UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULADE SANTA ELENA

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL SOBRE LA PARÁBOLA”

AUTORES:Nivela Rosales Galo Alexander

Apolinario Zapata Nicole AlejandraSuárez Rodríguez Rogelio ErnestoLaínez Torres Estefany Elizabeth

CARRERA:INGENIERÍA EN PETRÓLEO

PET 20

DOCENTE:Ing. Carlos Malavé Carrera.

SANTA ELENAAgosto 2015

Contenido1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................3

1.1. OBJETIVOS................................................................................................................. 3

1.2. JUSTIFICACIÓN......................................................................................................... 3

2. SECCIONES CÓNICAS..................................................................................................................4

3. ESQUEMA DE LAS CONICAS..................................................................................................4

3.1. PARÁBOLA.................................................................................................................. 5

Definición:............................................................................................................................ 5

3.1.1. Elementos de la parábola...........................................................................................6

3.1.2. Trazado de una parábola............................................................................................7

3.2. Ecuación canónica de la parábola....................................................................................7

3.3. Ecuación general de una parábola................................................................................11

Ejemplo 1:....................................................................................................................................................12

Ejemplo 2:....................................................................................................................................................14

Ejemplo 3:....................................................................................................................................................14

3.4. DEMOSTRACIÓN DE PARÁBOLA..........................................................................16

BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................... 19

INFORMACIÓN ADICIONAL:................................................................................................ 19

1. INTRODUCCIÓN

La parábola aparece en diferentes situaciones de la vida cotidiana y en diversas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.

1.1. OBJETIVOS Conocer y aprender lo que es secciones cónicas. Identificar los elementos que conforman la parábola. Aprender a graficar la parábola. Encontrar ecuaciones generales y canónicas de parábolas.

1.2. JUSTIFICACIÓN

La tradición indica que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

“Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada parábola.”Apolonio de Perge: Es Apolonio quien menciona que es un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en

las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.

2. SECCIONES CÓNICAS

Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Además son sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

3. ESQUEMA DE LAS CONICAS

3.1. PARÁBOLA

Definición:

Una parábola es un conjunto de todos los puntos P (x, y) en el plano R2 que equidistan de una recta fija L , llamada directriz; y de un punto fijo F0, denominado foco que pertenece a la recta.

Parábola = {P (x, y) / d (P, F) = d (p, l)}

Una parábola es una curva con dos brazos abiertos cada vez más, simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta intersecta a la parábola se llama vértice.

LAS CÓNICAS

elipse parábola hipérbola

circunferencia

3.1.1. Elementos de la parábola.

La parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación:

Eje de simetría: Es la recta que contiene al foco y es perpendicular a la ecuación de la directriz.

Vértice (V): Se denomina vértice de la parábola al punto donde esta cambia su monotonía. Es el punto que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).

Distancia focal o Parámetro (p): Indica la distancia entre el vértice y el foco, así como entre el vértice y la directriz (ambas distancias son iguales) se lo denota con la letra p.

Lado recto (LR): El segmento de la recta perpendicular al eje de simetría que une dos puntos de la parábola y que contiene al foco se denomina lado recto.

Foco (F): Es el punto fijo F, o el punto fijo de referencia que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.

Directriz (d): Es la recta fija d. Es la línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.

3.1.2.Trazado de una parábola

Existen numerosos métodos para el trazado de la parábola conocidos sus elementos principales. Sólo se explicará el trazado de la cónica usando su definición como lugar geométrico por la sencillez del procedimiento.

Como los puntos equidistan de la directriz y del foco, se trazan paralelas a la directriz a una distancia cualquiera y arcos con centro el foco y radio la

mencionada distancia hasta que corten a las rectas (Fig. 19). Estos puntos (P1, P2) pertenecerán a la parábola por equidistar del foco y de la

directriz. Una vez dibujados los puntos, estos se unen entre sí a mano alzada o bien mediante plantillas de curvas.

3.2. Ecuación canónica de la parábola

Supongamos que F tiene coordenadas (0 , p) y la recta l tiene ecuación y=−p con p>0. Observe la gráfica.

