TUGAS MATA KULIAH TEORI GRAF

PEMBUKTIAN DELETION-CONTRACTION THEOREM SERTA

PENERAPANNYA DALAM PEMBUATAN JADWAL UJIAN AKHIR

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

Disusun oleh:

1. Wigati P. Putri 07305141038

2. Ratnasari Dwi Ambarwati 10305141004

3. Meita Putri Rahayu 10305141005

4. Dwi Prihastuti 10305141020

5. Amalia Sita Nursanti 10305141038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2012

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika memiliki beberapa pokok bahasan, salah satunya adalah graf.

Graf adalah himpunan tak kosong berhingga, yang terdiri dari himpunan rusuk dan

himpunan simpul yang himpunan simpulnya tidak boleh kosong. Graf biasa

digunakan sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti.

Graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang dapat diterapkan baik

dalam ilmu matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu topik pada

graf adalah pewarnaan graf. Pewarnaan graf dibagi menjadi dua macam, yaitu

pewarnaan simpul dan pewarnaan rusuk. Akan tetapi, jika tidak diberikan

kualifikasinya, pewarnaan graf diartikan sebagai pewarnaan simpul dan pada makalah

ini dikhususkan pada pewarnaan simpul. Mewarnai sebuah graf berarti memberi

warna pada setiap simpul graf sedemikian hingga simpul dan rusuk yang berikatan

dapat diwarnai dengan warna yang berbeda.

Misalkan G adalah graf sederhana, banyaknya warna yang digunakan untuk

mewarnai simpul graf G sedemikian sehingga simpul yang berikatan berlainan warna

dinyatakan dengan k-pewarnaan. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka G dikatakan

dapat diberi warna dengan k warna. Pada pewarnaan simpul, jumlah warna yang

boleh dipergunakan haruslah seminimal mungkin. Jumlah warna paling minimum

yang dapat diterapkan pada graf ini sering disebut dengan bilangan kromatik

(χ(G)). Salah satu metode yang digunakan untuk mewarnai graf adalah dengan

menggunakan polinomial kromatik.

Pewarnaan graf dapat diaplikasikan pada berbagai permasalahan sehari-hari,

beberapa contoh diantaranya yaitu saluran televisi ditentukan ke pemancar-pemancar,

sedemikian sehingga tidak ada dua pemancar dapat beroperasi pada saluran yang

sama dalam jarak tertentu, struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah,

peta, rangkaian listrik, dan lain-lain.

Makalah ini, membahas tentang penerapan pewarnaan simpul dalam penjadwalan

ujian dengan metode Deletion-Contraction Theorem. Dalam masalah penjadwalan

2

yang dinyatakan dalam bentuk graf, simpul menyatakan mata kuliah dalam jadwal.

Rusuk antar dua buah simpul menyatakan bahwa kedua buah mata kuliah tidak dapat

dikerjakan secara bersamaan. Warna menunjukkan waktu yang tersedia. Setiap mata

kuliah membutuhkan satu waktu. Jadi dapat dituliskan: simpul v menerima mata

kuliah i jika dan hanya jika v dieksekusi dalam waktu i. Sehingga graf k-warna berarti

semua mata kuliah dapat dikerjakan dalam k waktu secara tidak bersamaan.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, maka rumusan masalah

yang dapat diajukan adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana pembuktian Deletion-Contraction Theorem?

2. Bagaimana cara menentukan banyaknya bilangan kromatik

pada suatu graf dengan metode Deletion-Contraction

Theorem?

3. Bagaimana penerapan pewarnaan simpul pada kasus

penjadwalan ujian kuliah dengan metode Deletion-

Contraction Theorem?

C. Tujuan

Tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Membuktikan Deletion-Contraction Theorem.

2. Menentukan banyaknya bilangan kromatik pada suatu graf

dengan metode Deletion-Contraction Theorem.

