KINEMATYKA

Niektóre powody dla których dział ten, mimo że na ogół jest nielubiany, może

być fascynujący

• wyrabia abstrakcyjne myślenie i wyobraźnie,• zawiera wiele prostych a jednocześnie efektownych doświadczeń,• ma bardzo mocne odniesienie; zarówno do życia codziennego jak i w innych

działach fizyki, czy techniki,

• opisuje najbliższą człowiekowi rzeczywistość,

Kinematyka – zajmuje się opisem ruchu bez pytania o jego przyczyny.

Na początku jednak kilka ogólnych pojęć, zaczniemy oczywiście od definicji

pojęcia ruchu; jest ona bardzo prosta:

Ruch – to dokonująca się w czasie zmiana położenia danego ciała względem

innego, zwanego układem odniesienia

Układ odniesienia – to ciało, lub układ ciało względem którego opisujemy ruch

lub spoczynek

Ponadto obowiązuje zasada względności ruchu w myśl której: ciało będące w

ruchu względem jednego układu odniesienia może być w spoczynku względem

innego układu odniesienia, zaś same układy odniesienia można sklasyfikować

następująco:

Układy odniesienia:

• ze względu na ruch układu odniesienia wyróżniamy:– układy inercjalne – będące w spoczynku (względem układu inercjalnego)

lub poruszające się ruchem jednostajnym, prostoliniowym,

– układy nieinercjalne – poruszające się (względem układu inercjalnego)

ruchem zmiennym

• ze względu na wartość prędkości układu odniesienia wyróżniamy:– układy nierelatywistyczne – poruszające się z prędkością dużo mniejszą

niż prędkość światła (v

• ze względu na geometrie układu odniesienia wyróżniamy:– układy kartezjańskie – w których współrzędne ustalamy względem pro-

stopadłych do siebie osi i dzielą się one na:

∗ jednowymiarowe – posiadające jedną oś liczbową,∗ dwuwymiarowe – posiadające prostopadłe do siebie dwie osie liczbowe,∗ trójwymiarowe – posiadające prostopadłe do siebie trzy osie liczbowe,

– układy niekartezjańskie – np. biegunowy, sferyczny, walcowy których

używa się gdy zagadnienie ma odpowiednią symetrię, co mocno upraszcza

rozważania

Dokonamy w tym miejscu klasyfikacji rodzajów ruchu:

• ruch postępowy – każdy z punktów poruszającego się ciała ma tą samąprędkość liniową, i dzieli się on na:

– ruch po lini prostej (prostoliniowy)

∗ ruch jednostajny, prostoliniowy∗ ruch niejednostajny (zmienny), prostoliniowy

· ruch jednostajnie zmienny, prostoliniowy (czyli jednostajnie przyspie-szony i jednostajnie opóźniony),

· ruch niejednostajnie zmienny, prostoliniowy– ruch po krzywej (krzywoliniowy), który zawsze jest ruchem zmiennym,

∗ ze stałą WARTOŚCIĄ prędkości· po krzywych otwartych· po krzywych zamkniętych (okrąg, elipsa itp.) tu znajduje się ruch

jednostajny po okręgu, który będziemy omawiać

∗ ze zmienną WARTOŚCIĄ prędkości· po krzywych otwartych· po krzywych zamkniętych (okrąg, elipsa itp.)

• ruch obrotowy – każdy z punktów poruszającego się ciała (oprócz punktówleżących na osi obrotu, o ile przechodzi ona przez rozważane ciało) ma

tą samą prędkość kątową. Dotyczy on przede wszystkim bryły sztywnej i

zostanie sklasyfikowany gdy będą omawiane zagadnienia związane z bryłą

sztywną.2

Jedną z najważniejszych do zrozumienia rzeczą przy omawianiu np. mechaniki

jest pojęcie idealizacji. Polega ono na tym, że odrzucamy nieistotne na danym

poziomie rozważań rzeczy, co przyczynia się niejednokrotnie do radykalnego

uproszecznia opisu danego zjawiska.

W przypadku mechaniki owa idealizacja polega np. na tym, że możemy przyjąć,

że ciało jest punktem, co okazuje się bardzo przydatne np. gdy nie interesują nas

obroty rozważanego ciała. Mamy wówczas tzw. mechanikę punktu materialnego

i tym będziemy się zajmować dokładnie w dziale MECHANIKA.

Kinematyka punktu materialnego.

Jak już powiedziano wcześniej kinematyka zajmuje się opisem ruchu bez pytania

o jego przyczyny, w ramach kinematyki omówimy następujące zagadnienia:

1. Podstawowe pojęcia,

2. Prędkość i przyspieszenie,

3. Ruch jednostajny prostoliniowy,

4. Ruch jednostajnie przyspieszony i jednostajnie opóźniony, prostoliniowy,

5. Rzuty pionowe,

6. Ruchy krzywoliniowe, ruch jednostajny po okręgu,

7. Ruchy złożone:

(a) Rzuty poziomy,

(b) Rzut ukośny,

Ad. 1

Rozważmy ciało poruszające się, dla uproszczenia rozważań na płaszczyźnie.

