TTA FIZIKA ELMLETI SSZEFOGLALAz albbiakban rviden, a teljessg ignye nlkl sszefoglaljuk a klasszikus mechanika nhny alapvet fogalmt s trvnyt. A tovbbiakban csak olyan problmkkal tallkozunkmajd, amelyekbenavizsglt testekmretei elhanyagolhatakazadott fizikai problmbanelfordulegybmretekhez kpest. Afenti esetbena testet pontszernek tekintjk, s anyagi ponttal modellezzk. Az anyagi pontnak tmege van, s mindig a tr egy jl meghatrozott pontjban van, rajzban egy egyszer pont szemllteti. (Magyarorszg trkpn egy gpkocsi pldul egyrtelmen anyagi pontnak tekinthet). Alapveten a klasszikus mechanika kt fontos gra, akinematikras a dinamikratrnkki. Akinematikaamozgslersval foglalkozik, mgadinamikaazt vizsglja, hogy mirt pont gy mozog az anyagi pont, ahogy azt tapasztaljuk. A mechanikbanszmosmennyisget pusztanagysganemjellemezkielgten, gyfontos megadni irnyt s rtelmt (irnytst) is; azaz vektormennyisgknt kell rtelmezni. Mint majd ltjuk, a sebessg, a gyorsuls s az er is vektormennyisgek.1. ANYAGI PONT KINEMATIKJA1.1 MOZGSLERS SKALRMENNYISGEKKEL1.1.1 Foronmiai fggvnyekAz anyagi pont mozgsa sorn egy trgrbn halad vgig, amelyet a mozgs plyjnak neveznk (1 bra). Ha a mozgs plyja ismert, akkor azon az anyagi pont helye egy eljeles skalrmennyisggel (vals szmmal) megadhat.Ehhez jelljk ki a plyn egy O vonatkoztatsi pontot, s egy pozitv irnytst.sPOPlya irnytsaPlyasPOPlya irnytsaPlya1. braAPanyagi pont helyt aplynazO-tl mrteljeles vhossz (s) amelyet plyakoordintnak vagy kitrsnek neveznk egyrtelmen meghatrozza.Ha a P pont azO-tlpozitvirnybanvan, akkorspozitv, haazO pontban, akkornulla, egybknt pedig negatv. gy, szemlletesen szlva, a plya egy grbe szmegyenes lesz, amelynek az origja az Opont. (Mr itt ki kell hangslyoznunk, hogy snem azonos a kzpiskolban tanultttal!) A plyakoordinta SI egysge a mter ([ ] m s ). Pldaknt tegyk fel, hogy a trkpen ismerjk egy gpkocsi tvonalt, s az tvonalon a nulla kilomterk pontos helyt. Hamegadjuk, hogyakilomterktl merre spontosanhny kilomtertvolsgban vana gpkocsi, akkor megadtuk annak pontos helyt a trkpen. Ahogy az anyagi pont halad a plyn, helyt idrl-idre ms plyakoordinta rtk jellemzi. Aplyakoordintt megadvaazegymst kvetidpillanatokban, megkapjukaz anyagi pont ) t ( s plyakoordinta-id fggvnyt. A plyn mozgPanyagi pont helyt egyenl, tnagysg idkznknt megjelltk (P0, P1, P2.. )(2. bra).. .. ..0P1P2P3PO0S1S2S3S0S 1S 2S . .. ..0P1P2P3PO0S1S2S3S0S 1S 2S 2. brabrzoljuk az splyakoordintt, mint az eltelt id fggvnyt (3. bra). Az brn lthat esetben pldul ais vhosszak monoton nnek az eltelt idvel,teht a mozgs sebessge nvekszik, azaz a mozgs gyorsul. ( )0t s0t1t2t3t0s 1s 2s [ ] t st( )1t s( )2t s( )3t s( )0t s0t1t2t3t0s 1s 2s [ ] t st( )1t s( )2t s( )3t s3. braAzi -edik szakaszon a pont tlagos sebessgt a tsihnyados szolgltatja. A t idtartam cskkentsvel a fenti hnyados egyre inkbb a it idpillanatra lesz jellemz. Ez alapjn pldul a ts0 hnyados a t0 idpillanatra. Ha a t idtartamot nullra cskkentjk, akkor ats0hnyados pontosan at0 idpillanatbeli v0 sebessget adja. Matematikai megfogalmazsban: ( )( ) ( )0 10 10 1000lim limt tt s t stst vt t t ,1]1

smv /1/ Az /1/ sszefggsben teht a tst00lim jells azt a vals szmot jelenti, amelyhez a ts0 hnyados rtke tart, ha at idtartamot nullra cskkentjk. Az /1/ sszefggssel rtelmezett sebessget plya menti sebessgnek, vagy rviden plyasebessgnek nevezzk. Most brzoljuk a plya menti sebessget az eltelt id fggvnyben (4. bra)!( )0t v( )2t v( )3t v0t1t2t3t0v 1v 2v ( ) t vt( )1t v( )0t v( )2t v( )3t v0t1t2t3t0v 1v 2v ( ) t vt( )1t v4. braAponttlagosgyorsulstaz i -edik szakaszon a tvihnyados adja. Az brn lthat esetbenpldul aiv plyasebessg-vltozsokmonotonnnekazeltelt idvel,teht a mozgs tlagos gyorsulsa nvekszik. A pillanatnyiplya mentigyorsulst,vagy rviden plyagyorsulsta plya menti sebessghez hasonlan rtelmezzk. Pldul a 0t idpillanatban: ( )( ) ( )0 10 10 1000lim limt tt v t vtvt at t t , 1]1