3. Menyelesaikan kasus penjadwalan ujian kuliah dengan metode

Deletion-Contraction Theorem.

D. Manfaat

Hasil penelitian ini bermanfaat sebagai tambahan literatur bagi

mahasiswayang sedang mempelajari mengenai pewarnaan simpul,

3

khususnya bilangan kromatik dengan metode Deletion-Contraction

Theorem serta contoh penerapannya.

4

BAB IILANDASAN TEORI

A. Pengertian Graf

Graf adalah himpunan tak kosong berhingga, yang terdiri dari himpunan rusuk

dan himpunan simpul yang himpunan simpulnya tidak boleh kosong. Notasi graf:

G(V,E) artinya graf G memiliki V simpul dan E rusuk.

Simpul-simpul pada graf dapat merupakan obyek sembarang

seperti kota, nama orang, jenis buah, komponen alat elektronik dan

sebagainya. Rusuk dapat menunjukkan hubungan sembarang seperti

rute penerbangan, jalan raya, sambungan telepon, ikatan kimia, dan

lain-lain.

B. Pewarnaan Graf

Pewarnaan graf terbagi menjadi dua macam yaitu pewarnaan simpul dan

pewarnaan rusuk.

1. Pewarnaan simpul didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan G adalah graf sederhana, k-pewarnaan untuk G menyatakan

penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G sedemikian hingga simpul-simpul

yang berikatan mendapat warna yang berbeda. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka

G dikatakan dapat diwarnai dengan k-warna (Wilson dan Watkins, 1989: 235).

Berikut adalah contoh pewarnaan simpul pada graf G .

Gambar 1. Pewarnaan Simpul pada Graf G

5

Gambar 1(a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 3-pewarnaan, 4-pewarnaan,

dan 5-pewarnaan dari graf G . Gambar 1 (d) bukan merupakan pewarnaan simpul

dari graf G , karena terdapat dua simpul berikatan yang memiliki warna sama.

2. Pewarnaan rusuk didefinisikan sebagai berikut :

Misal G adalah graf sederhana, k-pewarnaan rusuk untuk G adalah pemberian

sebanyak k warna pada rusuk-rusuk G sedemikian hingga setiap dua rusuk yang

bertemu dengan simpul yang sama mendapat warna berbeda. Jika G memiliki k-

pewarnaan rusuk, maka rusuk graf G dikatakan dapat diwarnai dengan k warna

(Wilson dan Watkins, 1989: 240).

Berikut adalah contoh pewarnaan rusuk pada graf G

Gambar 2. Pewarnaan Rusuk pada Graf G

Gambar 2 (a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 4-pewarnaan rusuk, 5-

pewarnaan rusuk, dan 6-pewarnaan rusuk dari graf G. Gambar 2 (d) bukan

merupakan pewarnaan rusuk dari graf G, karena terdapat dua rusuk berwarna sama

yang bertemu pada simpul yang sama.

6

BAB IIIPEMBAHASAN

A. Pewarnaan Simpul

Pewarnaan simpul pada graf adalah suatu pemetaan dari himpunan simpul ke

himpunan warna sedemikian sehingga setiap dua simpul yang berikatan mempunyai

warna yang berbeda. Misalkan G adalah graf sederhana, k-pewarnaan untuk G

menyatakan penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G. (Wilson dan Watkins,

1989: 235).

Pewarnaan graf dapat dilakukan dengan menggunakan Algoritma Welsh dan

Powell. Algoritma ini memberikan cara mewarnai sebuah graf dengan memberi label

simpul-simpulnya sesuai dengan derajatnya. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Langkah 1 Setiap simpul pada graf diberi label sesuai dengan derajatnya. Simpul

diurutkan mulai dari yang berderajat terbesar sampai dengan derajat terkecil. Simpul

diberi nama V 1 ,V 2 ,V 3 , …. V n, sedemikian hingga

derajat (V ¿¿1)≥ derajat (V ¿¿2)≥ ….≥ d erajat (V ¿¿n)¿¿¿ atau membentuk barisan

tidak naik.

