 = 0 , 푐on lo cual se tiene que lim→
= 0.
89
¡EXPLOREMOS LO APRENDIDO!
1) Use la regla del emparedado para mostrar que
a) lim→
= 0
b) lim→
= 0
Sugerencia: Use el hecho que log√푛 < √푛 , para todo 푛 ∈ ℕ. (Consultar Análise Real
volumen 1 Elon Lages Lima, pg 32)
2) Sin usar la regla del emparedado muestro el mismo resultado del inciso a del ejercicio
anterior.
3) Calcule los siguientes límites y justifique sus pasos.
a) lim→
b) lim→
!
c) lim→ !
d) lim→
!
90
FASE 4: GENERANDO SUCESIONES A PARTIR DE FUNCIONES
Actividad N1: De Función a Sucesión
Objetivos: Crear nuevas sucesiones dada una sucesión y una función
Desarrollo De La Actividad
Es esta actividad se desarrolla las destrezas que tienen los estudiantes de matemáticas para
evaluar sucesiones en una función, creando así una nueva sucesión.
¡Exploremos!
Sea (푥 ) ∈ℕ donde 푥 = y sea 푓(푥) = 푥 una función cuadrática,
Ahora si evaluamos 푓(푥) en 푥 ,
Tenemos que 푓(푥 ) = = . Entonces, 푓(푥 ) =
Obsérvese que 푓(푥 ) ∈ℕ =
∈ℕ es una nueva sucesión que resulta de evaluar 푓(푥) en 푥 .
Por otro lado, si consideramos una nueva función 푔(푥) = 3푥 + 2 y ahora evaluamos 푔(푥) en
푥 . Así obtenemos que 푔(푥 ) = + 2 , esto es, una nueva sucesión generada por 푔(푥) y 푥 .
De forma general, si tenemos una sucesión 푋 ∶= (푥 ) ∈ℕ y una función 푓:ℝ → ℝ , entonces
푓(푥 ) ∈ℕ es una sucesión de números reales.
91
Ahora, supóngase que se desea calcular el siguiente límite:
lim→
(5푥 − 2)
Y consideremos la sucesión ∈ℕ
la cual converge a cero, esto es, lim→
= 0
Por otro lado, sea 푓(푥) = 5푥 − 2 . Entonces, si 푥 = se tiene que
푓(푥 ) = 푓 = 5 ∙ − 2 ⇒ lim
→푓(푥 ) = lim
→− 2 = −2 . Se concluye que
lim→
푓(푥 ) = −2.
Ahora consideremos la sucesión ∈ℕ
, la cual también converge a cero. Si 푦 =
entonces 푓(푦 ) = 푓 = 5 ∙ − 2 ⇒ lim
→푓(푦 ) = lim
→− 2 = −2 , con lo cual
lim→
푓(푦 ) = − 2.
De forma general, si consideramos una sucesión cualquiera de números reales (푧 ) ∈ℕ tal que
lim→
푧 = 0 , entonces
lim→
푓(푧 ) = lim→
5푧 − 2
= 5 lim→
푧 − lim→
2
= 5(0 ) − 2 = −2
Por tanto,
lim→
푓(푧 ) = −2
Lo anterior significa que lim→
(5푥 − 2) = −2
92
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Antes de dar la definición de límite de una función presentaremos una condición necesaria para
la existencia del límite.
Condición necesaria para la existencia del límite.
Sea 푓:푋 ⟶ ℝ y sea 푎 ∈ ℝ tal que existe (푎 ) ∈ℕ ⊆ 푋 tal que lim→
푎 = 푎 y 푎 ≠ 푎 ∀푛 ∈ ℕ.
Esta condición dada anterior debe cumplirse para poder hablar de limite cuando nos acercamos a
푎. De lo contrario, si un número real 푎 no cumple esta condición no tiene sentido hablar de limite
sobre 푎.
Definición (Limite de una función)
Sea 푓:푋 ⟶ ℝ y sea 푎 ∈ ℝ que cumple la condición necesaria para la existencia del límite,
entonces lim→푓(푥) = 퐿 . Esto quiere decir que para toda sucesión (푎 ) ∈ℕ ⊆ 푋 con 푎 ≠ 푎 ∀푛 ∈
ℕ, se tiene que lim→
푓(푎 ) = 퐿.
Ejemplo 1
Nótese que en la página anterior se pedía calcular el lim→
(5푥 − 2) ; Recordemos que se
consideró 푓:ℝ → ℝ como 푓(푥) = 5푥 − 2 y se tomó la sucesión ∈ℕ
⊆ ℝ la cual converge
a cero, esto es, lim→
= 0 y además ∈ℕ
≠ 0 ∀푛 ∈ ℕ. Esto es, 0 ∈ ℝ cumple la condición
necesaria para la existencia del límite. Por lo tanto, tiene sentido hablar de límite cuando
hacemos tender la variable 푥 a cero.
93
Más aún, de forma general se consideró una sucesión cualquiera de números reales 0 ≠ (푧 ) ∈ℕ
tal que lim→
푧 = 0 y se verificó que lim→
푓(푧 ) = −2 . Esto por la definición dada de límite de
funciones muestra que lim→
(5푥 − 2) = −2.
Ejemplo 2.
Encuentre:
a) lim →
3푥 + 푥 − 5
Sea 푓:ℝ → ℝ dada por 푓(푥) = 3푥 + 푥 − 5 y al tomar la sucesión ∈ℕ
⊆ ℝ es claro que 0
cumple también para este caso la condición necesaria para la existencia del límite. Ahora, si
consideramos una sucesión (푥 ) ∈ tal que lim→
푥 = 0 y entonces 푓(푥 ) = 3푥 + 푥 − 5
Entonces,
lim→
푓(푥 ) = lim→
3푥 + 푥 − 5
= 3 lim→
푥 + lim→
푥 − lim→
5
= 3(3) + 0 − 5 = −5
Así,
lim→
푓(푥 ) = − 5
Por tanto,
lim →
3푥 + 푥 − 5 = − 5
94
풃) lim→
푥 − 4푥 − 2
Ahora, sea 푔(푥) = y se quiere calcular lim →
푔(푥) = lim →
Notemos que 2 cumple la condición necesaria para la existencia del límite. En efecto, como
푔:ℝ → ℝ, la sucesión 0 ≠ + 2∈ℕ
⊆ ℝ y, además, lim→
+ 2 = 2 se muestra lo requerido.
Ahora, si tomamos (푥 ) ∈ℕ sucesión en ℝ , tal que lim →
푥 = 2 con 푥 ≠2 ∀ ∈ℕ.
Entonces 푔(푥 ) = . Luego
lim →
푔(푥 ) = (푥 − 2)(푥 + 2)
푥 − 2
= lim →
푥 + 2 = 2 + 2 = 4
Así, lim →
푔(푥 ) = 4. Por tanto,
lim→
푥 − 4푥 − 2 = 4.