Wybierając kartezjański (prostokotny, „zwykły”) układ współrzędnych do jego

opisu (problem odpowiedniego wyboru układu odniesienia jest jednym z klu-

czowych zagadnień mechaniki, wiele problemów zostało w efektywny sposób

rozwiązanych dzięki wprowadzeniu odpowiedniego układu odniesienia) możemy

określić podstawowe pojęcia związane z ruchem, co przedstawiono na poniższym

rysunku:3

r∆

rA

rB

A

B

y

x

s

P

K

Ruch rozważanego ciała od-

bywa się po pwenej krzywej

płaskiej o początku w punk-

cie P i końcu w punkcie K.

Umieszczając całe zagadnie-

nie w prostokątnym, dwuwy-

miarowym ukłądzie odniesie-

nia wyróżniamy:

• Tor (|PK|) – krzywa po której porusza się rozważane ciało (cała),• Ślad (|PA|) – część toru którą ciało „ już przebyło”,• Droga (s = |AB|) – długość odcinka toru na którym badamy ruch,• Położenie początkowe – wektor ~rA,• Położenie końcowe – wektor ~rB,• Przemieszczenie – wektor ~∆r = ~rA − ~rB,• Długość przemieszczenia – długość wektora ~∆r, czyli liczba | ~∆r|

Ad. 2 Prędkość i przyspieszenie

Określenie prędkości jest dość trudne i to z dwóch powodów, po pierwsze

istnieją aż trzy w ogólności różne rodzaje prędkości (a na dodatek są one różnie

interpretowane w różnych częściach Polski), po drugie zaś najważniejsza z nich

– prędkość chwilowa, jest definiowana w oparciu o rachunek różniczkowy.

Prędkość średnia (wektor) – jest to stosunek przemieszczenia, do czasu w którym

owo przemieszczenie nastąpiło:

~< v > =~∆r

∆t

Wektor prędkości średniej ma ten sam kierunek i zwrot co wektor przemieszczenia,

przeto nie będziemy go przedstawiali na rysunku,

Wyznaczając długość wektora ~< v > otrzymamy wartość prędkości średniej

(liczba < v >= | ~< v >|), jest to jednocześnie stosunek długości wektora4

przemieszczenia do czasu w którym przemieszczenie nastąpiło:

< v >=| ~∆r|∆t

I tu pojawia się pierwsza trudność ponieważ wartość prędkości średniej mylona

jest z szybkością określoną następująco:

Szybkość (liczba) – jest to stosunek drogi (pamiętamy, że jest to liczba) do czasu

w którym owa droga została przebyta:

vsz =s

t

W przypadku, gdy tor ruchu jest linią prostą, długość przemieszczenia jest

tym samym co droga a zatem dla ruchów prostoliniowych szybkość jest równa

wartości prędkości średniej:

< v >=| ~∆r|∆t

=s

t= vsz

I najtrudniejszy do zrozumienia rodzaj prędkości:

Prędkość chwilowa (wektor) – prędkość średnia na coraz to któtszym odcinku

przemieszczenia, czyli gdy czas potrzebny na przebycie odcinka drogi zmierza do

zera:

~v = lim∆t→0

( ~∆r

∆t

)

Powyższa definicja pozornie wydaje się zła, ponieważ jeśli będący w mianowniku

czas (∆t) dąży do zera to mamy sprzeczność. Warto jednak zauważyć że skoro

czas przebycia danej drogi dąży do zera to i wartość przemieszczenia dąży do

zera a wówczas okaże się, że „zero podzielone przez zero” może dać konkretną

liczbę. Trochę to pokręcone ale gdy gdy w tym momencie myślisz sobie „nie

jest to takie głupie” to nie powinieneś mieć kłopotów ze zrozumieniem rachunku

różniczkowego.

O tym, że prędkość chwilowa to konkretna wielkość fizyczna można przekonać

się także patrząc na poniższy rysunek:5

1r(t )

r(t )3

r(t )2

v 1

v 0

v 2

v 3t t0

x

y

r(t )0

P

Aby wyznaczyć prędkość chwilową w punkcie P bierzemy najpierw dowolną

chwilę czasu t1 > t0 i obliczamy prędkość średnią (v1) w czasie t1− t0. Biorącnastępnie chwile czasu (t2, t3 ...) coraz to bliższe t0 i obliczając kolejne średnie

prędkości (v2, v3 ...) otrzymamy coraz to lepsze przybliżenie prędkości chiwlowej

w punkcie (v0).

