la moyenne : des formules en pagaille ou un choix raisonné ?

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La moyenne : des formules en pagaille

ou un choix raisonné ?

Chr. Vandeschrick

Midis de la Recherche – 14 mai 2013

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Avertissement

■ Méthode exposée / suivie / adaptée ici parfois explicitée par ailleurs (les « Italiens », Antoine, internet…) mais de manière peu « conviviale » sans en tirer toutes les conséquences sur les plans

● théorique : concepts, définitions…● pratique : comment utiliser la méthode face à des données

bref, l’hésitant(e) peut continuer dans ses doutes !

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Moyenne et pédagogie : constats (1)

■ Énumération accumulative de formules succession de formules (mais parfois uniquement la formule arithmétique !)

sans logique apparente (ou si peu) peu de systématisation (parfois après l’arithmétique ; cf. Justens ou Grais)

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Moyenne et pédagogie : constats (2)

■ Énumération accumulative de formules ■ Règles d’utilisation : un musée des horreurs !■ Confusion entre mode de calcul et définition !

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Objectif de l’exposé

■ Proposer une méthode pour DÉTERMINER la formule du calcul de la moyenne dans n’importe quel cas concret faisant sens par rapport aux observations sans recours à des maths de haut vol

■ Grâce à cette méthode : la logique entre les différentes formules choix aisé de la bonne formule définition et mode de calcul bien distingués bref, l’hésitant n’a plus à… hésiter + commentaires sur les unités de mesure

équation aux dimensions ou analyse dimensionnelles

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Méthode : principes généraux

■ Tout repose sur une définition unique de la moyenne■ Par application de cette définition

à différents cas concrets les différentes formules vont apparaitre « naturellement »

■ Remarque : la formule recherchée doit être fonction des valeurs observées (xi ou xp) du nombre d’observations (n) même s’il existe un raccourci pour le calcul effectif

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Apprivoisons les données et les concepts

Cas 1 Cas 2Généralités sur le phénomène en jeu

• taux de change (€ $)• 3 opérations de change

• descendance à 50 ans• pour les femmes d’une localité

Données• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€

• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem.• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem.• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem.

La moyenne recherchéeTaux de change moyen pour les 1.500 € échangés

Descendance moyenne parmi les 29 femmes

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Méthode : deux cas en parallèle

Cas 1 Cas 2• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $

• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts

Action de la variable sur les unités sous observationEn agissant sur un €, le taux de change produit des $

En agissant sur une femme, la descendance produit des efts

En agissant sur les 500 €, le taux de change produit 750 $

En agissant sur 9 femmes, la descendance produit 18 efts

En agissant sur les « i », la variable produit son effet Appliquée aux « i », la variable produit son effet

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Éléments en jeuEn agissant sur un €, le taux de change produit des $

En agissant sur une femme, la descendance produit des efts

• Variable = taux de change • Variable = descendance

• Les « i » = les € changés • Les « i » = les femmes

• Effet de la var. sur les « i » = $ • Effet de la var. sur les « i » = efts

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Unités de mesure des éléments en jeuEn agissant sur un €, le taux de change produit des $

En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants

Dans les 2 cas, l’action se traduit par une multiplication

• nombres : 500 * 1,5 = 750• nbre & UM : 500 € * 1,5 $/€ = 750 $• UM : € * $/€ = $

• 9 * 2 = 18• 9 f * 2 e/f = 18 e• f * e/f = e

Systèmes d’unités « physiques » COHÉRENTSqui assurent la validité des écritures

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Retour à la lecture des donnéesEn agissant sur un €, le taux de change produit des $

En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants

• 500 € sont observés à raison de 1,5 $/€

• pour 500 « i », la variable vaut 1,5 $/€

• 9 f sont observées à raison de 2 e/f

• pour 9 « i », la variable vaut 2 e/f

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Effet partiel de la variable par ligne• 500 € * 1,5 $/€ = 750 $• n1 * x1 = 750 $ (effet partiel 1)

