Konsep Dasar Teori Graf A. Sejarah Singkat Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler tersebut tidak ada perkembangan yang berarti berkenaan dengan teori graf. Tahun 1847, G. R. Kirchoff berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of Trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian A. Cayley juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Pada masa Kirchoff dan Cayley juga telah lahir dua hal penting dalam teori graf. Salah satunya berkenaan dengan konjektur empat warna, yang menyatakan bahwa untuk mewarnai sebuah atlas cukup dengan menggunakan empat macam warna sedemikian hingga tiap Negara yang berbatasan akan memiliki warna yang berbeda. Kemudian Sir W. R. Hamilton pada tahun 1859 berhasil menemukan suatu permainan dari kayu yang berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah polyhedron dengan 12 muka dan 20 pojok. Tiap muka berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dodecahedron tersebt dipasangkan dengan sebuah kota terkenal seperti London, New York, Paris, dll. Masalah dalam permainan ini adalah, kita diminta untuk mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali.

B. Defenisi dan Terminologi Sebuah graph G berisikan dua himpunan yaitu himpunan hingga tak kosong V(G) yang elemen-elemennya disebut titik dan himpunan (mungkin kosong) E(G) yang elemen-elemennya disebut sisi, sedemikian hingga setiap elemen e dalam E(G) adalah sebuah pasangan tak berurutan dari titik-titik di V(G). V(G) disebut himpunan titik dari G dan E(G) disebut himpunan sisi dari G.

Misal u dan v adalah titik-titik G dan sisi e = {u,v} (sering ditulis e = uv) adalah sisi dari G. Kita katakan : sisi e menghubungkan titik-titik u dan v ; titik u dan titik v berhubungan langsung (adjacent) di G ; u dan v adalah titiktitik akhir dari sisi e ; sisi e terkait (incident) dengan titik u dan v. Sebuah graph G dapat dipresentasikan dalam bentuk diagram, dimana setiap titik G digambarkan dengan sebuah nokhtah dan setiap sisi yang menghubungkan dua titik di G digambarkan dengan sebuah kurva sederhana (ruas garis) dengan titik-titik akhir di kedua titik tersebut. Contoh 1 : Misal G adalah sebuah graph dengan V(G) = {u,v,w,x,y,z} dan E(G) = { dimana

Kita dapat mempresentasikan graph G ini dalam bentuk diagram seperti terlihat pada gambar 1 berikut ini : v x u w z y

Gambar 1 : graph G dengan enam titik dan tujuh sisi. Sebuah sisi dalam graph G yang menghubungkan sebuah titik v dengan dirinya sendiri disebut gelung (loop). Dalam suatu graph, apabila terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi-sisi tersebut disebut sisi rangkap (multiple edges). Contoh 2 : Diagram graph G dengan V(G) = {u,v,w,x,y} dan E(G) = { , dimana ; dapat dilihat pada gambar 2. Dalam contoh ini, sisi sisi rangkap dalam G. u adalah sebuah loop, sedangkan sisi vGambar 2. Graph G dengan 5 titik dan 8 sisi. Sisi disebut gelung (loop). Sisi-sisi disebut sisi rangkap.

adalah

y x w

Sebuah graph yang tidak memiliki gelung dan tidak memiliki sisi rangkap disebut graph sederhana. Sedangkan sebuah graph yang memiliki sisi rangkap tetapi tidak memiliki gelung disebut graph rangkap (multi graph). Sebagai contoh, graph G pada gambar 1 adalah graph sederhana, sedangkan graph G pada gambar 2 bukan graph sederhana. Dalam banyak hal, kita hanya akan membatasi diri pada graph-graph yang sederhana. Sebuah graph komplit dengan n titik, dilambangkan dengan , adalah

graph sederhana dimana untuk setiap dua titik dari ke n titik-titik tersebut dihubungkan dengan sebuah sisi. Selanjutnya graph yang tidak memiliki sisi disebut graph kosong. Sebuah graph G disebut graph bipartisi jika V(G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian A dan B sedemikian hingga setiap sisi dari G menghubungkan sebuah titik di A dan sebuah titik di B. Kita sebut (A,B) bipartisi dari G. selanjutnya, apabila G sederhana dan bipartisi dengan partisi (A,B) sedemikian hingga setiap titik di A berhubungan langsung dengan setiap titik di B, maka G disebut graph bipartisi komplit , dilambangkan dengan dimana | | dan | |