2sma /2/ Termszetesenaplyakoordinthozsplyamenti sebessghezhasonlanaplya menti gyorsulst is brzolhatjuk az id fggvnyben. Az) (t s,) (t vs) (t a fggvnyeket sszefoglal nvenforonmiai fggvnyekneknevezzk. Aforonmiai fggvnyeket ltalban egytt, egyms alatt brzoljuk.1.1.2 Egyenletes s egyenletesen vltoz mozgsokA cmbenszereplegyszermozgstpusokkal feladatmegolds sorn gyakran tallkozunk. Hatrozzuk meg, majd brzoljuk foronmiai fggvnyeiket! Egyenletesmozgsrlakkorbeszlnk, ha az anyagi pont azonost idtartamok alatt azonos nagysg is plyaszakaszokat fut be (5. bra), azaz:...3 2 1 s s s /3/( ) ( )00 t s s ( ) ( )nt s t s 00 t 1t2t3t0s 1s 2s t tnt ( )1t s( )2t s( ) ( )00 t s s ( ) ( )nt s t s 00 t 1t2t3t0s 1s 2s t tnt ( )1t s( )2t s5. braAt idtartammal a /3/ egyenletet beosztva, majdt -vel nullhoz tartva: tgtststst t t ... lim lim lim302010 tg v v v ...3 2 1/4/Teht egyenletes mozgs esetn az anyagi pont plya menti sebessge idben lland:lland v t v ) ( /5/A sebessgre az 5. bra alapjn teljesl az albbi sszefggs:( ) ( )00 ts t stg v /6/A /6/ sszefggst trendezve megkapjuk az anyagi pont plyakoordinta-id fggvnyt:( ) ( ) t v s t s + 0 /7/Egyenletesenvltozmozgsrlakkor beszlnk, haazanyagi pont azonost idtartamok alatt azonos nagysgiv sebessgvltozsokat szenved el (6. bra), azaz:...3 2 1 v v v /8/( )1t v( ) ( )00 t v v ( ) ( )nt v t v 00 t 1t2t3t0v 1v 2v t tn( )2t vt ( )1t v( ) ( )00 t v v ( ) ( )nt v t v 00 t 1t2t3t0v 1v 2v t tn( )2t vt t 6. braA t idtartammal beosztva a fenti egyenletet, majd t -vel nullhoz tartva: tgtvtvtvt t t ... lim lim lim302010 tg a a a ...3 2 1/9/Teht egyenletes vltoz mozgs esetn az anyagi pont gyorsulsa idben lland:lland a t a ) ( /10/A gyorsulsra a 6. bra alapjn teljesl az albbi sszefggs:( ) ( )00 tv t vtg a /11/A /11/ sszefggst trendezve megkapjuk a plyasebessg-id fggvnyt:( ) ( ) t a v t v + 0 /12/A plyakoordinta-id fggvny szrmaztatshoz tekintsk a 7. brt!( )2t v( ) ( )nt v t v 00 t 1t2t3t0v 1v 2v t tn 0s 1s 2s ( )1t v( ) ( )00 t v v t ( )2t v( ) ( )nt v t v 00 t 1t2t3t0v 1v 2v t tn 0s 1s 2s ( )1t v( ) ( )00 t v v ( )2t v( ) ( )nt v t v 00 t 1t2t3t0v 1v 2v t tn 0s 1s 2s ( )1t v( ) ( )00 t v v t t 7. braArvid t idtartamplyaszakaszokonasebessgnemvltozikszmotteven, gya mozgs egyenletesnek tekinthet. Ez a kzelts termszetesen annl pontosabb, minl rvidebb at idtartam. Ennek megfelelen az i-edik plyaszakaszra: ( ) t t v si i /13/Teht abefutott plyaszakasznagysgaa t alapterlets( )it vmagassgtglalap terletvel kzelthet. A fentiek alapjn a [ ] t , 0 idtartamon befutott plyaszakaszt az albbi sszeg kzelti:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t v t t v t t v s t s sn + + + 1 1 0... 0 /14/Afenti sszegnemms, mint a7. brnlthattglalapokterleteineksszege.A t idtartamminlrvidebbazazminltbbszakaszrabontjukamozgst a fentisszeg annl pontosabban kzelti a befutott s plyaszakaszt. Ezzel egytt a tglalapok terltnek sszegeegyrepontosabbankzelti a() t vfggvnysatidtengelyltal kzrefogott trapz terlett. Az elmondottakbl addik, hogy a s plyaszakasz hosszsga egyenl a fenti trapz terletvel, azaz:( ) ( )( ) ( )tt v vT s t s strapz+ 200 /15/A /15/ sszefggst trendezve megkapjuk az () t s fggvnyt:( ) ( )( ) ( )tt v vs t s ++ 200/16/Felhasznlva a /12/ sszefggst:( ) ( ) ( )220 0 tat v s t s + + /17/Most brzoljuk az egyenletes s egyenletesen vltoz mozgsok foronmiai fggvnyeit (8.bra)!tEgyenletesv t v ) (Egyenletesen vltozva 0t 00( ) t v s t s + 0 ) () (t s) 0 ( sttav( ) 0 v( ) t a v t v + 0 ) (( ) ( )220 0 ) ( tat v s t s + + ttt) 0 ( s) (t s0000tEgyenletesv t v ) (Egyenletesen vltozva 0t 00( ) t v s t s + 0 ) () (t s) 0 ( sttav( ) 0 v( ) t a v t v + 0 ) (( ) ( )220 0 ) ( tat v s t s + + ttt) 0 ( s) (t s00008. bra1. mintafeladatEgygpkocsi a10-eskilomterknl ll, amikor egymozdonylland,vsebessggel elhaladmellette. Agpkocsi azelhalads pillanatbanlland,agyorsulssal ldzbe veszi a mozdonyt.Adatok:1]1

