Pravděpodobnost

a aplikovaná

statistika

MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D.

4. KAPITOLA – STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017

23.10.2017

Přehled témat

1. Pravděpodobnost

(definice, využití, výpočet pravděpodobností náhodných jevů)

2. Podmíněná pravděpodobnost

3. Náhodná veličina

4. Statistické charakteristiky (3. a 4. týden)

5. Slabý zákon velkých čísel

6. Centrální limitní věta (teorém)

7. Bodový a intervalový odhad

8. Testování hypotéz

9. Korelace a regrese

4.1 Střední hodnota

(očekávaná hodnota, očekávaná střední hodnota) pro diskrétní a pro spojitou náhodnou

veličinu (průměrná venkovní teplota)

Značení: E𝑋, E(𝑋)

Diskrétní náhodná veličina:

E 𝑋 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑝𝑖

Spojitá náhodná veličina:

E 𝑋 =

−∞

∞

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Výsledek úkolu: venkovní teplota: 9,53 °C

Výběrová střední hodnota = (aritmetický) průměr:

𝑒 𝑋 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 ∙1

𝑛=

1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 = 𝑋

4.2 Obecný moment

Značení: 𝜇𝑘′ … k-tý obecný moment

k-tého řádu (spec. k = 0, k = 1) pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná

venkovní vlhkost)

Diskrétní náhodná veličina:

𝜇𝑘′ =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑘𝑝𝑖 ,

kde 𝑝𝑖 je pravděpodobnost, že 𝑋 nabývá hodnoty 𝑥𝑖

Spojitá náhodná veličina:

𝜇𝑘′ =

−∞

∞

𝑥𝑖𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,

kde 𝑓(𝑥) je hustota pravděpodobnosti dané veličiny.

4.2 Obecný moment

𝑘 = 0:

𝜇0′ =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑘𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖0𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

1 ∙ 𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑝𝑖 = 1

Výsledek úkolu: průměrná venkovní vlhkost: k = 0 … 1

k = 1 … 83,87 %

Výběrový obecný moment:

𝑚𝑘′ =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑘𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑘 ∙

1

𝑛=

1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑘

𝑘 = 1:

𝜇1′ =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑘𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖1𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖 = 𝐸(𝑋)

První obecný moment se nazývá střední hodnota 𝐸(𝑋)

4.3 Centrální moment

Značení: 𝜇𝑘 … k-tý centrální moment

Diskrétní náhodná veličina:

𝜇𝑘 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 𝑘𝑝𝑖 ,

kde 𝑝𝑖 je pravděpodobnost, že 𝑋 nabývá hodnoty 𝑥𝑖

Spojitá náhodná veličina:

𝜇𝑘 =

−∞

∞

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,

kde 𝑓(𝑥) je hustota pravděpodobnosti dané veličiny.

k-tého řádu (spec. k = 0, k = 2) pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrný

barometrický tlak)

4.3 Centrální moment

𝑘 = 0:

𝜇0 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 𝑘𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 0𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

1 ∙ 𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑝𝑖 = 1

𝑘 = 1:

𝜇1 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 𝑘𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 1𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) ∙ 𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖 − 𝐸(𝑋) ∙ 𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖 −

𝑖=1

𝑛

𝐸 𝑋 ∙ 𝑝𝑖 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 ∙

𝑖=1

𝑛

𝑝𝑖 = 0

První centrální moment je vždy 0.

4.3 Centrální moment

Druhý centrální moment je rozptyl 𝑣𝑎𝑟 𝑋 .

Třetí centrální moment se používá pro výpočet šikmosti.

Čtvrtý centrální moment se používá pro výpočet špičatosti.

𝑘 = 2:

𝜇2 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 𝑘𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2 − 2𝑥𝑖𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑋 2 ∙ 𝑝𝑖

=

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2 ∙ 𝑝𝑖 − 2𝐸 𝑋

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖 + 𝐸 𝑋 2

𝑖=1

𝑛

𝑝𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2 ∙ 𝑝𝑖 − 2𝐸 𝑋 ∙ 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑋 2 ∙ 1

=

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2 ∙ 𝑝𝑖 − 2𝐸 𝑋 2 + 𝐸 𝑋 2 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2 ∙ 𝑝𝑖 − 𝐸 𝑋 2 = 𝜇2

