teori graf (planar
TRANSCRIPT
Matematika Diskrit
GRAPH PLANAR DAN GRAPH BIDANG
GRAPH PLANAR & GRAPH BIDANG
• Graph G disebut Graph Planar jika G dapat digambar pada bidang datar sedimikian
sehingga sisi-sisinya tidak ada yang saling berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik dari
sisi-sisi tersebut.
Graph Bidang pasti Graph Planar, tetapi sebaliknya tidak berlaku
• Graph bidang atau pajangan G adalah graph planar G yang digambar pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang saling berpotongan kecuali
mungkin pada titik-titik akhir sisi-sisi tersebut.
Contoh:Graph lengkap K1, K2, K3, dan K4 merupakan Graph Planar
K1 K2
K3
K4
V1 V2
V3V4
K4
V1 V2
V3V4
Contoh lain Graph PlanarV1 V2
V3
V4V5
V6
V1 V2
V3
V4V5
V6
V1V2 V3
V4V5
V1 V2 V3
V4V5
K3.2
Graph K3,3
Contoh Graph non-Planar:Graph lengkap K5:
V1 V2
V3
V4V5
V6
G
X
Y
JD
TEOREMA KURVA JORDAN:Misalkan J adalah sebuah kurva tertutup sederhana pada
sebuah bidang datar D.Titik X terletak di Interior J dan titik Y terletak di eksterior J. Jika dibuat sebuah kurva yang menghubungkan titik X dan titik Y pada bidang D, maka kurva tersebut pasti memotong
kurva J.
Teorema Kurva Jordan dapat
digunakan untuk menunjukkan suatu graph bukan graph
planar.
V1 V2
V3
V4V5
V6
V1 V2
V3
V4V5
V6
G
H=G-V3V6
V1 V2
V3
V4V5
V6
Sikel C=(V1,V2,V3,V4,V5,V6,V1)
V1V4 digambar di dalam sikel C
V2V5 digambar di luar sikel C
Akan ditunjukkan bahwa G non-planar dengan menggunakan teorema
Jordan
Graph H memuat sikel C1=(V2,V5,V4,V1,V2)
V1 V2
V3
V4V5
V6
H=G-V3V6
Perhatikan V6 berada di Interior Sikel C1
Perhatikan V3 berada di eksterior Sikel C1
Apabila V3 dan V6 dihubungkan, maka akan memotong sikel C1.
Karena sisi yang menghubungkan V3 dan V6 memotong sikel C1, maka G bukan graph planar.
Keterkaitan antara planaritas dan keterhubungan graph diawali dengan pengertian graph non planar minimal.
Graph G disebut graph non planar minimal jika graph G non planar dan setiap subgraph dari G adalah graph planar.
Contoh: Graph K3,3 (graph non planar minimal)
5.3 PLANARITAS DAN KETERHUBUNGAN GRAPH
a1 a2 a3
b1 b2 b3
Graph Non Planar Minimal
Subgraph K3,3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
a1 a2
a3
b1 b2 b3
a1
a3
a2
b1 b2 b3
Contoh: graph K5 (graph non planar minimal)
Graph Non Planar Minimal
a1
a2
a3a4
a5
Subgraph K5
a1
a2
a3a4
a5
a1
a3
a4
a5
a1
a3
a5
a b c
d e
e1 e2 e3
e4
e5
e6
a b c
d e
e1
e2
e3
e4
e5 e6
G1
G2
f1
f2
f3
Muka f1 dibatasi oleh sisi-sisi e1 , e2, e3, e4 (muka terbatas)
Muka f3 dibatasi oleh sisi-sisi e3 , e4, e5, e6 (muka tak terbatas)
Lemma 5.8 Misalkan G sebuah graph terhubung-3 dengan ǀV(G)ǀ≥5. Maka G memuat sisi e sedemikian hingga graph G.e adalah graph terhubung-3
v1 v2
v3
v4v5
v6e
G
v1v2
V3=v6)
v4v5
G.e
e = v3 , v6
Mempunyai 3 titik pemutus v2, v4, v6
v1
v3
v5
Mempunyai 3 titik pemutus v2, e, v4
v1
v5
Teorema Kuratoswki
Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf.
(a) (b) (c)
a) Graf Kuratowski pertamab) (b) dan (c) Graf Kuratowski kedua (keduanya isomorfik) Sifat graf Kuratowski adalah:1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi
graf planar.4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah titik
minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.