Z powyższego rysunku widać ponadto, że prędkość chwilowa jest styczna do

toru co jest bardzo ważną własnością prędkości chwilowej.

Ponadto prędkość chwilowa jest tak ważną wielkością fizyczną, że pomijamy na

ogół przymiotnik „chwilowa”.

Wartość prędkości chwilowej (liczba) – jest to oczywiście długość prędkości

chwilowej.

Jednostką prędkości w układzie SI jest „metr na sekundę”:

[v] =m

s

W życiu codziennym częściej używa się jednostki: „kilometr na godzinę”, pomiędzy

obiema jednostkami zachodzi związek:

1km

h= 1

1000m

3600s=

5

18

m

s⇒ 1m

s=

18

5

km

h6

W przypadku, gdy chcemy wyznaczyć prędkość jednego ciała względem drugiego

stosujemy pojęcie prędkości względnej:

Prędkość względna ~v1 względem prędkości ~v2 jest określona następująco:

~vw = ~v2 − ~v1

W przypadku gdy ruch nie jest jednostajny, przyczym owa niejednostajność

może wynikać nie tylko ze zmian wartości prędkości ale również ze zmiany jej

kierunku (a będzie to miało miejsce np. gdy ruch odbywa się po jakiejś krzywej),

wprowadza się pojęcie przyspieszenia jest ono definiowane następująco.

Przyspieszenie średnie (wektor) – stosunek zmiany prędkości do czasu w którym

ta zmiana nastąpiła.

~a =∆~v

∆t[a] =

m

s2

Przyspieszenie chwilowe (wektor) – wartość graniczna przyspieszenia śreniego na

nieskończenie którkim odcinku czasu.

~a = lim∆t→0

(

∆~v

∆t

)

Dla ciała poruszajcego się po krzywej wyróżnia się przyspieszenie styczne do

toru (~as) i normalne ( ~an, prostopadłe do toru). Suma obu tych wektorów daje

przyspieszenie wypadkowe co pokazano na rysunku:

an

as

a

Jednostką przyspieszenia w ukłądze SI jest „metr na sekundę do kwadratu”

[a] =ms

s=

m

s27

Potocznie używa się jeszcze jednostki „g” czyli określa się dane przyspieszenie

jako wielokrotność przyspieszenia ziemskiego (g = ms2

).

Ad. 3 Ruch jednostajny, prostoliniowy

Najprostszy z omawianych przez nas rodzajów ruchu jest określony następująco:

Ruch jednostajny, prostoliniowy – ruch w którym tor jest linią prostą i wartość

prędkości w każdej chwili pozostaje stała (oszczędniej można napisać: że jest to

ruch w krórym prędkość pozostaje stała, jako wektor)

~v = const

Z uwagi na stałość wartości prędkości i prostoliniowość toru, okazuje się że:

• szybkość jest równa wartości prędkości,• prędkość chwilowa jest równa prędkości średniej,

Ponadto wybierając układ odniesienia w ten sposób, że będzie to oś liczbowa, to

okaże się że zamiast wektorów położenia wystarczą współrzędne na osi liczbowej.

Rozważmy następujący przypadek, ciało poruszając się ruchem jednostajnym,

prostoliniowym, w chwili początkowej jest w położeniu x0 natomiast w chwili

końcowej – w położeniu xk, i zbliża się do początku układu odniesienia:

xk

x0

vv

x

0

s

Spróbujemy napisać równania ruchu. Przedstawiają one zależność położenia,

prędkości i przyspieszenia od czasu i mając dane takie równania jesteśmy w

stanie przewidywać co będzie działo się z badanym ciałem, dlatego też jeśli uda

nam się napisać równania ruchu poprawnie, to jesteśmy o krok od rozwiązania.

W naszym przypadku są one bardzo proste:

x(t) = x0 − vt v(t) = v = const a(t) = 08

zaś wykresy zależności x = x(t), v = v(t) są następujące:

x0

tk

t0

x

t

t0 tk

Droga przebyta w czasie

od chwili poczatkowej do

koncowej jest rowna

temu polu powierzchni

(liczbowo)

v

t

v

Podstawiając do równania ruchu położenia; początkowe i końcowe mamy:

x(0) = x0 x(tk) = xk = x0 − vtk

Długość odcinka toru to droga; w naszym przypadku wynosi ona:

s = x(0) − x(tk) = x0 − (x0 − vtk) ⇒ s = vt

Z równań ruchu można wyznaczyć czas (tk) po którym ciało powróci do

położenia (x(t) = 0)

