wykład 3: kinamatykalayer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/3-kinematyka-1-20.pdf · 2020. 3. 18. ·...

Wykład 3: Kinematyka

dr inż. Zbigniew Szklarski

[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

mailto:[email protected]://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka

2

Wstęp

Opis ruchu

KINEMATYKA

Przyczyny ruchu

DYNAMIKA

MECHANIKA

Dlaczegotaki ruch?


3

Podstawowe pojęcia dla ruchu prostoliniowego i krzywoliniowego.

)( 2tr

y

x

)( 1tr

)( 2tr

r

tor ruchu

przemieszczenie )()( 12 trtrr

−=

12

12 )()(

tt

trtr

t

rVśr

−

−=

=

y

x

)( 1tr

)( 2tr

r

śrV

prędkość średnia

gdy t2 → t1 Δt → dt to Δr → dr

dt

rdV

=

V

prędkość chwilowa


4

Prędkość chwilowa jako granica prędkości średniej

skoro to

Wektor prędkości

chwilowej jest zawsze

styczny do toru.

Vdt

rd

t

r

t

==

→lim

0

yjxir ˆˆ +=

dt

dzV

dt

dyV

dt

dxV

z

y

x

=

=

=yx VjVidt

dyj

dt

dxi

dt

rdV ˆˆˆˆ +=+==


5

a=0

Przyspieszenie

Przyspieszenie związane jest

ze zmianą wektora prędkości

Jeżeli to

ponieważ:

dt

Vd

t

Va

t

=

=

→ 0lim

yx

yx ajaidt

dVj

dt

dVi

dt

Vda ˆˆˆˆ +=+==

dt

dVa

dt

dVa

dt

dVa

zz

y

y

xx

=

=

= V

t

Δt

ΔV a>0 a


6

Ruch krzywoliniowy

W ruchu krzywoliniowym

występuje zmiana wektora

prędkości.

v2

v1

Konsekwencją tego jest

występowanie przyspieszenia

pomimo stałej wartości prędkości

v1v2

a

a

v


7

Przyspieszenie styczne i normalne

dt

SdV

=

dt

d =

czyli

rV

=

r

V

x

y

S

t

SV =Ruch jednostajny

Sr

S=·r

𝑑𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜑

𝑉 =𝑟 ∙ 𝑑𝜑

𝑑𝑡

V = · r


8

Związek pomiędzy prędkością liniową i kątową

w ruchu jednostajnympo okręgu, wektor prędkości kątowej jest stały

reguła śruby!!

x

y

z

r

V

V̂

rV

=


9

Ruch niejednostajny po okręgu

)(sin trx =

)(cos tdt

dr

dt

dxVx

==

sincos 22

2

rdt

dr

dt

dVa xx −==

dla współrzędnej x:

r

)(tV

x

y

skoro:dt

d =


10

czyli xVa xx2

−=

ponieważ:dt

d =

2

2

dt

d

dt

d ==i

to cosrVx = xr

a x2cos

−=oraz

sincos 22

2

rdt

drax −=)(sin trx =


11

analogicznie )(cos try = sinrVy −= yVa yy2

−=

Skoro yx ajaiaˆˆ +=

to yjVjxiVia yx

22 ˆˆˆˆ

−+−=

)ˆˆ()ˆˆ( 2 yjxiVjVia yx +−+=

ostatecznie:

rVa 2

−=

przyspieszenie styczne przyspieszenie dośrodkowe

mamy: 𝑎𝑥 =𝜀

𝜔𝑉𝑥 − 𝜔

2𝑥


12

Wnioski:

- kiedy maleje składowa Vy prędkości, to rośnie składowa Vx

- przyspieszenie dośrodkowe skierowane jest wzdłuż promienia,

do środka okręgu

- wartość przyspieszenia dośrodkowego jest równa: r

Van

2

=


13

Przykłady

1. Pająk porusza się po torze krzywoliniowym, którego

długość opisana jest równaniem:

gdzie S0 i c to stałe. Wektor przyspieszenia pająka tworzy w

każdym punkcie toru stały kąt φ ze styczną do jego toru.

Obliczyć wartość:

a) przyspieszenia stycznego,

b) przyspieszenia normalnego,

c) promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.

ROZWIĄZANIE:

a) przyspieszenie styczne

stąd

cteStS 0)( =

2

2

dt

Sd

dt

dVas ==

cteScdt

dSV == 0

cts eSca 0

2=


14

z rysunku wynika że na

a

sa

s

n

a

atg =

stąd

tgaa sn = tgeScct = 0

2

z innej definicji przyspieszenia dośrodkowego (normalnego):

r

Van

2

= stąd podstawiając wyliczone wcześniej V:

( )tgeSc

eSc

a

Vr

ct

ct

n

==

02

220

22

ctgSctgeS ct == 0

cteScV = 0

cteStS 0)( =

b) przyspieszenie normalne:

c) promień krzywizny toru jako funkcja długości łuku krzywej:

2. Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R = 3,6 m. W pewnej chwili na cząsteczkę zaczyna działać przyspieszenie o wartości 0,21g, tworzące w każdym punkcie okręgu po jakim nadal porusza się cząsteczka, stały kąt 300 ze styczną do jego toru. Obliczyć:

a) szybkość cząsteczki w momencie zadziałania przyspieszenia,

b) szybkość cząsteczki w dwie sekundy później.