Langkah 2 Memberikan warna pertama pada simpul yang pertama (yang

berderajat terbesar) pada daftar simpul tersebut. Kemudian dicari simpul yang tidak

berdekatan dengan simpul yang pertama tadi kemudian warnai simpul tersebut

dengan warna yang sama dengan warna simpul yang pertama. Lakukan terus menerus

sesuai urutan sampai tidak ada lagi yang tidak berdekatan.

Langkah 3 Jika ada simpul yang belum berwarna, maka ulangi lagi langkah ke 2

dengan warna yang berbeda sampai semua simpul telah diberi warna.

Langkah 4 (selesai). Pewarnaan graf sudah selesai.

B. Polinomial Kromatik

Misal G merupakan graf sederhana, dan PG (k ) adalah banyak cara mewarnai

simpul G dengan k warna sedemikian hingga dua simpul yang berikatan mendapat

7

warna yang berbeda. Fungsi PG (k ) disebut polinomial kromatik G atau suku banyak

kromatik G .

Contoh berikut dapat menjelaskan alasan banyak pewarnaan-k dari G harus

menjadi polinomial dalam k, dengan k adalah bilangan bulat positif. Jadi:

Contoh 1

Gambar 3. Polinomial Kromatik pada Graf K3

K3 adalah graf lengkap-3. Simpul puncak K3 dapat diberi warna sembarang dari

k warna tersebut. Simpul di sebelah kirinya dapat diberi warna sembarang dari (k-1)

warna yang belum diberikan pada simpul puncak. Simpul di sebelah kanan simpul

puncak dapat diberi warna sembarang dari (k-2) warna yang belum terpakai.

Sehingga, banyak cara mewarnai K3 adalah k (k−1 ) (k−2 )atau PK3(k )=k (k−1 )(k−2)

(Wilson dan Watkins, 1989: 237, 238).

Contoh 2

Gambar 4. Polinomial Kromatik pada Graf P3

Jika G adalah lintasan graf P3 simpul paling kiri dapat diwarnai dengan sebanyak

k-warna, simpul tengah dapat diwarnai dengan k-1 warna selain warna yang

diberikan pada simpul kiri, dan simpul kanan dapat diwarnai dengan k-1 warna yang

sama dengan simpul tengah. Pemberian warna pada P3 tidak tunggal, sehingga jika

simpul tengah diberikan sebanyak k warna, maka simpul kiri diberi k-1 warna selain

warna yang diberikan pada simpul tengah, begitu juga pada simpul kanan diberi

warna sebanyak k-1 warna selain yang warna yang diberikan pada simpul tengah.

Sehingga, banyak cara mewarnai P3 adalah k (k−1 )2 atau PP3( k )=k (k−1 )2.

8

k k-1 k-1

G G e eG \ e

e

Berdasarkan contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa:

Jika G adalah pohon dengan n-simpul, maka PG (k )=k (k−1 )n−1.

Dari kesimpulan tersebut, didapat bahwa graf non-isomorfis mempunyai

polinomial kromatik yang sama.

Jika polinomial kromatik diketahui, maka bilangan kromatik suatu graf dapat

dihitung dengan mudah, karena bilangan kromatik graf G adalah bilangan bulat

positif terkecil k yang memenuhi PG (k )>0.

Jika cara untuk menentukan polinomial kromatiknya sudah ditemukan, maka

dapat diturunkan sebuah algoritma untuk menentukan bilangan kromatik.

Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa

k (k−1 ) (k−2 )=k (k−1 )2−k (k−1 )

Sehingga,

PG (k )=PG¿ (k )−PGο e (k )

dimana G, G \ e, dan G ο e seperti graf berikut:

Gambar 5. G, G \ e, dan G ο e

Dengan G \ e didapat dari G dengan menghapus rusuk e. G ο e didapat dari G

dengan memampatkan rusuk e. Gagasan tersebut menghasilkan sebuh teorema, yang

disebut Deletion-Contraction Theorem.