0 = x0 − vtk ⇒ tk =x0

v

Teraz, natomiast, rozważmy sytuację, gdy ciało będąc na początku w położeniu

x0 oddala się od początku układu odniesienia:

x0

xk

x

0

s

v v

Tym razem równania ruchu są następujące:

x(t) = x0 + vt v(t) = v = const a(t) = 0

a wykresy zależności x = x(t), v = v(t) są następujące:9

tk

t0

x0

x

t tkt0

Droga przebyta w czasie

od chwili poczatkowej do

koncowej jest rowna

temu polu powierzchni

(liczbowo)

v

t

v

Podstawiając do równania ruchu położenia; początkowe i końcowe mamy:

x(0) = x0 x(tk) = xk = x0 + vtk

Długość odcinka toru to droga; teraz wynosi ona jednak:

s = x(tk) − x(0) = x0 + vtk − x0 ⇒ s = vt

Proszę zwrócić uwagę, że niezależnie od wyboru układu odniesienia mamy

zawsze:

s = vt

Ad. 4 Ruch jednostajnie przyspieszony i jednostajnie opóźniony (czyli jedno-

stajnie zmienny), prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny, prostoliniowy to taki ruch w którym tor jest linią pro-

stą, zaś prędkość zmienia się w sposób jednostajny czyli przyspieszeniepozostaje

stałe (a = const)

W zależności czy następuje przyrost czy spadek prękości wyróżniamy:

• ruch jednostajnie przyspieszony,• ruch jednostajnie opóźniony,

Z uwagi na prostoliniowość toru szybkość jest równa wartości prędkości a ponadto

można, podobnie jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego, wprowadzić oś

liczbową jako układ odniesienia, co pozwoli na uproszczenie analizy wektorowej.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie jest skierowane zawsze

zgodnie z prędkością dzięki czemu jej wartość ulega zwiększeniu10

aa

v 0 v

x

Równania ruchu są tu następujące (zakładamy, że w chwili początkowej ciało

znajdowało się w początku układu odniesienia)

a(t) = a = const, v(t) = v0 + at, x(t) = v0t +at2

2

Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(t), v = v(t), x = x(t) mają

postać:

t 1 t 2

spadek predkosci wczasie od t1 do t2

a v x

ttt

W ruchu jednostajnie opóźnionym przyspieszenie jest skierowane zawsze prze-

ciwnie do prędkości dzięki czemu jej wartość ulega zmniejszeniu,

a a

v 0 v

x

Równania ruchu są tu następujące:

a(t) = a = const, v(t) = v0 − at, x(t) = v0t −at2

2

Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(t), v = v(t), x = x(t) mają

postać:11

drogahamowania

ht

t 1 t 2

spadek predkosci wczasie od t1 do t2

a v x

tt

t

Ad. 5 Rzuty pionowe.

Rzutem pionowym nazywamy taki rodzaj ruchu w którym ciało porusza się

ruchem prostoliniowym, prostopadle do powierzchni Ziemi. Ponadto zakładamy,

że ruch odbywa się bez żadnych oporów; jedyną działającą na ciało siłą jest siła

ciężkości o której z koleji zakładamy, że jest stała.

Wyróżniamy następujące rodzaje rzutów pionowych:

• spadek swobodny,• rzut pionowy w górę,• rzut pionowy w dół,

Spadek swobodny

W położeniu początkowym ciało znajduje się na wysokości h i zostaje „puszczone”

swobodnie, czyli baz nadawania mu prędkości początkowej. Pod wpływem siły

ciężkości zaczyna ono poruszać się ze stałym przyspieszeniem równym przyspie-

szeniu ziemskiemu (g). Analizując powyższy ruch wybierzemy układ odniesienia

– oś liczbową o początku w położeniu początkowym ciała i skierowaną w dół,

całą sytuację przedstawiono na rysunku:

vk

vo = 0

v

g

tk

x

x

hx=0

tt=0 (1) (2) (3)

12

Rysunek (1) przedstawia położenie początkowe (czyli takie w czasie t = 0) i

wówczas zarówno położenie jak i prędkość wynosi zero.

Rysunek (2) pokazuje położenie w dowolnym momencie trwania ruchu (e czasie

t) i wtedy ciało posiada jakąś prędkość v i jest w pewnej odległości x od

początku układu odniesienia.

Na rysunku (3), natomiast, przedstawiono położenie w chwili końcowej ruchu

(tk), czyli tuż przed uderzeniem o Ziemie; ciało jest w odległości h od początku

układu odniesienia i posiada maksymalną prędkość vk.

Założenia wstępne i wybór układu odniesienia powodują, że w powyższym

przypadku ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym; ruch zaczyna

się od położenia zerowego i ciało nie posiada prędkości początkowej, a zatem

równania ruchu będą bardzo proste:

x(t) =gt2

2v(t) = vt a(t) = g = const

Mając dane np. wysokość h z której rozpoczyna się spadek możemy obliczyć

prędkość końcową i czas trwania ruchu.