En los textos usuales de cálculo diferencial citan la definición de límites utilizando 휀 − 훿 dada
por:
lim→푓(푥) = 퐿 ⟺ ∀휖 > 0,∃훿 > 0 tal que si 0 < |푥 − 푎| < 훿, entonces |푓(푥)− 퐿| < 휖
A continuación, probaremos el teorema central que encapsula esta definición:
95
Teorema de Heine
Sea 푓:푋 ⟶ ℝ y sea 푎 ∈ ℝ que cumple la condición necesaria para la existencia del límite, se
tiene que; lim→푓(푥) = 퐿 푠푒푔ú푛 푙푎 푑푒푓푖푛푖푐푖표푛 휀 − 훿 ⇔ ∀(푥 ) ∈ℕ sucesión en ℝ, con 푥 ≠
푎 y lim→
푥 = 푎 , se tiene que lim→
푓(푥 ) = 퐿.
Demostración
En sentido directo, supongamos que lim→푓(푥) = 퐿 y tomemos una sucesión (푥 ) ⊆ ℝ tal que
푥 ≠ 푎 y lim→
푥 = 푎 y veamos que lim→
푓(푥 ) = 퐿, esto es, veamos que ∀휖 > 0 existe un 푁 ∈
ℕ tal que si 푛 ≥ 푁 ⇒ |푓(푥 )− 퐿| < 휀. En efecto, sea 휖 > 0 y como lim→푓(푥) = 퐿 por
definición de límite de función se tiene que, existe 훿 > 0 tal que si ퟎ < |풙 − 풂| < 휹 entonces
|풇(풙)− 푳| < 흐 (ퟏ). Ahora como lim→
푥 = 푎 entonces se tiene que ∀휖 > 0 existe un
푁 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥ 푁 ⇒ |푥 − 푎| < 휀. Dado que esta última implicación se cumple para todo
휖 > 0 en particular tomemos 휖 = 훿, así tenemos que existe 푁 ∈ ℕ talque si 푛 ≥ 푁, entonces
|푥 − 푎| < 훿. Luego, por (ퟏ) tenemos que al ser |푥 − 푎| < 훿 implica que |푓(푥 )− 퐿| < 휖.
Hemos probado que, para todo 휖 > 0 existe un 푁 ∈ ℕ talque si 푛 ≥ 푁, entonces |푓(푥 )− 퐿| <
훿 y esto implica que lim→
푓(푥 ) = 퐿 y como la sucesión (푥 ) ⊆ ℝ fue arbitraria, entonces se
concluye que ∀(푥 ) ∈ℕ sucesión en ℝ, con 푥 ≠ 푎 y lim→
푥 = 푎 , se tiene que lim→
푓(푥 ) = 퐿.
Recíprocamente, razonemos por absurdo, esto es, supongamos que no se cumple que
lim→푓(푥) = 퐿. Entonces negando la definición 휀 − 훿 tenemos que existe 휀 > 0 tal que para
todo 훿 > 0 existe 푥 ∈ 푋 tal que 0 < |푥 − 푎| < 훿 ⋀ |푓(푥 ) − 퐿| ≥ 휀 . Tomando 훿 = ,
96
tendríamos que existiría 푥 ∈ 푋 tal que 0 < |푥 − 푎| < ⋀ |푓(푥 )− 퐿| ≥ 휀 , luego al tener la
desigualdad estricta 0 < |푥 − 푎| < es claro que 푥 ≠ 푎. Tomando limite en ambos lados de
la desigualdad cuando 푛 ⟶ ∞ te y aplicando la regla del emparedado se tiene que lim→
|푥 −
푎| = 0. Esto implica que lim→
푥 − 푎 = 0 así lim→
푥 = 푎; Luego, tenemos que existe 휀 > 0 tal
que (푥 ) ⊆ 푋 y lim→
푥 = 푎 con 푥 ≠ 푎 y |푓(푥 )− 퐿| ≥ 휀 . Esto significa que lim→
푓(푥 ) ≠ 퐿,
lo cual contradice la hipótesis que nos dice que ∀(푥 ) ∈ℕ sucesión en ℝ, con 푥 ≠ 푎 y
lim→
푥 = 푎 Se tiene que lim→
푓(푥 ) = 퐿. Por lo tanto nuestro supuesto no puede ser cierto y asi
se concluye que lim→푓(푥) = 퐿.
Nota: En el Teorema de Heine la condición de que la sucesión (푥 ) ≠ 푎 se puede omitir si la
función 푓 es continúa.
Observación: Nótese que para probar la igualdad de un límite de funciones se puede obviar la
definición por 휖 − 훿 y hacerla por la equivalencia que nos brinda el teorema de Heine, lo cual en
la práctica resulta más fácil.
Además, la definición de 휖 − 훿 para límites de funciones es equivalente a la expresión del
miembro derecho del Teorema de Heine. En efecto, por un lado tenemos que
∀휖 > 0,∃훿 > 0 tal que si 0 < |푥 − 푎| < 훿 entonces |푓(푥)− 퐿| < 휖 ⇔ lim→푓(푥) = 퐿 y, por
otro lado, tenemos que
lim→푓(푥) = 퐿 ⇔ ∀(푥 ) ∈ℕ sucesión en ℝ, con 푥 ≠ 푎 y lim
→푥 = 푎. Luego, tenemos que
97
∀흐 > ퟎ,∃휹 > ퟎ tal que si ퟎ < |풙 − 풂| < 휹 entonces |풇(풙)− 푳| < 흐
⇔ ∀(풙풏)풏∈ℕ sucesión en ℝ, con 풙풏 ≠ 풂 y 퐥퐢퐦풏→
풙풏 = 풂.
Como ejemplo final demostraremos la siguiente igualdad.
lim→푥 = 8
Demostración
Sea (푥 ) ∈ℕ ⊆ ℝ sucesión en ℝ tal que lim→
푥 = 2 y tomemos como 푓(푥) = 푥 entonces
푓(푥 ) = 푥 . Así, lim→
푓(푥 ) = lim→
푥 = lim→
푥 = 2 = 8. Luego, lim→
푓(푥 ) = 8.
Hemos probado que ∀(푥 ) ∈ℕ ⊆ ℝ sucesión en ℝ tal que lim→
푥 = 2 se tiene que lim→
푓(푥 ) =
8. Entonces, por el Teorema de Heine esto implica que lim→푥 = 8.
Nótese que también se obtiene el mismo resultado si se realiza directamente. (Ejercicio).
Nótese que por la definición 휀 − 훿 esta prueba es bastante extensa y resulta en muchas ocasiones
complicada para los estudiantes.
