o p t y k a - fizyka.mirek.katowice.plfizyka.mirek.katowice.pl/materialy/opt_teo.pdf · pryzmaty...
TRANSCRIPT
O P T Y K A
Niektóre powody dla których warto zainteresować się tym działem:
• ze światłem mamy do czynienia na codzień, dzięki światłu utrzymujemy ponad
80% informacji o otaczającym nas świecie; warto więc chyba dokładniej
poznać jego naturę,
• dzięki swojej dwoistej naturze opis światła jest niesamowicie ciekawy,
• zawiera mnóstwo efektownych eksperymentów i pokazów,
Światło – jest to fala elektromagnetyczna o długościach z przedziału (400−
700nm) na którą reaguje nasz narząd wzroku. W zależności od długości fali
oko człowieka rozróżnia kolory (nie zostało to jeszcze do końca wyjaśnione
medycznie) i są one następujące:
• <400nm – fioletowy,
• 400-450nm – niebieski,
• 450-500nm – zielony,
• 500-550nm – żółty,
• 550-600nm – pomarańczowy,
• 600-650nm – czewrony,
• >650nm – brunatny,
Wyróżniamy następujące źródła świała:
1. Żarowe – w których emisja światła następuje w wyniku termicznego (poprzez
podgrzanie) pobudzenia atomów. Przykładami takich żródeł są: Śłońce,
palący się ogień i klasyczna żarówka.
2. Kwantowe – w których emisja światła następuje w wyniku przejść elektronów
między poziomami kwantowymi. Przykłady takich źródeł światła to: żarówka
energooszczędna, dioda LED.
Należy w tym miejscu podkreślić, że człowiek na przestrzeni ewolucji zawsze
miał do czynienia ze światłem o pochodzeniu żarowym (Słońce, ogień); być
może dlatego niektóre osoby źle reagują na np. świetlówki energooszczędne.
Światło jako fala elektromagnetyczna może być:1
1. Monochromatyczne – gdy zawiera tylko jedną długość fali,
2. Polichromatyczne – gdy zawiera więcej niż jedną długość fali,
Dla światła polichromatycznego można mówić o widmie określającym jakie
długości fal i w jakim natężeniu zawiera dane światło polichromatyczne, widmo
jest to więc formalnie zależność natężenia światła o danej długości fali od
częstotliwości. Wyróżniamy następujące rodzaje widm:
1. Widmo ciągłe – światło zawiera wszystkie barwy (długości fali); od czerwieni
do fioletu. Przykładem światła o widmie ciągłym jest tzw. światło białe
2. Widmo pasmowe – światło zawiera tylko pewne wycinki (pasma) widma
ciągłego (np. od żółtego do czerwonego)
3. Widmo liniowe emisyjne – światło zawiera pojedyncze linie (kolory) o bardzo
wąskim przedziale szerokości
4. Widmo liniowe absorbcyjne – na tle widma ciągłego lub liniowego pojawiają
się charakterystyczne czarne linie. Przykładem takiego światła jest światło
słoneczne
Wyróżniamy dwa sposoby powstawania koloru:
• Model addytywny (RGB) – wytwarzamy światło o trzech podstawowych
barwach; czerwone (Red), zielone (Green) i niebieskie (Blue); po zmieszaniu
tych barw otrzymujemy dany kolor światła. Model ten stosowany jest np.
telewizorach (wszystkich typów).
• Model subtraktywny (CMYK) – dany kolor otrzymujemy poprzez odjęcie od
całego widma (kolor biały) kolorów RGB otrzymując:
– BIAŁY - G = C (Cyjan),
– BIAŁY - R = M (Magneta),
– BIAŁY - B = Y (Yelow),
– BIAŁY - BIAŁY = K (blacK)
model ten znalazł zasosowanie w drukarstwie
Z uwagi na różne sposoby kodowania koloru w obu systemach przygotowując np.
zdjęcie do wydruku na monitorze komputera (kodowanie RGB), kolor uzyskany w
drukarni (kodowanie CMYK) będzie inny od zamierzonego. Aby temu zapobiec2
należy skorzystać z profili kolorów (pliki icm) udostępnianych przez niektóre
drukarnie, wówczas uzyskamy zgodność kolorów na monitorze i w wydruku.
OPTYKA GEOMETRYCZNA
W przybliżeniu optyki geometrycznej będziemy zakładali że przeszkody na które
napotyka rozchodzące się światło mają rozmiary dużo większe niż długość fali.
