knjiga hidraulicni-transport recenzija 9

8/16/2019 Knjiga Hidraulicni-transport Recenzija 9

1/194

PREDGOVOR

Transport čvrstih materijala je veoma kompleksna oblast u okvirumehanike fluida. Čvrste čestice moguće je transportovati bilo gasnim bilotečnim radnim medijem. Svaki čvrsti materijal dat u disperznoj formi imarazličita transportna svojstva i prilikom projektovanja sistema transportapotrebno je poznavati ova svojstva. Knjiga se sastoji od šest poglavlja ipriloga.

Poseban naglasak dat je hidrauličkom transportu u prvom poglavlju gdjesu data uvodna razmatranja. U drugom poglavlju dat je kratak pregled

najvažnijih aspekata mehanike fluida, koji su važni za dizajn cjevovodahidrauličkog transporta, kao i opis fizičkih osobina hidromješavine kojesu neophodne za proračun cjevovoda hidrauličkog transporta. U trećempoglavlju je riječ o silama koje djeluju na tijelo uronjeno u tekući fluid, adat je i kratak osvrt na suspenziju čvrstih čestica u turbulentnom toku.Određivanje parametara strujanja, i u vezi s tim, istraživanje mogućnostikorišćenja hidrauličkog transporta za homogenu i heterogenuhidromješavinu opisane su u četvrtom i petom poglavlju. U šestompoglavlju su dati riješeni primjeri sa akcentom na najčešće primjene

hidrauličkog transporta u praksi, a u okviru poglavlja su prezentirani irezultati numeričkog modeliranja toka viskoplastičnog fluida pomoćumetode konačnih zapremina. Svrha izrade ovakve knjige je da posluži svima koji su uključeni u ovuproblematiku da steknu teorijska i praktična saznanja o fenomenimahidrauličkog transporta. Na taj način može i korisno da posluži kakostudentima energetsko-procesnog odsjeka Mašinskog fakulteta, tako istudentima na postdiplomskom studiju koji izučavaju ovu problematiku,kao i u praksi projektantima prilikom projektovanja hidrauličkog

transporta.

Sve dobronamjerne primjedbe i sugestije rado ćemo prihvatiti i uzeti uobzir prilikom pisanja drugog izdanja ako do njega bude došlo.

i


2/194


3/194

3.$ ,blik čestica........................................................................................................................................$5

3.5 *uspenzija čvrstih čestica u turbulentnom toku..............................................................................$#3.5.1 /rimjena na zatvorene )anale...........................................................................................................4'

3.' )rimjeri................................................................................................................................................51

4 STRUJANJE HOMOGENIH SUSPENZIJA..................................................6

$.1 Uvod.....................................................................................................................................................'+

$.2 Kriterij homo-enosti hidromješavine...............................................................................................'1

$.3 ,dreivanje brzine u prelaznom re"imu..........................................................................................'24.3.1 Bingamovi -lui!i.............................................................................................................................634.3.2 /seu!o"lastični -lui!i........................................................................................................................66

$.$ /aminarno strujanje...........................................................................................................................'&4.4.1 Bingamovi -lui!i.............................................................................................................................6'

4.4.2 /seu!o"lastični -lui!i........................................................................................................................#14.4.3 "&te )orelacije za nenjutnovs)e -lui!e...........................................................................................#1

$.5 0urbulentno strujanje.........................................................................................................................#24.5.1 Bingamovi -lui!i.............................................................................................................................#24.5.2 /seu!o"lastični -lui!i........................................................................................................................#5

$.' )rimjeri................................................................................................................................................#'

5 STRUJANJE NEHOMOGENIH SUSPENZIJA.............................................!6

5.1 Uvod.....................................................................................................................................................'

5.2 Kriterij hetero-enosti hidromješavine..............................................................................................#

5.3 ,dreivanje brzine talo"enja.............................................................................................................&5.3.1 estice uni-ormne veličine...............................................................................................................'5.3.2 estice razni veličina......................................................................................................................'2

5.$ ,dreivanje -ubitaka usljed trenja..................................................................................................&35.4.1 eterogene mje&avine čestica uni-ormne veličine...........................................................................'35.4.2 eterogene mje&avine čestica različiti veličina..............................................................................'45.4.3 ,lo%ene eteroomogene mje&avine..............................................................................................'5

5.5 )ad pritiska usljed trenja u horizontalnom cjevovodu...................................................................&'

5.5.1 eto!a 7uran!89on!oliosa..............................................................................................................'65.5.2 eto!a +orjunova............................................................................................................................'#

5.' )ad pritiska usljed trenja u vertikalnom cjevovodu.......................................................................&&

5.# )ad pritiska usljed trenja u kosom cjevovodu...............................................................................1++

5. )rimjeri..............................................................................................................................................1+1

iii


4/194

6 RIJE"ENI ZADACI......................................................................................19

'.1 )umpe za hidrauličnu mješavinu....................................................................................................1+&

'.2 jektori...............................................................................................................................................111

'.3 )rimjeri..............................................................................................................................................11#

# LITERATURA..............................................................................................161

INDEKS..............................................................................................................166

iv


5/194

NOMENKLATURA

s A stvarni presjek cjevovoda kroz koji prolaze

čestice m2

d prečnik čestice m

nd nominalni prečnik čestice mC zapreminski udio (koncentracija) na

rastojanju y

AC koncentracija u proizvoljnoj referentnoj

ravni na visini a, npr. centar cijevi/ AC C odnos koncentracija čvrste faze na

rastojanju 0,08D od vrha prema

centru cijevivC zapreminska koncentracija %

,vverC predstavlja koeficijent protočnosti

protočnog presjeka za čestice

wC težinska koncentracija %

D prečnik cijevi m

50d srednja veličina čestica čvrste faze μm

maxd maksimalna veličina čestica čvrste faze μm

mE koeficijent prenosa količine kretanja

sE koeficijent prenosa mase

LF modifikovani Froudov broj f koeficijent trenjag ubrzanje zemljine teže m/s2

gh visina gubitaka m

mi hidraulični nagib cjevovoda pri strujanju

v


6/194


7/194

ε apsolutna hrapavostΦ zapreminski udio čvrstih čestica

Dϕ dopunski hidraulički nagib cjevovoda

zbog prisustva čvrstih česticaη

dinamički viskozitet suspenzije Pa⋅s pη koeficijent korisnosti pumpe

λ koeficijent trenja µ dinamički viskozitet Pa⋅s

e µ koeficijent protoka ejektoraν kinematski viskozitet m2/s

f ρ gustina fluida kg/m3

s ρ gustina čvrstih čestica kg/m3

wτ tangencijalni napon na zidu N/m2

*lika 1.1 Kritična brzina 4 hetero-enih6 7 homo-enih mješavina.....................................................3*lika 1.2 aspored čestica za različite tipove hidromješavine...................................................................$*lika 2.1 8ematski prikaz strujanja kroz cijev............................................................................................'*lika 2.2 9avisnost -ubitaka usljed trenja od brzine za strujanje kroz cijev...........................................&*lika 2.3 )romjena koe%icijenta trenja u zavisnosti od e!noldsovo- broja..........................................1+*lika 2.$ Gra%ički prikaz laminarno- strujanja izmeu paralelnih ploča..............................................11*lika 2.5 )ro%il brzine za laminarni i turbulentni re"im strujanja u cijevi.............................................12*lika 2.' (aktor trenja za turbulentno strujanje kroz cijevi....................................................................1$*lika 2.# Granični sloj preko ravne ploče...................................................................................................15*lika 2. azvoj -ranično- sloja pri laminarnom stujanju kroz cijev....................................................1'*lika 2.& :eprekidan zapis trenutne brzine neko- stacionarno- turbulentno- stujanja u odreenoj

tački u pravcu jedne ose.....................................................................................................................1#

*lika 2.1+ *kica %luidno- elementa..............................................................................................................1*lika 2.11 Gra%ički prikaz de%inicije du"ine miješanja.............................................................................1&*lika 2.12 /o-aritamski raspored brzine i raspored brzine u viskoznom podsloju u poreenju sa

:ikuradseovim eksperimentalnim rezultatima................................................................................22*lika 2.13 9avisnost tan-encijalno- napona od -radijenta brzine..........................................................2*lika 2.1$ 9avisnost prividno- viskoziteta od -radijenta brzine kod vremenski zavisnih

nenjutnovskih %luida...........................................................................................................................31*lika 2.15 )ro%il brzine za 7in-hamov %luid u cijevi.................................................................................31*lika 2.1' 9avisnost tan-encijalno- napona od -radijenta brzine..........................................................32*lika 3.1 )romjena koe%icijenta otpora u zavisnosti od e!noldsovo- broja za s%erne čestice....... ..... .$1*lika 3.2 )romjena e!noldsovo- broja u zavisnosti od ;


8/194


9/194

1 UVOD

U zavisnosti od vrste transportnog medija transport čvrstih materijala

može biti hidraulički, ako se kao medij koristi voda ili pneumatski, ako jemedij vazduh. Hidraulički transport se koristi za transport sirovina, jalovine, pepela i drugih čvrstih sipkavih materijala koji sa vodom nestupaju u hemijsku reakciju dok se materijali koji se rastvaraju u vodi ne

bi trebali transportovati na ovaj način.

Transport pijeska, blata, balvana i drugih materijala riječnim tokovimapredstavljaju tipične primjere hidrauličkog transporta koje susrećemo uprirodi i koji je dao ideju korišćenja vode kao transportnog sredstva(medija) za transport čvrstih materijala. Određivanje parametara

strujanja, i u vezi s tim, istraživanje mogućnosti korišćenja hidrauličkogtransporta za organizovani transport nekog čvrstog materijala predstavljacilj ove knjige.

1.1Karakteristike hidraulične mješavine

Strujanje mješavina čvrstih čestica i tečnosti u cjevovodima razlikuje seod strujanja čiste tečnosti u nekoliko aspekata. Kod tečnosti kompletan

raspon brzina je moguće ostvariti i priroda strujanja (laminarno iliturbulentno) može se opisati preko poznatih fizičkih osobina fluida icjevovoda. S druge strane, opis strujanja mješavine nije tako jednostavaniz dva razloga. Kao prvo, pored osobina fluida dodatno se moraju uzeti uobzir osobine čvrstih čestica u mješavini kao i tih čestica na osobinemješavine. Kao drugo, moguće je dobiti širok opseg ponašanjahidraulične mješavine u zavisnosti od pojedinačnih uslova što se najboljemože ilustrirati ako se uzmu u obzir dva krajnja slučaja koji se moguprepoznati pri strujanju hidraulične mješavine: homogeno strujanje iheterogeno strujanje.