• n2 * x2 = 350 $ (effet partiel 2)

• n3 * x3 = 975 $ (effet partiel 3)

• 6 f * 0 e/f = 0 e• n1 * x1 = 0 e (effet partiel 1)

• n2 * x2 = 14 e (effet partiel 2)

• n3 * x3 = 18 e (effet partiel 3)

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« Effet global » de la variable sur la population sous observation• n1 * x1 = 750 $• n2 * x2 = 350 $• n3 * x3 = 975 $

• n1 * x1 = 0 e • n2 * x2 = 14 e• n3 * x3 = 18 e

• •

ppP

1ppp x*nx*nEG

332211 x*nx*nx*nEG

$075.2$975$350$750EG e32e18e14e0EG

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Définition de la moyenne. Enfin !

■ La moyenne = la valeur de la variable qui, affectant l’ensemble des « i », conserve l’effet global (de la variable sur l’ensemble des « i »).

■ Unités de mesure de la moyenne = unités de la variable■ Appliquons la définition aux 2 cas

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Application de la définitionREMPLACER dans la formule de l’effet global (EG),

les valeurs observées (xp) par la moyenne tout en conservant la valeur de EG

Soit la formule ARITHMÉTIQUE dite « pondérée » par les effectifs

n*xn*xx*nx*nEG pppp

n

x*nxx*nn*x pp

pp

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Application de la formule

Moyenne = répartition ÉQUITABLE • de l’effet global (2.075 $ ou 32 enfants)• entre les individus sous observation (1.500 € ou 29 femmes)

Calculer une moyenne = • voir ce que donnerait la FICTION mathématique • de la répartition équitable de l’EG entre les « i » : à chaque « i », la même chose !

n

x*nx pp

3833,1500.1075.2x 1034,1

2932x $/€ e/f

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Méthode : résumé

■ D’abord identifier : la variable (caractéristique dont on cherche la moyenne) les unités physiques de la variable (ou unités de mesure) les « i » l’effet partiel par application de la variable aux « i » l’effet global par combinaison des effets partiels

■ Remplacer les xp par la moyenne dans la formule de l’EG■ Résoudre l’équation pour isoler la moyenne■ Résultat : une formule adaptée aux circonstances

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Méthode : deux autres cas en parallèle

Cas 3 Cas 4Question posée aux enfants d’un village : « Combien d’enfants a ta maman ? »• 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants »• 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants »• 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants »

Rem.: à tous les enfants du village ! pas de problème de collecte ! ne pas transformer les données !

La population d’une localité est passée de1.000 à 1.386 en 3 ans

• CM1 = 1,10 (année 1 : 1.000 → 1.100)

• CM2 = 1,20 (année 2 : 1.100 → 1.320)

• CM3 = 1,05 (année 3 : 1.320 → 1.386)

Rem. : 1.386 = 1.000 * CM1 * CM2 * CM3

Moyenne recherchéeDescendance moyenne des mères ? (mère : femme ayant au moins 1 enfant) Coefficient multiplicateur moyen?

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Cas 3 Cas 4• 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants »• 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants »• 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants »

• CM1 = 1,10• CM2 = 1,20• CM3 = 1,05

Identifications préliminairesVariable : descendance coefficient multiplicateurUM var. : enfants/femme (nombre pur)1/temps (On y reviendra)

« i » : 43 enfants 3 annéesEffet part. : appliquée aux enfants,

la var. produit des femmes

ou

MAIS gardons la 1re expression

appliquée aux années,la var. produit une D de population

f5f/e2

1*e10x1*n1

1 100.110,1*000.1

f5ef5,0*e10

x1*n1

1

20


Cas 3 Cas 4• 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants »• 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants »• 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants »

• CM1 = 1,10• CM2 = 1,20• CM3 = 1,05

Identifications préliminaires

Effet glob. :

Calcul de la moyenne

Formule harmonique dite « pondérée »

Formule géométrique dite « simple »

p

p x1*nEG ixEG

p

p

pp

p

xn

*

nx

n*x1

x1*n

x1*n

n i

ni

xx

xxx

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Formule géométrique : commentaires

Unité de mesure ou physique du CM ?