W czasie t = tk ciało przebywa drogę równą wysokości h a zatem:

x(tk) = h =gt2k

2⇒ tk =

√

2h

g

Skoro znamy już czas trwania ruchu to możemy obliczyć prędkość końcową:

vk = v(tk) = g

√

2h

g=

√

2gh

Rzut pionowy w górę

W położeniu początkowym ciało znajduje się na powierchni Ziemi i zostaje

„rzucone” pionowo do góry z pewną prędkością. W tym przypadku przyspieszenie

ziemskie skierowane jest przeciwnie do tej prędkości więc rozważane ciało będzie

poruszało się ruchem jednostajnie opóźnionym prostoliniowym, aż do momentu13

gdy „zawiśnie” na chwilę i w tym momencie skończymy analizę ponieważ dalej

ciało poruszałoby tak jak w przypadku spadku swobodnego, który analizowaliśmy.

tk

gvk = 0

vvo

(1) (2)x=0

t=0 t

h

(3)

x

x

Podobnie jak w przypadku spadku swobodnego rysunek (1) przedstawia sytuację

początkową, rysunek (2), sytuację w dowolnej chwili czasu t, natomiast na

rysunku (3) przedstawiono końcowy moment ruchu.

Zwrot osi liczbowej, będącej układem odniesienia, skierowany jest przeciwnie niż

w przypadku spadku swobodnego, co ułatwi to rozważania, a kto nie wierzy

niech preanalizuje rzut pionowy w górę gdy oś układu odniesienia zwrócona jest

przeciwnie.

Równania ruchu w tym przypadku mają postać:

x(t) = v0t −gt2

2v(t) = v0 − gt a(t) = −g = const

Występujący w powyższych równaniach znak − jest konsekwencją faktu, żeprzyspieszenie ziemskie (g) jest skierowane przeciwnie niż zwrot osi układu

odniesienia.

Mając daną prędkość początkową (v0) można z powyższych równań obliczyć

maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało i czas wznoszenia.

Czas wznoszenia to czas do momentu gdy ciało zatrzyma się a więc

v(tk) = 0 = v0 − gtk ⇒ tk =v0

g

W czasie tym ciało osiągnie wysokość maksymalną równą:

x(tk) = h = v0tk −gt2k

2= v0(

v0

g) −

g(v0g)2

2=

v20

g− 1

2

v20

g=

v20

2g14

Rzut pionowy w dół

W położeniu początkowym ciało znajduje się na wysokości h i zostaje mu

nadana prędkość v0, skierowana pionowo w dół. Zatem w tym przypadku mamy

do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową.

vk

g

v

tk

vo

x

x

h

(1) (2) (3)

tt=0

x=0

Poszczególne etapu rutu pionowego w dół przedstawiono na rysunkach (1)-(3).

Równanie ruchu w tym przypadku ma postać:

x(t) = v0t +gt2

2v(t) = v0 + gt a(t) = g = const

Mając dane warunki początkowe (prędkość v0 i wysokość h) możemy obliczyć

prędkość końcową (vk) i czas trwania ruchu (tk).

W czasie trwania ruchu tk ciało usyskało prędkość vk, zatem:

v(tk) = vk ⇒ vk = v0 + gtk ⇒ tk =vk − v0

g

W tym czasie ciało przebywa drogę równą wysokości z której go rzucamy, więc:

x(tk) = h ⇒ h = v0tk +gt2k

2= v0

vk − v0g

+g(

vk−v0g

)2

2=

v0vk − v20g

+1

2

v2k − 2vkv0 + v20g

=v2k − v20

2gMożemy zatem wyznaczyć prędkość końcową:

2gh = v2k − v20 ⇒ v

2k = v

20 + 2gh ⇒ vk =

√

v20 + 2gh15

Porównując tą wartość z prędkością końcową w spadku swobodnym (vk =√2gh) widzimy że w rzucie pionowym w dół prędkość końcowa jest większa,

czego należało się spodziewać

Ad. 5 Ruchy krzywoliniowe, ruch jednostajny po okręgu

W przypadku, gdy tor ruchu nie jest linią prostą, sytuacja się komplikuje.

Niezależnie bowiem od rodzaju ruchu krzywoliniowego prędkość chwilowa jest

styczna do toru i gdy tor jest krzywoliniowy będzie zmieniać swój kierunek

i choćby miała stałą wartość to zawsze ruch krzywoliniowy będzie ruchem

zmiennym.

Ponadto ze względu na krzywoliniowość toru droga będzie inna niż przemiesz-

czenie i należy rozróżniać pojęcia szybkości i wartości prędkości.

Jeśli chodzi o opis jakościowy ruchu krzywoliniowego to układem odniesienia

bądzie układ współrzędnych; dwuwymiarowy lub trójwymiarowy.