Homogeno strujanje je izraz za mješavine kod kojih su čvrste česticeuniformno raspoređene u transportnom mediju. Homogeno strujanje ilinjegova aproksimacija susreću se kod hidrauličkih mješavina sa visokomkoncentracijom i malim dimenzijama čvrstih čestica. Prisustvo čvrstihčestica ima veliki uticaj na osobine sistema, često rezultujući izraženimpovećanjem viskoziteta u odnosu na transportni medij. Često ovi sistemi

1


10/194

pokazuju nenjutnovske karakteristike koje moraju biti prepoznate da bise strujanje moglo tačno opisati. Inercijalni efekti čvrstih čestica suzanemarivi kod homogenog strujanja. Tipični primjeri suspenzija koje seponašaju manje ili više kao homogene mješavine su mulj u kanalizaciji,mulj iz bušotina, koncentrovane suspenzije finog krečnjaka priproizvodnji cementa.

Heterogeno strujanje je karakteristično za mješavine kod kojih čvrstečestice nisu ravnomjerno raspoređene u transportnom mediju i prihorizontalnom transportu javljaju se gradijenti koncentracije duž

vertikalne ose cijevi, čak i pri većim brzinama. Inercijalni efekti čestica suznačajni tako da čvrsta i tečna faza u velikoj mjeri zadržavaju svojepojedinačne karakteristike tako da je i povećanje viskoziteta mješavine uodnosu na transportni medij obično veoma malo. Heterogene mješavine

obično imaju manju koncentraciju i veće dimenzije čvrstih čestica uodnosu na homogene mješavine.

1.2Kritična brzina

Na slici 1.1 prikazana je tipična zavisnost gubitaka usljed trenja i brzineza homogene i heterogene mješavine. Kriva 'A' je tipična za heterogenemješavine. Pri većim brzinama, kada je kretanje čvrstih čestica potpuno,

zavisnost pada pritiska ∆p od promjene brzine teži poziciji koja jeparalelna onoj zavisnosti koja se javlja kod transportnog medija, adistribucija čestica bi bila kao na slici 1.2 za potpunu suspenziju. Sapadom srednje brzine u cijevi neravnomjerna raspodjela čvrstih čestica ucijevi sve više i više dolazi do izražaja sve dok se u određenom trenutkune počne javljati nepokretni ili pokretni sloj na dnu cijevi kao što se vidina slici 1.2 za sub-kritične brzine (na slici 1.1 gdje je prikazanazavisnost∆p – log V to je zakrivljeni dio krive A). Ovdje treba naglasiti dase radi o horizontalnom strujanju, a to je bitno zato što se kod

vertikalnih cijevi transport čvrstih čestica obavlja relativno lako zato što

su brzine taloženja čestica obično dosta manje od uobičajenih brzinastrujanja mješavine.

Brzina pri kojoj počinje formiranje sloja čvrstih čestica naziva sekritična brzina taloženja (VD). Zato što se kao transportni medij najčešće koristi voda koja je u normalnim uslovima strujanja najčešće u turbulentnomrežimu, brzina taloženja u heterogenim suspenzijama je fenomen koji se

2


11/194

skoro uvijek odnosi na turbulentno strujanje. Ona je direktno zavisna od brzine taloženja čestica i od stepena turbulencije sistema, što drugimriječima znači da brzina taloženja zavisi od krupnoće čestica, gustinečestica i koncentracije čvrste faze. Brzina taloženja se takođe povećava sapovećanjem prečnika cijevi. Važnost brzine taloženja se ogleda u tome štoona predstavlja donji limit sigurnog rada transportnog sistema. Niže

brzine mogu dovesti do formiranja sloja na dnu cijevi sa odgovarajućimporastom gubitaka usljed trenja koji su veoma često fluktuirajući. Ako je

brzina dovoljno mala može doći do začepljenja cjevovoda.

Kriva 'B' na slici 1.1 pokazuje zavisnost∆p – log V za homogenesuspenzije. Zavisnost je slična kao kod jednofazne tečnosti i linearna je upodručju turbulentnog režima i kao što se vidi sa slike nagib krivulje jedosta mali u laminarnom režimu. U ovom slučaju kritična brzina

odgovara prelazu iz turbulentnog u laminarni režim strujanja i za nju sekoristi izrazkritična brzina prelaza (Vt). Ova brzina u velikoj mjeri zavisiod reoloških parametara mješavine kao što su gubici usljed trenja. Sapovećanjem viskoziteta hidraulične mješavine, kao i sa povećanjemkoncentracije čvrstih čestica dolazi i do povećanja vrijednosti kritične

brzine Vt. Smanjenje krupnoće čvrstih čestica takođe dovodi do

povećanja vrijednosti kritične brzine Vt. Kod mješavina sa početnimnaponom koji je potreban da bi se ostvario tok, na brzinu Vt u manjojmjeri utiče prečnik cijevi nego što je to slučaj kod Njutnovog fluida.

VD

Vt

VD- tipična krivulja kritične brzine taloženja

Vt- tipična krivulja kritične brzine prelaza

log V

AB

3


12/194

Slika 1.1 Kritična brzina: A – heterogenih, B – homogenih mješavina

Dizajn nekog sistema hidrauličkog transporta ispod kritične brzine Vtradi se za stvarno homogene suspenzije i u tom slučaju treba voditiračuna da ne dođe do pojave turbulencije, treba održavati stabilnostsistema tj. obezbijediti konstantan pritisak na izlazu. Gore navedeneuslove je dosta teško održavati tokom vremena za izrazito duge cjevovodei zato se često ima osjećaj da za duža rastojanja treba dizajnirati sistemeza turbulentno strujanje.

Mnoge hidraulične mješavine koje se susreću u praksi su dvojakogkaraktera tako da posjeduju osobine i homogene i nehomogene

mješavine. Dio sitnijih čestica čvrste faze formira homogenu mješavinu satransportnim medijem, dok dio krupnijih čestica čvrste faze formiraheterogenu suspenziju u toj mješavini. Cjevovodi za hidraulični transportuglja su primjer navedenog složenog ponašanja hidromješavine.

Slika 1.2 Raspored čestica za različite tipove hidromješavine

Formiranje pokretnog sloja Prelaz u laminarno strujanje

Potpuno kretanje

Subkritične brzine

Potpuna suspenzija

HIDROMJEŠAVINA SA

KONTROLOM TALOŽENJA

HIDROMJEŠAVINE SA

KONTROLOM VISKOZNOGPRELAZA

Turbulentno strujanje

4


13/194

2 OSNOVNE VELIČINE KOJE OPISUJU STRUJANJE

FLUIDA I SUSPENZIJA U CIJEVIMA

2.1Uvod

U ovom poglavlju dat je kratak pregled najvažnijih aspekata mehanikefluida koji su bitni i za dizajn cjevovoda hidrauličkog transporta.Uzimajući u obzir obim materije koji se izučava u okviru mehanike fluidaovdje ćemo se zadržati samo na određene oblasti a u nekim slučajevimarigorozni naučni pristup nekom problemu je zamijenjen uprošćenim radifizikalne jasnoće i jednostavnosti objašnjenja.

2.2Gubitak pritiska pri strujanju kroz cijevi

5


14/194

Fluid prilikom strujanja posjeduje potencijalnu i kinetičku energiju. Tokom strujanja fluida dolazi do gubitka pritiska usljed trenja o zidovecijevi. Mjerenje gubitaka pritiska usljed trenja postiže se upoređivanjemukupne enegije u dvjema tačkama toka. Rezultujući gradijent pritiskaobično se prikazuje kao odnos razlike pritisaka i rastojanja izmjeđu dvijetačke, tj.∆p/L. Pri projektovanju cjevovoda od ključne važnosti jepoznavanje gubitaka usljed trenja i promjene u potencijalnoj energiji zatošto taj gubitak pritiska diktira izbor odgovarajuće veličine pumpe.

Pretpostavimo stacionarno strujanje fluida kroz horizontalnu cijevkružnog poprečnog presjeka kao što je prikazano na slici 2.1. Srednja

brzina je U, prečnik cijevi D i razlika pritisaka između tačaka '1' i '2' kojese nalaze na rastojanju L iznosi (p1 – p2). Pad pritiska u fluidu reflektujesilu koja uzrokuje strujanje fluida i dok god je strujanje stacionarno ta

sila mora biti u ravnoteži sa smičućom silom istog intenziteta nazidovima cijevi. Ako smičući napon na zidovima cijevi obilježimo saτ w,onda sila koja djeluje na fluid na zidovima cijevi mota biti -τ w A ili·

LDw ⋅⋅⋅− π τ

Negativni predznak pokazuje da se radi o sili koja djeluje u smjerusuprotnom strujanju fluida. Sila koja djeluje na fluid zbog razlikepritisaka je +(p1 – p2)A ili·

( )2124

p pD −π

gdje su:

D prečnik cijevi,p1 i p2 pritisak u presjeku '1' odnosno '2',L rastojanje između presjeka '1' i '2'.

D

τ

w

τ

w p2

p1

L

6


15/194

Slika 2.3 Šematski prikaz strujanja kroz cijev

Pošto vladaju stacionarni uslovi suma gore navedene dvije sile iznosinula, tako da se može napisati:

( ) 04

212 =−+⋅⋅⋅− p pDLDw

π π τ

ili

( )L

p pDw

4

21−

=τ

Izraz 2.1 jednostavno pokazuje da smičući napon na zidovima cijeviustvari prikazuje gubitke usljed trenja na drugi način. U ovoj knjizi, ismičući napon na zidovima cijevi i pad pritiska (gradijent pritiska) će sekoristiti za opisivanje gubitaka pritiska. Na isti način kao što smo dobiliizraz 2.1 možemo dobiti i izraz za smičući napon na bilo kom rastojanjuod centra (poluprečniku) cijevi:

2

pr

Lτ

∆=

pa se može napisati:

R

rwτ τ =

Smičući napon u centru cijevi je jednak nuli.

2.3Reynoldsov broj. Režimi strujanja

Ranije je rečeno da brzina fluida koji struji kroz cijev ima veliki uticaj naparametre koji opisuju to strujanje. Ako je brzina strujanja fluida unekom određenom cjevovodu ispod neke određene kritične vrijednostionda je strujanje u cijevi laminarno, a ako je s druge strane brzina fluidaiznad te kritične vrijednosti onda je strujanje turbulentno. Promjena

7


16/194

režima strujanja iz laminarnog u turbulentni rezultuje u velikompovećanju otpora strujanju i uzrokuje promjenu načina na koji gubiciusljed trenja variraju sa promjenom srednje brzine.