hkmv 36,1]1

22sma 10 0va[ ] km10 0va[ ] kmKrdsek:a) Mennyi idvel az indulsa utn, s hol ri utol a gpkocsi a mozdonyt?b) Mekkora a gpkocsi sebessge az utolrs pillanatban?Megolds:a) Jelljet a gpkocsi indulstl a vonat utolrsig eltelt idt. A gpkocsi sebessge a 10-es kilomterknl ( ) 0 0 v.A fenti jellsekkel: ( )( ) ( ) ( )2 2 2) ( 10000 ) (220 10000 ) (20 010 10000 0 ) (t t t tat v s t st t v s t skocsivonat + + + + + + + Az utolrs pillanatban:( ) ( )[ ] s tt tt s t skocsi vonat10) ( 10000 10 100002+ + Az utolrs helye:( ) ( ) [ ] m t s t skocsi vonat10100 10 10 10000 + b) A gpkocsi sebessge az utolrs pillanatban: ( ) ( )1]1

+ + smt a v t vkocsi20 10 2 0 0 2. mintafeladatA Fld felszntl [ ] m 500 magassgban 1]1

sm10 nagysg kezdsebessggel lefel hajtunk egy kvet. A kzegellenllstl eltekintnk (1]1

281 , 9smg). ( ) 0 v( ) 0 h0( ) 0 v( ) 0 h0Krdsek:a) Milyen magasan lesz a k a Fld felszntl [ ] s 4 mlva?b) Mennyi id alatt r fldet a k, s mekkora ekkor sebessgnek nagysga?Megolds:A kdarab fggleges irny, egyenes vonal plyn mozog. A ksbbiekben beltjuk, hogy gyorsulsa idben lland nagysg, rtke Magyarorszg terletn 1]1

281 , 9smg, tovbb a gyorsuls rtelme a Fld kzppontja fel mutat. Legyen a plya irnytsa flfel mutat. Ekkor a kezdsebessg s a gyorsuls rtke negatv.( ) 0 v( ) 0 h0h( ) 0 v( ) 0 h0ha)( ) ( ) ( ) [ ] m tgt v h h 52 , 381 4281 , 94 10 500 ) (20 0 42 2 + b) Jellje az elhajtstl a fldet rsig eltelt idt t ! A fldet rs pillanatban: ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )1]1

+ t+ + smt g v t vs t tt tt t tgt v h t h57 , 99 13 , 9 81 , 9 10 013 , 981 , 9500 905 , 4 4 100 10500 10 ) ( 905 , 4 0) (281 , 910 500 ) (20 0 02 , 122 2 1.2 MOZGSLERS VEKTORMENNYISGEKKELHa a mozgs plyja nem ismert, akkor a skalris mozgsjellemzk nem alkalmasak a mozgs lersra. Ebben az esetben vektormennyisgeket kell bevezetni.1.2.1 Vonatkoztatsi- s koordintarendszerAzanyagi pont mozgst mindigegymsiktesthez, vagytestekhezviszonytjuk, amelyek sszessgtvonatkoztatsi rendszerneknevezzk. Avonatkoztatsi rendszer matematikai lersa a koordintarendszer. A koordintarendszereknek tbb tpusa van, itt mi csak a Descartes-fle derkszg koordintarendszerrelfoglalkozunk. A mozgsjellemz vektorilis mennyisgeket (pl.: hely, sebessg, gyorsuls) ebben a rendszerben adjuk meg. Az anyagipont(P)helytakoordintarendszer origjbla ponthoz hzott r helyvektorral adjuk meg (1. bra).rxyzrxyzP.....rrxyzrrxyzP.....9. braA helyvektornak s egyben a pontnak trbeli mozgs esetn hrom, skmozgs esetn kt koordintjavan. Azegyeskoordintkat az9.brartelmezi.Ahelyvektortltalbanaz albbi, oszlopvektoros formban adjuk meg:

,_

zyxr /18/1.2.2 Hely-id fggvny s sebessgTntessk fel az anyagi pont helyt egyenl t idkznknt (P0, P1, P2, P3 pontok, 2.bra)!Az egyes pontokhoz az( )0t r ,( )1t r ,( )2t r ,( )3t rhelyvektorok tartoznak.plya1 r 2 r 0 r ( )1t r0 v0e1P0P2P3PO( )0t r( )2t r( )3t rplya1 r 2 r 0 r ( )1t r0 v0e1P0P2P3PO( )0t r( )2t r( )3t r10. braA helyvektort megadva az id fggvnyben a pont hely-id fggvnyt kapjuk. ( )( )( )

,_

t z t y t xt r ) ( /19/Ahely-id fggvnybe egy konkrt idpontot helyettestve megkapjuk a pont aktulis helyvektort. Vezesskbeazelmozduls vektort,mint kt idbenegymst kvethelyvektor klnbsgt. Aksbbi idponthoztartozhelyvektorbl vonjukki akorbbi idponthoz tartozt (10. bra). Azaz pldul, ( ) ( )0 10 t r t r r . Minl rvidebb a tidkz a 0 r vektorannlinkbbamozgsirnybamutat, hosszsgapedigkzelti aplynbefutott 1 0P P v hosszt. Teht,t -t cskkentve a tr 0 vektor irnya s nagysga kzelti a 0P pontbeli mozgsirnyt s sebessgnagysgot. A vektorilis sebessget, a 0t idpillanatban, ezek alapjn az albbi mdon rtelmezzk:( ) ( )0 10 10 1000lim lim ) (t tt r t rtrt vt t t /20/A 0 t jells azt jelzi,hogy az elmozduls idtartamt nullra cskkentve kpezzk a tr 0hnyadost. Az gy rtelmezett sebessg irnya, rtelme s nagysga mr pontosan az adott idpillanathoz tartoz mozgsirny, rtelem s sebessgnagysg. A sebessgvektor fontos tulajdonsga, hogy mindig a plya adott pontbeli rintjnek irnyba mutat. 1.2.3 Hely-id fggvny s sebessgA gyorsulsvektor rtelmezshez tekintsk a 3. brt! ( )0t v0 v 1 v 2v plyahodogrfa,b,hodogrfc,( )1t v( )2t v( )0t a( )1t a( )2t a( )3t v( )0t v( )1t v( )2t v( )3t v( )0t a( )1t a( )2t aO( )0t v0 v 1 v 2v plyahodogrfa,b,hodogrfc,( )1t v( )2t v( )0t a( )1t a( )2t a( )3t v( )0t v( )1t v( )2t v( )3t v( )0t a( )1t a( )2t aO3. braAz bra arszn felrajzoltuk az anyagi pont plyjt s feltntettk rajta az anyagi pont sebessgvektort nhny, egymst kvet idpillanatokban. Ezt kveten a sebessgvektorokat az bra b rszn lthat O pontbl, mint kzs kezdpontbl felrajzoltuk. A sebessgvektorok vgpontjai ha elg srn vesszk fel ket egy grbt rajzolnak ki, az gynevezettsebessg hodogrfot. Agyorsulstaz brabrsze alapjn hasonlan rtelmezzk, mint ahogyazt asebessgesetbentettk. Csakmost a0 r elmozduls helyett, a 0v sebessgvltozst hasznljuk a definciban: ( ) ( )0 10 10 1000lim lim ) (t tt v t vtvt at t t /21/Mint korbbanemltettk a sebessg a plya adott pontbeli rintjnek irnyba mutat.Ez alapjnagyorsulsirnyaazbrabrsznlthathodogrfgrberintjnekirnya. Az bra crszn feltntettk a gyorsulsvektorokat. Fontos eredmnyre jutunk, ha a gyorsulsvektorokat tmsoljuk az bra a rszre, a plya megfelel pontjaiba. Lthat, hogy a gyorsuls mindig a plya belseje (homor oldal) fel mutat!2. ANYAGI PONT DINAMIKJATapasztalatbl tudjuk, hogy egy testmozgsllapotaegy msik test hatsra megvltozhat. A mechanikban ezt a hatst egy ervel vesszk figyelembe, s azt mondjuk, hogyatest mozgsllapotaamsiktest ltal kifejtett erhatsravltozott. Azazatest mozgsllapott a r hat erk befolysoljk. A dinamika trgya annak vizsglata, hogy egy test a r hat erk hatsa alatt hogyan fog mozogni (milyen hely-, sebessg- s gyorsuls-id fggvnyszerint) vagyfordtva, atest elrt mozgshozmilyenerkrevanszksg.Az utbbi esettel a knyszermozgsoknl tallkozunk.NEWTON TRVNYEIAdinamika alapjtNewtonngytrvnyekpezi. Ezeket most anyagi pont mozgsra fogalmazzuk meg, dekiterjedt testekmozgsra is ltalnosthatk. Tovbb felttelezzk, hogy az anyagi pont tmege lland. A dinamika alapfeltevse az, hogy mindig tallhat olyan vonatkoztatsi rendszer gynevezett inercia rendszer , amelyben Newton trvnyei teljeslnek.A mszaki mechanikban a Fldhz rgztett vonatkoztatsi rendszer ilyen. Az ehhez kpest gyorsul rendszerek nem inercia rendszerek. Bennk egy test akkor is gyorsul mozgst vgez, ha nincs klcsnhatsban ms testekkel. (pl. egy gyorsul jrmben, mint vonatkoztatsi rendszerben, egytrgyakkorisgyorsulhat, haarhaterkeredje nulla!) Newton trvnyei teht inercia rendszerben teljeslnek. Newton I. trvnye (tehetetlensg trvnye): Haegyanyagipontnincsklcsnhatsban ms testekkel,akkorsebessge idben lland; azaz egyenes vonal egyenletes mozgst vgez, vagy nyugalomban van. lland v /22/Teht a sebessg fenntartshoz nem szksges egy msik test hatsa! (Pldul a vilgrben elhajtott kdarabegyenesvonalegyenletes mozgst vgezmindaddig, amgegygitest gravitcis mezejvel klcsnhatsba nem kerl) Newton II. trvnye (mozgsegyenlet):Ha egy anyagi pont klcsnhatsban van ms testekkel, akkor azok egyttes hatsa, minden idpillanatban egyrtelmen meghatrozza az anyagi pont tmegnek s gyorsulsnak szorzatt. A hats jellemzsre az ernev fizikai mennyisget vezetjk be,[ ] N F .Teht: a m F /23/Az anyagi ponttarts nyugalmi llapotaesetn a gyorsuls zrus. Ebbl addan Newton II. trvnye az albbi, egyenslyi egyenlett egyszersdik:0 F/24/Ha egy tartsan egyenslyban lv anyagi pontra hat ismeretlen er meghatrozsa a feladat, akkor a /24/ egyenletet kell felrni s megoldani. Newton III. trvnye (hats-ellenhats trvnye): Egy test s egy anyagi pont klcsnhatsa sorn minden pillanatban teljesl az albbi egyenlsg:pt tp F F /25/Aholtp Fa test ltal a pontra, pt F pedig a pont ltal a testre kifejtett er.Newton IV. trvnye (erhatsok fggetlensgnek elve): Ha egy anyagi pontra tbb test is hatst gyakorol, akkoraNewtonII. trvnybenszereplF erhelyreazoni F erk vektorilis sszegt kell rni, amelyeket a testek kln-kln, a tbbi test hinyban fejtennek ki az anyagi pontra. Azaz az erk nem befolysoljk egyms hatst:ii F F /26/ERTRVNYEKMost szmba vesszk a mszaki gyakorlatban leggyakrabban elfordul klcsnhatsokat, s megadjuk az ernek a klcsnhats paramtereitl val fggst, azaz az ertrvnyt. Az ertrvnyeket ltalban ksrleti ton, mrssel hatrozzk meg. Gravitcis erBrmely kt tmeggel rendelkez test kztt fellp a gravitcis er, amely mindig vonz jelleg (4. bra). mMrgFr emMrgFr e4. braAzernagysgt pontszer, vagygmbszimmetrikus testekesetnazalbbi sszefggs adja,2grmMF /27/ ahol 1]1

