Udruženje matematičara Kantona Sarajevo Tel: ++ 387 33 279 874 Fax: ++ 387 33 649 342

Udruženje matematičara Kantona Sarajevo Zmaja od Bosne 33-35, 71000 Sarajevo, Bosna i Hercegovina

E-mail: umks2016@gmail.com Tel.: ++ 387 33 279 874 Fax: ++ 387 33 649 342 ID broj: 4202191060004

Transakcijski račun: 1610000156600012

Škola matematike za rad sa nadarenim učenicima

Test 1

Srednja grupa (težina E)

17. septembra 2016.

Zadatak 1. Neka su �, �, � i � realni brojevi, takvi da je � − � ≠ 0 i � − 3� ≠ 0.

a) Neka je 3�� + 3�� = 9��. Izračunati

� =� + �

� − �.

b) Neka je �� + 9�� = 7��. Izračunati

� =� + 3�

� − 3�.

Zadatak 2. Pronaći sva cjelobrojna rješenja

� + � = ��.

Zadatak 3. Neka je dat trougao ���. Neka je ∠��� = 45∘ i neka je ∠��� = 15∘. Produžimo ��

preko � do tačke takve da je � = 2 ⋅ ��. Spustimo normalu iz tačke na duž ��. Neka je

podnožje normale označeno sa �. Dokazati da je � centar opisane kružnice trougla ��, te izračunati

uglove tog trougla.

Zadatak 4. Tri igrača (A, B i C) igraju rukometa i to na način da jedan igrač brani, a dva igrača

pokušavaju postići pogodak. Igrač koji postigne pogodak ide na gol, i igra se ponavlja. Recimo, neka je

sada na golu igrač �, a napadaju �i �. Ukoliko igrač � postigne pogodak, on će braniti, dok će igrači � i

� pokušavati postići pogodak u idućoj igri.

Harun, Admir i Sead su igrali ovu igru. Nakon što su završili sa igrom, sreli su profesora Hasana i oni su

mu rekli da je Harun 12 puta napadao, Admir je napadao 21 put, a Sead je branio 8 puta. Profesor Hasan

je rekao da zna ko je postigao šesti gol.

Znate li vi ko je postigao šesti gol? Navedite ime igrača koji je postigao gol i dokažite da je vaš zaključak

ispravan.

Svaki zadatak nosi 25 bodova. Vrijeme za izradu zadataka je 120 minuta. Nije dozvoljena upotreba kalkulatora, mobitela, tableta i drugih uređaja. Težina: E – lagano, M – srednje , H – teško.

Sretno!

Udruženje matematičara Kantona Sarajevo Tel: ++ 387 33 279 874 Fax: ++ 387 33 649 342

Udruženje matematičara Kantona Sarajevo Zmaja od Bosne 33-35, 71000 Sarajevo, Bosna i Hercegovina

E-mail: umks2016@gmail.com Tel.: ++ 387 33 279 874 Fax: ++ 387 33 649 342 ID broj: 4202191060004

Transakcijski račun: 1610000156600012

Škola matematike za rad sa nadarenim učenicima

Test 1

Predolimpijska grupa (težina E)

17. septembra 2016.

Zadatak 1. Neka su �, �, � pozitivni realni takvi da je �� + �� + �� = 2. Dokazati da vrijedi

nejednakost:

��

� + �+

��

� + �+

��

� + �≥ 1.

Zadatak 2. Odrediti sve parove prirodnih brojeva (�, �) takvih da vrijedi 2� = �! + 304.

Zadatak 3. U konveksnom četverouglu ��� je ∡�� = ∡�� i simetrala ugla ∡��� siječe duž

� u tački . Dokazati da je �� = � + �� ako i samo ako je ∡�� = 90°.

Zadatak 4. Svaki prirodan broj je obojen ili u crveno ili u plavo, tako da su upotrijebljene obje boje.

Poznato je, ako je broj � crven, onda je i broj � + 10 crven, a ako je broj � plav, onda je i broj

� + 15 plav.

a) Dokazati da su za svaki prirodan broj �, brojevi � i � + 15 obojeni istom bojom.

b) Naći najmanji prirodan broj � za koji se može tvrditi da je među prvih � prirodnih

brojeva bar 400 njih crveno.

Svaki zadatak nosi 25 bodova. Vrijeme za izradu zadataka je 120 minuta. Nije dozvoljena upotreba kalkulatora, mobitela, tableta i drugih uređaja. Težina: E – lagano, M –srednje , H – teško.

Sretno!

Udruženje matematičara Kantona Sarajevo Zmaja od Bosne 33-35, 71000 Sarajevo, Bosna i Hercegovina E-mail: umks2016@gmail.com Tel.: ++ 387 33 279 874 Fax: ++ 387 33 649 342 ID broj: 4202191060004 Transakcijski račun: 1610000156600012

Škola matematike za nadarene učenike Test 1

Olimpijska grupa (težina E) 17. septembra 2016.

Zadatak 1. Neka su , , , realni brojevi. Naći maksimalnu moguću vrijednost izraza

min , , , Zadatak 2. Dokazati da ne postoje različiti(po parovima) prosti brojevi , , takvi da je broj

potpun kvadrat. Zadatak 3. Neka je trougao. Krug koji prolazi kroz i siječe duži i u tačkama i , respektivno. Prave i se sijeku u (tačka je bliža tački nego i bliža tački nego ), a prave i se sijeku u . Dokazati da je ako i samo ako je ∙ . Zadatak 4. Na tabli se nalazi prirodan broj 1. U svakom potezu Oklas zamijeni trenutno napisani broj sa ili sa , pri čemu je neki djelioc od veći od 1 i pritom broj napisan na ploči uvijek mora biti veći od 0(Npr. ako je broj 144 napisan na tabli na početku, Oklas izbriše 144 i napiše 144 9 153. Zatim izbriše 153 i napiše 153 17 136 i tako dalje). Da li za svaki prirodan broj Oklas može obezbijediti da se u jednom trenutku na ploči nalazi broj 2017? Svaki zadatak nosi 25 bodova. Vrijeme za izradu zadataka je 120 minuta. Nije dozvoljena upotreba kalkulatora, mobitela, tableta i drugih uređaja. Težina: E – lagano, M –srednje , H – teško. Sretno!