TEOREMA KURATOWSKI
Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung subgraph yang sama dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanyaContoh
a b c
d e f
a b c
d e f
a c
d f
Graf G tidak planar karena ia mengandung subgraf yang sama dengan K3,3
a
b
d
c
efg
h
a
a
b
c
d
fg
h
i
a
c
e
e
g
h
Graf G, subgraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5
GG1 Subgraph G1 ,
homeomorfik K5
i
Lemma 5.7 Misal graph G sebuah graph non planar dan tidak memiliki graph bagian kuratowski. Jika G memilki sisi sedikit mungkin diantara graph-graph yang demikian, maka G terhubung-3
v1 v2
v3
v4
v5
v2v1
v3
v4
v5Karena
G Graph non planar
v4
v3 Graph G mempunyai 3 titik pemutus
yaitu v1, v2, v5
Teorema 5.9 Misal G sebuah graph dan e ϵ E(G). Jika G.e memiliki graph bagian kuratowski maka G juga memiliki graph bagian kuratowski
v1 v1
v3
v2
e
v6v7
v8
v9 v10
v1
v3
v6v7
v8
G G.e
v2
v3v4
v5v6
v7
v8
v9 v10
Homeomorfik Graph Kuratowski
e = v4, v5
Pajangan konveks
Misalkan Graph g adalah planar. Jika setiap muka dari pajangan G dibatasi oleh segi-n poligonal konveks
G G1G2
(i) G graph planar
(ii) G1 pajangan konveks dari G
(ii) G2 pajangan tak konveks dari G
f3
f2
f1
f4 f5f1
f2
f3
f4
f1
f2
f3
f4
Formula EulerTeorema 5.16:
Jika G Graph bidang terhubung, maka |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2
• Contoh:
f2f1
f3
f4Graph G terdiri dari 4 muka (face)
G
F(G) = {f1, f2, f3, f4} → |F(G)|=4
Graph G terdiri dari 6 titik (vertex)
V(G) = {V1, V2, V3, V4, V5, V6} → |V(G)|=6
Graph G terdiri dari 8 sisi (edge)
E(G) = {V1V2,V2 V3, V3V4, V4V5, V5V6, V6V1, V1V4, V2V5} → |E(G)|=8
|V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=26 – 8 + 4 = 2
V1 V2
V3
V4
V5
V6
Formula Euler tidak berlaku untuk Graph bidang tidak terhubung
• Contoh:
V5
V6G
f1 f2 f3
|V(G)|=6|E(G)|=6|F(G)|=3
|V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 6 – 6 + 3 = 3≠ 2
V1 V2
V3V4
Teorema 5.17Jika G Graph Planar Sederhana dengan |
E(G)| > 1, maka |E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6 Contoh akan ditinjau dari:
Graph G Terhubung
Graph G Tidak Terhubung
Graph Planar G terhubungV1 V2
V3
V4V5
V6
|E(G)| = 8 > 1
|V(G)| = 6
3|V(G)| - 6 = 3(6) – 6 = 18 – 6=12
Jelas, 8 ≤ 12
• Kata “Sederhana” dalam teorema 5.17, tidak boleh dihilangkan. Karena ketika graph planar tidak sederhana, maka teorema tersebut tidak akan berlaku.
• Contoh:
V1 V2
V3V4
G
|E(G)| = 7 > 1
|V(G)| =4
3|V(G)| - 6 = 3(4) – 6 = 12 – 6 = 6
Berdasarkan Teorema 5.17, |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6 Ternyata, untuk Graph G di samping, diperoleh |E (G)| > 3|V(G)| - 6 = 7 > 6.Dengan demikian, untuk Graph Planar tidak sederhana, teorema 5.17 tidak berlaku.
• Begitu juga dengan syarat bahwa |E(G)| > 1. Sisi sebuah grap planar sederhana, banyaknya sisi graph tersebut harus lebih dari satu. Apabila banyaknya sisi tidak lebih dari satu, maka teorema 5.17 juga tidak akan berlaku.
• Contoh:
V1
V2 G
Dari gambar terlihat bahwa |E(G)| = 1 dan |V(G)| = 2
3|V(G)| - 6 = 3(2) – 6 = 6 – 6 = 0
Ternyata, |E(G)| > 3|V(G)| - 6 = 1 > 0
Sehinga, teorema 5.17 tidak berlaku untuk sebuah graph planar yang banyaknya sisinya tidak lebih dari 1.
Perhatikan Graph K5• Graph K5 merupakan graph komplit
yang memiliki 5 titik, dan semua titiknya berderajat sama, yaitu 4. karena semua titiknya berderajat sama, maka jumlah derajat titik graph K5 adalah 20.
• Sehingga, banyaknya sisi dari graph K5 adalah 10 (Lemma Jabat Tangan).
• Ternyata 10 > 3(5) – 6 = 15 – 6 = 9.