(a) Gambar 3. (a)

(b)

(c)

(d)

graph komplit ; (b) Graph kosong dengan 5 titik ; (c) graph graph bipartisi lengkap. G, jika

bipartisi ; (d)

Sebuah graph H disebut graph bagian dari graph G, ditulis H V(H) V(G) dan E(H) E(G). Jika H

G dan V(H) = V(G) , maka H

disebut graph bagian rentang (spanning subgraph) dari G. Misalkan . Graph bagian dari G yang dibangun oleh G[ , dilambangkan dengan

, adalah sebuah graph bagian dari G yang himpunan titiknya adalah . Dalam gambar ., graph H2 adalah graph bagian rentang

dan himpunan sisinya beranggotakan semua sisi G yang mempunyai titik akhir di

dari graph G, graph H1 adalah graph bagian (bukan rentang) dari graph G, dan H3 adalah graph bagian dari G yang dibangun oleh V1 = {u,v,w,z}.

H. Derajat Titik Graph Misalkan v sebuah titik di graph G. Derajat titik v, dilambangkan dengan atau , adalah banyaknya sisi G yang terkait di titik v (dengan

catatan setiap gelung dihitung dua kali). Derajat minimum dari graph G, dilambangkan dengan , didefenisikan sebagai berikut : { Sedangkan derajat maksimum | G, dilambangkan dengan ,

didefenisikan sebagai berikut : { |

Graph G disebut beraturan-k jika setiap titik G berderajat k. Misalnya, graph komplit dengan n titik Kn adalah graph beraturan (n-1). Sikel dengan n titik, Cn, adalah graph beraturan-2. Graph H pada gambar.. adalah graph beraturan -3. Jika graph G beraturan, jelas v

w

u G

x H

Gambar : (a) Graph G dengan d(v) = 2, d(u) = 3, d(w) = 4, d(x) = 1,

(b) Graph H beraturan-3 Karena dalam menghitung jumlah derajat semua titik di graph G, setiap sisi G dihitung tepat dua kali, maka jumlah derajat semua titik pada sebuah graph selalu dua kali banyaknya sisi graph tersebut. Dan ini merupakan teorema pertama dalam teori graph, simple tapi esensial. Teorema ini dikenal dengan sebutan Teorema Jabat Tangan.

Teorema 1.1 (Teorema Jabat Tangan). Jika G sebuah graph maka: | |

Sebagai akibat dari teorema tersebut adalah teorema berikut. Teorema 1.2 Banyaknya titik berderajat ganjil di sebuah graph adalah genap. Bukti : Pandang sembarang graph G, misalkan A dan B, berturut-turut adalah himpunan semua titik di G yang berderajat genap dan ganjil. Jelas bahwa V(G) = A B. Sehingga : | |

Selanjutnya, karena untuk setiap v Akibatnya

A, d(v) genap, maka

genap. , d(v) ganjil.

genap. Padahal, untuk setiap titik

Akibatnya, banyaknya titik di B atau |B| genap. Terbukti. Perhatikan bahwa jika graph C beraturan-k dengan n titik, maka nk harus genap. Kiranya jelas tidak ada graph beraturan-k dengan n titik jika n dan k kedua-duanya bilangan ganjil.

Barisan derajat dari graph G adalah barisan monoton turun dari derajat titik-titik G. Sedangkan barisan derajat dari sebuah graph sederhana disebut graphik.

G Gambar ...... : (a) (b)

K3,2 barisan derajat graph G ; barisan derajat graph K3,2 : bukan graphik. graphik.

Jika diberikan sebuah graph, dengan mudah kita bisa menentukan barisan derajatnya. Yang menjadi pertanyaan adalah apakah syarat dari sebuah barisan agar barisan tersebut merupakan barisan derajat sebuah graph. Jawaban atas pertanyaan tersebut disajikan dalam teorema berikut. Teorema 1.3 Barisan bilangan bulat non negatif dari sebuah graph jika dan hanya jika genap. adalah barisan derajat

Untuk menentukan apakah barisan bilangan bulat non negatif graphik atau bukan dapat digunakan teorema berikut. Teorema 1.4 Misalkan turun. barisan bilangan bulat non negatif monoton graphik jika dan hanya jika barisan ( graphik.