BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Untuk menggambarkan sebuah sistem yang dibangun oleh sejumlah partikel

dengan energi yang berbeda kita memerlukan fungsi distribusi. Fungsi distribusi ini

dibangun atas dasar jumlah keadaan mikro maksimal yang dapat dibuat dari setiap

keadaan makro yang kita munculkan.

Fungsi ditribusi ini erat kaitannya dengan keadaan sistem partikel yang

biasanya mendefinisikan variabel terukur yang didasari dengan memperhatikan energi

sistem tersebut. Sebuah sistem keadaan partikel tersusun oleh keadaan makroskopik

yang dibentuk oleh beberapa keadaan mikroskopik. Sistem makroskopik merupakan

suatu sistem yang menggambarkan banyaknya partikel yang dapat ditempatkan di

setiap tingkat energinya. Sedangkan keadaan mikroskopik merupakan keadaan sistem

yang menggambarkan banyaknya cara menempatkan partikel dari kondisi yang

ditentukan yaitu keadaan makroskopiknya.

Keadaan makro menggambarkan banyaknya partikel yang dapat ditempatkan

ditiap tingkat energinya. Sehingga fungsi distribusi ini akan menggambarkan cara

yang paling tepat untuk menempatkan sejumlah partikel (ni) dalam sistem yang kita

inginkan. Oleh karena itu beberapa variabel yang terkait dengan fungsi distribusi ini

adalah : energi tingkat (ei), degenerasi dari tingkat energi (gi) dan konstanta lagrange

a dan b. Oleh karena itu dapat dilihat keadaan partikel secara lebih umum.

Berdasarkan sifat kerapatan partikel dalam sisitem kita mengenal 2 jenis

partikel, yaitu:

a. Partikel terbedakan, partikel ini ditempatkan untuk sistem dengan

kerapatan yang kecil sehingga jika jumlah partikelnya sedikit dibanding

dengan ukuran volumenya kita dapat melihat perbedaan satu dengan lainnya,

misal sistem gas ideal dimana jarak antar partikel jauh lebih besar dari ukuran

partikel. Maka untuk Membedakan partikel dapat kita lakukan dengan mudah

dengan memberi nama a, b, c d, …

b. Partikel tak terbedakan merupakan kebalikan dari partikel

terbedakan,untuk sistem dengan kerapatan yang besar yaitu jumlah partikelnya

sangat banyak untuk ruang volume yang kecil, maka kita akan merasa

kesulitan dalam Membedakan satu dengan lainnya, misal sistem gas elektron

pada zat padat. Maka untuk menggambarkan distribusi partikelnya digunakan

simbol (titik).

Dalam beberapa sistem fisika, kita menemukan partikel dengan spin yang

berbeda, dalam hal ini kita akan mengelompokkan partikel dengan spin ½ (½

kelipatan ganjil) dan partikel dengan spin 1 ( ½ kelipatan bulat), keadaan spin ini akan

menimbulkan fungsi gelombang yang berbeda (simetri dan anti sismentri). Untuk

keadaan ini kita melihat ada partikel yang memenuhi kaidah Pauli yang menyatakan

bahwa tidak boleh lebih dari satu partikel memiliki bilangan quantum yang sama,

sebagai contoh: fermion, elektron bebas dalam logam, dan ada pula partikel yang

tidak memenuhi kaidah Pauli artinya ada beberapa partikel memiliki bilangan

kuantum yang sama, sebagai contoh: boson, helium cair dalam temperatur rendah,

foton dalam rongga.

Banyak sekali kasus-kasus fisika dalam tinjauan fisika molekul yang mampu

dijelaskan oleh distribusi statistik. Salah salah satunya adalah kasus kondensasi,

dimana kasus ini akan sangat tepat dijelaskan menggunakan fungsi distribusi Bose-

Einstein.

B. Rumusan Masalah

Sejalan dengan latar belakang diatas maka dirumuskan permasalahan berikut :

1. Bagaimana fungsi distribusi Bose-Einstein?

2. Bagaimanakah proses kondensasi?

3. Bagaimanakah aplikasi distribusi Bose-Einstein pada kasus kondensasi?

C. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan makalah ini adalah metode kajian pustaka

berupa buku cetak, buku elektronik dan artikel internet.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari Penulisan ini adalah mempelajari secara khusus aplikasi atau penerapan

distribusi statistik Bose Einstein pada proses kondensasi.

E. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat dari Makalah ini adalah sebagai referensi bacaan bagi para pembaca

dalam mempelajari aplikasi dari distribusi statistik bose einstein.