15

Toczenie bez poślizgu

Toczenie bez poślizgu – musi występować tarcie między

ciałem a podłożem, jest specyficznym rodzajem ruchu ciała,

będącym złożeniem ruchu postępowego (środka masy) i ruchu

obrotowego - wokół środka masy.


16

ωR

ωR

śm

vśm

vśm

vśm

2vśm

v = 0

vśm

ωR


17

Człowiek trzyma za jeden koniec deski o długości L opartej drugim

końcem na walcu o promieniu R. Następnie człowiek zaczyna iść

pchając deskę, która bez poślizgu toczy się po walcu, który toczy się

po podłożu.

Jaką odległość musi przejść człowiek aby dotrzeć do walca ?

Czy/jak zależy to od promienia walca ?

Przykład:

L

R

Rozwiązanie:

W czasie t środek walca przebędzie

odległość S=L=v·t

W tym samym czasie górny punkt

styczności z deską przesunie się na

odległość 2 v·t = 2L

Czyli człowiek będzie musiał

przebyć odległość 2L niezależnie od

promienia walca.


18

Inne ruchy krzywoliniowe

Rzut ukośny

jest to złożenie dwóch

niezależnych ruchów-

- ruchu jednostajnego

(poziomo)

- ruchu jednostajnie

zmiennego (pionowo)

x

y


19

HRW,1Oś x:

Fx=0; ax=0,

ruch jednostajny

Oś y:

Fy=mg; ay=g,

ruch jednostajnie zmienny


20

HRW,1jgg ˆ−=Oś x:

tvx

constvv

x

xx

=

== 0

Oś y:

2

2

0

0

gttvy

gtvv

y

yy

−=

−=

200

2

0)θcosv(2

gxx)θtg(y −=

równanie toru - parabola


21

..a tak jest naprawdę:

Siła oporu powietrza wpływa na tor rzutu ukośnego !

Piłka do gry w baseball rzucona pod kątem 45° zprędkością v = 50 m/sosiąga:

• bez oporu powietrza -- wysokość 63 m, - zasięg 254 m,

• z oporem powietrza -- wysokość 31 m, - zasięg 122 m

tor w

próżni

tor w

powietrzu

45o

optymalny kąt rzutu wynosi:

20o- 30o


22

Dla osi OX Dla osi OY

ruch jednostajny ruch jednostajnie

przyspieszony

X(t) = Vxt

Rzut poziomy

x

y

xV

xV

xV

xV

yV

yV

yV V

V

V2

)(2gt

HtY −=

Równanie toru – parabola – typu:

V0 = Vx = const

0V

xt =

20

2

2

0

22)(

V

gxH

V

xg

Hty −=

−=

y(t) = a-bx2

tgVtVVtV yx

+=+= 0)()(


23

Przykład

Piłkę wyrzucono ukośnie w górę pod kątem 450 z prędkością początkową V0= 12 m/s. W odległości 12 m od miejsca wyrzutu stoi pionowa ściana. Oblicz:

1. czas tt po którym piłka trafi w ścianę,

2. składowe prędkości piłki Vx i Vy w momencie trafienia i szybkość

wypadkową V,

3. kąt pod jakim piłka trafi w ścianę,

4. maksymalną wysokość H na jaką wzniesie się piłka,

5. wysokość od podstawy ściany h na jakiej piłka w nią uderzy,

6. w jakiej odległości X od ściany piłka po sprężystym od niej

odbiciu uderzy w ziemię.

Zadanie domowe:

Wspinacze utknęli na szczycie skały wznoszącej się 250 m nad poziomem ziemi. Samolot mający dostarczyć zaopatrzenie leci poziomo na wysokości 200 m ponad wspinaczami, z szybkością 250 km/h. Gdy znajduje się w pewnej odległości od szczytu skały następuje wyrzut zasobnika.

1. W jakiej odległości od celu zasobnik powinien zostać upuszczony z samolotu?

2. Jeżeli samolot zbliży się na odległość 400 m, to z jaką szybkością pionową (w górę czy w dół?) zasobnik musi być wyrzucony aby trafił w cel?

3. Z jaką szybkością uderzy on w szczyt skały?


24

wykład 3: kinamatykalayer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/3-kinematyka-1-20.pdf · 2020. 3. 18. ·...

Documents