2211kgNm10 679 , 6 a gravitcis lland, m,Ma kt test tmege,rpedig a kt test geometriai kzppontjnak tvolsga. Az er nagysga akkor rzkelhet, ha legalbb az egyik test nagyon nagy tmeg (pl. egy gitest). Ebben az esetben be szoktk vezetni a nagy, M tmegtest kzppontjbl akis,mtmegtesthezmutat r helyvektort, vagya belle kpzett rrer egysgvektort. Ekkor az m tmeg testre hat er:rrMmerMmF3r2g /28/ A mszaki gyakorlatban a nagy tmeg test ltalban a Fld. A Fld felsznn, vagy annak kzvetlenkzelbenmozgtestekesetnaz r tvolsgvltozsaazFRFldsugrhoz kpest elhanyagolhat, gyagravitcisernagysgallandnaktekinthet, sazalbbi, egyszer formban rhat: lland gm mRMF2FFg /29/ Az sszefggsben ga gravitcis gyorsulsnagysgt,FMs FRa Fld tmegt s sugart jelli. Mivel a Fld nem tkletesen gmb alak, a gravitcis gyorsuls nagysga kis mrtkben fgg a fldrajzi helytl, rtke Magyarorszg terletn 2sm81 , 9 g .2.2.2 Rugalmas erHaegyspirlrugt megnyjtunk, vagysszenyomunkakkor aza rughossztengelyvel egyirny, a megnylssal/sszenyomdssal ellenttes rtelm ert fejt ki. r Fr e*rrr P*PCr Fr e*rrr P*PC5. braA rger eljeles nagysgt az albbi sszefggs szolgltatja,r c Fr , 1]1