Con estos ejemplos se muestra que demostrar la igualdad de límites de funciones es mucho más
fácil que por la equivalencia que nos garantiza el Teorema de Heine (vía sucesiones), que
realizarlo por la definición de Cauchy, es decir, por 휀 − 훿. Además, se mostró que estas dos
definiciones son equivalentes.
98
ALGEBRA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
De igual forma que en el límite de una sucesión, en el límite de una función también se cumplen
las mismas propiedades, enunciáramos a continuación las más usuales:
Sean 푓 푦 푔 dos funciones reales y supongase que lim→푓(푥) = 퐿 y lim
→푔(푥) = 퐿 , entonces
se tiene que
i) lim→
[푓(푥) ± 푔(푥)] = 퐿 ± 퐿
ii) lim→푓(푥)푔(푥) = 퐿 퐿
iii) 푆푖 푔(푥) ≠ 0 ∀ 푥 ∈ 푑표푚(푔) 푦 퐿 ≠ 0 entonces lim→
( )( )
=
Demostración
i) Sea (푥 ) ⊆ ℝ con 푥 ≠ 푎 ∀푛 ∈ ℕ por el Teorema de Heine tenemos que
lim→
푓(푥 ) = 퐿 y lim→
푔(푥 ) = 퐿 ; Entonces,
lim→
[푓(푥) ± 푔(푥)] = lim→
(푓 ± 푔)(푥) . Por otro lado, evaluando (푓 ± 푔)(푥) en 푥 y
tomando limite al infinito tenemos que
lim→
(푓 ± 푔)(푥 ) = lim→
푓(푥 ) ± lim→
푔(푥 ) = 퐿 ± 퐿 ,
Luego entonces,
lim→
(푓 ± 푔)(푥 ) = 퐿 ± 퐿
Estas igualdades anteriores se dieron por las propiedades probadas para suma y resta de
límite de una sucesión.
Así, nuevamente por el Teorema de Heine, concluimos que
lim→
[푓(푥) ± 푔(푥)] = 퐿 ± 퐿
99
Nótese que el problema de probar estas propiedades, lo podemos llevar con ayuda del
Teorema de Heine a las propiedades de límite de una sucesión las cuales se han probados
y así, por ende, estas también quedan probadas, sin hacer doble trabajo.
Las otras propiedades quedan de ejercicios.
100
¡EXPLOREMOS LO APRENDIDO!
1) Dada푓(푥) = 5푥 − + 3푥 , calcule 푓(푥 ) si
a) 푥 =
b) 푥 = + 5
c) 푥 =
d) 푥 =
2) Demuestre el inciso ii) y iii) del algebra de límite de una función real
3) Demuestre los siguientes límites de funciones vía sucesiones aplicando el Teorema de
Heine.
a) lim→푥 = 4
b) lim→
= 6
c) lim→
4푥 − 9 = 7
d) lim→
=48
101
Fase 5: Visualización del límite de Sucesiones y de Funciones
Actividad N1: Sucesiones en Geogebra
Objetivos: Proponer nueva estrategia de enseñanza – aprendizaje que lleven a una mejor y más
rápida asimilación de los conceptos de límites de sucesiones y funciones mediante la
visualización.
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN EN GEOGEBRA
La utilización de este software es muy útil en el proceso de enseñanza del límite de una sucesión
ya que nos permite visualizar de manera dinámica la definición de éste, permitiendo una mayor
facilidad en la comunicación ante la árida y complicada expresión de su definición mediante la
visualización.
Suponiendo que el lector no tiene mucha relación con el software Geogebra, se darán las
indicaciones de cómo realizar este proceso, el cual fue aplicado en clase.
Lo primero claramente es abrir el software. Se mostrará la siguiente área de trabajo:
102
Para darle un aspecto de cuadrícula al área de trabajo, se da clic derecho sobre ella.
Escogemos la opción cuadrícula y se cambiará a un aspecto cuadriculado
Ahora, debemos introducir un deslizador el cual nos mostrará los números naturales. Para ello,
realizamos los siguientes pasos.
103
Colocamos el cursor sobre la flechita del recuadro que está en azul y se desplegará el rectángulo
que dice deslizador tal cual como se observa en la figura.
Hacemos clic sobre la flechita que esta roja y se despliega el siguiente recuadro
Allí escogemos la opción Deslizador. Luego, hacemos clic sobre
cualquier parte cuadricula y se abrirá la siguiente ventana.
En ella, cambiamos la letra “a” por “푛” la cual va a representar los
números naturales, en la casilla Mín cambiamos el −5
por 1 (esto es porque suponemos que los naturales
empiezan desde el 1) y en la casilla de Máx
colocamos 50 (푛 llegara hasta 50) y en la casilla de
Incremento colocamos 1 (puesto que los naturales aumentan de uno en uno). Por último, clic en
Aplicar y aparecerá el deslizador. Este está ubicado en la parte
superior izquierda porque allí fue donde se dio clic después de
seleccionar la opción deslizador.
Ahora, procedamos a ingresar dos objetos en la casilla de entrada
que se encuentra en la parte inferior del área de trabajo, estos objetos van a ser: 퐿(límite de la
sucesión) y 휀 (épsilon).
104
Escribimos 퐿 = 0 para que el objeto pueda ser aceptado por el programa, y presionemos la tecla
enter, este valor de 퐿 lo cambiaremos más adelante cuando establezcamos la sucesión y su límite.
De igual forma hacemos con 휀.
Para introducir la letra épsilon (휀), haga clic en la
casilla de entrada y luego en la parte derecha de ésta
se observa el simbolo α haga clic sobre éste
y se despliega el siguiente recuadro
allí escoja la letra 휀.
Ahora, nótese en la parte izquierda vista algebraica el cual es el espacio en donde aparecen
todas las ecuaciones introducida en la barra de entrada, se observan los elementos insertados
hasta el momento.
Ahora creamos una casilla de entrada la cual se llamara Límite. Esta casilla de entrada nos va a
permitir ingresar un número el cual va a ser el límite de la sucesión. Para ello, seleccionamos la
opción casilla de entrada que se encuentra de última opción en el
recuadro. Luego, de haber seleccionado esta opción, se dará clic
sobre cualquier parte del área cuadriculada y aparecerá la siguiente
ventana:
105
En la casilla de Subtítulo escribamos la palabra Límite, luego
hacemos clic en la flecha ubicada al lado de Objeto
vinculado y seleccionamos 퐿 = 0.
Por último, haga clic sobre la opción de Aplicar.
Análogamente insertamos la casilla de 휀 y se tendrá
Ahora, escribamos en la casilla de entrada 푦 = 퐿 para introducir esta recta.
106
Nótese que en la Vista Algebraica inmediatamente aparece 푦 = 0 , esto es, porque se tomó a
퐿 = 0. Como esta recta representa el límite de la
sucesión, cambiemos su nombre por límite, para ello
hacemos clic derecho sobre la recta en la vista
algebraica y señalamos la opción de Renombrar y
listo colocamos la palabra Límite
Automáticamente se cambiará el nombre.