C. Pembuktian teorema Deletion-Contraction Theorem

Teorema

Misal G adalah graf sederhana, dan G \ e serta G ο e adalah graf yang diperoleh

dari G dengan menghapus dan memampatkan suatu rusuk e. Maka,

9

PG (k )=PG¿ (k )−PGο e (k )

Pembuktian:

Misal e = vw adalah rusuk dari G. G \ e adalah graf yang secara umum diperoleh

dengan menghapus rusuk e dan G ο e adalah graf yang diperoleh dengan

memampatkan rusuk e.

Jika simpul v dan w pada graf G \ e diberikan warna berbeda, maka banyak cara

mewarnai G \ e sama dengan banyak cara mewarnai G. Jika simpul v dan w pada graf

G \ e diberikan warna sama, maka banyak cara mewarnai G \ e sama dengan banyak

cara mewarnai G ο e. Sehingga, jumlah total pewarnaan-k untuk G \ e adalah

PG¿ ( k )=PG (k )+PG ο e (k )dan PG (k )=PG¿ (k )−PGο e(k)

Contoh:

Gambar 6. Pembentukan Polinomial Kromatik Graf G

10

Diperoleh bahwa:

PG (k )=[k (k−1 )3(k−2)−k (k−1 )2 ( k−2 )]−k (k−1)(k−2)(k−3)

¿k (k−1 ) (k−2 )(k2−4 k+5)

Karena PG (1 )=0 , PG (2 )=0 , dan PG (3 )=12 , dengan χ (G)adalah K minimal

sehingga PG (k ) > 0, maka χ (G )=3. (Wilson dan Watkins, 1989:240)

D. Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan

Ujian Kuliah dengan Metode Deletion-Contraction

Salah satu aplikasi pewarnaan simpul dalam kehidupan sehari-

hari adalah kasus penjadwalan ujian kuliah. Misalkan, terdapat 10

mahasiswa yang akan mengikuti ujian kuliah. Pada prodi

Matematika terdapat lima mata kuliah yang akan diujikan, yaitu

FPK, Aljabar Abstrak, Teori Graf, Sistem Geometri, dan Statistika

Matematika, mata kuliah tersebut disimbolkan secara berurutan

sebagai berikut A, B, C, D, dan E. Setiap mahasiswa memilih dua

mata kuliah yang berbeda, matriks mahasiswa dan mata kuliahnya

adalah sebagai berikut:

Tabel 2. Matriks Mahasiswa dan Mata Kuliah

A B C D E

1 0 1 0 1 0

2 1 1 0 0 0

3 0 0 1 0 1

4 0 0 0 1 1

5 1 0 0 1 0

6 0 1 0 1 0

7 1 0 1 0 0

11

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 0

10 0 0 0 1 1

Tentukan banyaknya jadwal ujian yang dapat dibuat sedemikian rupa sehingga

semua siswa dapat mengikuti ujian mata kuliah tersebut tanpa ada kesulitan waktu.

Solusi: Masalah penjadwalan ujian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan

metode pewarnaan simpul, dengan simpul mewakili mata kuliah dan rusuk antara dua

simpul mewakili bahwa ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah yang

diwakili simpul-simpul tersebut, sehingga ujian kedua mata kuliah yang diambil

mahasiswa tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan.

Masalah tersebut dapat dibuat dalam bentuk graf, yaitu sebagai berikut

Gambar 7. Graf Representasi Masalah Penjadwalan Ujian

Dengan menggunakan metode Deletion-Contraction, maka:

12

Gambar 8. Pembentukan Polinomial Kromatik dengan Metode Deletion-

Contraction

dengan polinomial Kromatiknya yaitu:

PG (k )=[k (k−1 )4−k (k−1 )3 ]−2 (k (k−1)3−k ( k−1 )2 )+k (k−1 ) (k−2 )

Karena PG (0 ) =0, PG (1 )=0, PG (2 )=0, dan PG (3 )=6, χ (G)adalah K minimal, sehingga

PG ( K )> 0.