′ − 𝐸 𝑋 2 = 𝑣𝑎𝑟(𝑋)

4.3 Centrální moment

Výběrový centrální moment:

𝑚𝑘′ =

1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝑋 𝑘

Výsledek úkolu: průměrný barometrický tlak: k = 0 … 1

k = 1 … 0

k = 2 … 40,78

k = 3 … 83,69

k = 4 … 5 319,19

4.4 Rozptyl

(rozptýlenost, variabilita, kolísavost) pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu

(průměrná vnitřní teplota)

Značení: 𝑣𝑎𝑟 𝑋 , 𝜎2 𝑋 , 𝑆2 𝑋 ,𝐷(𝑋) Míra rozptýlení

Jedná se o druhý centrální moment.

Diskrétní náhodná veličina:

𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑋 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2 ∙ 𝑝𝑖

Spojitá náhodná veličina:

𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑋 =

−∞

∞

𝑥 − 𝐸 𝑋2𝑓 𝑥 𝑑𝑥

4.4 rozptyl

Diskrétní náhodná veličina (při stejných pravděpodobnostech):

𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑋 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2

Výsledek úkolu: průměrná vnitřní teplota: 𝜎2 𝑋 = 32,30 °C

Pro výběr nahrazujeme střední hodnotu průměrem a upravujeme počet stupňů volnosti:

𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑋 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝑋 2

Pokud upravujeme počet stupňů volnosti, mluvíme zpravidla výběrovém rozptylu (viz 4.6).

4.5 směrodatná odchylka

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná vnitřní vlhkost)

Značení: 𝑣𝑎𝑟 𝑋 , 𝜎 𝑋 , 𝑆 𝑋 , 𝐷(𝑋) Míra rozptýlení

Diskrétní náhodná veličina:

𝜎 𝑋 = var 𝑋 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2 ∙ 𝑝𝑖

Spojitá náhodná veličina:

𝜎 𝑋 = var 𝑋 =

−∞

∞

𝑥 − 𝐸 𝑋2𝑓 𝑥 𝑑𝑥

4.5 směrodatná odchylka

Diskrétní náhodná veličina (při stejných pravděpodobnostech):

𝜎 𝑋 = var 𝑋 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2

Výsledek úkolu: průměrná vnitřní vlhkost: 𝜎 𝑋 = 6,62 %

𝑠 𝑋 = 6,63 %

Pro výběr nahrazujeme střední hodnotu průměrem a upravujeme počet stupňů volnosti:

𝑠 𝑋 = var 𝑋 =1

𝑛 − 1

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝑋 2

Zpravidla pak mluvíme o výběrové směrodatné odchylce.

4.6 Výběrový rozptyl

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrný nárazový vítr)

Značení: 𝑣𝑎𝑟 𝑋 , 𝜎2 𝑋 , 𝑆2 𝑋 ,𝐷(𝑋) Míra rozptýlení

Jedná se o druhý centrální moment.

Diskrétní náhodná veličina (rozptyl):

𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑋 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2 ∙ 𝑝𝑖

Spojitá náhodná veličina (rozptyl):

𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑋 =

−∞

∞

𝑥 − 𝐸 𝑋2𝑓 𝑥 𝑑𝑥

4.6 Výběrový rozptyl

Diskrétní náhodná veličina (při stejných pravděpodobnostech):

𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑋 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2

Výsledek úkolu: průměrný nárazový vítr: 𝑠2 𝑋 = 1,06 m/s

Pro výběr nahrazujeme střední hodnotu průměrem a upravujeme počet stupňů volnosti:

𝑠2 𝑋 =1

𝑛 − 1

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝑋 2

Pokud upravujeme počet stupňů volnosti, mluvíme zpravidla výběrovém rozptylu.