Reynolds je primijenio dimenzionalnu analizu pri izučavanju fenomenaprelaska iz laminarnog u turbulentno tečenje fluida i zaključio da se tajprelaz (tranzicija) javlja pri fiksnoj vrijednosti bezdimenzionalne grupekoja je po njemu nazvana Reynoldsov broj i definisan je kao:

trenjasile

sileeinercijalUDUD

nRe ===

ν µ

ρ

gdje su:

ρ

gustina fluidaU srednja brzina strujanjaν kinematski viskozitet µ dinamički viskozitetD hidraulički prečnik cijevi

Za strujanje kroz cijevi kritični Reynoldsov broj je 2300 do 2800. Iako seu nekim izuzetnim slučajevima može postići laminarno strujanje i pridosta većim Re, za većinu praktičnih situacija se uzima da laminarnostrujanje postaje nestabilno za vrijednosti Re > 2300 i mali poremećaji

dovode do prelaza iz laminarnog u turbulentno strujanje.

Vrijednost Re pri kojioj se javlja prelaz (tranzicija) zavisi od geometrijskekonfiguracije kroz koju struji fluid. Na primjer, Davis i White [47] dajukritičnu vrijednost Re za strujanje između paralelnih ploča:

700hU ρ

µ =

gdje je h jednako polovini rastojanja između ploča.

Bilo je više pokušaja da se dođe do parametra koji je sveobuhvatniji odReynoldsovog broja i koji je nezavizan od geometrijske konfiguracije.Lohrenz i Kurata [48] su pokušali da definišu ekvivalentni prečnik (D)koji kada se primijeni u konvencionalnim izrazima za Re i za faktortrenja, omogućava da se laminarno strujanje za cijevi, paralelne ploče i

8


17/194

koncentrične cijevi prikaže jednom relacijom. Ova metoda uzima u obzircijevi i paralelne ploče kao dva krajnja slučaja i koriste se sljedeće

vrijednosti za D:

Za cijevi:

D = D (prečnik cijevi)

Za paralelne ploče:

2/1

3

32

= hD

gdje je h polovina rastojanja između ploča.

Za koncentrične cijevi:

22

1

2

02 mrrrD −+=

gdje su:

r0 vanjski poluprečnikr1 unutrašnji poluprečnik

( )10

21

20

/log3.2 rr

rrrm

−=

Gore navedena formulacija je veoma pogodna sa inžinjerske tačkegledišta gdje je mnogo bitnije prepoznati samo postojanje prelaza odnjenog kvantificiranja.

Promjena gubitaka usljed trenja u odnosu na srednju brzinu strujanja ucijevi je data na slici 2.2. Gubici su prikazani kao smičući napon nazidovima cijevi wτ (definisani izrazom 2.1). Pri manjim brzinama odnos jetipičan za laminarni režim strujanja: prilično prava linija sa nagibom koji

je jednak jedinici. Sa povećanjem brzine javlja se prelazni režim koji sadaljim povećanjem brzine prelazi u turbulentni režim sa linearnomzavisnošću i nešto većim nagibom koji iznosi 1,75.

9


18/194


19/194

Iz izraza 2.10 se vidi da faktor trenja f predstavlja odnos sila trenja iinercijalnih sila i njegova vrijednost zavisi od uslova strujanja, tj. od

vrijednosti Reynoldsovog broja. Na slici 2.3 prikazana je promjena faktora f u zavisnosti od Reynoldsovog broja. U laminarnom režimu postojidosta izražena linearna zavisnost. Povećanjem Reynoldsovog broja prolazise kroz prelazni (tranzicijski) režim. Sa daljim povećanjem dolazi douspostave turbulentnog režima strujanja sa dosta blažom linearnomzavisnošću.

Slika 2.5 Promjena koeficijenta trenja u zavisnosti od Reynoldsovog broja

za cijevi sa glatkim zidovima

2.4.1 Laminarno strujanje

Na slici 2.4 prikazane su dvije paralelne ploče na međusobnomrastojanju h. Donja ploča je fiksirana dok se gornja ploča kreće

uniformnom brzinom U. Ako predpostavimo da je uspostavljenostacionarno stanje u laminarnom režimu strujanja tangencijalni(smičući) napon wτ koji se javlja na zidovima donje ploče u smjeru

brzine U može se definisati kao:

h

Uw µ τ =

loge

log%

2300 2800

Laminarno

Prelazna oblast

Turbulentno

11


20/194

Izraz 2.11 je poznat kao Newtonov zakon, a fluidi koji mu se pokoravajuzovu se Newtonovi fluidi. µ predstavlja dinamički viskozitet i on je dat zaodređen fluid na određenom pritisku i temperaturi. Relativna brzinaizmeđu fluida i čvrste granice na kontaktnoj površini (na zidu) iznosinula. Zato je fluid koji je u kontaktu sa donjom pločom u stanjumirovanja dok fluid u kontaktu sa gornjom pločom ima brzinu U kao što

je prikazano na slici 2.4. Brzina se mijenja linearno između dvije pločetako da je na nekom proizvoljnom rastojanju y od donje ploče brzina ukoja je paralelna uniformnoj brzini U data izrazom:

h

Uyu=

Gradijent brzine tada je:

h

U

dy

du=

Iz ovoga se vidi da je izraz 2.11 ustvari definicija viskoziteta, tj.:

dy

du

τ µ =

Izraz 2.11 je specifičan za strujanje između dvije paralelne ploče dok jeizraz 2.14 opšti i primjenjiv je bez obzira na geometriju toka. Zalaminarno strujanje kroz cijevi moguće je izvesti sljedeću relaciju kojapredstavlja odnos između gubitaka usljed trenja i srednje brzine toka:

2

32

D

U

L

p µ =∆

UU

=

U u y

hyh

τ

w

12


21/194

Slika 2.6 Grafički prikaz laminarnog strujanja između paralelnih ploča

Izraz 2.15 može se napisati na sljedeći način:

D

U

D

UL

pD

w

884 τ µ =

∆

=

Gornji izraz predstavlja odnos smičućeg napona na zidu i gradijentasrednje brzine i predstavlja izraz za strujanje kroz cijevi koji odgovaraizrazu 2.11 za strujanje između paralelnih ploča.

Kada izraz 2.16 uvrstimo u izraz 2.9 za faktor trenja dobijamo:

Re

1616 == ρ

µ

DU f

Iz izraza 2.17 može se zaključiti da faktor trenja za laminarno strujanjekroz cijev zavisi samo od Reynoldsovog broja.

2.4.2 Turbulentno strujanje

Ponašanje fluida u laminarnom režimu se dosta razlikuje od onog uturbulentnom režimu strujanja.

TurbulentnoLaminarno

usrednje

Umax U

max

usrednje

13


22/194

Slika 2.7 Profil brzine za laminarni i turbulentni režim strujanja u cijevi

Kao prvo, profil brzine se znatno razlikuje kao što se može vidjeti na slici

2.5. Laminarni profil brzine je u cjelini paraboličan, i odnos srednje brzine prema maksimalnoj je oko 0,5. Turbulentni profil brzine je dostazatupljen i njegov stvarni oblik zavisi od Reynoldsovog broja datog toka.Za više Reynoldsove brojeve odnos srednje prema maksimalnoj brzini jeoko 0,85.

Kao drugo, ako su svi ostali parametri isti, otpor strujanju (gubici usljedtrenja) je puno izraženiji kod turbulentnog strujanja. Porast gubitakausljed trenja sa porastom brzine su također izraženiji kod turbulentnogstrujanja.

Kao treće, kod turbulentnog strujanja gubici usljed trenja zavise odhrapavosti cijevi, dok kod laminarnog strujanja to nije slučaj.

Kod turbulentnog strujanja faktor trenja je definisan na istoj osnovi kao iza laminarno strujanje, prema izrazu 2.9. Prema Blasiusu (1913), zaReynoldsove brojeve do 80.000, faktor trenja može se predstavitisljedećim izrazom:

( ) 25.0Re079,0= f

Kasnije je Nikuradse [49] svojim istraživanjima potvrdio valjanost izraza2.18 i proširio ga za vrijednosti Reynoldsovog broja do 3·106:

14


23/194

237,0Re

0553,00008,0 += f

Faktor trenja također zavisi i od „relativne hrapavosti“, odnosno:

=

d fun f

ε Re,

gdje jeε apsolutna hrapavost, a u izrazu , za određivanje Reynoldsovog broja, koristiće se hidraulički prečnik cijevi Dh.

Colebrook [50] je predložio sljedeći izraz za komercijalne cijevi:

+−+=

f

DD

f Re2

35,91log448,3

2

log41

ε ε

Izraz 2.21 ima široku primjenu i predstavlja osnovu za izradu modernihdijagrama faktora trenja. Jedan od takvih dijagrama je dat na slici 2.6. ipredstavlja grafički prikaz izraza 2.17, 2.19 i 2.21 i često se upotrebljavapri proračunu strujanja kroz cijevi.

15


24/194

Slika 2.8 Faktor trenja za turbulentno strujanje kroz cijevi

2.5Granični sloj

Prandtl [51] je postavio teoriju graničnog sloja. U svojoj teoriji onobjašnjava da kada se neki viskozni fluid kreće u odnosu na neku čvrstugranicu, brzina sloja tog fluida koja je blizu čvrste granice je prigušena.Na samoj čvrstoj granici fluid se nalazi u stanju mirovanja. To znači dapostoji tanki sloj ili film fluida u blizini čvrste granice u kojem jestrujanje laminarno čak i onda kada je strujanje fluida u cjeliniturbulentno. Na spoljašnjoj ivici graničnog sloja fluid u osnovi ima brzinuslobodnog toka. Izvan graničnog sloja strujanje se može smatratineviskoznim, tj. uticaji viskoziteta trebaju biti uzeti u obzir samo unutar

graničnog sloja.

2.5.1 Razvoj graničnog sloja

Pretpostavimo situaciju kao na slici 2.7. gdje je prikazana ravna pločasmještena u uniformni tok nekog fluida. U početnom dijelu ploče

Laminarno

strujanje

0,000001D

0,000005D

e

64

Rlaminarno strujanje f

Relativna

hrapavost

Faktor

trenja

f

Kritična

zonaPrelazna

zona

Glatka cijev

Reynoldsov broj Re

Razvijena turbulencija (hrapava cijev)

16


25/194


26/194

ulaza u cijev. U tom ulaznom dijelu granični sloj se povećava dok neispuni cijelu cijev. U dijelu koji slijedi iza toga profil brzine je konstantan iza tok se kaže da je „u potpunosti razvijen“. Rastojanje potrebno da dođe

do potpuno razvijenog toka eL zavisi od karakteristika samog toka. Za

laminarno strujanje eL je funkcija Reynoldsovog broja i prečnika cijevi:

0,028 ReeL D=

Slika 2.10 Razvoj graničnog sloja pri laminarnom stujanju kroz cijev

Za turbulentno strujanje ulazna dužina eL je nezavisna od Reynoldsovog

broja i približno je jednaka dužini 50 prečnika cijevi.