Conclusion

(en ayant choisi la formule la plus pratique pour le propos)

000.1386.105,1*20,1*10,1EG05,1*20,1*10,1*000.1386.1

3

1

33 i 000.1386.1

000.1386.1xx

ans31

.hab000.1

.hab386.1x

tempsduinverse'lde.exp

ans1

ans1

purnombre

purnombre.hab.habCMduphysiqueunité

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Unité physique du CM : autre voie

• 1.386 et 1.000 sont exprimés en habitants• 3, en années• la parenthèse doit être un nombre pur qui

o multiplie un nombre d’hab. pour donner un nombre d’hab.o solution : x doit être un nombre pur exposant l’inverse du temps

Système d’unités « physiques » COHÉRENT validité du calcul

3X*000.1386.1

tstanhabipurnombre*tstanhabitstanhabix*.hab000.1

x*.hab000.1x*.hab000.1.hab386.13

ansans3ans3*

ans1

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Unité physique du CMLe coefficient multiplicateur s’exprime :

• en « nombre pur exposant l’inverse du temps » (nbre pur inverse du temps)• et pas en « nombre pur » !

Le piège

Si n = 1,

Racine unième est sans effet numérique sur le résultats• et donc ignorée dans la phase calcul, • MAIS pourtant bien présente

Du danger de ne pas prendre la formule générale…

0année

1année10année

1annéeninitialeannée

finaleannéePopPop

PopPop

PopPop

CM

• Temps : indispensable pour que CM soit actif !• Il doit donc apparaitre dans les calculs

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Méthode : des exemples en vrac

Taux de croissance en démographie (si t années)Calcul du taux Effet global Moyenne

1. Hypothèse exponentielle

0

10 Pop

Poplnr ireEG trr i

25


1. Hypothèse exponentielle (si t années)

Unités de mesure

La taux de croissance s’exprime en « inverse du temps » (1/temps)

Doute ? • la parenthèse doit être un nombre pur • « t » s’exprime en temps• le taux doit s’exprimer en inverse du temps ! Et pas en % !

0

10 Pop

Poplnr ireEGtrx i

EGeeePopPope*PopPop r*trr

0

tr0t

ii

t

PopPopln

relnPopPoplne

PopPop 0

t

r*t

0

tr*t

0

t

r*t0t e*PopPop

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1. Hypothèse exponentielle

2. Hypothèse géométrique

Conclusion : o ce n’est pas une formule géométrique au sens strict, même si…o unités de mesure :

• 1 + ri = CMi ou EG = nombre pur• donc nombre pur exposant l’inverse du temps

0

10 Pop

Poplnr ireEGn

rr i

1PopPopr

0

10

0

ti Pop

Popr1EG 1r1r t i

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3. Hypothèse linéaire, la plus amusante

Conclusion : formule sans nom, mais ça sent un peu la géométrique

Bien plus sympa pour le calcul, mais les ri « invisibles » !

)PopPop(*5,0PopPopr

10

010

i

ir2r2EG

1r2r2

1r2r2

*2rt

i

i

ti

i

0

t

i

iPopPop

r2r2EG

1

PopPop

1PopPop

*2rt

0

t

t0

t

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Taux de croissance en démographie (si t années)Calcul du taux Moyenne

3. Hypothèse linéaire, la plus amusante

Et pour les unités de mesure ? Une idée ?

• Pop0 & Pop1 , en habitants … qui se suppriment mutuellement haut et bas

• Reste l’unité de mesure de « 1 », soit année… qui est au dénominateur

• Et donc UM = l’inverse du temps !