F. Sistematika Penulisan

Makalah ini menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut :

A. Pendahuluan Latar belakang

Rumusan Masalah

Metode Penulisan

Tujuan Penulisan

Manfaat Penulisan

Sistematika Penulisan

B. Pembahasan Kondensi Distribusi Statistik Bose Einstein Kondensi pada distribusi statistik Bose Einstein

C. Penutup Kesimpulan Saran

BAB II

PEMBAHASAN

A. Distribusi Statistik Bose Einstein

Dasar pembeda antara statistika Maxwell-Boltzmann dan statistika Bose-

Einstein ialah yang terdahulu mengatur partikel identik yang dapat dibedakan dengan

suatu cara tertentu, sedangkan yang mengatur partikel identik yang tidak dapat

dibedakan, walaupun partikel itu dapat dicacah. Dalam statistika Bose-Einstein,

semua keadaan kuantum dianggap berpeluang sama. Untuk sistem ini, fungsi keadaan

yang menggambarkan sistem partikel bersifat anti-simetrik terhadap pertukaran

elektron. Ada sistem yang mengandung partikel-partikel yang tak memenuhi prinsip

eksklusi Pauli. Artinya, jumlah partikel pada suatu keadaan kuantum tidak terbatas

sehingga fungsi keadaan yang menggambarkan sistem partikel adalah simetrik

terhadap pertukaran partikel. Partikel-partikel ini disebut boson.

Sekarang tinjau partikel boson di dalam rongga bervolume V dan temperature T.

spesifikasi keadaan mikro dengan r dan tingkat energi ɛr dengan r = 0, 1, 2, …..

Jumlah partikel di setiap keadaan adalah nr = 0,1,2,...,N. Hal yang membedakan dari

kasus foton adalah jumlah partikel boson yang berhingga N bukan tek berhingga dan

memenuhi persyaratan :

n1+n2 + n3 + … + …. = N ………………………………………………………..(1)

Selain itu, energi sistem juga memenuhi batasan :

n1ɛ1 + n2 ɛ2 + … + nr ɛr+ ….. = E ………………………………………………..(2)

Akibatnya, evaluasi bagi fungsi partisi

Z=∑n1

∑n2

…∑nr

…e−β (n1 ɛ 1+n 2 ɛ 2+…+n r ɛ r+… ..).....................................(3)

tidak sesederhana seperti hanya dalam kasus foton.

Karena evaluasi bagi fungsi partisi tidak sederhana maka diperlukan pendekatan

alternative untuk memperoleh fungsi disribusi bagi boson. Misalkan, tingkat

degenerasi keadaan ada gi dan jumlah partikel yang berada dalam keadaan tersebut

ada ni. Pertanyaannya, ada berapa cara yang mungkin dari partikel identik ini

menempati keadaan? Misal keadaan digambarkan seperti gambar berikut :

Banyaknya partikel tak terbedakan = n i = 20Banyaknya pembatas = g i - 1 = 11Banyaknya sel g i = 12

Untuk mencarinya, kita anggap deretan ni+ gi - 1 benda yang diletakkan dalam

gambar di atas. Kita perhatikan bahwa gi - 1 benda dapat dianggap sebagai pembatas

yang memisahkan gi selang, sedangkan seluruh deretan mengambarkan ni partikel yang

diatur dalam gi sel. Dalam gambar itu gi = 12 dan ni = 20; 11 pembatas memisahkan 20

partikel menjadi 12 sel. Sel pertama berisi dua partikel, yang kedua tidak ada, yang

ketiga satu partikel, yang keempat tiga partikel, dan seterusnya. Terdapat (n i+ gi - 1)!

Permutasi ni partikel diantara mereka dan (gi-1)! Permutasi dari gi- 1 pembatas yang

tidak mempengaruhi distribusi dan tak relevan. Jadi terdapat

(ni+gi−1 ) !ni!¿¿¿

……..................................................................................................(4)

cara yang relevan untuk menata (ni+ gi - 1) partikel dan pembata secara berlainan.

Jadi banyaknya cara W dari N partikel dapat didistribusikan pada semua tingkat

energi adalah

W =∏❑

(ni+gi−1 )!ni !¿¿¿

¿ ………….……………………………………………….. (5)

Dari banyaknya pengaturan yang berbeda dari partikel diantara keadaan

yangmemiliki energi tertentu. Kita anggap (ni+ gi) >> 1, Sehingga (ni+ gi - 1) dapat

diganti dengan (ni+ gi), dan dianggap mengambil logaritma natural dari persamaan (5)

didapatkan:

ln W = Σ[ln(ni+ gi)! − ln n ! − ln( gi −1)!] …………………………………….(6)

Rumus Strilling ln n! = n ln n – n memperbolehkan kita untuk menulis ln W sebagai

berikut:

Ln W = Σ[(ni+ gi ) ln(ni+ gi) –(ni+ gi) - ni ln ni + ni –(gi −1)ln(gi −1) + (gi −1)]