mNc/30/ahol c a rglland vagy rugmerevsg,r a rg megnylsa/sszenyomdsa, amely megnyls esetn pozitv, sszenyomds esetn pedig negatv eljel.A rgert vektorosan az albbi sszefggs adja,r*r r e ) r r ( c e r c F /31/ ahol*rs r azanyagi pontnakarugrgztett C vgponttl mrt tvolsgaarug terheletlen, smegnyjtott (sszenyomott) llapotban,r e pediga C pontbl azanyagi pont irnyba mutat egysgvektor.2.2.3 Kzegellenllsi erEgy folyadkban, vagy gzban mozg testre kzegellenllsi er hat, amely a test pillanatnyi sebessgvel azonos irny, de ellenttes rtelm. Kis sebessgek esetn az er nagysga a kzeghezviszonytott sebessgels, asebessgnvelsvel egyreinkbbannakmsodik hatvnyval arnyos. (Kis sebessgrl addig beszlnk, amg a kzeg rvnymentesen ramlik a test krl.) Ha a test specilisan gmb alak, kis sebessgeknl teljesl a Stokes-trvny:v R 6 F /32/ Az sszefggsben R a gmb sugarapedig a folyadk vagygzviszkozitsa. A viszkozits a folyadk bels srldst jellemzi. Nagyobb sebessgeknl az er nagysgra szmos gyakorlati esetben teljesl az albbi sszefggs:2v CA21F /33/ Az ert vektorosan felrva:v v21CA F /34/ Az egyenletben szereplCkonstans az alaki tnyez (a test ramvonalassgt jellemzi), azA konstans a test homlokfellete (legnagyobb fellete a sebessgre merleges irnyban), a kzeg srsge.2.2.4 KnyszererkSzmosgyakorlati esetbenatmegpont csakegyelrt fellet, vagyplyamentn mozoghat. Erre plda egy vasti kocsi, amely csak a snen haladhat, vagy egy nyjthatatlan ktlre fggesztett pontszer test, amelynek mozgsa egygmbfelletre korltozott. De pldaknt emlthetjk egy skfellet lejtn, vagy hepehups dombvidken halad gpkocsit, amelynek mozgsi fellete a terepviszonyok ltal meghatrozott.Az elrt plyn/felleten trtn mozgst minden esetben egymerev(nem deformlhat)testltal kifejtett er biztostja.A fenti pldkban a merev test a sn, ktl, lejt, dombvidk, amelyeket sszefoglal nven knyszereknek neveznk, a knyszerek ltal kifejtett ert pedig knyszerernek. A knyszererkre mindig teljesl valamilyen felttel. A ktler ktlirny s hz jelleg. Egy idelisan sima, srldsmentes fellet ltal kifejtett knyszerer a felletre merleges irnys nyomjelleg. Egysrldsmentes grbeltal kifejtett knyszerer pedig mindig a plya rintjre merleges.Avalsgban minden felletnek vanrdessge, ami azt eredmnyezi, hogy a knyszerernek a fellet skjba es (grbe rintjnek irnyba mutat) komponense is van. Ezt a komponenst mozg pont esetn csszsi srldsi, mg nyugv pont esetn tapadsi srldsikomponensneknevezzk. Acsszsisrldsi komponens mindiga tmegpont sebessgvel egyez irny s ellenttes rtelm (6. bra). nevnFsFk Fn s k F F F + nevnFsFk Fn s k F F F + nen t k F F F + 0Srldsi kpmax tFnFk FtFnen t k F F F + 0Srldsi kpmax tFnFk FtF6. braNagysga arnyos a felletre (grbe rintjre) merleges komponens nagysgval.n sF F , ( tg ) /35/ Afellet rdessgt jellemzarnyossgi tnyezt(csszsi) srldsitnyeznek neveznk.Nyugv pont esetn, rgztett nagysgnFnyomkomponens mellett, aztF tapadsi srldsi komponensnekltezik egy max tFmaximlis rtke, amely fl nem emelkedhet,mertakkor bekvetkezik a megcsszs. Ez a maximlis rtk arnyos aznF komponens nagysgval. Az arnyossgi tnyezt tapadsi srldsi tnyeznek nevezzk, jele: 0. Teht:n 0 max tF F , (0 0tg ) /36/Az elmondottakbl addik, hogy az k F knyszerer mindig egy olyan kpon bell, vagy hatresetben annak alkotjn helyezkedik el, amelynek cscsa egybeesik az anyagi ponttal, szimmetria tengelye a nyomkomponens egyenese, fl nylsszgt pedig az0 0arctg sszefggs definilja. A fenti kpot srldsi kpnak nevezzk (18. bra). Az elmondottak alapjn teht mindig teljesl az albbi egyenltlensg:max t n 0 tF F F /37/2.2.5 Molekulk s atomok kztt fellp erA molekulk (atomok) kztt fellp erket csak minsgileg rjuk le, mennyisgileg nem. A 6. brnkt molekula (atom) kztt fellp ert brzoltuk a kt molekula (atom) tvolsgnak fggvnyben. A taszt ert pozitv, mg a vonzert negatv eljellel tntettk fel.Fr0dmaxdFr0dmaxd7. braAz brrl leolvashat, hogy ltezik egy 0degyenslyi tvolsg, amelynl a kt molekula (atom) ltal egymsra kifejtett er nagysga nulla. Ha ennl kzelebb visszk a kt molekult egymshoz, akkor taszter lp fel, amelynek nagysga a tvolsg cskkentsvel rohamosan n, ha tvolabb, akkor vonzer, amely egymaxdtvolsgig n, majd fokozatosan nullra cskken.MOZGSEGYENLETNewton II trvnye mozgsegyenletnven is ismert. A mozgsegyenletbe berva az ertrvnyekkonkrt alakjt, egydifferencil egyenletet kapunk. Adifferencilegyenletek megoldshozltalbankomolymatematikai nehzsget jelent. Alegegyszerbbesetet az jelenti, amikor az egyenletben szerepl erk nemfggnek a tmegpont sebessgtl s helytl. Ekkor a gyorsuls-id fggvny (ha az erk fggetlenek az idtl, akkor specilisan a gyorsuls rtke) a tmeggel val oszts utn kzvetlenl addik. PLDK2.4.1 Hajtsi problmkHozzunk mozgsba a vzszinteshez kpest szgben,v0nagysg kezdsebessggel egy anyagi pontot: Hajtsunk el pldul egy kdarabot! Ha a dobs elgnagy, akkor a k mretei a plya mretei mellett elhanyagolhatak, gy a kvet anyagi pontnak tekinthetjk. Tekintsnk el a kzegellenllstl. Ekkor a kre csak a gravitcis er hat, amely minden pillanatban a Fld kzppontja fel mutat. A k mozgsegyenlete:TehtagyorsulsvektorisaFldkzppontjafelmutat, sllandg nagysg. ( ) 0 rg( ) 0 vxyz0x0y( ) yv 0( ) xv 0( ) 0 rg( ) 0 vxyz0x0y( ) yv 0( ) xv 08. braVegyk fel az brn lthat derkszg koordintarendszert gy, hogy a mozgs kezdeti pillanatt jellemzsvektorok, valamint avektor az xy skba essenek. Ekkor a mozgs az xy skban zajlik, gy a z koordinta a mozgs lersban nemjtszik szerepet. A gyorsuls, a kezdeti sebessg, s a kezdeti hely koordinti:A gyorsuls xirny komponense zrus,yirny komponense lland g nagysg. Ebbl addanamozgsxirnybanegyenletes,yirnyban egyenletesenvltoz. Teht aksebessg- shely-idfggvnyeinek komponensei:Tmr vektorilis jellssel:Most oldjunk meg kt hajtsi feladatot!3. mintafeladat Egy lvedket a vzszintesselos 40szget bezr,1]1