Vztah mezi rozptylem a výběrovým rozptylem má tvar:

𝑠2 𝑋 =𝑛

𝑛 − 1𝜎2 𝑋

4.7 výběrová směrodatná odchylka

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná rychlost větru)

Značení: 𝑣𝑎𝑟 𝑋 , 𝜎 𝑋 , 𝑆 𝑋 , 𝐷(𝑋)

Diskrétní náhodná veličina:

var 𝑋 =1

𝑛 − 1

𝑖=1

𝑛

(𝑥𝑖 − 𝑋)2

Spojitá náhodná veličina:

var 𝑋 =

−∞

∞

𝑥 − 𝐸 𝑋 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Výsledek úkolu: průměrná rychlost větru: 1,40 m/s

4.8 šikmost

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná venkovní teplota)

Značení: 𝛾1

Diskrétní náhodná veličina:

𝛾1 =𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 3

𝑣𝑎𝑟(𝑋) 3/2

Výběrový koeficient šikmosti

𝑔1 =𝑚3

(𝑚2)32

= 𝑛 𝑖=1

𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 3

𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 2

32

Kde 𝑋 je výběrový průměr, 𝑚2 je výběrový rozptyl a 𝑚3 je třetí výběrový centrální moment.

Výsledek úkolu: průměrná venkovní teplota: 0,380

4.9 Špičatost

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná venkovní vlhkost)

Značení: 𝛼4, 𝛾2 Míra špičatosti

Diskrétní i spojitá náhodná veličina:

𝛼4 = 𝛾2 =𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 4

𝑣𝑎𝑟(𝑋) 2− 3

Výběrový koeficient špičatosti:

𝑎4 = 𝑔2 =𝑚4

𝑚22 − 3 = 𝑛

𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 4

𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 2

2 − 3

kde 𝑋 je výběrový průměr,

𝑚2 je výběrový rozptyl (druhý výběrový centrální moment) a

𝑚4 je čtvrtý výběrový centrální moment.

Výsledek úkolu: průměrná venkovní vlhkost: 0,1030

4.10 Horní kvantil

Značení: 𝑥𝑝, 𝑄𝑝 Míra polohy

Kvantily tvoří inverzní funkci k distribuční funkci

Kvantil 𝑥𝑝 je tedy taková hodnota statistického znaku, před níž leží právě 𝑝 procent

shromážděných dat (seřazených podle velikosti).

Postup:

Pro uspořádaný soubor dat (vzestupně, tj. od nejmenšího k největšímu) je třeba určit pořadový index 𝑖𝑝 kvantilu 𝑥𝑝 a musí platit

𝑛𝑝 < 𝑖𝑝 < 𝑛𝑝 + 1

Kvantil 𝑥𝑝 je roven hodnotě znaku na pozici 𝑖𝑝.

Pokud jsou hodnoty celočíselné, pak se kvantil určí jako

aritmetický průměr hodnot na pozicích 𝑛𝑝 a 𝑛𝑝 + 125 % 25 % 25 % 25 %

(spec. horní kvartil) pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrný barometrický

tlak)

4.10 Horní kvantil

Speciální označení kvantilů

medián – statistický soubor je rozdělen na dvě stejně početné množiny – 𝑄0,5

kvartil – tři body, které rozdělují seřazená data do čtyř stejně početných skupin

dolní kvartil – 𝑄0,25 – 25% kvantil – hodnota, pod níž leží čtvrtina dat

horní kvartil – 𝑄0,75 – 75% kvantil – hodnota, nad níž leží čtvrtina dat

decil – horních a dolních 10 % dat

percentil – obecně

Výsledek úkolu: průměrný barometrický tlak: 968,75 mb

25 % 25 % 25 % 25 % 50 % 50 % 25 % 25 % 25 % 25 %

4.11 dolní kvantil

kvantily tvoří inverzní funkci k distribuční funkci

Kvantil 𝑥𝑝 je taková hodnota statistického znaku, před níž leží právě 𝑝 procent shromážděných dat (seřazených podle velikosti).

Pro uspořádaný soubor dat (vzestupně, tj. od nejmenšího k největšímu) je třeba určit pořadový index 𝑖𝑝 kvantilu 𝑥𝑝 a musí platit

𝑛𝑝 < 𝑖𝑝 < 𝑛𝑝 + 1Kvantil 𝑥𝑝 je roven hodnotě znaku na pozici 𝑖𝑝. Pokud jsou hodnoty celočíselné, pak kvantil se určí jako aritmetický průměr

Speciální označení kvantilů

medián – statistický soubor rozdělen na dvě stejně početné množiny 𝑄0,5

kvartil – tři body, které rozdělují seřazená data do čtyř stejných skupin

dolní kvartil – 25. percentil dat

horní kvartil – 75. percentil dat

decil – horních a dolních 10 %

percentil – obecně 25 % 25 % 25 % 25 %

(spec. dolní kvartil) pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná vnitřní teplota)

Výsledek úkolu: průměrná vnitřní teplota: 19,9 °C

4.12 medián

kvantily tvoří inverzní funkci k distribuční funkci

Kvantil 𝑥𝑝 je taková hodnota statistického znaku, před níž leží právě 𝑝 procent shromážděných dat (seřazených podle velikosti).