Ln W = Σ[(ni+ gi ) ln(ni+ gi) – ni ln ni – (gi −1) ln(gi −1)] ……………………..(7)

Persyaratan supaya distribusi ini berpeluang terbesar ialah perubahan kecil δni

dalam setiap ni individual tidak mempengaruhi harga W. Jika perubahan ln W yaitu δln

W terjadi ketika ni berubah dengan δni, persyaratan tersebut dapat ditulis sebagai

berikut:

δlnW max = 0

Jadi, jika W dari persamaan (7) menyatakan maksimum maka:δlnW max = Σ[δ(ni+ gi) ln(ni+ gi) + (ni+ gi) δln(ni+ gi) - δni ln ni - ni δln ni –

δ(gi −1) ln(gi −1) - (gi −1)δ ln(gi −1) ] = 0

δlnW max = Σ[δni ln(ni+ gi) + (ni+ gi) δln(ni+ gi) - δni ln ni - ni δln ni ] = 0

δlnW max = Σ[δni ln(ni+ gi) - δni ln ni ] = 0

δlnWmax= Σ[ln(ni+ gi) - ln ni ]δni = 0 ………………………………………………

(8)

Disini kita telah membahas fakta

δ ln n = 1/nδn

Seperti sebelumnya kita memasukkan kekekalan jumlah partikel dengan

menyatakan dalam bentuk

Σδni = 0

Dan kekekalan energi, dalam bentuk

Σεi δni = 0

Bagaimana dalam kasus perumusan sistem klasik, kendala jemlah partikel (1) dan

energi (2) tetap dikalikan konstanta α dan β,

[n1 α + n2 α + …+ nr α ]= α ∑i=1

r

ni = N α

[n1ɛ1β+n2ɛ2β+ … + nr ɛr β]=β ∑i=1

r

ni εi =E β ……………………………………(9)

Variasi kecilnya

α ∑i=1

r

δ ni =α dN = 0

β ∑i=1

r

δ ni εi = β dE = 0………………………………………………………… (10)

Karena jumlah total partikel dan energi tetap. Jumlahkan kendala ini terhadap (8)

didapatkan

δlnW max + α ∑i=1

r

δ ni + β ∑i=1

r

δ ni εi = 0

Σ[ln(ni+ gi) - ln ni ]δni + α ∑i=1

r

δ ni + β ∑i=1

r

δ ni εi = 0

Σδni[ln(ni+gi)-lnni+ α + βε i] = 0 ……………………………………………….(11)

Karena secara efektif δni bebas, maka kuantitas dalam tanda kurung harus nol untuk

setiap harga i. Jadi

ln(ni+gi)-ln ni + α + βε i = 0 ………………………………………………………(12)

ln ni+gi

ni + α + βε i = 0

ln ni+gi

ni = - (α + βε i)

ni+gi

ni

=e−(α+β εi)

1+g i

ni

=e−(α+β ε i)

ni=g i

e−(α+βεi)−1

B. Kondensi

Kondensasi atau yang sering disebut pengembunan adalah perubahan wujud

benda ke wujud yang lebih padat, seperti gas (atau uap) menjadi cairan. Kondensasi

dapat terjadi ketika uap didinginkan menjadi cairan, tetapi dapat juga terjadi bila

sebuah uap dikompresi (yaitu, tekanan ditingkatkan) menjadi cairan, atau mengalami

kombinasi dari pendinginan dan kompresi. Cairan yang telah terkondensasi dari uap

disebut kondensat. Sebuah alat yang digunakan untuk mengkondensasi uap menjadi

cairan disebut kondenser. Kondenser umumnya adalah sebuah pendingin atau penukar

panas yang digunakan untuk berbagai tujuan, memiliki rancangan yang bervariasi,

dan banyak ukurannya dari yang dapat digenggam sampai yang sangat besar.

Kondensasi terjadi pada saat energi partikel-partikel tersebut berada pada groundstate

sehingga partikel-pertikel tersebut tidak dapat berpindah tingkat energinya ke tingkat

energi yang paling rendah lagi.

C. Kondensi pada Distribusi Statistik Bose Einstein

Mari kita tengok kembali fungsi distribusi Bose-Einstein. Untuk mudahnya

kita gunakan skala energi sehingga tingkat terendah memiliki energi E0=0. Populasi

keadaan dengan tingkat energi sembarang diberikan oleh persamaan (1.53). Jumlah

populasi yang menempati tingkat energi terendah (E0=0¿ adalah

N (0 , T )= 1

exp (−μkT )−1

(1.54)

Pada suhu T→ 0 hampir semua sistem menempati keadaan dengan energi terendah.