Observe que d (P ,F )=√(x−0)2+( y− p)2 y que d (P ,l )=|y+p|.Igualando distancias y resolviendo:

d (P ,F )=d (P ,l )

√(x−0)2+( y−p)2= y+ p

(√(x−0)2+( y−p)2 )2=( y+ p)2

x2+ y2−2 py+ p2= y2+2 py+ p2x2=4 yp

La ecuación de esta parábola, con vértice en el origen de coordenadas V (0,0) y foco en el punto F (0 , p), es:

x2=4 yp

Basándose en la deducción realizada, existen otros tres casos elementales de parábolas:

Si el eje de simetría es vertical y el foco está en el semieje negativo de las ordenadas F (0 ,−p), la ecuación es:

x2=−4 yp

Si el eje de simetría es horizontal y el foco está en el semieje positivo de las abscisas F (p ,0) , la ecuación es:

y2=4 px

Si el eje de simetría es horizontal y el foco está en el semieje negativo de las abscisas F (−p ,0), la ecuación es:

y2=−4 px

Suponga ahora que el vértice no es el origen, que tenemos V (h , k ), ahora d (P ,F )=√(x−h)2+ [ y−(k+p) ]2 y d (P ,l )= y−k+ p.Igualando distancias y resolviendo:

d (P ,F )=d (P ,l )

√(x−h)2+[ y−(k+ p)]2=( y−k+p)2

(√(x−h)2+[ y−(k+ p)]2 )2=( y−k+ p)2

(x−h)2+[( y−k )−p ]2= [ ( y−k )+ p ]2

(x−h)2+( y−k )2−2 p ( y−k )+ p2=( y−k )2+2 p ( y−k )+ p2

(x−h)2=4 p( y−k )

La ecuación de esta parábola es:

(x−h)2=4 p( y−k )

Y su gráfico sería:

Una parábola con eje focal horizontal, será cóncava hacia la derecha y su ecuación será:

( y−k )2=4 p (x−h)

Y su gráfico sería:

Una parábola con eje focal horizontal, será cóncava hacia la izquierda y su ecuación será.

( y−k )2=−4 p (x−h)

Y su gráfico sería:

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto V (h, k), considere:

3.3. Ecuación general de una parábola Tendremos ecuaciones de la forma Ax2+Dx+Ey+F=0 cuando es una parábola horizontal o de la forma By2+Dx+Ey+F=0 para una parábola de forma vertical; siempre es posible reducirla a la forma canónica de una parábola. Para ello, se completa un trinomio cuadrado perfecto en la variable con término cuadrático y se manipula adecuadamente el otro miembro de la ecuación. La ecuación general de la cónica será de la forma Ax2+By2+Cx+Dy+F=0 con A=0 o B=0 pero no ambos.

3.3.1.Ecuación ordinaria de la parábola con vértice (h, k).

Si p es positiva, la parábola se abre hacia arriba.

Si p es negativa, la parábola se abre hacia abajo.

Las ecuaciones ordinarias para las parábolas paralelas al eje-y son:

(x−h)2=−4 p( y−k )

Si p es positiva, la parábola se abre hacia la derecha.

Si p es negativa, la parábola se abre hacia la izquierda.

Las ecuaciones ordinarias para las parábolas paralelas al eje- x son:

(x−h)2=−4 p( y−k )

Ejemplo 1:

Determine la ecuación canónica de la parábola 2 x2+8 x+3 y−5=0. Encuentre su vértice, su foco y la ecuación de su recta directriz.Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación anterior llevándola a la forma ordinaria.

1. Escribimos la ecuación:

2 x2+8 x+3 y−5=0

2. Separamos a diferentes miembros la variable al cuadrado (x) y la variable lineal ( y ) junto con el término independiente:

2 x2+8 x=−3 y+5

3. Aplicamos factor común:

2 (x2+4 x )=−3 y+5

4. Pasamos el 2 que está multiplicando a dividir al segundo miembro:

x2+4 x=−32y+ 52

5. Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto:

x2+4 x+4=−32y+ 52+4

6. Simplificamos:

x2+4 x+4=−32y+ 132

7. Factorizando resulta:

(x+2)2=−32 ( y−133 )

8. Se trata de una parábola con eje de simetría vertical y cóncava hacia abajo y fuera del origen, según lo visto anteriormente:

(x−h)2=−4 p( y−k )

Con lo cual se puede determinar que:

h=−2

k=133

9. Por lo tanto el vértice V (h , k ) tiene las coordenadas V (−2, 133 ) 10. Si 4 p=

32 , entonces:

p=32× 14=38

11.Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de p, es posible determinar la posición del foco, ya que este estará alineado a la izquierda del vértice a una distancia p desde k, y con la misma ordenada h, resultando:

F (h , k−p)

F (−2 , 133 −38 )

F (−2 , 9524 )12. La ecuación de la directriz se obtiene de y=k+ p

y=133

+38=11324

Resultando: y−11324

=0

Ejemplo 2:

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (3,2) y el foco en (5,2).

1. Escribimos los datos dados:

V (3,2)

F (5,2)

2. Analizando las coordenadas de vértice y foco, se observa que su ordenada es común, por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la izquierda del vértice. Dado lo anteriormente, es posible afirmar que su ecuación tiene la forma:

( y−k )2=4 p(x−h)

3. Siendo las coordenadas del vértice (h , k ), se sustituyen en la ecuación y resulta:

( y−2)2=4 p(x−3)

4. En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, y esta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes.

p=5−3

p=2

5. Sustituyendo:

( y−2)2=4(2)(x−3)

( y−2)2=8(x−3)

Ecuación escrita en la forma ordinaria.