Luego, se creará la región 퐿 − 휀 < 푦 < 퐿 + 휀 alrededor de la recta; esta región permitirá ver a
partir desde que punto la sucesión se encuentra en este rango. Para ello, introduzcamos en la
casilla de entrada esta región y presionamos la tecla enter.
Nos aparecerá lo siguiente
107
Obsérvese la línea azul la cual señala la región 0 < 푦 < 0 puesto que actualmente los valores
de 퐿 = 휀 = 0. Por tal motivo, solo sale una línea en el eje 푥. Podemos cambiar el nombre de la
región que aparece con la letra 푎 y colocarle la palabra región de igual forma que se hizo con la
recta que representa el límite.
Ahora, establezcamos que esta región aparezca solamente cuando 휀 > 0. Para ello, haga clic
izquierdo sobre región en la vista algebraica y escoja la opción propiedades de objeto…
108
Escoja la opción Avanzado.
escribamos 휀 > 0 presionamos En el recuadro
enter y cerramos la venatana.
Obsérvese que la línea azul desapareció por la conducción colocada.
109
Por ejemplo, si colocamos en la casilla de Épsilon ퟎ.ퟑ . Nótese que la región se expone
enseguida
Ahora, para ver cómo funciona esto con las sucesiones, empezaremos por crear la sucesión.
Escribamos la secesión ∈ℕ
para esto escriba en la barra de Entrada el par ordenado (푛, 1/푛)
presione enter. Automáticamente aparecerá en la vista algebraica el par (1,1) , esto es, porque
tenemos que 푛 = 1 en el deslizador, tal cual como se ilustra en la imagen
110
Nótese que el punto A ubicado en el área de trabajo corresponde a las
coordenadas (1,1) . Para analizar bien la sucesión damos clic derecho
sobre el punto A ubicado en el área de trabajo y desactivamos la opción
Muestra Rótulo y activamos Activar Rastro. Esto se hace simplemente
haciendo clic sobre cada una de estas opciones.
111
Ahora, movamos el deslizador para hacer esto de clic sobre el recuadro que se observa azul y
con ayuda del curso mueva el deslizador hacia la derecha.
Para 푛 = 6 se observan como los puntos de la sucesión se van encerrando en la región
(퐿 − 휀, 퐿 + 휀) acercándose al eje 푥, esto es, a la recta 푦 = 0 la cual representa precisamente el
límite de esta sucesión.
Si se sigue aumentando 푛 entonces se generarán más puntos muy próximos a 0.
112
Como se puede notar gráficamente la sucesión ∈ℕ
converge al límite 0. Además, se puede
notar que a partir de 4 en adelante los puntos caen dentro de la franja. Es decir, para 휀 = 0.3
existe 4 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥ 4, entonces ∈ (−0.3 , 0.3). Equivalentemente < 0.3 , entonces
< 휀.
Ahora, cambiando el valor de 휀 a 0.5 se tiene
113
Se observa que ahora los términos de la sucesión empieza a estar dentro de la franja a partir de 2
en adelante. Se nota entonces que si se cambia el 휀 el natural que existe a partir del cual los
términos de la sucesión caen dentro de la franja cambia, esto nos permite generalizar lo
siguiente.
Para todo 휀 > 0, existe 푁 ∈ ℕ tal que si 푛 ≥ 푁, entonces < 휀 y por la definición que se dio
de límites de sucesiones esto equivale a decir que lim→
= 0.
Nota: En algunos textos se denota el natural 푁 como 푁(휀) para indicar que este depende del
épsilon (휀 ) que se tome.
Veamos otro ejemplo. Consideremos la siguiente sucesión ∈ℕ
, es claro que el límite de
esta sucesión es 1, así que escribiremos en la casilla de Límite 1 e introducimos nuestra sucesión
114
en la barra de entrada, recuerde que para esto se debe escribir el par ordenado 푛, y
presionamos la tecla enter, dejemos el mismo 휀 = 0.5 asi se obtendrá
Se observa que a partir de 1 los términos de la sucesión están dentro de la franja, y a medida que
aumenta 푛 los puntos se acercan a la recta 푦 = 1 el cuál es el límite de esta sucesión.
Ahora, coloquemos todo en cero de nuevo (para que la región no aparezca ya que esta solo
aparece si 휀 > 0 ) y consideremos la sucesión ∈ℕ
, introduzcamos dicha sucesión en la
casilla de entrada, recordemos que para ello debe escribir el par ordenado 푛, y
presionemos la tecla enter. Se tendrá lo siguiente:
115
Se puede observar que los puntos de la sucesión a medida que aumenta 푛 estos puntos van
aumentando. Esto quiere decir que esta sucesión no es convergente y que diverge hacia el
infinito.
116
4.9 ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DE LA PROPUESTA
La aplicación de la presente propuesta “Limites de funciones vía sucesiones” llevada a cabo en la
Universidad del Atlántico a los estudiantes de matemáticas de segundo semestre, se realizó en 5
fases las cuales a su vez se subdividen en actividades donde cada actividad representa una clase,
en cada fase se realizaron de una a dos actividades según el contenido de ésta.
El modelo educativo implementado por la mayoría de los docentes para la enseñanza de los
límites de funciones generalmente es el mismo, esto es, entran a la definición de este y aplicación
de propiedades, dejando a un lado el sentido de su definición y hasta su interpretación
geométrica. Es de aquí la importancia de la presente propuesta que busca brindar caminos
diferentes para abordar dicho tema, como lo es introducir éste concepto mediante las sucesiones.
Luego, de aplicación de esta propuesta se notó un aprendizaje significativo en cada estudiante,
mostrando unos resultados favorables tanto para el grupo de investigación como para ellos
mismos, donde fue notorio el interés y motivación por parte de estos estudiantes en cada una de
las actividades desarrolladas. Además, en la realización de cada actividad dejada al finalizar la
clase tituladas “exploremos lo aprendido” se evaluó la temática abordada con el fin de evidenciar
lo aprendido en cada actividad, permitiendo a cada uno de estos estudiantes enfrentarse con cada
problema planteado en estas y esto su vez hace desarrollar la capacidad de desarrollar un
pensamiento matemático.
El resumen de cada fase realizada se presenta a continuación de una forma sintética.
117
FASE 1: PRESENTACIÓN DE PROPUESTA
En esta fase realizada el día 4 de noviembre de 2014, se socializó a los estudiantes la propuesta
de grado con esta puesta en escena detectamos aquellos aprendices interesados en el desarrollo
de la misma se charló un poco sobre el lenguaje matemático y educativo para mostrar a que
apunta la presente propuesta.