Gdy zachowany jest moment pędu to ruch krzywoliniowy odbywa się w jednej

płaszczyźnie (o takim ruchu mówimy: ruch płaski) i do jego opisu wystarczy

wziąć dwuwymiarowy układ współrzędnych. Przykładem takiego ruchu jest obieg

planet wokół Słońca; ich tory leżą w jednej płaszczyźnie – ekliptyce.

Ruch jednostajny po okręgu

Ruchem jednostajnym po okręgu nazywamy taki ruch w którym torem jest okrąg

i wartość prędkości pozostaje stała.

Z uwagi na krzywoliniowość toru ruch po jednostajny po okręgu jest ruchem

zmiennym; ilustruje to poniższy rysunek:

v1

v2

v1

v2

=

v1

v2

=

ALE

Mimo iż wartość prędkości pozostaje

stała to jest ona styczna do toru a za-

tem zmienia się nieustannie jej kierunek

i zwrot i dlatego ruch jednostajny po

okręgu jest ruchem zmiennym

Zatem możemy wyznaczyć przyspieszenie, zazywa się ono przyspieszeniem do-16

środkowym, ponieważ jak się okaże skierowane jest ono do środka okręgu po

którym porusza się ciało.

v2

1v

1v

v1v v2

RRS ~ vv v

R

R

x s= =v

Podobieństwo trójkątów na rysunku (które są równoramienne i do ich podobień-

stwa wystarczy odpowiednia równość tylko jednego z kątów) wynika z faktu że

v1⊥R i v2⊥R zatem na mocy twierdzenie o kątach o ramionach prostopadłych6 (R,R) = 6 (v1, v2) = 6 (v, v). Ponadto należy zauważyć, że gdy czas

między położeniami odpowiadającymi prędkościom ~v1 i ~v2 jest coraz krótszy to

s → x i wektor ~∆v (a tym samym i ~ad) jest „coraz bardziej równoległy” doR. Z podobieństwa rozważanych trójkątów wynika nast. zależność:

∆v

x=

v

R

Korzystając z faktu, że x = s oraz z definicji prędkości liniowej:

∆v

vt=

v

R

Mnożąc stronami przez v i korzyst. z def. przyspieszenia:

ad

ad =v2

R

17

Z uwagi na to, że wartość prędkości pozostaje stała, to czas jednego obiegu

również jest stały; nasywamy go okresem (T ).

Ilość okresów (obiegów) w jednostce czasu nazywamy częstotliwością ruchu po

okręgu (f); zależkość między częstotliwością a okresem jest następująca:

f =1

T[f ] =

1

s= Hz

Kątem obrotu (w mierze łukowej) nazywamy stosunek długości odcinka okręgu

przebytego przez ciało do czasu w którym to nastapiło:

α =l

R[α] = rad

Jednostką kąta obrotu jest radian, wartość tego kąta jest równa jeden gdy ciało

pokona taki kąt, że przebyta przez niego droga będzie równa promieniowi okręgu

po którym się porusza (w mierze stopniowej jest to ok 57o)

Stosunek kąta obrotu do czasu to prędkość kątowa (ω):

ω =α

t[ω] =

rad

s

Podstawiając definicję kąta obrotu otrzymamy zależność pomiędzy prękością

liniową a prędkością kątową:

ω =lR

t=

1

R

l

t=

v

R⇒ v = ωR

W ogólności zależność ta jest iloczynem wektorowym:

wv

R

w v

R

~v = ~ω × ~R18

W czasie jednego okresu ciało przebywa drogę równą długości okręgu, a zatem

można obliczyć wartość prędkości bardzo prosto:

v =2ΠR

T= 2ΠRf

a korzystając z zależności między prędkością liniową i kątową mamy:

v = ωR ⇒ ω = vR

=2ΠRT

R=

2Π

T= 2Πf

Rozważmy ruch jednostajny po okręgu o promieniu R = 1m w którym ciało

przebyło połowę długości okręgu w czasie t = 1s, wyznaczymy prędkość (jako

wektor) i szybkość. Analizując ruch po okręgu dobrze jest wybrać układ współ-

rzędnych o środku w środku okręgu; wówczas całą sytuację da się przedstawić

na następującym rysunku:

r1

r2

r∆

v

s

Ciało poruszając się po okręgu przebyło

drogę s między położeniem początko-

wym ~r1 a położeniem końcowym ~r2.

Przemieszczenie ciała w tym ruchu wy-

nosi ~∆r, a jego prędkość ~v. Długość

przemieszczenia wynosi 2R, a drogi

ΠR, zatem:

Wartość prędkości wynosi:

|~v| = v = |~∆r|t

=2R

t=

2

1= 2

m

s

Zaś szybkość to:

vs =s

t=

ΠR

t=

3.14

1= 3.14

m

s

Widać więc, że wruchu krzywoliniowym wartość prędkości nie pokrywa się z

szybkością.