Jadi, bilangan kromatik dari graf tersebut adalah 3.

Dari kesimpulan tersebut, terdapat 3 jadwal yang dapat dibuat agar setiap mahasiswa

tidak mendapatkan jadwal ujian dua mata kuliah yang diambil dalam waktu yang

bersamaan.

Untuk menentukan pewarnaan graf pada graf tersebut, akan di tentukan dengan

menggunakan Algoritma Welsh-Powell:

13

1. Memberikan label simpul v1 , v2 , v3 , v4 , v5 sedemikian sehingga

d (v1)≥ d (v 2)≥ d (v3)≥ d (v 4)≥ d (v 5)

2. Memberi warna merah pada simpul v1, karena v1 berikatan dengan v2, v3,

v4, dan v5 maka tidak ada simpul lain yang mempunyai warna yang sama

dengan v1.

3. Memberi warna biru pada simpul v2, berikan warna yang sama pada simpul-

simpul yang tidak berikatan dengan v2 yaitu v5.

4. Memberi warna hijau pada simpul v3, berikan warna yang sama pada simpul-

simpul yang tidak berikatan dengan v3 yaitu v4.

5. Karena semua simpul sudah diberi warna maka algoritma selesai.

14

Berdasarkan pewarnaan simpul dengan menggunakan algoritma Welsh-Powell,

maka peroleh:

simpul v1 diberi warna merah,

simpul v2dan v5 diberi warna hijau,

simpul v3dan v4 diberi warna biru,

sehingga terdapat 3 macam warna pada graf tersebut.

15

BAB IV

PENUTUP

A. KESIMPULAN

1. Berdasarkan pembahasan di atas maka Deletion-Contraction Theorem terbukti.

2. Penentuan banyaknya bilangan kromatik dengan metode Deletion-Contraction

Theorem yaitu: PG (k )=PG¿ (k )−PGο e (k )

3. Salah satu aplikasi penghitungan banyaknya cara memberikan warna simpul

yang menggunakan Deletion-Conttraction Theorem adalah pembuatan jadwal

ujian Prodi Matematika FMIPA UNY.

B. SARAN

Deletion-Contraction Theorem sebaiknya digunakan untuk menghitung

banyaknya pewarnaan simpul pada graf yang rumit.

16

DAFTAR PUSTAKA

----. ----. MateriPewarnaanGraf. Diakses dari http://www.itt elkom.ac.id pada Sabtu, 10 November 2012 pukul 7:08 PM

Devadas, Srini dan Eric Lehman. 2005. Graph Teory II. Diakses darihttp://files.myopera.com/m4th03/files/vertex_coloring_graph.pdf pada Sabtu, 10 November 2012 pukul 6:42 PM

Maaruf, Faridah. ----. Pengenalan Teori Graf. Diakses dari http://books.google.co.id/books?id=teQ1aMau9i8C&pg=PA113&lpg=PA113&dq=cara+menentukan+polinomial+kromatik&source=bl&ots=p9KCYF0gog&sig=yhqKLURDCZAsqHttx8zDlfdQ5zY&hl=id&sa=X&ei=fTqgUKvklcqVmQW4yYHQCA&ved=0CBoQ6AEwAA#v=onepage&q&f=falsepada Rabu, 14 November 2012 pukul 16.00 PM

Priatna, Nanang. ----. Pewarnaan Graf. Diakses dari http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196303311988031-NANANG_PRIATNA/Pewarnaan_Graph.pdf pada Rabu, 14 November 2012 pukul 16.00 PM

Wilson, Robin J.& John J. Watkins. 1990. Graphs: An Introducing Approach. Singapore

17