Al grupo con que se llevó a cabo la presentación de ésta, se seleccionaron del segundo semestre
del programa de Matemáticas de la facultad de Ciencias Básicas dado que son aquellos que
están cursando la asignatura de cálculo, en esta charla se pudo dejar entre dicho como el cálculo
diferencial se marcan los elementos como épsilon y delta como antecedentes necesarios para el
estudio de un límite por tal forma queremos asumir y demostrar que el programa de un cálculo
diferencial no está concebido como una sucesión de temas o una estructura que deben agotarse
uno a continuación del otro.
Además, es oportuno mencionar que para muchos estudiantes logren encapsular la definición
para demostrar la existencia de un límite en la terminología de épsilon y delta que muchas veces
resulta complicado y extenso las soluciones de algunos tipos de ejercicios.
De este encuentro podemos asumir que algunos estudiantes creen que comprenden el concepto
de limite sin haber adquirido o abordado en clases las implicaciones del concepto formal, se
analizó que algunos son capaces de resolver ejercicios que se le propongan sin entender nada de
la definición formal como lo es el rol de los cuantificadores (“para todo”, “Existe”) que tienen un
sentido muy especial en su definición y puede provocar algunos obstáculos cognitivos.
En gran parte de la enseñanza del cálculo diferencial no importa las definiciones, sino proponer
ejercicios que resuelvan para aprobar asignaturas los estudiantes.
118
FASE 2: CONCEPTOS PREVIOS
Actividad N°1: Hacia las sucesiones parte 1
Realizamos la primera actividad llamada hacia las sucesiones partes 1 el día 6 de noviembre de
2014 con el propósito de comprender el concepto de sucesiones y sus propiedades. Se inició el
evento pedagógico
preguntándoles a los
estudiantes que dieran
ejemplos de sucesiones que se
presentan en nuestro diario
vivir, con el fin de analizar qué
tan claro tienen este concepto
de sucesiones pero ninguno respondió la pregunta.
Se trataba de inferir sobre las concepciones, en cuanto a la noción de sucesión que tienen los
estudiantes haciendo referencia a algunas situaciones cotidianas en que está relacionado el
concepto por tanto se motivó a
los estudiantes hablándole
sobre una idea intuitiva de lo
que es una sucesión, se habló
sobre la estatura de una persona
según la edad mostrándole así
como un primer ejemplo que la
estatura de un niño a medida
119
que pasan los años genera una sucesión, se ilustro también que el lanzamiento de un dado
también genera una sucesión.
De esta manera, pasamos a la definición formal de una Sucesión, mencionando algunas de sus
propiedades, dando una serie de ejemplos entre estos tenemos a la sucesión constante, y una
sucesión muy importante como lo es la sucesión ∈ℕ
, se procedió a calcular los primeros 5
términos de una sucesión dada ésta, se muestra una solución bien detallada para que quede claro
como es este proceso, así, se analiza y se hace el proceso contrario asignando una tabla con
ciertos termino para saber cómo se puede calcular el termino general; se generaliza la regla para
los 5, 6 y 7 términos para saber si es posible obtener el termino general. Seguido se explican
algunas propiedades de forma detallada con sus respectivos ejemplos, esperando que resuelvan
sin dificultad los ejercicios que se plantearan a continuación.
Para terminar esta fase se diseñó una actividad denominada exploremos lo aprendido consta de 5
ejercicios en los cuales los estudiantes deben analizar, calcular, resolver y en algunos se piden
que se argumenten, con la intención de lograr la concepción de los estudiantes.
Para la primera pregunta los estudiantes han explorado lo aprendido calculando los primeros 6
términos y han resuelto en su mayoría correctamente.
Para el segundo ejercicio se debía calcular el término general de cada sucesión para lo cual
resolvieron los ejercicios con mucho éxito e incluso aquellos donde los términos dados
correspondían a una progresión geométrica donde la mayoría tubo problema cuando se realizó la
prueba diagnóstica.
120
Para el tercer ejercicio se resolvía teniendo en cuenta el inciso anterior para aplicar algunas
propiedades, dada dos sucesiones. Respondiendo a esta positivamente los estudiantes.
De igual forma, para el 4 y 5 punto de la actividad los alumnos demostraron sus habilidades para
resolver las situaciones planteadas.
Cabe mencionar, que el tiempo destinado para resolver el evento pedagógico, se preguntó cuál
había sido la dificultad, algunos comentaron que fue oportuna dar los conceptos formales y
algunas propiedades de las sucesiones para resolver las situaciones planteadas satisfactoriamente.
121
FASE 2: CONCEPTOS PREVIOS
Actividad N°2: Hacia las sucesiones parte 2.
Esta actividad titulada hacia las sucesiones parte 2 se llevó a cabo el día 11 de noviembre de
2014 en unos de los salones del bloque A de la Universidad del atlántico, este evento pedagógico
tenía como objetivo introducir el concepto de límites de sucesiones, propiedades y aplicaciones,
para ello la metodología fue empezar de manera similar a la actividad 1, es decir, dando
primeramente el concepto intuitivo de lo que es una sucesión convergente, citando los ejemplos
de la clase anterior en los cuales se tenían sucesiones convergentes; de igual manera se estableció
cuando una sucesión es
divergente y se citaron
una serie de ejemplos.
Los estudiantes estaban
atentos a la clase y
comentaban que estos
ejemplos eran muy
sencillos, lo cual refleja
que estaban asimilando de manera favorable los conceptos. Puesto que la enseñanza de las
matemáticas no es hacerla difícil sino hacerla lo más fácil para entenderla. “Todo debe hacerse
tan simple como sea posible, pero no más” Albert Einstein.
122
Luego, se muestra de
manera formal y
detallada lo que es una
sucesión convergente,
divergente y se
formaliza el concepto
de límite de una
sucesión, de este modo
damos paso a un aprendizaje significativo para lo cual se hace uso de claros ejemplos,
observaciones, sugerencias y lo complementamos haciendo referencia a una pequeña
introducción de interpretación grafica a través del software dinámico Geómetra que se trabajara
más adelante con más detalles. Situaciones que provocan en el grupo, el surgimiento de nuevas
formas de simbolizar, analizar y aplicarle lógica a distintos ejercicios que se propongan.
En esta fase de la actividad al grupo escogido para aplicación de la propuesta se le hace
referencia a la unicidad del límite, al concepto formal de las sucesiones acotadas superiormente y
acotadas inferiormente con el objetivo de presentar el resultado de que toda sucesión acotada es
convergente; para complementar el trabajo se recuerda la propiedad arquimediana y hacemos las
demostraciones que permitan visualizar a los estudiantes la manipulación de la definición de
límite de una sucesión y así puedan dominar las actividades que se plantearan para afianzar la
temática dada.