Pro uspořádaný soubor dat (vzestupně, tj. od nejmenšího k největšímu) je třeba určit pořadový index 𝑖𝑝 kvantilu 𝑥𝑝 a musí platit

𝑛𝑝 < 𝑖𝑝 < 𝑛𝑝 + 1Kvantil 𝑥𝑝 je roven hodnotě znaku na pozici 𝑖𝑝. Pokud jsou hodnoty celočíselné, pak kvantil se určí jako aritmetický průměr

Speciální označení kvantilů

medián – statistický soubor rozdělen na dvě stejně početné množiny 𝑄0,5

kvartil – tři body, které rozdělují seřazená data do čtyř stejných skupin

dolní kvartil – 25. percentil dat

horní kvartil – 75. percentil dat

decil – horních a dolních 10 %

percentil – obecně 50 % 50 %

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná vnitřní vlhkost)

Výsledek úkolu: průměrná vnitřní vlhkost: 37,0 %

4.13 modus

Značení: 𝑚𝑜𝑑 𝑋 , 𝑥

Modus je hodnota, která se ve statistickém souboru

vyskytuje nejčastěji (má největší relativní četnost).

Diskrétní náhodné veličiny𝑃 𝑋 = 𝑥 ≥ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖

Spojisté náhodné veličny

𝑓( 𝑥) ≥ 𝑓(𝑥)

dné veličiny X.

– nelze použít průměr.

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrný nárazový vítr)

Výsledek úkolu: průměrný nárazový vítr: 0,00 m/s

4.14 minimum a maximum

Maximum je statistická funkce, kde její funkční hodnota představuje

nejvyšší hodnotu ze statistického souboru.𝑚𝑎𝑥 = 𝑥(𝑛)

Minimum je statistická funkce, kde její funkční hodnota představuje

nejnižší hodnotu ze statistického souboru.𝑚𝑖𝑛 = 𝑥(1)

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná rychlost větru)

Výsledek úkolu: průměrná rychlost větru:

minimum: 0,00 m/s,

maximum: 8,1 m/s

4.15 Rozpětí

Rozpětí (variační rozpětí) vyjadřuje míru variability

statistického souboru.

Rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou

statistického souboru.

𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(1)25 % 25 % 25 % 25 %

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná venkovní teplota)

Výsledek úkolu:

průměrná venkovní teplota: 37,59 °C

4.16 Kvartilové rozpětí

Značení: 𝑄𝑅, 𝑅𝑄 Míra rozptýlení

1. kvartil (25% kvantil) označuje takovou hodnotu, aby čtvrtina pozorování byla menší (nebo rovna) této

hodnotě.

3. kvartil (75% kvantil) označuje takovou hodnotu, aby

čtvrtina pozorování byla větší (nebo rovna) této hodnotě.

Kvartilové rozpětí je rozdíl mezi tímto 3. a 1. kvartilem.

25 % 25 % 25 % 25 %

pro diskrétní a pro spojitou náhodnou veličinu (průměrná venkovní vlhkost)

Výsledek úkolu: průměrná venkovní vlhkost: 11,95 %

4.17 střední hodnota náhodného vektoru

náhodný vektor 𝐗 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)𝑇

Střední hodnota náhodného vektoru je vektor středních hodnot

𝐸 𝐗 = 𝐸 𝑋1 , 𝐸 𝑋2 , … , 𝐸 𝑋𝑛𝑇

pro diskrétní a pro spojité rozdělení (průměrná venkovní teplota, průměrná venkovní vlhkost,

průměrný barometrický tlak)

Výsledek úkolu: průměrná venkovní teplota, průměrná venkovní vlhkost, průměrný

barometrický tlak: [9,39 °C, 82,54 %, 966,13 mb]