Ad 7. Ruchy złożone19

Ruchem złożonym nasywamy taki ruch który jest złożeniem (superpozycją)

przynajmnniej dwóch rodzajów ruchu (np. poruszające się po okręgu ciało

spada swobodnie). Okazuje się jednak, że mimo iż sam ruch złożony może

mieć skomplikowaną formę, to zawsze da się go rozłożyć na ruchy składowe i

analizować je niezależnie, co mocno uprości nasze rozważania.

Przeanalizujemy dwa rodzaje ruchów złożonych:

• rzut poziomy

• rzut ukośny

Oczywiście, pdodbnie jak dla rzutów pionowych, będziemy pomijali wszelkie

opory i założymy, że siła ciężkości jest stała.

Rzut poziomy

Rozważmy ciało znajdujące się na pewnej wysokości H któremu zostaje nadana,

w kierunku poziomym, pewna prędkość początkowa ~v0, a ponieważ pominę-

liśmy opory to w poziomie ciało będzie poruszało się ruchem jednostajnym

prostoliniowym z prędkością v0.

W kierunku pionowym następuje oczywiści spadek swobodny. Złożenie tych obu

ruchów pokazuje poniższy rysunek:20

v0

pv v(t)

v0

pv

v0

αk

m

t

tr

max v(t )r

H

Zx

0y

α

W chwili początkowej t = 0 ciało znajduje się na wysokości H i posiada prędkość

v0 w kierunku poziomym. w chwili t jego prędkość jest wypadkową prędkości

poziomej (v0) i prędkości pionowej spadku swobodnego. W chwili końcowej (tr)

prędkość ciała tworzy z poziomem kąt αk

Na wstępie, mając daną wysokość H i prędkość początkową v0 obliczymy zasięg

(Z) i czas trwania ruchu (tr).

Czas trwania ruchu to czas spadku swobodnego z wysokości H zatem:

H =gt2r

2⇒ tr =

√

2H

g

W czasie tym ciało poruszając się ruchem jednostajnym, prostoliniowym przebywa

drogę Z, a zatem:

Z = v0tr = v0

√

2H

g

Prędkość ciała w dowolnej chwili czasu trwania ruchu, jest wektorem będącym21

sumą prędkości poziomej i pionowej, zatem:

~v = [v0, vp] = [v0, gt]

Długość tego wektora wynosi więc:

|~v| = v =√

v20 + g2t2 (∗)

zaś kąt jaki tworzy on z poziomem można obliczyć np. z def funkcji tangens:

tan(α) =vp

v0=

gt

v0(∗∗)

Aby znależć równanie drogi (trajektorii) w rzucie poziomym należy zapisać jak

zmieniają się współrzędne poruszającego się ciała w przyjętym do rozważań

układzie odniesienia. W naszym przypadku będzie to:

x(t) = v0t (1) y(t) = H −gt2

2(2)

Powyższe równania nazywają się parametrycznym równaniem toru (pokazują jak

zmieniają się współrzędne poruszającego się ciała w zależności od czasu).

Obliczając czas z równania (1) i podstawiając go do równania (2) otrzymamy:

t =x

v0⇒ y(x) = H −

g( xv0)2

2⇒ y(x) = − g

2v20x2+ H

Otrzymaliśmy równanie paraboli, a dokładniej mówiąc wycinka paraboli, ponieważ

x ∈ (0, Z). Współczynnik przy x2 jest ujemny zatem nasza parabola pokrywasię z torem na rysunku przedstawiającym rzut poziomy.

Pouczającym jest jeszcze wyznaczyć prędkość ciała w momencie uderzenia o

ziemie; ponieważ to wektor to oprócz wartości należy wyznaczyć np. kąt jaki

tworzy z poziomem; wykorzyatamy w tym celu wzory (∗) i (∗∗) podstawiając22

w nich za czas trwania ruchu (tr =√

2Hg

) otrzymujemy, wartość prędkości...

vk = v(tk) =

√

√

√

√

v20 + g2

(

√

2H

g

)2

⇒ vk =√

v20 + 2gH

i tangens kąta jaki tworzy prędkość w momencie uderzenia o ziemie:

tan(αk) =gtk

v0=

g√

2Hg

v0⇒ tan(αk) =

√2gH

v0

Rzut ukośny

Ruch ten przypomina trochę strzelanie z armaty. W chwili początkowej ciało

zostaje wystrzelone z prędkością początkową v0 pod kątem α do podłoża, w

sposób jak pokazano na rysunku:

v0

v0X

v0X

v0X

v0X

v0X

v(t)

tα( )tα( )

v(t)

v0Y

−v0Y v

k

α

x

y

α

H

Z

yv (t)

yv (t)