• [ ] forcément en nbre pur• « 2 » en 1/temps,

ce qui est démontrable

Conclusion : UM taux linéaire = inverse du temps

1r2r2

1r2r2

*2rt

i

i

ti

i

an1*PopPop*5,0PopPopr

10

010

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Méthode : le quotient de mortalité

Quotients non unitaires entre 2 âges révolus successifsFormules Remarques

Unités de mesure de qx : • en décès par individu : qx = dx / Sx• en nombre pur (%) : probabilité• en exposant l’inverse du temps

Fonction du 2e degré dont une racine = la moyennePour rappel : « a » est fonction des qx

Je ne connais pas le nom de cette formule de calcul de la moyenne !

2

x

x2xx

qq2*S

q*qqq*Sd

a*S

q*qqq*Sd

x

1xx1xxx2xx

« a » calculable

0qq2a

qq2*Sa*S2

2xx

30


Une autre formuleÉventuellement plus « simple »

Formule 1 Formule 2

Remarques :

• équivalence des deux formules : démontrable

• formule 2 ≠ formule géométrique

• UM : aisé de démontrer que : px : est un coefficient multiplicateur

px s’exprime donc en nombre pur exposant l’inverse du temps

comme px + qx = 1 mêmes unités de mesure pour px & qx !

0qq2a

qq2*Sa*S2

2xx

1xx

1xx

q1*q11

p*p1q

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Toutes pondérées ou alors… aucune !

Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre d’enfants qu’elles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2

Il s’agit d’une formule arithmétique dite « NON PONDÉRÉE » !Qu’en penser ?La moyenne = le total des enfants divisé par le nombre les femmes• elle s’exprime en enfant(s) par femme (e/f)• les xi sont aussi des e/f, ainsi que leur somme• dès lors : , ce qui n’est pas logique !

• ça coince au niveau des unités de mesure : système pas cohérent pas de doute pour le dénominateur : femmes donc numérateur pas bon !

nx

521063

nxxxxxx i54321

ef

f/ex

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En fait, chaque xi• est d’application pour une femme• doit être multiplié par un poids de 1 dont l’unité de mesure = femme

•

• dès lors :

• ce qui un système logique au niveau des unités physiques • écriture satisfaisante selon ce critère, tout comme pour la formule pondérée

nx

521063

nxxxxxx i54321

fe

ff/e*fx

n

x*1x*1x*1x*1x*1x 54321

33



Conclusions : TOUTES les formules sont pondérées

• poids = le nombre de « i » auxquels s’applique une valeur de la variable

• formule « non pondérée » = formule dont tous les POIDS = 1…

• c’est donc aussi une formule… pondérée

• dont les poids unitaires sont inopérants numériquement

• MAIS TRÈS EFFICACES POUR LA COHÉRENCE DU SYSTÈME D’UNITÉS DE MESURE

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Vous n’aimez que la formule arithmétique…

Toujours possible d’y revenirEx. 1 : taux de change $/€ connu pour des $ échangés

• logiquement, formule harmonique :

• mais si inversion du taux de change : $/€ €/$

• formule arithmétique :

• ne pas oublier d’inverser le résultat• double transformation que… la formule harmonique fait d’un seul coup !

Ex. 2 : le CM et la formule géométrique• en passant par les logarithmes, formule arithmétique• ne pas oublier de retransformer le résultat• quelque part, la formule géométrique fait tout d’un coup !

€€

$1*$

€$€*$

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Vous n’aimez que la formule arithmétique…

Toujours possible d’y revenirMathématiquement, je crois que cela se dit (http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne) :

Si nous notons « * » la loi de composition qui donne le total pour deux individus, alors la valeur moyenne de n individus est la valeur, la même pour tous, qu'ils devraient avoir pour que leur total suivant la loi « * » reste inchangé ; c'est donc la solution de l'équation :

Cette équation peut être résolue s'il existe un isomorphisme (que nous noterons « » ) ramenant la loi « * » à l'addition.

