la parabola. k.. o x y asse di simmetria v=vertice d direttrice h k’ q.. fuoco elementi della...
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LA PARABOLA
qF ;0
K
. yxP ;' yxP ; .
O x
y
asse di simmetria
V=Vertice d direttricedirettriceHK’
q
.
.
fuoco
Elementi della parabola
qy
Definizione di parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta data d, detta direttrice
d
x
y
qF ;0
K
.
O
fuoco
.
.
.
. .
.
qy
Equazione della parabola
a
F41;0
K
yxP ;
.
O x
y
......
PKPF
22
220
qyx
qyxPF
qyPK
222
22
qyqyx
qyqyx
22
4
14 x
qyxqy
aq
4
1poniamo
2axy Equazione della parabola con il vertice nell’origine O, con
l’asse di simmetria coincidente con l’asse y, con il fuoco nel
punto e la cui direttrice è la retta di equazione
aF
4
1;0
ay
4
1
.y qF ;0
q
y
x
Hd
ay
4
1 qy
a=1
a=-1
a=2
a=-2
a=1/2
a=-1/2
22xy
2xy
2
2
1xy
2
2
1xy
2xy
22xy
Esempi
Tracciare i grafici delle seguenti parabole:
0a
0a
a=2
a=2
a=-2
a=-2
Concavità della parabola
……e se e se a=0a=0??
2axy
x
y
0y
0y
Apertura della parabolaApertura della parabola
La parabola è tanto più aperta quanto più è piccolo in valore
assoluto il coefficiente a
Esempi
Applicando la definizione di parabola come luogo geometrico, determinare le equazioni delle parabole aventi fuoco e direttrice assegnati:
2
4
1xy
1 yd
1;0F
2
4
3xy
3
1 yd
3
1;0F
a)
b)
Esempio
Determinare il fuoco e la direttrice della parabola di equazione
2
6
1xy
2
3;0F
2
3 yd
Esempio
Determiniamo, fra le parabole di equazione , quella che passa per il punto P(-1;-2); determiniamo poi se la parabola ottenuta passa anche per il punto Q(2;-1)
2axy
22xy
Il punto Q non appartiene a questa parabola poiché le sue coordinate non soddisfano l’equazione.
Parabola con asse parallelo all’asse delle y
O x
y
V(1;2)
x
y
O
2axy
1 32 4
1 32 X’
Y’
2
3
1
2
3
1
42' yy
0' xxx 0' yyy
200 xxayy
000
000
22
22
2
2
yaxxaxaxy
xxxxayy
1' xx
poniamo
bax 02 e cyax 020
cbxaxy 2
Equazione della parabola
.2axy 2'' axy
2;1V
O’
00; yxV
00; yxV
0x 0y
ay
4
1
cbxaxy 2Parabola di equazione
a
b
2
Asse di simmetria
Vertice
Fuoco
Direttrice
aa
bF
4
1;
2
a
acb
4
42
0xx
;
0
4
1y
ay
a
bx
2
00; yxV
00
4
1; ya
xF
aa
bV
4;
2
cbxaxy 2
Studio dei coefficienti a, b e c
0a cbxy
x
y
cbxy
è sempre
0a
0b 2axy cbxaxy 2
Studio dei coefficienti a, b e c
0c
x
y
2axy
0a
0b cbxaxy 2
Studio dei coefficienti a, b e c
0c
0abxaxy 2
bxaxy 2
x
y
O
0b cbxaxy 2
Studio dei coefficienti a, b e c
0c
0acaxy 2
x
y
02
c
axy
caxy 2
caxy 2
V(0;c)
V(0;-c)
o
Esempio
Data la parabola di equazione
Determinare il vertice, l’asse di simmetria, il fuoco e la direttrice. Tracciare poi il grafico della parabola dopo aver determinato le intersezioni con gli assi.
562 xxy
4
17y 4;3 V 3x
4
15;3F
5y
52 x11 x
; ;;
Intersezione con l’asse x
Intersezione con l’asse y
Esempio
Disegnare il grafico della parabola di equazione
92 xy
9;0 V
32 x31 xIntersezione con l’asse x
.
d
.x
y
yxP ;
O
2ayx
VerticeVertice
FuocoFuoco
Asse Asse
DirettriceDirettrice
2axy 2ayx
ay
4
1
0x
0;0 0;0
0y
ax
4
1
0;4
1
a
a4
1;0
cbyayx 2
x
y
1 32 4
2
3
1
4
.V(1;2)
O
VerticeVertice
FuocoFuoco
Asse Asse
DirettriceDirettrice
cbxaxy 2 cbyayx 2
ay
4
1
a
bx
2
aa
b
4;
2
a
b
a 2;
4
aa
b
4
1;
2
a
b
a 2;
4
1
a
by
2
ax
4
1
0a
0a
Concavità della parabola
x
y
x
y
O
O
Grazie per l’attenzione