Biorąc pod uwagę zdolność rozdzielczą oka w obszarze plamki zółtej (fascynujące
jest to że zarówno siaktówka jak i soczewka mają identyczną zdolność rozdzielczą
równą 1′′) i zakładając, że odległość dobrego widzenia (minimalna odległość od
przedmiotu na której następuje akomodacja soczewki) wynosi 0.3m otrzymamy
(sprawdź!), że najmniejsze przedmioty jakie może dostrzec człowiek mają roz-
miar rzędu 10−4m = 0.1mm co jest wartością o ok. trzy rzędy wielkości
większą niż długość fali światła. Zatem człowiek nie dostrzeże gołym okiem
przedmiotów o rozmiarze porównywalnym z długością fali światła i przybliżenie
optyki geometrycznej będzie dobrze opisywać zachowanie się światła w życiu
codziennym człowieka.
W opisywanym przybliżeniu światło rozchodzi się prostoliniowo (dokładniej na-
leżałoby powiedzieć że światło rozchodzi się po takim torze, aby czas przebycia
danej drogi był możliwie najktótszy, co nazywa się zasadą Fermata) i można
je reprezentować prostą, zwaną promieniem świetlnym. Należy w tym miejscu
zwrócić uwagę aby mie mylić tego pojęcia z promieniem fali!
Prostoliniowość rozchodzenia się światła pozwala w łatwy sposób opisać zjawiska
odbicia i załamania (przyjmując, że światło jest falą lub strumieniem cząstek
również można opisać te zjawiska ale jest to trochę bardziej skomplikowane).
Zjawisko odbicia światła
Światło padając na płaską, gładko wypolerowaną powierzchnie ulega odbiciu.3
α β4
1 23 1 promień padający,
2 promień odbity,
3 prostopadła (normalna) do po-
wierzchni odbijającej,
4 powierzchnia odbijająca
Zjawisko odbicia opisane jest następującym prawem odbicia:
Kąt odbicia (β) jest równy kątowi padania (α). Promień padający, odbity i
prostopadła do powierzchni odbijającej światło leżą w jednej płaszczyźnie
α = β
W przypadku gdy powierzchnia odbijająca światło jest chropowata następuje
rozproszenia światła i dzięki rozproszeniu światła na przedmiotach możemy je
dostrzegać (powierzchni np. lustra które odbija światło przecież nie widzimy)
Wiązka równoległych promieni
świetlnych padając na chropowatą
powierzchnię, po odbiciu przestaje
być równoległa – światło uległo
rozproszeniu.
Zjawisko załamania światła
Zjawisko to następuje na granicy dwóch ośrodków przez które przechodzi światło
i schematycznie można je przedstawić następująco:4
n1
n2
v2
v1
β
α1
2
Promień padający (1) porusza się
w ośrodku o mniejszej gęstości w
którym prędkość światła wynosi:
v1, zaś promień załamany (2) po-
rusza się w ośrodku o większej gę-
stości w którym prędkość światła
wynosi: v2, zatem v2 < v1
Załamanie światła opisuje prawo Sneliusa (Snella) które sformułujemy w nastę-
pujący sposób:
Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest równy stosunkowi
prędkości światła w ośrodku z którego światło pada do prędkości światła w
ośrodku w którym swiatło załamuje się
sin(α)
sin(β)=v1
v2
Zdefiniujmy bezwzględne współczynniki załamania światła dla rozważanych
ośrodków:
n1 =c
v1− dla pierwszego n2 =
c
v2− dla drugiego,
Obliczając z powyższych definicji prędkości światła w rozważanych ośrodkach:
v1 =c
n1
v2 =c
n2
i podstawiając do prawa Snella otrzymujemy:
sin(α)
sin(β)=
cn1cn2
=n2
n1
= n2,1
Otrzymaliśmy względny współczynnik załamania światła ośrodka drugiego wzglę-
dem pierwszego (n2,1)5
Pouczającym będzie narysowanie jak zachowuje się promień swietlny przy prze-
chodzeniu z ośrodka o większym współczynniku załamania do ośrodka gdzie
współczynnik załamania jest mniejszy.