Exemples :• Si (x) = ln(x) moyenne géométrique• Si (x) = xm et m = 1 moyenne harmonique

x*x*x*x*xx*x*x*x*x 54321

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Méthode : exemples de règles « fantaisistes »

Dans la littérature, des règles.Mais que valent-elles vraiment ?

PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58

o La règle :• quand le étudié varie comme la variable arithmétique• quand le varie comme l’inverse de la variable harmonique

o Exemple 1 : aller : 60 km/h ; retour : 30 km/h. Vitesse moyenne ?o Commentaires :

• étudié = vitesse dont on cherche la moyenne• variable : selon PY, le temps ! Pourquoi ?

distance est constante : aller et retour même distance temps est variable : vitesse ≠ sur une même distance étonnant que la variable ne soit pas la vitesse…

• f. harm. car variable au dénominateur de km/h• qui aurait aussi été la formule selon la méthode !

Ex. 1 PY étudié VitesseVariable TempsFormule HarmoniqueCalcul

Commentaire RAS

4030

160

12x

37



o La règle :• Quand le étudié varie comme la variable arithmétique• Quand le varie comme l’inverse de la variable harmonique

o Exemple 2 : 1 heure à du 60 km/h et une autre à du 30 km/h. Vitesse moyenne ?o Commentaire : variable = distance car ici une heure à chaque fois

donc temps invariable dans les 2 étapes, mais distance varie !

Commentaire : selon la méthode proposée, même choix tout va bien alors ? Autres exemples non traités par PY

Ex. 1 PY EX. 2 PY étudié Vitesse VitesseVariable Temps DistanceFormule Harmonique ArithmétiqueCalcul

Commentaire RAS RAS

4030

160

12x

452

3060x




o Exemple 3 : 80 km/h sur 40 km et 24 km/h. sur 12 km. Vitesse moyenne ?o Solution immédiate : 52 km en 1 heure 52 km/h.o Selon Py : distance variable lors des 2 étapes arithmétique, mais 67,08 ≠ 52

o Selon la méthode : harmonique, qui donne d’ailleurs 52 km/h

Ex. 1 PY EX. 2 PY Ex. 3 étudié Vitesse Vitesse VitesseVariable Temps Distance DistanceFormule Harmonique Arithmétique ArithmétiqueCalcul

Commentaire RAS RAS Bon calcul :

4030

160

12x

452

3060x

08,671240

24*1280*40x

5224

1280

401240x




o Exemple 4 : 1 h. 30 à du 70 km/h et 2 heures à du 100 km/h. Vitesse moyenne ?o Selon Py : distance et temps variables lors des 2 étapes ????

règle de PY carrément inopérante !

o Selon la méthode : arithmétique

Ex. 1 PY EX. 2 PY Ex. 3 Ex. 4 étudié Vitesse Vitesse Vitesse VitesseVariable Temps Distance Distance Distance et tempsFormule Harmonique Arithmétique Arithmétique Règle inopérante !Calcul

Commentaire RAS RAS Bon calcul : Bon calcul :

4030

160

12x

452

3060x

08,671240

24*1280*40x

5224

1280

401240x

14,87

25,1100*270*5,1x

40




o Confusion • entre variable sous observation dont on cherche la moyenne• unités sous observation pour lesquelles on connait la variable

o Règle non fonctionnelle !

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ANTOINE C. (1998), La moyenne. Que sais-je, PUF, p. 109.

o « Toute vitesse moyenne est moyenne harmonique des vitesses ».o Oui, si vitesse connue pour distanceo Non, si vitesse connue pour des temps de parcourso Solution pour justifier la règle :

• si nécessaire, inversion de la vitesse pour arriver à l’harmonique• ce qui serait applicable pour tous les cas… « arithmétiques »

o Bye-bye l’arithmétique » !