2.5.2 Brzina smicanja

Brzina smicanja je termin koji se upotrebljava u teoriji i analiziturbulentnog strujanja u cijevi. Ona se definiše kao:

* wU τ

ρ =

Uvođenjem koncepta brzine smicanja *U i korišćenjem rasporeda brzine

u bezdimenzionalnom obliku pomoću odnosa *u

U i relativnog rastojanja

od zida*Uy

yν

+ = , Prandtl je transformisao izraz 2.22 da i dobio sljedeću

relaciju:

18


27/194

( )1/7

*8,73

uy

U

+=

gdje jeu brzina toka na rastojanjuy od zida cijevi. Ovo je zakon 1/7 kojidaje vezu između brzine u određenoj tački i rastojanja te tačke od zidacijevi.

Koristeći definiciju za faktor trenja 2.9 i izraz za brzinu smicanja 2.24može se dobiti relacija koja daje vezu između brzine smicanja, faktoratrenja i srednje brzine strujanja:

*

2

fU U=

2.5.3 Reynoldsovi naponi

Ako bi za određeni vremenski period bilježili vrijednosti trenutne brzinenekog stacionarnog turbulentnog strujanja u pravcu jedne ose dobili

bismo rezultat sličan onom prikazanom na slici 2.9. Fluktuacije sedešavaju oko vrijednosti srednje brzine toka i njihova tipična vrijednost jeoko 10 % srednje brzine.

Slika 2.11 Neprekidan zapis trenutne brzine nekog stacionarnog turbulentnog

stujanja u određenoj tački u pravcu jedne ose

Vrijeme (t)

Brzina(u)

Trenutna brzina

Srednja brzina

19


28/194

Na slici 2.10 prikazan je fluidni element u nekom turbulentnomstrujanju. Stujanje u cjelini se odvija u pravcu X ose. Međutim, zbogprirode turbulentnog toka postoje i fluktuirajuće komponente brzine i upravcima Y i Z ose. Sa slike 2.10 može se zaključiti da se trenutna brzinau određenom trenutku može napisati kao suma srednje brzine toka ifluktuirajućih komponenti tako da je brzina u pravcu X ose:

'u U u= +

na isti način brzina u pravcu Y ose je:

'v V v= +a brzina u pravcu Z ose je:

'w W w= +gdje suu,v iw komponente trenutne brzine u pravcu X, Y i Z ose.

Srednje brzine strujanja za date pravce suU,V iW . Fluktuirajuće

brzine su obilježene sa primovima 'u, 'v i 'w . Pošto razlikujemo trikomponente brzine, onda postoje i tri komponente sile na površini xzδ δ

(u pravcu Y-ose), jedna normalna i dvije tangencijalne:

( )' 'v xzv ρ δ δ

( ) ( )' ' 'v xzv U u ρ δ δ +( )' 'v xzw ρ δ δ

Kada se gore navedene sile podijele sa površinom i izračuna se srednja vrijednost dobiju se tri napona:

Normalni napon: 2'v ρ

Tangencijalni napon u X-pravcu: ''uv ρ

Tangencijalni napon u Y-pravcu: ' 'vw ρ

x

z

'uUu=+ y

δ x

δz

δ y

20


29/194

Slika 2.12 Skica fluidnog elementa

Na isti način se dobijaju i naponi za druge dvije površine:

za površinuxyδ δ → 2

'w ρ ,' 'uw ρ i

' 'vw ρ

i

za površinu yzδ δ → 2'u ρ , ''uv ρ i ' 'uw ρ .

Iz gore navedenog se vidi da pored viskoznih napona postoje i naponi kojise javljaju kao rezultat fluktuacije brzine. Ovi dodatni naponi zovu seReynoldsovi naponi.

2.5.4 Koncept dužine miješanja

Kod teorije dužine miješanja polazi se od toga da su u turbulentnom toku veća kretanja fluidnih elemenata analogna slučajnim kretnjamamolekula gasova, tako da su većina istraživača koji su se bavili ovomproblematikom „dužinu miješanja“ uzimali analogno srednjoj slobodnojputanji kretanja molekula. Ovdje će se obratiti pažnja samo naPrandtlovu teoriju transporta količine kretanja. Dužina miješanja seuzima kao rastojanje koje pređe fluidni element tokom kojeg on zadržavaprethodne karakterisitike toka (brzinu i sl.) nepromijenjenim. Narastojanjima većim od dužine miješanja fluidni element se miješa sa

svojom okolinom.

Prema Prandtlovoj teoriji, ako pretpostavimo strujanje kod kojeg je brzinau funkcija samo od visiney, kao što je prikazano na slici 2.11, onda sufluidni elementi na visiniy nastali iz dvije ravni na visinama( )y l+ i( )y l− , gdje jel dužina miješanja, i da ti fluidni elementi zadržavajupočetne brzine koje su imali prije miješanja na visiniy.

21


30/194

Slika 2.13 Grafički prikaz definicije dužine miješanja

Ako jeu brzina na visiniy i ako pretpostavimo da dužina miješanjal

ima malu vrijednost, onda je:

yl

duu u l

dy− = −

i

yl

duu u l

dy+ = +

Navedene brzine predstavljaju ukupni raspon trenutnih brzina u tačkiy,

odnosno '2u u− i '2u u+ . Zato se može napisati:

'2 duu ldy

=

Budući da su 'u i 'v uglavnom suprotnog znaka i ako pretpostavimo dasu istog reda veličine, Reynoldsov napon se može napisati u sljedećem

obliku:

2''konstanta du du

uv ldy dy

τ ρ ρ

= − = × ÷

duu l

dy+

duu l

dy−

ul

l

y

y

u

22


31/194

Ako se gore napisana konstanta i2l spoje u jednu konstantu 1l, onda se

može napisati:

21

du dul

dy dy

τ ρ

= ÷

gdje je 1l proporcionalna dužini miješanja. Ako se izraz uporedi sa

Newtonovim zakonom , vidi se da je član21

duldy

ρ ekvivalent efektivnom

turbulentnom ili vrtložnom viskozitetu eff µ . Zato je ukupni smičući

(tangencijalni) napon dat u sljedećem obliku:

eff

du

dy µ

Najprostiji način da se prikaže zavisnost dužine miješanja 1l od

rastojanja od zida je direktna proporcionalnost, odnosno:

1l y χ =

gdje je χ von Karmanova konstanta.

Ako se izraz ubaci u za pozitivno /du dy dobije se:

( )2

2 duy

dyτ ρ χ

= ÷

Uz * /u τ ρ = izraz se može napisati i kao:

*du u

dy y χ =

Poslije integracije dobija se:

*0

1ln

u y

u y χ =

23


32/194


33/194

Na slici 2.12 je prikazan je logaritamski raspored brzine i raspored brzine u viskoznoznom podsloju zajedno sa eksperimentalnimrezultatima za glatku ravnu ploču.

Slika 2.14 Logaritamski raspored brzine i raspored brzine u viskoznom podsloju upoređenju sa Nikuradseovim eksperimentalnim rezultatima

Na slici 2.13 se vidi ekstremno tanka oblast blizu zida (za 11,6y+ < ) kojase zove viskozni podsloj, u kojem su turbulentne fluktuacije brzine u

apsolutnim iznosima veoma male (lokalni intenzitet turbulencije'u

u

ostaje i dalje veliki). Rezultat toga je da u ovoj oblasti dominantni smičućinapon viskozni dok Reynoldsovi naponi imaju veoma malog efekta.Debljina ovog sloja je data u sljedećem obliku:

*11,6

u

ν δ =

Viskozni podsloj je veoma važan iz više razloga. Iz izraza se može vidjetida sa padom brzine strujanja debljina viskoznog podsloja δ raste.

1 10 100 1000 10000 100000*

/

uyy

µ ρ

+ =

0

10

20

30

40

50

*

uu

u

+ =

laminarnou+=y+

turbulentno

u+=5,5+5,75logy+

25


34/194

Naime, u laminarnom strujanju debljina δ je tolika da u potpunostiprekriva neravnine (hrapavost) koje se obično susreću u cjevovodima. To

je i objašnjenje zašto hrapavost nema efekta na laminarni koeficijenttrenja. Također, to pokazuje da odnos debljine viskoznog podsloja ihrapavosti je od velike važnosti u smislu generisanja turbulencije.

Thomas [52] u hidrauličkom transportu ukazuje na potrebu zapromjenom mehanizma pomoću kojeg čvrste čestice ostaju u suspenziji uzavisnosti od toga da li su čestice manje ili veće od debljine viskoznogpodsloja.

2.6Fizičke osobine suspenzija

Proračun cjevovoda za hidraulički transport u značajnoj mjeri zavisi odod procjene fizičkih osobina hidromješavine. U nekim slučajevima, kaošto je transport mješavine ugljene prašine i vode, gline i vode ilimagnetita i vode i sl., čestice materijala su ravnomjerno raspoređene u

vodenoj struji. Tada se proračun cjevovoda može raditi na osnovusrednjih osobina hidromješavine. Kod drugih vrsta hidromješavinamoraju se uzeti u obzir fizičke osobine komponenti pojedinačno.

2.6.1 Gustina

Postoje tri gustine koje se koriste pri specificiranju neke suspenzije i tosu: gustina čvrstih čestica, gustina transportnog fluida i gustina samesuspenzije. Gustina suspenzije izražena preko gustina pojedinačnihkomponenti je data sljedećom relacijom:

1

100100m w w

s

C C ρ

ρ ρ

=−

+

gdje je wC masena koncentracija čvrste faze, a s ρ i l ρ gustine čvste

odnosno tečne faze u hidromješavini. Pri izučavanju strujanja kroz cijevi

često se koristi zapreminska koncentracija vC i zapreminski udioΦ, gdje je /100vCΦ = . Veza između wC i vC je data sljedećim izrazima:

26


35/194

100 /100w s w m

vw w s

s l

C CC

C C

ρ ρ

ρ

ρ ρ

= =−

+

( )100v s v s

w

v s v m

C CC

C C

ρ ρ

ρ ρ = =

+ −

2.6.2 Viskozitet

Jedan od najznačajnih efekata do kojeg dolazi dodavanjem čvrstih čestica

u neki fluid jeste njihov uticaj na viskozitet. Prisustvo čestica uvijekpovećava viskozitet suspenzija iznad vrijednosti koja važi za sam fluid i umnogim slučajevima dolazi do stvaranja suspenzija koje su po svomkarakteru nenjutnovske. Sam koncept viskoziteta suspenzija je dostasložen. Sa inžinjerskog stanovišta najbolje je viskozitet suspenzije neposmatrati kao „zgušnjavanje“ već kao parametar strujanja koji direktnopovezuje gradijent brzine sa tangencijanim naponom kao što je todefinisano izrazom . Teško je zamisliti krupnije čestice kako djeluju nafluid da on bude „gušći“, ali je dosta lako prihvatiti da te čestice imaju

uticaja na raspored brzine strujanja, a samim tim i na viskozitetsuspenzije.