Rzut ukośny jest superpozycją ruchu jednostajneg, prostoliniowego w poziomie,

zaś w pionie mamy najpierw rzut pionowy w górę, a potem spadek swobodny,

widać więc, że prędkość początkową ~v0 musimy rozłożyć na składową poziomą

i pionową wynoszą one:

v0x

v0= cosα ⇒ v0x = v0 cosα

v0y

v0= sinα ⇒ v0y = v0 sinα

Składowa pozioma podczas całego ruchu jest stała, ponieważ pominęliśmy opory,

natomiast składowa pionowa jest prędkością początkową w rzucie pionowym w

górę.23

Mając daną prędkość początkową (jej wartość i kąt jaki tworzy z podłożem)

obliczymy: czas trwania ruchu, zasięg (Z) i maksymalną wysokość (H).

Najprościej jest zacząć odwyliczenia czasu wznoszenia; po jego upływie składowa

pionowa prędkości będzie równa zeru, a opisuje ją równwnie: vy(t) = v0y−gt,zatem:

vy(tw) = 0 ⇒ 0 = v0y − gtw ⇒ tw =v0y

g

Czas wznoszenia na wysokość H jest równy czasowi spadku z tej wysokości (jako

ćwiczenie proszę to sprawdzić) a zatem czas trwania rzutu ukośniego wynosi:

tw = ts ⇒ tr = tw + ts = 2tw ⇒ tr =2v0y

g

Podstawiając za składową v0y mamy:

tr =2v0 sinα

g

Mając czas trwania ruchu bardzo szybko znajdziemy zasięg (Z) ponieważ jest

to droga przebyta w tym czasie z prędkością poziomą (v0x), zatem:

Z = v0xtr =2v0xv0y

g=

2v20 sinα cosα

g⇒ Z = v

20 sin 2α

g

Przy czym skorzystaliśmy jeszcze z tożsamości trygonometrycznej na sinus kąta

podwojonego sin 2α = 2 sinα cosα.

Zbadajmy, jaki musi być kąt wyrzutu, aby przy danej prędkości wyrzutu zasięg

był największy. Stanie się tak, gdy sinus będzie miał wartość 1, zatem:

sin 2α = 1 ⇒ 2α = 90o ⇒ α = 45o

Co zgadza się ze zdrowym rozsądkiem, ponieważ rzucając ciało pod zbyt dużym,

lub zbyt małym kątem upadnie ono blisko.

Trochę trudniej jest wyznaczyć wysokość na jaką wzniesie się ciało. Najprościej

od strony obliczeniowej będzie gdy zauważymy, że po osiągnięciu wysokości

maksymalnej ciało przez drugą połowę ruchu (a więc w czasie 12tr =v0yg

), w24

pionie, spada swobodnie z wysokości H zatem przebywana przez niego droga

wynosi:

H =g(12tr)

2

2=

g(v0yg)2

2⇒ H =

v20y

2g⇒ H = v

20 sin

2 α

2g

Aby wyznaczyć równanie toru postąpimy podobnie, jak w przypadku rzutu po-

ziomego, napiszemy najpierw równania pokazujące jak zmieniają się współrzędne

ciała podczas trwania jego ruchu.

W poziomie jest to ruch jednostajny, prostoliniowy więć:

x(t) = v0xt ⇒ x(t) = v0t cosα

Natomiast w pionie, mamy rzut pionowy w górę i spadek swobodny, ale okazuje

się, że można je opisać jendym równaniem:

y(t) = v0yt −gt2

2⇒ y(t) = v0t sinα −

gt2

2

Obliczając czas z równania na x(t)...

t =x

v0 cosα

... i podstawiając go do równania na y(t) mamy:

y(x) = v0x

v0 cosαsinα −

g( xv0 cosα

)2

2

Po przekształceniu i wyciągnięciu kolejnych potęg x przed nawias dostajemy

równanie toru; jest to parabola z ramionami skierowanymi w dół (a < 0)

y(x) = − g2v20 cos

2 αx2+ (tanα)x

Miejscami zerowymi tej paraboli są, x1 = 0 mający interpretacje fizyczną jako25

miejsce w którym rozpoczyna się rzut ukośny i drugie miejsce zerowe:

x2 =tanα

g

2v20 cos2 α

=sinα

cosα

2v20 cos2 α

g=

2v20 sin2 α

g

które interpretujemy jako miejsce gdzie ciało upada i jest to jednocześnie zasięg

rzutu ukośnego.

Pouczającym byłoby jeszcze udowodnienie, że wierzchołek tej parabolii wyznacza

maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało ale niech będzie to zadaniem

domowym.

26