Par ailleurs : règle d’ANTOINE infirmée par exemple traité pour la règle de PY

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SPIEGEL W. (1984), Théorie et applications de la statistique. 14e éd., Série Schaum, McGraw-Hill, p. 60, ex. 34.

o « Si rapports : géométrique + appropriée que l’arithmétique »o Argument :

• avec arithmétique, les résultats ne s’inversent pas.• avec géométrique, si !

o MAIS :• moyenne obtenue ne fait pas sens par rapport aux données initiales• bien utilisées, arithmétiques & harmoniques donnent des résultats

inverses faisant sens avec les données initiales l’argument de SPIEGEL pour privilégier la géométrique tombe…

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Conclusions généraleso Une seule DÉFINITION, mais de nombreuses FORMULES et donc :

• incorrect de parler de la moyenne arithmétique, harmonique…• correct de parler

du concept de moyenne (unique) des formules arithmétique, harmonique… de la moyenne

o Définition ≠ formule :• définition : l’objectif du paramètre• formule : recette pour atteindre l’objectif vu les ingrédients

o Identification de la formule appropriée via une méthode :• un peu de réflexion sur les données• méfiance par rapport aux « règles », par ailleurs inutiles !

o Toutes les formules sont pondérées :• si poids égaux et unitaires, formule « non pondérée », si cela amuse…• si poids inégaux, ils doivent apparaitre dans la formule

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Formules approchées

Si formule arithmétique Si formule géométrique

• ce qui revient à négliger qx*qx+1

• acceptable tant que les q sont « petits »• ce qui revient à supposer que :

• ce qui est peu acceptable

0qq2aaq*qqq 21xx1xx

2qq

q 1xx 2 1xx q*qq

1xx1xx

1xx1xx1xx

q*q*2qqq*qq*qqq

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Si formule arithmétique Si formule géométrique• On néglige qx*qx+1 • ok si :

Conclusions :o arithmétique toujours plus proche de la moyenneo sauf si les quotients sont égaux ce qui n’est pas surprenanto plus un(les) quotient(s) est(sont) élevé(s), moins la différence est grande

tout en restant en général bien visible

1xx1xx q*q*2qq

Valeurs des quotients Q moyen Différence relativeqx qx+1 Fonction Arithm. Géomét. Arithm. Géomét.

0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000% 0,000%0,000001 0,00001 0,000006 0,000006 0,000003 0,000% 42,504%0,000001 0,0001 0,000051 0,000051 0,000010 0,002% 80,199%0,000001 0,001 0,000501 0,000501 0,000032 0,025% 93,683%0,000001 0,01 0,005013 0,005001 0,000100 0,251% 98,005%0,000001 0,1 0,051317 0,050001 0,000316 2,566% 99,384%

1 1 1,000000 1,000000 1,000000 0,000% 0,000%0,9 1 1,000000 0,950000 0,948683 5,000% 5,132%

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Si formule arithmétique Si formule géométrique• On néglige qx*qx+1 • ok si :

Conclusions :o produit toujours plus faible que la somme… évidemmento somme vaut presque toujours plus que deux fois le produit, même bien plus

• sauf si les 2 quotients = 1…• plus proche de 2 avec des quotients fort élevés

o plus les quotients sont élevés, moins la différence est grande

1xx1xx q*q*2qq

qx qx+1 Somme Produit Som./Prod.0,000001 0,000001 0,000002 1E-12 2.000.0000,000001 0,00001 0,000011 1E-11 1.100.0000,000001 0,0001 0,000101 1E-10 1.010.0000,000001 0,001 0,001001 1E-09 1.001.0000,000001 0,01 0,010001 0,00000001 1.000.1000,000001 0,1 0,100001 0,0000001 1.000.010

1 1 2 1 20,9 1 1,9 0,9 2,111

la moyenne : des formules en pagaille ou un choix raisonné ?

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