INFORME

LA PARABOLA

INDICE.

1−. INDICE. 1Pag.

2−. INTRODUCCION... 2 Pág.

3−. FUNCION CUADRATICA.. 3 Pág.

−Definición...

−Intersección de la parábola con los ejes..

−Vértice(V) de la parábola 4 Pág.

−Ejemplo....................................................................................................

4. Tangentes a la parábola y otra construcción posible..6 Pág.

5. Propiedades de la tangente y la normal7 Pág.

6. Tangente de un punto de vista exterior....7 Pág.

7. Tangente de una paralela a una recta dada....8 Pág.

8. El triangulo de Arquímedes.....8 Pág.

9. Construcción de una parábola a partir de otros elementos9 Pág.

10. Apéndice10 Pág.

11. Conclusión. 12 Pág.

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12. Bibliografía...13 Pág.

INTRODUCCION

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuandolanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en sumovimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemosconsiderar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamientohorizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dospropiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza laaltura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega lapelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. Por tanto, la rectaparalela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (sueledenotarse por p).

Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentraen el semieje positivo de abscisas.

3−. FUNCION CUADRATICA.

Definición.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c sonnúmeros reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una funcióncuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

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A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas, de tres funcionescuadráticas muy sencillas:

a) f(x)= − x2 − 5x + 4 b) f(x)= − x2 − 5x + 4 c)f(x)= − 2x2 − 5x + 4

Para determinar el valor de las soluciones X1 y X2 respectivamente es necesario utilizar la siguienteformula:

Los valores correspondientes a , a, b y c, los desprendemos de la ecuación general de la forma: ax2 + bx+ c = 0

Intersección de la parábola con los ejes.

a)−.Intersección con el eje Y: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa (eje x) x = 0, el punto decorte de la parábola con el eje Y tendrá de coordenadas (0,y).

b)−.Intersección con el eje X: Como todos los puntos del eje X tienen la ordenada (eje y) y = 0, para verestos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

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a−.Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales sean X1 y X2 y estas sean distintas y la parábola cortaráal eje X en dos puntos.

b−.Si D = 0, la ecuación tiene una solución real es decir X1 = X2 y, por tanto, la parábola cortará al eje Xen un punto (que será el vértice).

C−.Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje X.

Vértice (V) de la parábola.

Corresponde al punto mínimo, cuando la curva es hacia abajo es decir a<0 y al punto máximo, cuando lacurva es hacia arriba es decir a>0, en donde h será el punto del vértice en las absisas (eje x) y k será el puntodel vértice en la ordenada (eje y).

Entonces: V (h, k)

h=−b/2a k=ah²+bh+c =( b²−2b²+4a)/4ª

Ejemplo:

1−.Dadas las parábolas

a)−.Hallar el área encerrada por ambas.

b)−.La distancia entre sus vértices.

Calculemos las coordenadas de los vértices:

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Determinemos los puntos de corte de ambas curvas resolviendo el sistema:

Se cortan pues en los puntos P (0,2) y Q (1,5/2)

La gráfica sería:

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4. Tangentes a la parábola y otra construcción posible

Podemos hacer una construcción un tanto distinta: si P es un punto sobre la parábola (F; d) y P0 es suproyección perpendicular sobre d, entonces la mediatriz del segmento FP' pasa por P, pues la mediatriz es elconjunto de puntos que

están a igual distancia de F y de P'. Pensándolo al revés, podemos asignar a cada punto P' sobre d un punto Psobre la parábola tomando la intersección de la perpendicular a d por P' y la mediatriz m del segmento FP'como se indica en la

Figura.

A partir de este grá_co parece que la mediatriz m es tangente a la parábola por P. Claro que para ver estoformalmente deberíamos tener una definición de tangente a una curva.

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5.

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6.

7. Tangente de una paralela a una recta dada

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8. El triangulo de Arquímedes

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9. Construcción de una parábola a partir de otros elementos

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Apéndice•

Matemático e inventor griego, famoso en el campo de la física por su teorema de hidrostática y por las leyesde las palancas. Nació en Siracusa, Sicilia en el año 287 a.C, y se educó en Alejandría, para volver luego deunos años en las escuelas alejandrinas a Siracusa donde desarrolló su obra. Murió en la misma ciudad en elaño 212 a.C.

Se educó principalmente en Alejandría, pero luego de unos años en las escuelas alejandrinas, volvió aSiracusa y ahí desarrolló su avanzado pensamiento. Arquímedes es considerado el primer científico que seocupó de los problemas de mecánica: flotación de los cuerpos, propiedades de los espejos, palancas, principiodel tornillo, movimientos de cuerpos esféricos, entre otros.

Desarrolló la estática y la hidrostática, exponiendo el principio que lleva su nombre −teorema deArquímedes− basado en que "un sólido sumergido en un líquido recibe un empuje hacia arriba igual alpeso del volumen del líquido que desaloja".

Mientras residió en Egipto inventó el "tornillo sin fin" para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocidosobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, queestablece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumendel fluido que desaloja. Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo elagua se desplazaba y se desbordaba.

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En el campo de la mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de lapolea compuesta.

Arquímedes escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica.

Anticipándose a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, Arquímedes, hizo una buenaaproximación del número Pi, inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares a una circunferencia.Demostró que el volumen de una esfera es 2/3 del volumen de cilindro circunscrito.

Se le atribuye la frase: "Dadme un punto de apoyo, y moveré la tierra y el cielo".

Sus tratados son eminentemente teóricos. Destacan "Método de los teoremas mecánicos", "Sobre la esfera y elcilindro", "Medición del círculo", "Sobre conoides y esferoides", "Sobre los centros de gravedad de losplanos" y "Cuadratura de la parábola".

Arquímedes pasó gran parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación ylos experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos sepuso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en ladefensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistemade espejos −quizá legendario− que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.

Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que leencontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en lasoperaciones que ofendió al intruso al decirle: "No desordenes mis diagramas".

Todavía subsisten muchas de sus obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerposflotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de supensamiento matemático.

Aportes

Creó el teorema de hidrostática

Creó las leyes de las palancas.

Inventó la catapulta, la polea compuesta, los espejos cóncavos y el tornillo de Arquímedes.

Descubrió teoremas sobre el centro de gravedad de figuras planas y sólidos.

Se le atribuye la célebre frase: Dadme un punto de apoyo, y moveré la tierra y el cielo.

Método de los teoremas mecánicos.

Estudios sobre la esfera y el cilindro.

Medición del círculo.

Estudios sobre conoides y esferoides.

Estudios sobre los centros de gravedad de los planos.

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Cuadratura de la parábola

11−. CONCLUSIONES

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.• Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.• Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.• Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.• Existe un único punto de corte con el eje Y, que es el (0, y) o (0, c).• Los cortes con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que locorte en dos puntos, en uno o en ninguno.

•

La primera coordenada del vértice es Xv = −b/2a.•

12−. BIBLIOGRAFIA.

− DESCARTES, Autor: Pedro José Herrero Piñeyro,<http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Parabolas/Parabolas.htm>.

− El osio de los santos, <http://www.elosiodelosantos.com/leyes/index.html>.

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