2.6.2.1 Razrijeđene suspenzije

Einstein je u svom teoretskom radu 1905.godine zaključio da viskozitetrazrijeđenih suspenzija čvrstih čestica može biti prikazan sljedećimizrazom:

0

1 2,5m µ µ

= + Φ

gdje je:

m µ viskozitet suspenzije

27


36/194

0 µ viskozitet transportnog fluida

Gore navedena relacija važi za laminarno strujanje suspenzije čvrstihsfera u kojoj su čestice veće u poređenju sa molekularnim dimenzijama a

manje u odnosu na karakterističnu dužinu mjernog instrumenta.Pretpostavljeno je da je suspenzija veoma razrijeđena tako da nemameđusobnih interakcija čestica. Izraz nije važeći za zapreminskekoncentracije čvrstih čestica koje su znatno iznad 1,0 %.

2.6.2.2 Guste suspenzije

Viskozitet koncentrovanih suspenzija mora uzeti u obzir različiteinterakcije čestica koje se mogu javiti. Jedan od izraza za viskozitet

suspenzija je:

2 31 2 3

0

1 ...m K K K µ

µ = + Φ + Φ + Φ +

gdje su:

1 2 3, ,K K K konstante

Vrijednost 1K se obično usvaja kao u Einsteinovom izrazu, tj. 1 2,5K = . Uupotrebi su različite vrijednosti za 2K u zavisnosti od interakcija koje se

javljaju. Guth i Simha [55] su dobili vrijednost 2 14,1K = . Koeficijenti višeg reda u izazu ne mogu se direktno izračunati pa je po Thomasu [56]to veliko ograničenje za njegovu upotrebu. Odbacivanje članova poslije2Φ u izrazu proizvodi grešku od oko 10 % za suspenzije sa udjelima

većim od 0,20Φ ≅ . Uključivanje člana 3Φ povećava validnost izraza svedo 0,40Φ ≅ .

Analizom i racionalizacijom mnogih publikovanih podataka Thomaspredlaže upotrebu sljedećeg izraza:

( )20

1 2,5 10,05 expm A B µ

µ = + Φ + Φ + Φ

28


37/194

Kostante A i B se mogu podešavati i imaju sljedeće vrijednosti:0,00273 A= i 16,6B= .

Sljedeći izraz za viskozitet koncentrovanih suspenzija su predložili Gay,Nelson i Armstrong [57]:

0

exp2,5

n

m

m m

µ

µ

Φ Φ = + ÷Φ − Φ Φ

gdje je mΦ maksimalna moguća zapreminska udio, an predstavlja. Za

male vrijednostim

ΦΦ , tj. za razrijeđene suspenzije izraz može se napisati

kao:

0

1 2,5m

m

µ

µ

Φ= +

Φ

što daje izraz sličan Einsteinovom izrazu sa razlikom što umjesto Φ

imamom

ΦΦ .

2.6.3 Specifična toplota

Specifična toplota hidromješavine se može odrediti iz specifičnih toplotačistih komponenti pomoću sljedećeg izraza:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

100

p w p ws ls l p m

C C C CC

+=

gdje se indeksi m, s i l odnose na mješavinu, čvrstu fazu i fluid.

2.6.4 Toplotna provodljivost

Toplotna provodljivost u suspenzijama se može izračunati po sljedećojformuli koja je zasnovana na izrazu za određivanje električneprovodljivosti dvofaznih mješavina:

29


38/194

( )( )

2 2

2l s l s

m l

l s l s

k k k kk k

k k k k

+ − Φ −=

+ + Φ −

Navedena formula je korišćena u mnogim radovima na polju prenosatoplote u suspenzijama, uključujući Thomasa.

2.6.5 Reologija nenjutnovskih fluida

Ranije je rečeno da je definicija viskoziteta za Newtnonove fluide datasljedećom jednačinom:

du

dy

τ µ =

Izraz kaže da ako se grafički prikaže zavisnost tangencijalnog (smičućeg)napona i gradijenta brzine (deformacije) za laminarno strujanje nekogNewtonovog fluida, dobija se prava linija koja prolazi kroz koordinatnipočetak i čiji je nagib jednak viskozitetu tog fluida.

Postoji i druga važna grupa fluida čiji se karakeristični dijagrami

viskoziteta ne slažu sa izrazom i kod kojih ne postoji linearna zavisnosttangencijalnog napona i gradijenta bzine. Ti fluidi se zovu nenjutnovskifluidi.

Nenjutnovski fluidi se dijele na dvije grupe:

a.vremenski nezavisni fluidi b.vremenski zavisni fluidi.

2.6.5.1 Vremenski nezavisni nenjutnovski fluidi

Za nenjutnovske fluide u laminarnom režimu strujanja postojifunkcionalna zavisnost tangencijalnog (smičućeg) napona i gradijenta

brzine:

30


39/194

()du f

dyτ =

Za razliku od njutnovskih fluida gdje je ta zavisnost u cjelini definisana

pomoću jednog parametra, viskoziteta µ

, kod vremenski nezavisnihnenjutnovskih fluida za definisanje te zavisnosti potrebna su najmanjedva parametra. Ti parametri, potrebni za opisivanje strujanja su poznatikao reologija fluida ili hidromješavine.

Moguća je i dalja podjela vremenski nezavisnih nenjutnovskih fluida uzavisnosti od ponašanja pri laminarnom režimu strujanja na fluide kod

kojih je za pokretanje neophodno savladati početni napon pokretanja 0()τ

i na one kod kojih taj napon nije potreban. Na slici 2.13 prikazane sutipične krive strujanja za važnije tipove vremenski nezavisnih

nenjutnovskih fluida.

Kriva '1' je tipična za hidromješavine koje pokazaju početni naponpokretanja i zovu se Binghamove plastike. Primjeri ovog tipa suspenzijesu sirova nafta, tečni rastvori gline, rastvori cementa i sl. StrujanjeBinghamovih plastika se može opisati sljedećom relacijom:

0

du

dyτ τ η − = za 0τ τ >

gdje je η dinamički viskozitet suspenzije. Objašnjenje za ponašanjeBinghamove plastike je da u stanju mirovanja posjedujetrodimenzionalnu strukturu koja je dovoljno čvrsta da pokaže otpor

svakom naponu koji je manji od početnog napona pokretanja 0τ . Kada se

dostigne taj početni napon struktura se raspada i fluid se ponaša kao

njutnovski koji se nalazi pod naponom ( 0τ τ > ). Početna strukturamaterijala se iznova uspostavlja kada se napon smanji na vrijednost

manju od početnog napona 0τ .

U praksi se fluidi koji pokazuju početni napon pokretanja aproksimirajuizrazom , ali postoje i neki drugi izrazi kojima se pokušava opisatigeneralno ili neko posebno ponašanje određenih suspenzija sa početnimnaponom pokretanja. Izraz kao i drugi slični izrazi u literaturi su poznatikao reološki model.

31


40/194

Slika 2.15 Zavisnost tangencijalnog napona od gradijenta brzine

za karakteristične vremenski nezavisne fluide

Kriva '2' na slici 2.13 predstavlja tipičan pseudoplasični fluid.Hidraulička mješavina vode i ugljene prašine predstavlja primjer jedne

pseudoplastične suspenzije. Ova vrsta fluida ne posjeduje početni naponpokretanja i ima krivu strujanja sa opadajućim trendom sa porastomgradijenta brzine sve dok se ne dostigne neka granična vrijednost. Postojinekoliko reoloških modela kojima se može opisati ova vrsta suspenzija anajčešće se koristi Ostwald-de Waeleov model poznat u literaturi kao„Power Law model“:

ndu

Kdy

τ

= ÷

za n < 1,0

gdje su K i n konstante koje su određene eksperimentalno i zavise od vrste fluida. Konstanta K je poznata kao „koeficijent konzistencije“, a npredstavlja tzv. „indeks strujanja“ fluida. Što je veća vrijednost K to jefluid viskozniji. Za 1n= imamo njutnovski fluid a K odgovaradinamičkom viskozitetu µ . Indeks strujanja n predstavlja stepen

Binghamovaplastika(1)

Pseudoplastičnifluid(2)

Dilatantnifluid(3)

Pseudoplastični

fluid sa početnimnaponom(4)Njutnovski

fluid

32


41/194

odstupanja fluida od njutnovskih osobina i što je on udaljeniji od jedinicesve su izraženije nenjutnovske osobine.

Kriva '3' predstavlja krivu strujanja tzv. dilatantnih fluida koji se dostarijetko susreću u praksi. Tipičan primjer ove vrste fluida predstavljapasta kukuruznog skroba. Dilatantni fluidi se također mogu opisatipomoću izraza , sa tom razlikom da je indeks strujanja 1n> .

Kriva '4' predstavlja krivu strujanja nekog pseudoplastičnog fluida koji

posjeduje početni napon pokretanja 0τ .

Nenjutnovski fluidi zahtijevaju složeniji pristup za razliku od njutnovskihfluida kod kojih nam je samo poznavanje viskoziteta omogućavalo analizui poređenja ponašanja u laminarnom režimu strujanja. Kod

nenjutnovskih fluida i samo donošenje zaključka o tome koja definicija viskoziteta nam je najpogodnija predstavlja temu kod koje nema opštegslaganja. Postoji nekoliko definicija koje se upotrebljavaju za predviđanje imeđusobno povezivanje parametara strujanja u cjevovodima. Moguće jedefinisati tzv. „prividni“ dinamički viskozitet kao:

w

adu

dy

τ µ =

÷

Na slici 2.14 se može vidjeti da se prividni dinamički viskozitet mijenja uzavisnosti od gradijenta brzine. Kod Binghamovih i pseudoplastičnih

fluida vrijednost a µ opada sa porastom gradijenta brzine. Dilatantni

fluidi s druge strane pokazuju povećanje vrijednosti a µ sa porastom

gradijenta brzine. Njutnovi fluidi imaju konstantnu vrijednost a µ bez

obzira na veličinu gradijent brzine.