6. Resolviendo:

( y−2)2=8(x−3)

y2−4 y+4=8x−24

y2−8 x−4 y+28=0

Ecuación escrita en la forma general.

Ejemplo 3:

Partiendo de la ecuación de la parábola y2=−8x, obtenga las coordenadas del vértice, del foco, de los extremos del lado recto, así como la longitud del mismo y además la ecuación de la directriz.

1. De la gráfica se observa que el vértice tiene las coordenadas:

V (0,0)

2. Y además de la gráfica y del análisis de la ecuación, se obtiene el valor de la distancia focal:

Si y2=−8x y y2=−4 px

3. Entonces:

−4 p=−8

p=−8−4

=2

p=2

4. De acuerdo a lo anterior y según el grafico de apoyo las coordenadas del foco será:

F (−2,0)

5. Ya que la directriz intersecta al eje de las abscisas en el punto (2,0), su ecuación será:

x−2=0

Las coordenadas de los extremos del lado recto, al estar alineadas con el foco tienen la misma abscisa y sus ordenadas se obtienen sumando y restando a la ordenada del foco, el doble de la distancia focal p:

p=2.

6. Por lo que:

2 p=2 (2 )=4

7. Ordenada del foco y=0

8. Extremo superior: (−2 ,0+4)

(−2 ,4)

9. Extremo inferior (−2 ,0−4)

(−2 ,−4)

10.La longitud del lado recto es LR=|4 p| por lo que entonces:

LR=|4 (2)|LR=8

3.4. DEMOSTRACIÓN DE PARÁBOLA

EJERCICIO # 1

1) Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y foco son los puntos (−4,3) y (−1,3), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz.

1. Escribimos los datos:V (−4,3)

F (−1,3)

2. Analizando las coordenadas de vértice y foco, se observa que su ordenada es común, por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la izquierda del vértice. Dado lo anteriormente, es posible afirmar que su ecuación tiene la forma:

( y−k )2=4 p(x−h)

3. Siendo las coordenadas del vértice (h , k ), se sustituyen en la ecuación y resulta:

( y−3 )2=4 p (x+4)

4. En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, y esta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes.

p=(−1+4)

p=3

5. Sustituyendo:

( y−k )2=4 (3)(x+4)

( y−k )2=12(x+4)

Ecuación escrita en la forma ordinaria.

6. Resolviendo:

y2−6 y+9=12 x+48

y2−6 y−12x+9−48=0

y2−6 y−12x−39=0

Ecuación escrita en la forma ordinaria.

7. La ecuación de su directriz será: x=h−p

x=−4−3

x=−7

EJERCICIO # 2

2) Construir la parábola con vértice (3 ,2 ) y foco (3,4 ). Halla su ecuación

estándar y su ecuación general.

1. Escribimos los datos

V (3,2 )

F (3,4 )

2. Forma Canónica

(x−h)2=4 p ( y−k )

3. Siendo las coordenadas del vértice (h , k ), se sustituyen en la ecuación y resulta:

(x−3)2=4 (2 ) ( y−2 )

(x−3)2=8 ( y−2 )

Ecuación escrita en la forma ordinaria.

4. Resolviendo

x2−6 x+9=8 y−16

x2−6 x+9−8 y+16=0

5. Obtenemos así la Ecuación General

x2−6 x−8 y+25

BIBLIOGRAFÍAESPOL. (2006). Fundamentos de matemáticas. En Fundamentos de

matemáticas (págs. 834-843). Guayaquil.

Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica . México, D. F.: EDITORIAL LIMUSA, S. A. de C. V. Balderas 95, Primer piso, 06040.

Muñoz, M. V. (s.f.). El libro rojo de las matemáticas . En M. V. Muñoz, El libro rojo de las matemáticas (págs. 505-510).

Swokowski/Cole. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. En E. W. Swokowski, & J. A. Cole, Álgebra y trigonometría con geometría analítica (págs. 816-823). México, D. F.: Edamsa Impresiones, S.A. de C.V.

INFORMACIÓN ADICIONAL:

http://www.vitutor.com/geo/coni/i_1.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/parabola.htmlhttp://trigomvcmi.blogspot.com/2011/10/ejercicios.htmlhttp://es.slideshare.net/4326176/elementos-de-una-parabola http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-conicas/definicion-grandes-conicas.shtml#ixzz3jHYsRH98http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-conicas/definicion-grandes-conicas.shtml#ixzz3jHS6jO8h