Para finalizar esta fase en la actividad exploremos lo aprendido se plantearon 4 situaciones para
hacer una retroalimentación del tema de los cual arrojo unos resultados positivos, evidenciado
que este fue realmente aprendido. Debido a que los estudiantes en el transcurso del evento
123
pedagógico tuvieron algunas inquietudes y fueron respondidas a tiempo, así fueron más
concretos y eficaces a la hora de analizar, comprender y argumentar la actividad que finalizo de
manera exitosa por parte de los aprendices y del grupo de investigación que ya a este nivel
pretende impulsar nuevos métodos para una buena enseñanza del cálculo diferencial.
124
FASE 3: EXPLORANDO EL MUNDO DE LAS SUCESIONES.
Actividad N°1: Un poco más sobre sucesiones.
Se inicia la aplicación de esta fase el día 13 de noviembre de 2104 con una actividad llamada un
poco más sobre sucesiones, contando con un acompañamiento suficiente para llevar a cabo las
actividades propuestas para este evento pedagógico programado para este día.
Esta actividad se inicia presentando un teorema muy útil para el cálculo de límites de sucesiones
el cual es conocido como regla del emparedado, en esta parte de la fase se definió de manera
formal una sucesión decreciente, creciente y monótona para esto se complementó con el teorema
que afirma que toda sucesión monótona y acotada es convergente algunos estudiantes mostraron
que tenían idea sobre el tema para lo cual se afianzo con la demostración del mismo. Todos estos
teoremas permiten
seguir con el estudio
de un concepto pilar
en el estudio de las
sucesiones como lo
es el concepto de
convergencia de una
sucesión. Por parte
de los estudiantes se observa una gran motivación por aprender, recordar, afianzar e
implementar nuevas técnicas que permitan un aprendizaje significativo como lo es el caso de esta
propuesta que enfatiza y resalta una parte muy importante en la enseñanza del cálculo
diferencial.
125
Para las demostraciones de los teoremas mencionados no hubo ningún inconveniente se explicó
de forma coherente y detallada y se observaron sus aplicaciones en ejemplos para que permitían
encontrar la existencia de un límite.
Para finalizar esta fase se exploró lo aprendido de modo que se retroalimento la actividad y
participaron activamente los aprendices, algunos mejoraron las falencias que tenían y las
convirtieron en fortalezas.
Del análisis de las tres situaciones planteadas se observó que en su mayoría los estudiantes
comprendieron y asumieron la tarea de demostrar la existencia de algunos límites a través de la
regla del emparedado, también se evidencio la facilidad conceptual respecto a la interpretación y
cálculos de algunos limites o cual permitió al grupo de investigación afianzar en este,
permitiendo que éstos estudiantes justificaran de manera correcta sus respuestas.
126
Análisis similares a los anteriores permitieron obtener resultados positivos en la implementación
de esta fase alcanzando el pleno objetivo de que los estudiantes comprendieran que los
teoremas son un instrumento que proporcionan veracidad y relevancia en una situación
demostrable, como lo es en este caso aplicarlos para la solución de límites de sucesiones.
FASE 4: GENERANDO SUCESIONES A PARTIR DE FUNCIONES
Actividad N1: De Función a Sucesión
Esta actividad fue aplicada el día 18 de noviembre de 2014 contando con los recursos físicos de
la universidad del atlántico con el
objetivo de desarrollar en los
estudiantes las destrezas que tienen de
matemáticas para evaluar sucesiones
en una función, creando así una nueva
sucesión.
Para alcanzar nuestro logro
propuesto se inició con una
exploración dado un ejercicio
y con la participación de los
aprendices se fue dando
solución al ejercicio planteado,
se realizaron unos ejemplos de
127
forma coherente y detallada y a partir de ellos se enuncio y se demostró un teorema que
generalizo los resultados obtenidos, teorema que se conoce como TEOREMA DE HEINE.
Para lo cual enunciamos el teorema y seguidamente se hizo la debida demostración de éste, esta
técnica nos fue útil y apropiada para realizar tres ejercicios en contados pasos para determinar la
existencia de un límite. A partir de estos ejemplos se evidencia que demostrar la igualdad de
límites de funciones es más fácil por la equivalencia que nos garantiza el Teorema de Heine que
hasta por la propia definición de 휀 − 훿.
Los estudiantes después de esta explicación consideraron las ideas razonables pues de inmediato
revelaron las ganas de aplicar el método con sus propias argumentaciones y pruebas
matemáticas. Demostrando de esta forma su motivación y la participación activa en exploremos
lo aprendido a través de 2 situaciones planteadas.
En esta fase la investigación a
punto al estudio de crear nuevas
sucesiones dada una sucesión y
una función; donde se propició
una secuencia estructurada
alrededor de unas actividades que
cumplían la función de propiciar
situaciones que suscitan la
aparición de conflictos cognitivos, estos se generaron, se regularon y se reforzaron en el aula.
De este modo los estudiantes al finalizar obtuvieron un equilibrio fundamentado en una didáctica
como instrumento de conocimiento para la enseñanza del Calculo Diferencial.
128
De esta forma, generamos en el grupo de estudiantes de Matemáticas un aprendizaje significativo
que apunta a las necesidades del cálculo y lo más importante a potencializar habilidades del
pensamiento en el conocimiento matemático en cuanto a generar sucesiones a partir de
funciones y demostración de existencia de límites de funciones vía sucesiones.
FASE V: VISUALIZACIÓN DEL LÍMITE DE SUCESIONES Y DE FUNCIONES.
Actividad N° 1: Sucesiones en Geogebra.
Mediantes las TIC’S podemos presentar e intercambiar información de medios electrónicos,
permitiendo optimizar el manejo de la información y el desarrollo de la comunicación, gracias a
ésta herramienta es posible mejorar la calidad de aprendizaje por un lado ya que facilita la
manera de transmitir una información y por otro lado despierta interés y motivación en los
estudiantes al momento de recibir las clases puesto que para se le está presentando una clase no
cotidiana y monótona.
Esta actividad se realizó en uno de los salones de post-grado de la Universidad del Atlántico
ubicado en el bloque H, consistió en la utilización del software Geogebra para la visualización de
los límites de sucesiones con el fin de comprender su definición mediante la
Visualización.
129
La presenta actividad se inició dando una pequeña introducción a los estudiantes sobre el
software a utilizar, mencionando algunas de sus aplicaciones y funciones que éste tiene
(comandos, funciones, etc…), luego se procedió a abrir el programa y se explicó un poco sobre
su estructura, esto se hacía en el
tablero digital y los estudiantes cada
uno en su computadora iban haciendo
los pasos explorando por sí solo, en
el momento de la realización del
evento pedagógico los estudiantes
estuvieron muy atento a cada paso a
realizar y para algunos se les hacía
fácil trabajar con este software.