Kod Binghamovih plastika fluid može biti kategorisan prema „koeficijentu

krutosti“η , koji dimenziono odgovara viskozitetu. U slučaju strujanjanenjutnovskih fluida kroz cijevi moguće je definisati „efektivni“ viskozitet

e µ koji predstavlja odnos smičućeg napona i prosječnog gradijenta brzine

na granici (zidu):

33


42/194

8

we V

D

τ µ =

Za Binghamove i pseudoplastične fluide efektivni viskozitet je dat usljedeća dva izraza:

016eD

V

τ µ η

η

= +

18'

n

e

VK

D µ

− = ÷

gdje je D prečnik cijevi, V prosječna brzina strujanja,4

' 3 1

n

nK K n = ÷+ .

Također, za karakterizaciju nenjutnovskih fluida definiše se i granični

viskozitet µ ∞ za visoke vrijednosti smicanja fluida. Izbor odgovarajuće

definicije viskoziteta od gore navedenih je stvar projektovanja samogcjevovoda.

Procjena ponašanja nenjutnovskih fluida zahtijeva određivanje raznihosobina sistema, kao što su koeficijent krutostiη i smičući napon za

Binghamove fluide, i indeks strujanja i koeficijent konzistencije zapseudoplastične fluide.

Ako pretpostavimo situaciju za strujanje Binghamove plastike kroz cijev,

možemo vidjeti da dok se vrijednost smičućeg napona wτ mijenja od wτ

na zidu cijevi do nule u centru cijevi, mora postojati dio fluida koji se

kreće kao „nesmaknuti“ čep u sredini cijevi poluprečnika 0r kao što je to

prikazano na slici 2.15. Razlog tome je što je lokalna vrijednost smičućeg

napona manja od početnog napona pokretanja 0τ .Binghamovaplastika

Pseudoplastičnifluid

Dilatantnifluid

Njutnovski fluid

34


43/194


44/194

0

8 4

3wV

Dτ η τ

= + ÷

2.6.5.2 Vremenski zavisni nenjutnovski fluidi

Ovi materijali se obično dijele na tiksotropične i reopektične u zavisnostiod toga da li smičući napon opada ili raste sa vremenom za date uslove

brzine deformacije i temperature.

Tiksotropični fluidi pokazuju reverzibilan pad smičućeg napona u vremenu pri konstanom gradijentu brzine. Na drugoj strani, reopektičnifluidi pokazuju reverzibilan rast smičućeg napona u vremenu prikonstantnom gradijentu brzine. Tipične krive strujanja za ove dvije vrste

vremenski zavisnih fluida dat je na slici 2.16.

Slika 2.18 Zavisnost tangencijalnog napona od gradijenta brzine

za tiksotropične i reopektične fluide

Pretpostavlja se da je mehanizam koji je odgovoran za tiksotropičnoponašanje fluida sličan pseudoplastičnom mehanizmu sa razlikom u

Reopektičnifluidi

Tiksotropičnifluidi

36


45/194


46/194

Reynoldsov broj iznosi:

53

10001,70,445Re 7,610

110

fvD ρ

µ

−

× ×= = = ×

×

Za datu cijev relativna hrapavost je:

0,0001D

ε =

Za navedene vrijednosti Re i /Dε sa Moodyjevog dijagrama datogna slici 2.6 očitamo vrijednsot koeficijenta trenja:

0,00375 f=

Gubici usljed trenja po jedinici dužine cijevi su:

2 24 20,003751,70,005 /

2 9,810,445 fh fv

m mL gD

× ×= = =

×

Ukupni gubici za 160 km cjevovoda su:

16010000,005 800 fh m= × × =

Kada se na gubitke usljed trenja doda i visinska razlika dobije seukupna visina pumpanja:

800 100 900t f gh h H m= + = + =

Maseni protok iznosi:

.

0,1561,71000 265 /m Av kg s ρ = = × × =

Snaga potrebna za pumpanje vode je:

.

62659009,81 3,34210 33420,7

t

p

mhgP W kW

η

× ×= = = × =

38


47/194

P2.2 Ako se pretpostavi da vladaju laminarni uslovi strujanja za situacijuopisanu u primjeru 2.1, izračunati gubitke usljed trenja.

Rješenje:

Iz izraza 2.17 za laminarno strujanje važi:

55

16 162,110

Re 7,610 f −= = = ×

×

Gubici usljed trenja onda iznose:

2 5 254 22,110 1,7

2,7810 /2 9,810,445 fh fv

m mL gD

−−× × ×

= = = ××

Dobijeni rezultat nam pokazuje da laminarni gubici usljed trenjačine svega 0,56 % ukupnih gubitaka usljed trenja.

P2.3 Ako je u primjeru 2.1 fluid različit od vode sa viskozitetom0,02Pas× i gustine 31180 /kg m , odrediti gubitke usljed trenja, brzinusmicanja i debljinu viskoznog podsloja.

Rješenje:

Poznato: gustina fluida31180 / f kg m ρ =

viskozitet fluida 2210 Pas µ −= × ×

Naći: gubitke usljed trenja, brzinu smicanja *U i debljina viskoznog podsloja

Reynoldsov broj je:

411801,70,445Re 4,46100,02

fvD ρ

µ

× ×= = = ×

39


48/194

Za 0,0001D

ε = i dobijeniRe broj koeficijent trenja je:

0,0054 f=

Gubici trenja onda iznose:

20,0072 / 83,3 / fh

m m N mL

= = po metru.

Tangencijalni napon na zidu i brzina smicanja su onda:

283,30,445 9,27 /4 4w pD

N mL

τ ∆ ×= = =

* 9,27 0,087 /1180

wU m sτ

ρ = = =

Debljina viskoznog podsloja je:

* *

5 5 50,020,0001

0,0871180 m

U U

ν µ δ

ρ

×= = = =

×

P2.4 Odrediti specifičnu gustinu hidromješavine, zapreminski udio čvrstefaze i zapreminski odnos za mješavinu magnetita i vode koja imakoncentraciju čvrste faze 60 %. specifična gustina čvrste faze iznosi

35000 /kg m .

Rješenje:

Poznato: 60 %wC =35000 /s kg m ρ = 3

1000 /w kg m ρ =

Naći:Φ, zapreminski odnos, m ρ .

3100 100 1923 /100 60 100 60

5000 1000

mw w

s w

kg mC C

ρ

ρ ρ

= = =− −

++

40


49/194

6019230,231

100 1005000w m

s

C ρ

ρ

×Φ = = =

×

zapremina cvrste fazeZapreminski odnos= 0,3zapremina tecne faze 1Φ= =− Φ

P2.5 Hidromješavina sirove soli i zasićenog rastvora soli puni rezervoarza vaganje kroz odgovarajući cjevovod. Ako je gustina hidromješavine

31300 /kg m , gustina sirove soli 32100 /kg m i gustina zasićenog

rastvora soli 31200 /kg m , odrediti koncentraciju čvrste faze u postocima

težine, zapreminsku koncentraciju i zapreminski odnos.

Rješenje:

Poznato:31300 /m kg m ρ = (mješavine sirove soli i rastvora)32100 /s kg m ρ = (sirova so je čvrsta faza)31200 /l kg m ρ = (zasićeni rastvor soli je tečna faza)

Naći: wC ,vC, zapreminski odnos.

2100 1300 1200100 100 17,9 %

1300 2100 1200

s m lw

m s l

C ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

− − = = = ÷ ÷− −

130017,9 11,1 %

2100m

v w

s

C C ρ

ρ = = =

0,111100vCΦ = =

0,111zapreminski odnos 0,125

1 1 0,111

Φ= = =

− Φ −

P2.6 Odrediti viskozitet hidromješavina iz primjera 2.4 i 2.5 ako sepretpostavi da hidromješavina ima njutnovsku reologiju i nalazi se natemperaturi od 20 °C. Viskozitet zasićenog rastvora soli iznosi

3210 Pas−× ×.

41


50/194

Rješenje:

Primjer 2.4: zapreminski udio čvrste faze je 0,231Φ = pa se pomoćuizraza može izračunati relativni viskozitet koji predstavlja odnos

viskoziteta mješavine m µ i viskoziteta transportnog fluida 0

µ :

( )

( ) ( )

2

0

2

1 2,5 10,05 exp

1 2,50,231 10,05 0,231 0,00273exp16,60,231

2,24

m A B µ

µ = + Φ + Φ + Φ

= + × + × + × ×

=

Viskozitet vode je3

0 110 Pas µ −= × ×, pa je za viskozitet hidromješavine:

32,2410 Pasm µ −= × ×

Primjer 2.5: Zapreminski udio čvrste faze je 0,125Φ = , pa je:

0

1,49m µ

µ =

30 210 Pas µ

−= × ×32,9810 Pasm µ

−= × ×

P2.7 Odrediti količinu toplote koja je potrebna da se mješavina vode iuglja težinske koncentracije 50 % zagrije sa početne temperature od 21°C na krajnju temperaturu od 49 °C. Specifična toplota uglja iznosi1256 / J kg K− , a relativna gustina 1,4. Protok hidromješavine iznosi

30,252 m/s.

Rješenje:

Poznato: spec. top. uglja , 1256 / psc J kg K= −

spec. top. vode , 4187 / plc J kg K= −gustina uglja

31400 /s kg m ρ =

težinska konc. 50 %wC =

početna temp. 1 21T C= °

krajnja temp. 2 49T C= °

protok mješavine 0,252 3/Q m s=

42


51/194

Naći: količinu toploteq

Iz izraza računa se specifična toplota hidromješavine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 125650 418750

2722 /100 100

p w p ws ls l p m

c c c cc J kg K

+ × + ×= = = −

Relativna gustina hidromješavine se računa po formuli :

3100 100 1167 /100 50 100 50

1400 1000

mw w

s w

kg mC C

ρ

ρ ρ

= = =− −

++

Maseni protok mješavine iznosi:

.

0,2521167 294 /mm Q kg s ρ = × = × =

Potrebna količina toplote je:

( ).

6, 2942722 49 21 22,410 22,4 pmq mc T W MW = ∆ = × × − = × =

3 RELATIVNO KRETANJE FLUIDA I ČVRSTIH ČESTICA

3.1Uvod

Do sada je bilo govora o strujanjima koja su u osnovi jednodimenzionalna sa fluidom koji teče duž cijevi ili duž kanala. U ovom

poglavlju će biti riječi o silama koje djeluju na tijelo uronjeno u tekućifluid. Poznavanje ponašanja čvrstih čestica u fluidu je od osnovnogznačaja za dizajn hidrauličkih transportnih sistema kod kojih suinercijalni efekti čvrstih čestica značajni, kada je riječ o heterogenimsistemima.