Dengan demikian, jumlah populasi pada tingkat ini memiliki orde kira-kira sama

dengan jumlah total sistem, atau

N ≈ limT → 0

N (0 ,T )=limT →0

1

exp (−μkT

¿)−1(1.55)¿

Karena nilai N sangat besar (dalam orde 1023 ¿ maka ketika T→ 0 penyebut pada 1/[

exp (−μkT

¿)−1¿ harus menuju nol. Jika tidak maka 1/[exp (−μkT

¿)−1¿ tidak akan

menghasilkan nilai N yang sangat besar. Nilai [exp (−μkT

¿)−1¿ akan menuju nol

hanya jika exp (−μkT

¿)¿ menuju satu. Dari sifat fungsi eksponensial bahwa exp [x ]

mendekati 1 jika x→ 0. Jadi disimpulan bahwa pada T→ 0 akan berlaku μ

kT→ 0

maka dapat dilakukan aproksimasi

exp (−μkT )≈ 1−¿ μ

kT(1.56)¿

Jadi dapat diaproksimasikan sebagai berikut ini

N ≈ limT → 0

1

exp(−μkT

¿)−1=1

(1− μkT )−1

=−kT

μ

¿

Atau

μ=−kTN

(1.57)

Hubungan pada persamaan (1.57) menyatakan bahwa pada suhu T menuju 0 maka μ

berharga negatif dan merupakan fungsi linear dari suhu. Sebagai ilustrasi, pada T=1

K dan N= 1022 maka μ=−1,4 ×10−38erg. Ini adalah nilai yang sangat kecil. Bahkan

nilai ini jauh lebih kecil daipada jarak antar dua tingkat energi terdekat dalam

assembli atom helium di alam kubus dengan sisi 1 cm. Kebergantungan μpada suhu

itulah yang menyebabkan peristiwa kondensasi Bose-Einstein.

Agar lebih memahami fenomena kondensasi Bose-Einstein, perhatikan sistem-

sistem yang berada dalam kubus dengan sisi L. Tingkat-tingkat energi yang dimiliki

assembli memenuhi

E (nx ny nz )= ℏ2

2 M( π / L )2 (nx

2+ny2 +nz

2 )(1.58)

Tingkat energi terendah bersesuaian dengan nx=n y=nz=1, yaitu

E (111 )= ℏ2

2 M ( πL )

2

(1+1+1 )

Salah satu tingkat energi berikutnya bersesuaian dengan nx=n y=1 dan nz=2 yaitu,

E (112)= ℏ2

2 M ( πL )

2

(1+1+4 )

Selisih tingkat energi terendah dan tingkat energi berikutnya adalah

∆ E=E (111 )−E (112 )=3×ℏ2

2M ( πL )

2

Jika assembli tersebut adalah atom helium (M=6,6 × 10−24 g) dalam kubus dengan

sisi 1 cm maka ∆ E≅ 2,48× 10−30 erg.

Apabila kita prediksi populasi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama dan

tingkat energi terendah dengan menggunakan statistik Maxwell-Boltzman adalah

N1

N 0

=exp (−∆ EkT

)

Pada suhu T = 1 mK maka

N1

N 0

=exp(−2,48 ×10−30ergk ×10−3 K )≅ 1

Hasil diatas berarti bahwa pada suhu 1 mk, tingkat energi terendah dan eksitansi

pertama memiliki populasi yang hampir sama. Namun, dengan statistik Bose-

Einstein didapatkan hasil yang sangat berbeda. Dnegan asumsi N= 1020 dan suhu T=

1 mK maka kita peroleh

μ=−kTN

=−k ×10−3

1022 =−1,4 ×10−41erg

Jumlah populasi yang menempati tingkat energi eksitasi pertama (tepat di atas

tingkat energi paling rendah) adalah

N ( E1 ,T )= 1

expE1−μ

kT−1

Karena E0=0 maka E1=∆ E. Lebih lanjut, mengingat |μ|≪∆ E maka

E1−μ≈ E1=∆ E. Dengan demikian

N ( E1 ,T )= 1

exp∆ EkT

−1

1

exp( 2,48×1030

k ×10−3 )−1

=5× 1010

Dengan demikian, fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama adalah

N (E1)N

=5×1010

1022 =5 ×10−12

Tampak bahwa fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama amat kecil. Ini

berarti bahwa sebagian besar sistem berada pada tingkat energi terendah.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penulisan makalah ini dapat dapat disimpulkan :

1. Persamaan fungsi distribusi Bose-Einstein adalah ni=g i

e−(α+βεi)−1

2. Kondensasi adalah perubahan wujud benda ke wujud yang lebih padat, seperti gas

(atau uap) menjadi cairan akibat temperaturnya turun

3. Pada kasus kondensasi fungsi distribusi yang tepat untuk menjelaskannya adalah

Bose-Einstein

Fungsi distribusi yang paling tepat untuk menjelaskan proses kondensasi adalah

fungsi distribusi statistik Bose-Einstein

B. Saran