• Jadi, berdasarkan teorema 5.17, maka terbukti bahwa Graph K5 merupakan graph non-panar.
V1
V2
V3V4
V5
Jika G Graph Planar Sederhana dengan |
E(G)| > 1, maka |E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6
Teorema 5.17
Bagaimana dengan Graph K3.3??• Graph K3.3 terdiri dari 6 titik, dan setiap titiknya
berderajat sama, yaitu 3. sehingga jumlah derajat semua titiknya adalah 18.
• Dengan demikian, banyaknya sisi dari Graph K3.3 adalah 9 (Lemma Jabat Tangan).
• Perhatikan bahwa |E(G)| = 9 dan |V(G)|= 6.
• Teorema 5.17 menyatakan bahwa |E(G)| ≤ 3 |V(G)|- 6, apabila graph yang dimaksud adalah planar sederhana.
• Namun untuk kasus graph K3.3 diperoleh 9 ≤ 3(6) – 6 = 12 (memenuhi).
• Dari kasus graph K3.3, maka Graph Planar Sederhana merupakan “syarat perlu” untuk memenuhi |E(G)| ≤ 3 |V(G)|- 6, tapi tidak selalu berlaku sebaliknya.
V2V1 V3
V4 V5 V6
Teorema 5.18
V1 V2
V3
V4V5
V6
G1
d(V1) = 3d(V2) = 3d(V3) = 2
d(V4) = 3d(V5) = 3d(V6) = 2
Contoh Graph PlanarV1 V2
V3
V4
V5V6
V7
V8
G2
V1 V2
V3
V4
V5V6
V7
V8
Hd(V1) = 4d(V2) = 4d(V3) = 4d(V4) = 5
d(V5) = 4d(V6) = 5d(V7) = 4d(V8) = 4
4
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
|V(G)| = 8
|E(G)| = 25
Apakah Graph di samping memenuhi |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6???
Ternyata, 25 > 3 (8) – 6 = 24 – 6 = 18
Berdasarkan teorema 5.17, maka Graph di samping tidak Planar.
d(V1) = 7d(V2) = 6d(V3) = 6d(V4) = 6d(V5) = 6d(V6) = 6d(V7) = 7 d(V8) = 6
Berdasarkan teorema 5.18, maka Graph di samping tidak Planar.
NON PLANAR
Ketebalan Sebuah Graph•
Setiap graph planar G mempunyai ketebalan = 1.
V1
V2
V3
V4 V6
V5
=
V5V1
V2
V3
V4 V6
V1
V2
V3
V4
V5
V6
Teorema 5.19
Dalam menentukan nilai eksak ketebalan sebuah graph,tidak ada formula yang pasti yang dapat digunakan. Tetapi dapat ditentukan berapa batas bawah dari ketebalan suatu graph.
Graph Dual dari Graph Bidang
Graph H* merupakan graph dual dari H, karena:1. Sebuah muka H berkorespondensi dengan sebuah titik di H*, atau |F(H)|=|
V(H*)|2. Sebuah sisi H berkorespondensi dengan sisi di H*, atau |E(H)|=|E(H*)|3. Sebuah muka berderajat k di H, berkorespondensi dengan sebuah titik
berderajat k di H*.4. Sebuah titik berderajat 2 di H, berkorespondensi dengan sebuah sisi
rangkap di H*.
𝐇∗
f1
f2
f3f4
f5f6
V1
V2
V3
V4 V5 V6
H
• Graph H dan H* tidak isomorfik. Karena terdapat sebuah titik di H* yang berderajat 5, sedangkan di H tidak terdapat titik yang berderajat 5.
H
GG*
Graph G dan G* isomorfik. Karena |V(G)|=|V(G*)|=4, |E(G)|=|E(G*)|=6, dan derajat tiap titiknya sama.
Apabila graph planar isomorfik dengan dualnya, maka graph tersebut disebut graph dual diri.
Teorema 5.20
Jika G adalah graph dual diri, maka |E(G)|=2(|V(G) – 1)
G
|E(G)|=2(|V(G) – 1) = 2(4 – 1) = 2.3 = 6
Graph Polyhedral
• Bangun ruang dimensi tiga yang dibatasi oleh permukaan-permukaan yang berupa bidang datar polygonal (bidang
datar segi-n, n ≥ 3) disebut polyhedron.
• Titik-titik dan sisi-sisi dari sebuah polyhedron membentuk sebuah graph sederhana di ruang dimensi 3. Jika titik-titik dan sisi-sisinya terhubung dan membentuk graph bidang
(planar) sederhana, maka disebut graph polyhedral.
TERIMA KASIH
Presented by:• KAHABUDDIN• MUH. RUSLI JUNAID• CITRA DEWI CHAIRANI