43


52/194

3.2Sila otpora kretanja čvrstih čestica u fluidu

Uvijek kada se govori o sili otpora koja se javlja kada se neko tijelo krećerelativno u odnosu na neki fluid, neizbježno se mora govoriti i o

karakteristikama graničnog sloja koji se formira u blizini površine togtijela. U prošlom poglavlju je pokazano da kada neki viskozni fluid tečepreko neke površine, brzina slojeva fluida koji su blizu površine bivaprigušena u odnosu na srednju brzinu toka. Ovaj granični sloj dobija nadebljini sa udaljavanjem od početne ivice date površine i u određenojtački, zavisno od uslova strujanja, granični sloj postaje nestabilan i dolazido njegovog odvajanja od površine (tačka separacije). Ovo razdvajanjedovodi do stvaranja vrtloga i ima za posljedicu disipaciju energije.

Sile koje se javljaju na tijelu kada dođe do separacije graničnog sloja sudruge prirode od onih koje djeluju na tijelo dok granični sloj nije odvojenod površine. Ustvari, ukupna sila otpora koja djeluje na tijelo uronjeno ufluid koji se kreće sastoji se od dvije komponente, viskozni otpor i otporusljed oblika. Pri malim brzinama strujanja fluida oko tijela ne dolazi doseparacije graničnog sloja tako da je cjelokupan otpor rezultat viskoznihsila. Sa povećanjem brzine dolazi do separacije graničnog sloja tako dapored sila viskoznog otpora javljaju se i sile otpora usljed oblika. Sadaljim povećanjem brzine, udio sile viskoznog otpora u ukupnoj siliotpora opada. Granični sloj na površini nekog tijela je po svojoj prirodi

laminaran. Međutim, moguće je da strujanje unutar graničnog slojapređe iz laminarnog u turbulentni režim i prije pojave separacije. Prelaziz laminarnog u turbulentni režim strujanja unutar graničnog sloja semože postići ili velikim brzinama strujanja fluida ili vještačkimogrubljivanjem ulazne ivice tijela i praćen je izrazitim padom ukupne sileotpora. Razlog tome je da je prenos količine kretanja puno veći uturbulentnom nego u laminarnom strujanju. Prema tome, fluid koji sekreće većim brzinama je u mogućnosti da prenosom količine kretanjaodržava kretanje graničnog sloja prema naprijed, prigušujući timestvaranje vrtloga separacije. Ako dolazi do separacije, ona se javlja dalje

od ulazne ivice tijela, vrtlozi koji se javljaju su manji, tako da je ukupnasila otpora manja u odnosu na laminarno strujanje.

3.3Sila otpora na sferi

44


53/194

Osnovni podatak koji je potreban projektantu je koeficijent otpora čestice

DC . Njegova vrijednost se izračunava pomoću brzine taloženja čvrste

čestice u mirujućoj vodi.

3.3.1 Stokesov zakon

Sfera koja se kreće malom brzinom kroz fluid je jedini važan slučaj kadase sila otpora u potpunosti može izračunati iz teorijskih pretpostavki.Ovaj proračun je prvi izveo Stokes koji je dobio rješenje opštih jednačinakretanja zanemarujući pri tom u potpunosti inercijalne članove u tim

jednačinama, odnosno pretpostavljajući da je u ukupnoj sili otpora udio viskozne sile 100 % . Rezultat njegove analize je dat sljedećom relacijom ipoznat je kao Stokesov zakon:

6F rwπ µ =

gdje je:

F sila otpora µ viskozitet fluidar poluprečnik sferew relativna brzina čestice u odnosu na fluid

Ako grupu6 rwπ µ izrazimo kao 2(4 )(3 /2)r w rπ µ onda se jednačina

može napisati u obliku:

2/4

3 /

F r

w d

π µ =

Kao što se vidi, izraz predstavlja odnos smičućeg napona koji djeluje napovršinu sfere i srednjeg gradijenta brzine, odnosno on predstavljadefiniciju viskoziteta za datu geometrijsku konfiguraciju.

Stokesov zakon se također može napisati kao:

( )

2246

/ 2

wF rw A

dw

ρ π µ

ρ µ

= = × × ÷

45


54/194

gdje je A površina projekcije sfere 2/4dπ , a gustina fluida ρ se koristi

kao prividna varijabla što je u ovom slučaju posebno pogodno zato što Fne zavisi od ρ . Koeficijent otpora se onda definiše na uobičajen način:

22

/

/22

D

F A FC

Aww ρ ρ = =

Iz izraza se vidi da je koeficijent otpora dat u sljedećem obliku:

24

ReDC =

Slika 3.19 Promjena koeficijenta otpora u zavisnosti od Reynoldsovog broja za

sferne čestice

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 102 103 104 105 1060,1

1,0

10

102

103

104

105

Reynoldsov broj Re

a b c d

46


55/194

Treba naglasiti da izraz važi samo u opsegu Stokesovog zakona, odnosnoza sferu u uslovima strujanja gdje preovlađuju viskozni efekti. Ovopodručje se obično zove Stokesov ili laminarni režim. Definicija zakoeficijent trenja se može uporediti sa izrazom za Fanningov koeficijenttrenja. Vidi se da forma oba izraza identična i predstavljaju odnossmičućeg napona na granici i kinetičke energije, tako da se koeficijentotpora može smatrati „koeficijentom trenja čestice“. Često se zavisnost

koeficijenta otpora DC od Reynoldsovog broja prikazuje u grafičkom

obliku. Na slici 3.1 prikazana je takva zavisnost za slučaj sferne čestice.Oblast u kojem važi jednakost je označen sa 'a' i pokriva vrijednostiReynoldsovog broja do oko 1. Oblast označena sa 'b' za opseg vrijednosti1 Re 1000< < predstavlja prelazni režim. Oblast 'c', za vrijednosti

51000 Re 210< < × , je režim u kome dolazi do prelaza (tranzicije) izlaminarnog u turbulentni granični sloj neposredno prije odvajanja(separacije). Oblast 'd' predstavlja upravo spomenutu separacijugraničnog sloja.

3.3.2 Teorija relativnog kretanja sfere uronjene u fluid

Za neku česticu masem koja se kreće kroz fluid brzinom w usljed

djelovanja spoljašnje sile 1F, rezultujuća sila koja djeluje u pravcu brzinew data je izrazom:

1 2 3F F F F= − −

u kojoj je 2F sila uzgona i 3F je sila otpora koja je data jednačinom :

2

2D Aw

C ρ

gdje ρ predstavlja gustinu fluida u koji je čestica uronjena. Jednačinamože se napisati u sljedećem obliku:

2

2e e Ds

AwF ma ma C

ρ ρ

ρ = − −

47


56/194

Za slučaj sferne čestice koja se taloži pod uticajem sile gravitacije imamo:

ea g=

2

4d A π =

3

6 sd

m π

ρ =

SilaF se može napisati kaodw

mdt

÷

i ako se ubaci u jednačinu dobije

se:

( )23

4s D

s s

g C wdw

dt d

ρ ρ ρ

ρ ρ

−= −

Sferna čestica koja se taloži u mirujućem fluidu pod uticajem sile

gravitacije ubrzava sve dok ne dostigne kontantnu brzinu tw , koja

predstavlja krajnju (terminalnu) brzinu taloženja pri kojoj je / 0dw dt= .

( )1/2

4

3s

t

D

g dw

C

ρ ρ

ρ

−=

gdje je (Re)DC f= .

Za režim strujanja gdje važi Stokesov zakon koeficijent otpora računa se

po jednostavnom izrazu 24/ReDC = . Kada ovaj izraz ubacimo u jednačinu , dobija se izraz za krajnju brzinu taloženja:

( ) 2

18

s

t

g dw

ρ ρ

µ

−= za Re 1<

U režimu strujanja u kojem važi Newtonov zakon DC je konstanta

nezavisna od Reynoldsovog broja i iznosi 0,4. Zato u tom režimu izraz zakrajnju brzinu taloženja poprima oblik:

48


57/194


58/194

Slika 3.20 Promjena Reynoldsovog broja u zavisnosti od CD/Re i CDRe2 za sferu

Treba naglasiti da je izraz nezavisan od prečnika česticed, dok je izraz

nezavistan od brzine taloženja čestice tw . Navedene jednačine su opšte i

vaše za cijeli opseg vrijednosti Reynoldsovog broja. Znači, za sfernučesticu, koeficijent otpora DC može se odrediti ako nam je poznata ili

brzina tw ili prečnik čestice. Sa praktičnog stanovišta, čestica je bolje

opisana sa brzinom taloženja nego sa prečnikom, tako da brzinataloženja predstavlja pouzdaniji kriterij na osnovu kojeg se računa

koeficijent otpora. Na slici 3.2 su prikazaniReDC i

2ReDC kao funkcija od

Re za sferne čestice. Ako je poznata brzina tw onda se iz jednačine

može izračunati

Re

DC pomoću kojeg se zatim očitava vrijednostRe sa slike

3.2 i na kraju se izračuna DC . Ako je poznat prečnik čestice onda se iz

jednačine može izračunati2ReDC pomoću kojeg se zatim očitava

vrijednostRe sa slike 3.2 i na kraju se izračuna DC .