Se fue realizando poco a poco la creación de la región en donde se acota el valor del límite,
después de esto se procedió a introducir la sucesión a analizar su límite y se pudo observar a que
130
valor convergía gráficamente y hacer énfasis en su definición. Con este evento pedagógico se
logró que los estudiantes afianzaran el concepto de convergencia de una sucesión y obtuvieran
un pequeño manejo del programa.
4.9.1 ANÁLISIS DE LA PRUEBA FINAL
En esta etapa final del proyecto se les aplico a los estudiantes de Matemáticas de segundo
semestre la Universidad del Atlántico una prueba como cierre del proyecto, con el fin de analizar
que tanto aprendieron estos estudiantes durante el proceso de aplicación del presente proyecto de
investigación, esta
prueba consta de 8
puntos cuyos
contenidos abarcan
desde sucesiones
hasta límites de
funciones, esto es,
en ella se
encuentra la recopilación los temas tratados en los eventos pedagógico realizados, para la
solución de esta prueba se les dio un tiempo de 3 horas, tiempo adecuado para la realización de
toda la prueba.
Durante este tiempo los estudiantes alcanzaron a responder todo e incluso algunos terminaron
antes de tiempo.
A continuación, se muestra un análisis de cada punto de ésta prueba.
131
Primer punto:
1. Calcular los primeros 5 términos de una sucesión dado su término general.
Se puede observar que el 100% de los estudiantes respondieron de forma acertada este ejercicio,
calculando de forma correcta los 5 primeros términos de la sucesión cuyo término general viene
dado por 푎 = 푎 + 푎 donde 푎 = 1 푦 푎 = 1 frente a esto ningún estudiante tuvo
problema.
Para este inciso donde el término general venia dado por 푥 = 5푥 = 푥 + 푛! 푛 = 2,3,4⋯ un 25%
lo equivalente a 3 estudiantes presentaron problemas con el ejercicio, pero más que todo al
100%
0%Ejercicio #1- Inciso a
Correcto Incorrecto No responde
75%
25%
Ejercicio #1- Inciso b
Correcto Incorrecto No responde
132
momento de efectuar el factorial presente en éste. Sin embargo es notorio el avance que
obtuvieron estos estudiantes frente al problema presentado.
Segundo Punto:
2. Calcular el termino 푛 − é푠푖푚표 de una sucesión
El inciso a de este punto consistía en calcular e término general cuyos primeros términos venían
dado por −2, 10,−50,250 lo cual corresponde a una progresión geométrica, se observar que un
83% de la población identifico correctamente esta progresión y calculo su término general y solo
el 17% presentaron dificultades en este proceso.
Para este inciso el resultado fue más exitoso solo el 8% de los estudiantes realizaron el proceso
incorrecto, dejando así un 92% en estado correcto. Aquí los términos dados correspondían a una
progresión aritmética estos términos son 3, 7, 11, 15 ,19. El gráfico ilustra que la mayoría de los
83%
17%
Ejercicio #2- Inciso a
Correcto Incorrecto No responde
92%
8%Ejercicio #2- Inciso b
Correcto Incorrecto No responde
133
estudiantes identifican y calcula el término general de una progresión aritmética sin ninguna
dificultad.
Tercer punto:
3. Utilizar la definición de límite de una sucesión para realizar pruebas.
En este punto se pedía a los alumnos demostrar mediante la definición de límite de sucesiones
que lim→
= 0, los resultados obtenidos revelan que el 83% de la población ha sabido manipular
esta definición realizando así de forma exitosa el ejercicio pedido, sin embargo el 17% no realizo
de forma correcta el ejercicio, pero esto fue por falta de estudio, textualmente lo expresaron
algunos de los estudiantes. Estos resultados muestran que la forma como se le presento y se llegó
a esta definición, los estudiantes lograron un aprendizaje significativo en lo que concierne al
tema de límite de una sucesión.
83%
17%
Ejercicio #3
Correcto Incorrrecto No responde
134
Cuarto punto:
4. Calcular límites de sucesiones
De estos tres gráficos, los cuales corresponden al ejercico#4 donde se pedía calcular los
siguientes límites:
a. lim→
b. lim→
c. lim→
,
100%
0%
Ejercicio #4 - Inciso a
Correcto Incorrrecto No responde
100%
0%
Ejercicio #4 - Inciso c
Correcto Incorrrecto No responde
100%
0%
Ejercicio #4 - Inciso b
Correcto Incorrrecto No responde
135
se observa claramente que la totalidad de los estudiantes respondieron correctamente estos tres
ejercicios, dejando establecido su claridad para resolver límites de sucesiones de cociente de
funciones polinómicas.
Quinto punto:
5. Manipulación de la regla del emparedado.
Podemos evidenciar que un 83% de los estudiantes realizaron correctamente la situación o
ejercicio planteado, en el cual se requería la utilización de la regla del emparedado para realizar
el siguiente límite lim→
, la mayor parte de la población fue capaz de asimilar y aplicar el
resultado que nos brinda ésta regla para calcular el límite pedido.
83%
17%
Ejercicio #5
Correcto Incorrrecto No responde
136
Sexto punto:
6. Aplicar teoremas sobre límites de sucesiones para la solución de estos.
Para este punto de la prueba se requería recordar ciertos resultados dados en las actividades que
se realizaron para aplicarlos a la solución de los límites propuestos.
Para el inciso a, un total de 67% se acordaron y aplicaron correctamente el resultado o
teorema, el 8% no se acordaba del teorema y el 25% lo realizaron de forma incorrecta.
Para el inciso b, los estudiantes mostraron una mayor asimilación del teorema puesto que
solo el 8% de los estudiantes no se realizó correctamente el ejercicio y el 92% lo hizo de
forma satisfactoria.
Estos resultados muestran que la mayoría de los estudiantes comprendieron los resultados
brindados por ciertos teoremas para aplicarlos al momento de resolver un límite dado.
67%
25%8%
Ejercicio #4 - Inciso a
Correcto Incorrrecto No responde
92%
8%
Ejercicio #4 - Inciso b
Correcto Incorrrecto No responde
137
Séptimo punto
7. Uso particular del teorema de Heine.
Este punto de la prueba tiene como objetivo una aplicación particular del teorema de Heine para
analizar si los estudiantes podían pasar de lo general a lo particular, lo cual al hacer esto, revela
una comprensión total del teorema y no una memorización de éste. Se obtuvieron los siguientes
resultados:
Inciso a: el 100% de la población realizo el proceso satisfactoriamente.
100%
0%
Ejercicio #7- Inciso a
Correcto Incorrrecto No responde
83%
17%
Ejercicio #7 - Inciso b
Correcto Incorrrecto No responde
75%
25%
Ejercicio #7 - Inciso c
Correcto Incorrrecto No responde
138
Inciso b: para este ejercicio un 17% presento dificultades y realizaron de forma incorrecta los
ejercicios, estas dificultades giraban alrededor de la factorización. Sin embargo 83% tuvo
éxitos para la solución del ejercicio.
