(4) Prubeh funkce

Kristyna Kuncova

Matematika B2 18/19

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 1 / 25

Monotonie

Zdroj: http://www.ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?topic=ma&chap sec=04.4&page=theory

Animace

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 2 / 25

Monotonie

Prıklad

(x2)′ = 2x

Prirad’te

1. f ′(x) > 02. f ′(x) ≥ 03. f ′(x) < 04. f ′(x) ≤ 0

A f neklesajıcı

B f nerostoucı

C f klesajıcı

D f rostoucıD, A, C, B

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 3 / 25

Vztah prvnı derivace a monotonie

Veta (vztah derivace a monotonie)

Necht’ I je interval a f je spojita funkce na I. Necht’ Int I oznacuje mnozinuvsech vnitrnıch bodu intervalu I. Necht’ existuje f ′(x) pro kazde x ∈ Int I.Potom

(i) je-li f ′(x) > 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f rostoucı na I;(ii) je-li f ′(x) ≥ 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f neklesajıcı na I;

(iii) je-li f ′(x) < 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f klesajıcı na I;(iv) je-li f ′(x) ≤ 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f nerostoucı na I.

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 4 / 25

Extremy

Prıklad

(x2)′ = 2x

(sin x)′ = cos x

Jak souvisı derivace funkce s existencı extremu?

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 5 / 25

Extremy: potıze

Prıklad

(x3)′ = 3x2

Jak souvisı derivace funkce s existencı extremu?

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 6 / 25

Extremy: potıze podruhe

Prıklad

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 7 / 25

Extremy: Dalsı moznosti

Prıklad

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 8 / 25

Extremy: Shrnutı

Prıklad

Zdroj: http://slideplayer.com/slide/7555868/

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 9 / 25

Nutna podmınka existence extremu

Veta (Nutna podmınka existence extremu)

Necht’ I je interval, f je realna funkce a a je vnitrnım bodem I. Je-li abodem lokalnıho extremu funkce f , pak bud’ f ′(a) neexistuje nebof ′(a) = 0.

Zdroj: http://slideplayer.com/slide/7555868/

Poznamka

Bod a, pro nejz platı f ′(a) = 0, zveme bodem stacionarnım.

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 10 / 25

Extremy: prıklad

Prıklad

Necht’ funkce f ma spojitou derivaci f ′(x), ktera se v bode x = 2 menı zezaporne na kladnou. Ktera z nasledujıcıch tvrzenı jsou pravdiva?

A 2 je stacionarnım bodem funkce f (x).B f (2) je lokalnı maximumC f (2) je lokalnı minimumD f ′(2) je lokalnı maximumE f ′(2) je lokalnı minimum

Zdroj: https://www.wiley.com/college/hugheshallett/0470089148/conceptests/concept.pdf

A, C

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 11 / 25

Extremy: prıklad

Veta

Jestlize funkce f je spojita na uzavrenem intervalu [a, b], pak na [a, b] nabyvasveho (globalnıho) maxima i minima.

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 12 / 25

Konvexita a konkavita

Prıklad

(x3)′′ = 6x

(sin x)′′ = − sin x

Jak souvisı druha derivace funkce s konvexitou a konkavitou?

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 13 / 25

Konvexita a konkavita

Prıklad

(x3)′′ = 6x

Prirad’te

1. f ′′(x) > 02. f ′′(x) < 0

A f je ryze konvexnı na I.B f je ryze konkavnı na I.

A, B

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 14 / 25

Konvexita a konkavita

Veta (vztah druhe derivace a konvexity ci konkavnosti)

Necht’ f je spojita funkce na intervalu I ⊂ R a necht’ ma f na Int I spojitouprvnı derivaci.

Je-li f ′′(x) > 0 pro kazde x ∈ Int I, pak f je ryze konvexnı na I.Je-li f ′′(x) < 0 pro kazde x ∈ Int I, pak f je ryze konkavnı na I.

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 15 / 25

Konvexita a konkavita: prıklad

PrıkladUhodnete, ktera krivka znazornuje funkci, prvnı derivaci a druhou derivaci:http://webspace.ship.edu/msrenault/geogebracalculus/derivative first second.html

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 16 / 25

Inflexnı bod

Zdroj: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animated illustration of inflection point.gif

Pozn: Aminace

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 17 / 25

Inflexnı bod

Prıklad

(x3)′′ = 6x

(sin x)′′ = − sin x

Jak souvisı druha derivace funkce a inflexnı bod?

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 18 / 25

Inflexnı bod - potıze

Prıklad

(x4 − x)′′ = 12x2

Zdroj: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:X to the 4th minus x.svg

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 19 / 25

Inflexnı bod

Veta (nutna podmınka pro inflexi)

Necht’ f je realna funkce a a ∈ R. Jestlize existuje f ′′(a) a je ruzna od nuly,pak a nenı inflexnım bodem funkce f .

Veta (postacujıcı podmınka pro inflexi)

Necht’ f ma spojitou prvnı derivaci na intervalu (a, b) a c ∈ (a, b).Predpokladejme, ze

∀x ∈ (a, c) : f ′′(x) > 0 a ∀x ∈ (c, b) : f ′′(x) < 0

nebo∀x ∈ (a, c) : f ′′(x) < 0, a ∀x ∈ (c, b) : f ′′(x) > 0.

Pak c je inflexnım bodem f .

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 20 / 25

Prubeh: prıklady

Prıklad

Najdete funkci, ktera ma maxima a minima v nekonecnem mnozstvı bodu.sin x

PrıkladNajdete funkci, ktera je konvexnı a pritom kladna.ex

Prıklad

Je pravda, ze je-li f ′′(a) = 0, pak f ma v a inflexnı bod?Ne

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 21 / 25

Asymptoty

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 22 / 25

Asymptoty

Definition

Necht’ f je realna funkce definovana na nejakem okolı bodu∞. Necht’a, b ∈ R. Rekneme, ze f ma v bode∞ asymptotu ax + b, jestlize

limx→∞

(f (x)− ax− b

)= 0. (1)

Analogicky definujeme asymptotu v bode −∞.

Veta (tvar asymptoty)

Funkce f ma v bode∞ asymptotu ax + b prave tehdy, kdyz

limx→∞

f (x)x

= a ∈ R a limx→∞

(f (x)− ax) = b ∈ R. (2)

Analogicke tvrzenı platı pro asymptotu v bode −∞.

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 23 / 25

Prubeh funkce: prıklad

Prıklad

Nacrtnete funkci y = f (x). Je definovana a spojita na celem R

Zdroj: Calculus, Hughes-Hallet, Gleason, McCallum

Prıklad

Nacrtnete funkci y = f (x). Je definovana a spojita na celem R

Zdroj: Calculus, Hughes-Hallet, Gleason, McCallumKristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 24 / 25

Aplikace extremu: prıklad

Prıklad

Baca by rad oplotil obdelnıkovy vybeh pro ovce. K dispozici ma 20 metrupletiva a pozemek u reky. Jake majı byt rozmery pozemku, aby byl conejvetsı?

Zdroj: https://plus.google.com/+ShauntheSheep/posts/i5G17r3ykqJ

Zadanı inspirovano: http://www.realisticky.cz/

Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 25 / 25