3.4Oblik čestica

Da bi koristili formulaciju datu u prethodnom dijelu mora se ispitati

uticaj oblika čestice na koeficijent otpora. McNown i dr. [53] su istraživalina elipsoidnim i neelipsoidnim česticama koje su simetrične u odnosu nasve tri ose i na česticama u obliku diska. Prema njima koeficijent otporaza čestice koje imaju oblik različit od sfernog, može se opisati pomoćuStokesovog zakona za sferne čestice uz uvođenje bezdimenzionalnogkorekcionog faktora K:

50


59/194


60/194

Slika 3.21 Promjena koeficijenta otpora CD u zavisnosti od Reynoldsovog broja

za različite vrijednosti faktora oblika

Na slici 3.4 je data proširena verzija slike 3.3. Na DC-Re krivulje dodana

su još dva parametra wC i sC koji se mogu izračunati pomoću sljedećih

izraza:

3

4ReD

w

CC =

i

2Re8S DC Cπ =

Faktor oblika0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

sfera

1,0 1000 1000010

100

10

4010 100 1000 10000

10

40

1

0,1

Re

0,70,3

34ReD

w

CC

CD

2Re

8S D

C C

52


61/194

Slika 3.22 Promjena koeficijenta otpora CDu zavisnosti od Reynoldsovog broja Re

za čestice nepravilnog oblika [46]

3.5Suspenzija čvrstih čestica u turbulentnom toku

Rad O'Briena iz 1934. godine na mehanizmu održavanja čestica ususpenziji u turbulentnom režimu strujanja predstavlja značajandoprinos razumijevanju ovog fenomena. On polazi od pretpostavke da je

transfer čestica u suspenziji prema gore 0sdc

E wCdy

− + = , kojeg uzrokuje

turbulencija, u ravnoteži sa transferom čestica prema dole kojeguzrokuju gravitacione sile:

0sdc

E wCdy

+ =

U gore navedenoj jednačini:

sE je koeficijent prenosa mase za čestice

C zapreminski udio (koncentracija) na rastojanjuy

y rastojanje od donje granicew brzina taloženja čestica u mirujućem fluidu

Koeficijent prenosa mase sE i koeficijent prenosa momentuma mE su

međusobno povezani sljedećom relacijom:

s mE Eβ =

gdje je β konstanta proporcionalnosti. Smičući napon u nekojproizvoljnoj tački u turbulentnom toku dat je jednačinom:

m

duEdy

τ ρ =

Za tok u otvorenom kanalu:

53


62/194

1wm

y

yτ τ

= − ÷

gdje je wτ smičući napon na granici (zidu), a my je rastojanje od granicedo površine tečnosti. Tako se može napisati sljedeće:

( )1 /w mm

y yE

du du

dy dy

τ τ

ρ ρ

−= =

Ako se pretpostavi da čestice u suspenziji imaju mali ili nikakav uticaj naraspored brzine, onda raspored brzine odgovara tzv. zakonu deficita

brzine:

max*

1loge

m

u u y

u y χ

−= ÷

Diferenciranjem izraza dobijamo*du u

dy y χ = , tako da se za mE može

napisati:

* 1mm

yE uyy

χ = − ÷

Kombinovanjem jednačina i dobija se izraz za sE kao funkcija ody:

* 1sm

yE uy

yβχ

= − ÷

Ako se jednačina uvrsti u jednačinu i integrira se, dobiće se

koncentracijaC u proizvoljnoj ravniy:

*log log me e

A m

y yC w a

C u y y aβχ

−= × ÷−

ili

54


63/194

Z

A a

C h

C h

= ÷

gdje je:

*

wZ

uβχ = 1m

yh

y= − 1ma

yh

a= −

AC koncentracija u proizvoljnoj referentnoj ravni na visini a, npr.

centar cijevi χ Von Karmanova konstanta

Jednačina kaže da koncentracija u nekoj tački zavisi od vertikalne

pozicije i faktora Z koji predstavlja odnos brzine taloženja i grupe *uβχ ,

koja predstavlja mjeru intenziteta turbulencije. Vanoni [59] je pokazao da jednačina pokazuje dobro slaganje sa eksperimentalnim rezultatima naotvorenim kanalima i da postojanje sedimenta uzrokuje pad vrijednostikonstante χ , čemu on pripisuje prigušivanje turbulencije.

3.5.1 Primjena na zatvorene kanale

Ismail [60] je pokazao da jednačina može biti primijenjena na zatvorene

pravougaone kanale ako se my uzme kao tačka sa maksimalnom

brzinom. Ta tačka ne mora biti u središtu kanala zbog toga što čestice

imaju tendenciju da iskrive raspored brzine. Po Ismailu u tački my y=

vrijednost koeficijenta sE koji je dat relacijom bi onda bila jednaka nuli,

što je u neslaganju sa eksperimentalnim rezultatima koji pokazuju

određenu vrijednost koeficijenta sE. Za ovaj region može se uzeti da je

sE konstantan i da jednačina poslije integracije daje sljedeće:

( )ln A s

C wy a

C E= −

Izvan ovog regiona jednačina može biti primijenjena.

55


64/194

Vanoni je zapazio da vrijednost Von Karmanove konstante χ zasuspenzije opada u odnosu na vrijednost za čistu vodu koja iznosi 0,4.Ismail je za zatvorene kanale zabilježio vrijednosti χ koje su za najvećekoncentracije suspenzija padale do 0,25. Ismail također ispitivao

varijacije konstanteβ u jednačini i zaključio je da jeβ konstantno zaodređenu veličinu čestica i da je veće od jedinice. Za sada ne postojislaganje u vezi konkretnih vrijednosti za konstantu β pa je priprojektovanju cjevovoda najbolje uzeti 1β = što ujedno unosi dozusigurnosti u proračun.

Hunt [61] je u svom radu sa heterogenim suspenzijama predstavio prenosčestica pomoću jednačine difuzije gdje se uključivanjem zapreminečestica u jednačinu kontinuiteta dovodi do koncentracije koja teži jedinicina donjoj granici (jednačina teži∞ pod tim uslovima), što je u skladu sa

fizičkim posmatranjima:

( )1 0sdc

E CCwdy

+ − =

Za cjevovode (kanale) kružnog poprečnog presjeka postoji nešto manjedostupnih podataka, ali se na osnovu nekih istraživanja može zaključitida je problem skoro sličan kao kod zatvorenog pravougaonog kanala u

radu Ismaila. Iz njegovih rezultata za 0,08b

D= i 0,92

b

D= (b predstavlja

rastojanje od vrha cijevi) došlo se do sljedeće relacije:

10 *

1,8log

A

C w

C uβχ

= − ÷

Poređenje eksperimentalnih rezultata sa vrijednostima dobijenimpomoću jednačine pokazuje veoma dobra slaganja i pokazuje seopravdanost upotrebe navedene jednačine u projektovanju cjevovoda.

3.6Primjeri

P3.1 Odrediti brzinu taloženja sferne čestice prečnika 0,5 mm i gustine2650 kg/m3 u vodi temperature 20 °C.

56


65/194

Rješenje:

Poznato: gustina čestice32650 /s kg m ρ =

gustina vode31000 / f kg m ρ =

viskozitet vode 6 2110 /m sν −= ×prečnik čestice 0,5d mm=

Naći: brzinu taloženja česticew.

Pomoću Stokesovog zakona računamo krajnju brzinu taloženjačestice i Reynoldsov broj:

( ) ( )2 2

69,812650 10000,0005 0,225 /

18 181000110s f

t

f

g dw m s ρ ρ ρ ν −− −= = =

× × ×

6

0,2250,0005Re 112

110twd

ν −×

= = =×

>> 1 ⇒ Stokesov zakon se ne

može primijeniti

Prvo se računa izraz:

( ) ( ) ( )

( )

33

222 6

4 49,812650 1000 0,0005Re 2698

3 31000110

s f

D

f

g dC

ρ ρ

ρ ν −

− × −= = =

× ×

Sa slike 3.2 očitava se odgovarajuća vrijednost Reynoldsovog broja:

Re 40=

Sada je:

6Re 40110Re 0,08 /

0,0005t

t

wdw m s

d

ν

ν

−× × ×= ⇒ = = =

57


66/194

P3.2 Prirodno oblikovana čestica ima nominalni prečnik od 250 mikrona,gustinu 3000 kg/m3 i faktor oblika 0,7. Koja je brzina taloženja čestice u

vodi temperature 20 °C?

Rješenje:

Poznato: prečnik čestice 250 0,25d mikrona mm= =

gustina čestice33000 /s kg m ρ =

gustina vode31000 / f kg m ρ =

faktor oblika .. 0,7SF =

Naći: brzinu taloženja česticew.

ParametarCs je:

( )32

1596

n s f

S

f

d gC

π ρ ρ

ρ ν

−= =

Sa slike 3.4 za 159SC = i faktor oblika S.F.=0,7 očitava se vrijednost Reynoldsovog broja:

Re 8,2=

Iz jednačine za Reynoldsov broj računamo brzinu taloženja:

6Re 8,2110Re 0,0328 /

0,00025

wdw m s

d

ν

ν

−× × ×= ⇒ = = =

P3.3 Za česticu opisanu u primjeru 3.2 pretpostaviti da nominalniprečnik nije poznat i da ga treba odrediti iz ostalih pet varijabli.

Rješenje:

Poznato: vidi primjer 3.2

Naći: nominalni prečnik čestice nd

58


67/194


68/194

5

0,000570,00025Re 0,00475

310

wd

ν −×

= = =×


69/194

P3.7 Odrediti brzinu taloženja za česticu sfernog oblika prečnika 100

mikrona, relativne gustine 5,0 u hidromješavini gustine 32000 kg/m i

kinematskog viskoziteta 6 22,510 /m s−× .

Rješenje:

Poznato: prečnik čestice 100 0,1d mikrona mm= =

gustina čestice35000 /s kg m ρ =

gustina fluida32000 / f kg m ρ =

viskozitet fluida 6 22,510 /m sν −= ×

Naći: brzinu talaženjaw

Iz Stokesovog zakona izračuna se brzina taloženja:

( ) ( )2 26

9,815000 20000,00010,00327 /

18 1820002,510

s f

f

g dw m s

ρ ρ

ρ ν −− −

= = =× × ×

6

0,003270,0001Re 0,13 1

2,510

wd

ν −×

= = = <×

⇒ Stokesov zakon se

može primijeniti.

P3.8Kroz cijev unutrašnjeg prečnika od 305 mm teče hidromješavina brzinom od 1,83 m/s. Smičući napon na zidu cijevi iznosi

29,57 /w N mτ = . Odrediti maksimalnu veličinu čvrstih čestica za koje je

odnos koncentracija / 0,7 AC C = koristeći navedenu tabelu sa podacimaza četiri vrste materijala.

Materijal Viskozitet

hidromješavine(103 Pa·s)

Koncentracija u

postocima težineC w

Relativna

gustina

Ugalj 25 50 1,4

Koncentrat magnetita 10 60 5,0

Koncentrat bakra 10 60 4,0

Krečnjak 30 60 2,7

61


70/194

Rješenje:

Poznato: prečnik cijevi305D mm

= brzina strujanja 1,83 /v m s=

smičući napon na zidu29,57 /w N mτ =

Naći: Maksimalnu veličinu čestica za koju je / 0,7 AC C =

10 *

1,8log

A

C w

C uβχ

= − ÷

1β =0,38 χ =

* w

m

gu

τ

ρ =

1,8log0,7

9,579,8110,38

m

w

ρ

÷ ÷= − ÷×

× × ÷ ÷

0,317/ mw ρ =

gdje je m ρ gustina hidromješavine, aw brzina taloženja čestica

Odgovarajuće gustine hidromješavina izračunaćemo pomoću izraza :

1

100100m w w

s

C C ρ

ρ ρ

=−

+

Materijal wC ( )3 /m kg m ρ (/)w m s

Ugalj 50 1168 0,207

Koncentrat magnetita 60 1925 0,161

Koncentrat bakra 60 1820 0,166

Krečnjak 60 1609 0,177

62

knjiga hidraulicni-transport recenzija 9

Documents