sm100 nagysg kezdsebessggel kilvnk. A kzegellenllstl eltekintnk (1]1

281 , 9smg).0vPd0vPdKrdsek:a) Vegyenfel clszer koordintarendszert a mozgs lershoz, majdhatrozza mega lvedk helyvektort a kilvs utn [ ] al s 2! b) Milyen tvol van ekkor a lvedk a kilvs helytl, s mekkora sebessgnek nagysga? c) Milyen d tvolsgban r fldet a lvedk a kilvs helytl?Megolds: P( ) 0 vxy( ) 2 r( ) 2 v( )1t rP( ) 0 vxy( ) 2 r( ) 2 v( )1t ra) Elszr felrjuk a lvedk kezdeti hely s sebessgvektort, valamint a gravitcis gyorsulst. ( ) [ ]( )( )( )1]1

,_

1]1

,_

,_

,_

,_

281 , 903 , 646 , 7640 sin 10040 cos 100sin 0cos 00000smgsmvvvm rEzt kveten felrjuk a lvedk hely-id fggvnyt.( ) ( ) ( ) [ ] mt ttt t tgt v r t r

,_

,_

+

,_

+

,_

+ + 22 2905 , 4 3 , 646 , 76905 , 403 , 646 , 760020 0Most helyettestsk be a [ ] ot s 2 t helyre. ( ) [ ] m r

,_

,_

93 , 10821 , 1532 905 , 4 2 3 , 642 6 , 7622b) A krdses tvolsg nem ms, mint a helyvektor hosszsga.( )( ) ( )[ ] m y x r 99 , 187 93 , 108 21 , 153 22 2 2222 + + A sebessg nagysgnak kiszmtshoz fel kell rnunk a lvedk sebessg-id fggvnyt: ( ) ( )( )1]1

,_

,_

+

,_

+ smtt t vt g v t v81 , 9 3 , 646 , 7681 , 903 , 646 , 760A sebessg-id fggvnybe a [ ] ot s 2 behelyettestve: ( )1]1

,_

,_

smv66 , 446 , 762 81 , 9 3 , 646 , 762A sebessg nagysga: ( )1]1

+ smv 67 , 88 66 , 44 6 , 76 22 2c) Induljunk ki a hely-id fggvnybl: ( ) [ ] mt ttt r

,_

2905 , 4 3 , 646 , 76A fldet rs pillanatban a lvedk helyvektora:( ) [ ] mdt r

,_

01 , ahol1t a kilvstl a fldet rsig eltelt idt jelenti.Ezt felhasznlva:( )

,_

,_

21 111905 , 4 3 , 646 , 760 t ttt rdInnen az albbi egyenletrendszert kapjuk:I)16 , 76 t d II)[ ] s t t t 1 , 13 905 , 4 3 , 64 0121 1 1t-et behelyettestve az els egyenletbe megkapjuk a keresett tvolsgot:[ ] m d 46 , 1003 1 , 13 6 , 76 4. mintafeladat Avzszinteshez kpest milyenszgben kell elhajtani egy pontszer testet, hogy ugyanolyanmagasra emelkedjk, mint amilyen tvol r vissza az elhajts szintjre? A kzegellenllstl eltekintnk. Megolds:Jelljkazelhajtstl aplyatetpontjnakelrsigeltelt idt1t-el. Atetpontbana sebessg y irny komponense nulla. Ezt felhasznlva:

,_

,_

1 00010) (gt vvvt vyxx gvty 01

,_

,_

,_

,_

,_

gv gv vgvggvvgvvtgt vt vyxt ryy xy yyyxyxMAXMAX2 22) (200 020 000021 1 01 01A fldet rs helynek az elhajts helytl mrt tvolsga: gv vx dy xMAX MAX0 022 A feladat felttele szerint: MAXy d max tgvvxy 400 76

2.4.2 Mozgs rdes lejtn5. mintafeladat Egymtmegpontszertestet egyenes vonal, avzszintesselszget bezrrdes lejtn, llandFervel t ideig hzunk felfel.Adatok:[ ] kN F 5 , [ ] kg m 500 , 1]1

smv 00, [ ] s t 3 , 3 , 00 , 1 , 0 ,30 , 10 1]1

281 , 9smg ,0mF ,0mFKrdsek:a, Elegend-e a megadott er nagysga a test megmozdtshoz?b,Ha igen, akkor mekkora a test gyorsulsa, s a talaj ltal kifejtett knyszerer nagysga a mozgs sorn?c, Mekkora lesz a test plyasebessge t id elteltvel, ha kezdetben nulla volt? (A feladatot oldja meg az impulzusttel felhasznlsval is!)d, Mekkora s plyaszakaszt fut be a test a megadott t id alatt.Megoldsa, Felttelezzk az egyenslyt:eng m cos mg sin mgtFnFk FF cos F sin Feng m cos mg sin mgtFnFk FF cos F sin FEgyenslyi egyenlet:0 + + k gii F F F F

,_

,_

+

,_

+

,_

0000 0cossin0sincosntFFmgmgFFI. 0 sin cos tF mg F sin mg cos F Ft II. 0 cos sin + nF mg F sin cos F mg Fn A test nyugalomban marad, ha:n tF F0 Azaz: sin cos mg F ) sin cos (0 F mg 30 sin 81 , 9 500 10 cos 5000) 10 sin 5000 30 cos 81 , 9 500 ( 3 , 0 [ ] [ ] N N 88 , 1013 53 , 2471 > A test elmozdul.b,eng m cos mg sin mgsFnFk FF cos F sin Feng m cos mg sin mgsFnFk FF cos F sin FMozgsegyenlet:a m F F F F k gii + +

,_

,_

+

,_

+

,_

000 0cossin0sincos maFFmgmgFFnsI.ma F mg Fs sin cosII.0 cos sin + nF mg F sin cos F mg Fn

A knyszerer komponensei kztti kapcsolat:III. n sF F I.1]1

227 , 4) sin cos ( sin cossmmF mg mg Fa A knyszerer nagysga: [ ] N F F F F F F F Fn n n n n n s k45 , 3396 1 ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2 + + + + c, 1]1

+ smt a v v 81 , 12 3 27 , 40d,[ ] m tat v s 21 , 19 3227 , 422 20 + 2.4.3 Statikai pldk6. mintafeladatAz brn lthat m tmeg, pontszer test nyugalomban van. Adatok:[ ] N F 150 30 1]1

281 , 9smgFmFmKrdsek:a) Rajzoljuk be a testre hat erket!b) Vlasszunk egy clszer koordintarendszert, s rjuk fel benne a test egyenslyi egyenleteit, majd hatrozzuk meg a ktlben bred er nagysgt, valamint a test tmegt!c) Szerkesszk meg a ktlert, valamint a testre hat gravitcis ert!Megolds:a) FKg myxsin K cos K FKg myxsin K cos K b)

,_

,_

+

,_

+

,_

+ + 00 00 sincosmgFKKg m F K FiI) 0 cos F K I) [ ] N K K 205 , 173 0 150 30 cos II) [ ] kg m m 83 , 8 0 81 , 9 30 sin 205 , 173 c)FKg m7. mintafeladat Azbrn lthat, nyjthatatlan fonlhoz erstettmtmeg, d tmrj pingponglabdt szlsebessg mrsre hasznljuk. Egy adott szlerssgnl megmrjk a fonl fgglegessel bezrt szgt, a gmbCalaki tnyezje ismert.Adatok:g m 465 , 2 mm d 7 , 37 45 , 0 C3204 , 1mkgleveg 30 1]1

281 , 9smgxysz FKg mxysz FKg mKrds:Hatrozzuk meg a megadott adatokbl a mozg leveg (szl) ltal a nyugv labdra kifejtettszF kzegellenllsi er nagysgt, majd abbl a szlsebessget!Megolds:Felrjuk a labda egyenslyi egyenlett:0 + + sz k F g m FA mozgs lershoz az brn lthat koordintarendszert vlasztjuk, majd az sszes ert x s y komponensekre bontjuk. A labda egyenslyi egyenlete ezt kveten:000cossin

,_

+

,_

+

,_

szkkFmg FFEbbl az albbi kt skalregyenlet addik:I. 0 sin + sz kF F II. 0 cos mg FkA fenti egyenletekbl:NmgFsz014 , 0 sincos ,221ACv Fsz smACFvsz805 , 62