Inciso c: de igual forma que en inciso pasado hubo errores de factorización impidiendo la
solución correcta del ejercicio, se obtuvo que el 75% de los estudiantes manifestaron una
solución adecuada y correcta, mientras que el 25% manifestó lo contrario, pero si
comparamos estas cantidades, se obtuvo un resultado favorable sobre la media.
Octavo punto:
8. Demostrar límites de funciones vía sucesiones utilizando el teorema de Heine.
92%
8%
Ejercicio #8- Inciso c
Correcto Incorrrecto No responde
100%
0%
Ejercicio #8- Inciso b
Correcto Incorrrecto No responde
100%
0%
Ejercicio #8- Inciso a
Correcto Incorrrecto No responde
139
Este punto es la base central del presente proyecto, puesto que en éste se pedía al estudiante
demostrar diversos límites de funciones utilizando la herramienta brindada por el teorema de
Heine, teorema que se vio en los eventos pedagógicos demostrar la igualdad de un límite dejando
a un lado la definición 휀 − 훿 y llegar a este por sucesiones. Los ejercicios son los siguientes:
a. lim→푥 + 2푥 + 1 = 0
b. lim→
= 2
c. lim→
= −6
Los resultados favorables saltan a la vista a observar los gráficos ilustrados que muestran como
resultado para:
Inciso a: la totalidad de los estudiantes respondieron de una manera satisfactoria para este
grupo de investigación y para ellos, realizando un proceso de manera correcta y utilizando
muy bien esta herramienta.
Inciso b: solamente 1 estudiante (8%) no respondió de forma correcta debido a un error en
factorizar, mientras que el 92% presentaron una solución correcta.
Inciso c: de igual forma que en el inciso el 100% de los estudiantes tuvieron éxito en la
realización del presente ejercicio.
Estos resultados muestran como los estudiantes de matemáticas, comprendieron y asimilaron el
concepto de límites de funciones a través de las sucesiones (Teorema de Heine), permitiendo que
la gran mayoría de cada uno de ellos se desempeñara de forma muy satisfactoria al enfrentarse
con los ejercicios propuestos.
140
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1 CONCLUSIONES
Comparando los resultados obtenidos en la prueba final con los que se establecieron en la
prueba diagnóstica, se puede concluir que la presente investigación en el estudio de la
enseñanza-aprendizaje para generar límites a través de sucesiones ha incorporado una dimensión
social que ha desequilibrado los componentes epistemológicos, didácticos y cognitivos que
aportaron otras investigaciones; lo más significativo es que modifico la relación sistémica para
explicar los fenómenos de su construcción en el escenario del cálculo diferencial. Nuestro fin es
afianzar el modelo de Yu Takeuchi y sobre todo, proyectar un discurso matemático con base a la
investigación.
Cabe señalar que el diseño de las actividades que se plantearon en este trabajo se fundamentó
en el marco teórico que contempla los elementos esenciales de la construcción social del
conocimiento del cálculo diferencial específicamente en las ideas básicas inherentes en el
aprendizaje de Límite de sucesiones. Se propuso con estas bases una trayectoria hipotética de
aprendizaje para calcular y demostrar la existencia de un límite a través del Teorema De Heine.
Debemos agregar que la secuencia de actividades representa un cambio en el escenario de la
enseñanza del cálculo diferencial, al abordar una situación que requiere de varios conceptos que
se estudian en el transcurso de varias sesiones de clases, contrario a la enseñanza tradicional que
plantea un ejercicio para aprender una técnica o concepto y lograr el aprendizaje mediante
repeticiones del mismo ejercicio. En este caso se resalta las diferentes herramientas que
utilizaron los estudiantes para resolver el problema, realizaron actividades manuales y
141
tecnológicas que en todo momento el grupo fue participe de las actividades, discusiones y
construcciones que se desarrollaron durante las sesiones de clases.
La intención es evidenciar el tratamiento a la noción de los diferentes conceptos formales que
están asociados a límites y sucesiones, mostrando una alternativa para que los estudiantes no
solamente aprendan la noción de límite, sino que la construya y la aplique para probar la
existencia de un límite.
El uso de la herramienta computacional es otro acierto del diseño porque permite a los
estudiantes calcular el límite de sucesiones gráficamente y ayuda a fortalecer la apropiación del
concepto de límite de sucesión, además la herramienta computacional permite la obtención de
datos de manera rápida como por ejemplo analizar el comportamiento de una sucesión, por
ejemplo, ∈ℕ
que manualmente se tardaría demasiado tiempo para analizar el
comportamiento para un 푛 suficienmente grande.
Es necesario recalcar que el diseño de la propuesta está pensada para darle otra visión al
cálculo de límites en el bachillerato y/o primeros semestres de cualquier programa se puede
apoyar en el aprendizaje de los temas de límite de una sucesión y los conocimientos previos
requeridos para abordar el tema de Límite de una función.
En este orden de ideas, podemos concluir que se busca en los estudiantes desarrollar su
pensamiento matemático a través de sus destrezas y habilidades, particularmente que logren
demostrar desde una perspectiva científica, haciendo preguntas, igual que respondiéndolas;
modelando comportamientos, igual que explicándolos; construyendo herramientas, igual que
usándolas de acuerdo a las situaciones que planteamos en nuestra propuesta.
142
5.1.2 RECOMENDACIONES
Las implicaciones didácticas que ha generado nuestro proyecto de grado desde su
formulación hasta su final en la implementación nos permite hacer las siguientes
recomendaciones.
Implementar la propuesta no solo en estudiantes del programa de Matemáticas de la facultad
de ciencias básicas de la Universidad Del Atlántico, sino que queda abierto a otros programas
que cursen el cálculo diferencial sin perder de vista los aspectos teórico-matemáticos
inherente a esta área del saber.
Sería conveniente que esta propuesta se implementara a los estudiantes de cálculo diferencial
en la carrera de economía ya que además de comprender el concepto de límite de una función
le daría bases para afrontar el tema de sucesiones recurrentes aplicados a la economía cuando
curse la asignatura económica matemática.
Motivar a los docentes el uso de Software como el Geogebra para la enseñanza en el cálculo
diferencial.
Incentivar a otros grupos de investigación, para que generen otros métodos existentes para la
enseñanza de límite de una función real, con el uso de herramientas informáticas.
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BIBLIOGRAFÍA
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Anexo 1- Momentos fotográficos: Prueba Diagnóstica
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Anexo 2- Momentos fotográficos: Desarrollo de Actividades
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Anexo 3- Momentos fotográficos: Prueba Final
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Anexo 4– Formato Prueba Diagnóstica
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Anexo 5- Solución prueba diagnóstica por un estudiante.
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Anexo 6 – Formato Prueba Final
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Anexo 7 – Solución Prueba Final por un Estudiante
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