4.18 Kovarianční matice

náhodného vektoru pro diskrétní a pro spojité rozdělení (průměrná venkovní teplota,

průměrná venkovní vlhkost, průměrný barometrický tlak)

KOVARIANCE pro dvě náhodné veličiny X a Y

Kovariance vyjadřuje souvislosti (závislosti) mezi jednotlivými veličinami

𝜎𝑋,𝑌 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 𝑌 − 𝐸 𝑌

𝜎𝑋,𝑌 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 ∙ 𝐸 𝑌

Pozn.: 𝜎𝑋,𝑋 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 𝑋 − 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 2 = 𝑣𝑎𝑟(𝑋)

Kovariance může nabývat jakýchkoliv reálných hodnot, ale pro dvě

konkrétní veličiny musí platit

𝑐𝑜𝑣2 𝑋, 𝑌 ≤ 𝑣𝑎𝑟(𝑋) ∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑌)

4.18 Kovarianční matice

KOVARIANČNÍ MATICE

Zobrazuje kovariance mezi n veličinami 𝑋1, … , 𝑋𝑛

=

𝜎11 𝜎12 … 𝜎1𝑛

𝜎21

⋮𝜎𝑛1

𝜎22 … 𝜎2𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝜎𝑛2 … 𝜎𝑛𝑛

, 𝜎𝑖𝑗 jsou kovariance, 𝜎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 = 𝐸 𝑋𝑖 − 𝐸(𝑋𝑖) 𝑋𝑗 − 𝐸(𝑋𝑗)

Pokud jsou 𝑋𝑖 a 𝑋𝑗 nezávislé, pak 𝑐𝑜𝑣 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 = 0

Platí následující:

1) 𝜎𝑖𝑖 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 = 𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑖) a diagonální prvky matice představují rozptyly veličin

2) 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖 (z definice) a kovarianční matice je tedy symetrická

4.18 Kovarianční matice

VÝBĚROVÁ KOVARIANČNÍ MATICE

Ve všech uvedených vztazích jsou střední hodnoty nahrazeny průměry

=

𝜎11 𝜎12 … 𝜎1𝑛

𝜎21

⋮𝜎𝑛1

𝜎22 … 𝜎2𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝜎𝑛2 … 𝜎𝑛𝑛

, 𝜎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 = 𝐸 𝑋𝑖 − 𝑋𝑖 𝑋𝑗 − 𝑋𝑗

Pro vlastní výpočet lze použít vztah:𝜎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 ∙ 𝐸 𝑌

a tedy:

𝜎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 = 𝐸 𝑋𝑖𝑋𝑗 − 𝐸 𝑋𝑖 ∙ 𝐸 𝑋𝑗

Pro daný výběr jsou v uvedeném vztahu opět střední hodnoty nahrazeny průměry a lze

upravit počty stupňů volnosti.

4.18 Kovarianční matice

Výsledek úkolu:

teplota (°C) vlhkost (%) tlak (mb)

teplota (°C) 32,30 -25,99 -1,87

vlhkost (%) -25,99 71,69 -2,96

tlak (mb) -1,87 -2,96 40,78

4.19 korelační matice

Korelační matice (matice korelačních koeficientů)

normováním kovariancí směrodatnými odchylkami 𝜎𝑖 =𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑖) a 𝜎𝑗 = 𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑗)

𝜍 = 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 =𝑐𝑜𝑣 𝑋𝑖,𝑋𝑗

𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑖) 𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑗)

na rozdíl od kovariance nezávisí korelace na jednotkách a měřítku

jeho hodnota se nezmění lineární transformací tj. když místo 𝑋1 použijeme 𝑌1 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋1 a místo 𝑋2 použijeme 𝑌2 = 𝑐 + 𝑑 ∙ 𝑋2

=> 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑋1, 𝑋2 = 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑌1, 𝑌2

𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 ∈ −1,1

náhodného vektoru pro diskrétní a pro spojité rozdělení (průměrná venkovní teplota,

průměrná venkovní vlhkost, průměrný barometrický tlak)

Výsledek úkolu:

teplota (°C) vlhkost (%) tlak (mb)

teplota (°C) 1,00 -0,59 -0,15

vlhkost (%) -0,59 1,00 0,01

tlak (mb) -0,15 0,01 1,00