n1
n2
> n1
n2
<(2)
(1)
n1
n2
=
(1)
(2)
n1
n2
dowolne
(2)
(1)
(2)
(1)
Całkowite wewnętrzne odbicie
Rozważmy co będzie się działo, gdy światło będzie przechodzić z ośrodka
optycznie gęstszego (o większym współczynniku załamania) do ośrodka optycznie
rzadszego (o mniejszym współczynniku załamania), przy czym kąt padania będzie
stawał się coraz to większy. I znowu przedstawimy całą sytuację na rysunkach:
n1
n2
>
1αkα
2α
(2)
(1) (1) (1)
(2) (2)
I II III
90
Zwiększając kąt padania (α1 na rys. I) kąt załamania staje się coraz to większy
aż dochodzimy do takiej sytuacji gdzie staje się on równy 90o i promień
załamany porusza się po granicy między ośrodkami (rys. II). Odpowiadający mu
kąt padania nazywa się kątem krytycznym (αk). Dla kątów padania większych
niż kąt krytyczny następuje całkowite wewnętrzne odbicie (rys. III). Korzystając
z prawa Snella dla rys. II można łatwo obliczyć kąt graniczny:
sin(αk)
sin(90o)= sin(αk) =
v1
v2=n2
n1
= n2,1
Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia umożliwia odbijanie się światła w6
sposób idealny co znalazło różnorodne zastosowania; oto dwa z nich:
1. Pryzmat pentagonalny stosowany w lustrzankach (na marginesie wynaleziony
przez niejakiego Carla Zeissa z Jeny)
2. Światłowody
Ad.1
Kształt takiego pryzmatu jest pięciokątem zaś bieg promienia został przedsta-
wiony na poniższym rysunku:Pryzmat pentagonalny, mimo swojej na-
zwy nie służy do rozszczepiania światła,
ale dzięki zjawisku całkowitego wewnętrz-
nego odbicia umożliwia zmianę kierunku
promienia światła, praktycznie bez żad-
nych strat. Ponadto jest stosunkowo łatwy
w produkcji, a przez to tani i dzięki temu
znalazł szerokie zastosowanie; między in-
nymi w lustrzankach (aparatach fotogra-
ficznych zawierających lustro w układzie
obiektywu) jako element układu wizjera
optycznego. Pryzmaty pentagonalne bez problemów potrafią utrzymać trans-
misję światła (stosunek natężenia światła wchodzącego do natężenia światła
wychodzącego) na poziomie ponad 90%, co udaje się tylko w najdroższych
zwierciadłach. Poza tym dobrze wykonany przyzmat pentagonalny nie zmienia
swoich rozmiarów dzięki czemu zwiększa się stabilność układu optycznego. Za-
stosowanie pryzmatu pentagonalnego w lustrzankach wykorzystuje fakt że kąt
między promieniem wchodzącym a wychodzącym jest równy 90o Dzięku temu
światło wchodząc przez obiektyw, odbijając się od lustra aparatu i przechodząc
przez pryzmat pentagonalny może dotrzeć do wizjera aparatu dając obraz tego
na co wycelowany jest obiektyw.
Ad.2
Możliwość prawie bezstratnego odbicia światła wykorzystuje się do przekazy-
wania informacji w światłowodach. Budowę przykładowego światłowodu i bieg7
promienia światła przedstawiono na poniższym rysunku:
(2)
(3)
(1)
Włókno światłowodu składa się z trzech zasadniczych części; warstwy ochron-
nej (1) – której zadaniem jest odpowiednia ochrona mechaniczna elementów
odpowiedzialnych za transmisję światła, warstwy o mniejszym współczynniku
załamania (2) oraz warstwy transmisyjnej (3) gdzie współczynnik załamania jest
większy. Jeden kabel światłowodu składa się z kilkudziesięciu takich włókien.
Promień światła laserowego, modulowany odpowiednią informacją, zostaje wpro-
wadzony do warstwy transmisyjnej (3) pod kątem większym niż kąt graniczny,
dzięki czemu odbija się on wielokrotnie praktycznie bez strat w natężeniu od
warstwy o mniejszym współczynniku załamania (2).
Dobrym dowodem na to jak wiele informacji może przesłać światłowód jest to że
dla zapewnienia działania internetu na kilku osiedlach (ok. 1000 osób) wystarczy
jedno włókno.
Interesująco wygląda diagnostyka i naprawa pękniętego światłowodu. Aby wy-
kryć gdzie jest pęknięcie korzysta się z analizy fali stojącej która powstała w
wyniku interferencji światła wysłanego ze światłem odbitym od pęknięcia; po
zlokalizowaniu miejsca uszkodzenia nie wymienia się całego odcinka światłowodu
(ze względu na koszty) lecz dokonuje się „zaspawania” uszkodzonego miejsca.
Przejście światła przez płytkę równoległościenną
Płytka równoległościenna to ciało wykonane z materiału o stałym współczynniku
załamania większym niż 1, będące bryłą o przeciwległych ścianach równoległych.
Bieg promienia światła w takiej płytce przedstawiono na poniższym rysunku:
8
l1
l2
xβ
α
αd
y
γβ
A
B
C
D
Bedziemy szukali zależności odległości między promeniniem wchodzącym i wy-
chodzącym (x) a pozostałymi parametrami tj. grubością płytki (d), kątem
padania (α) lub załamania (β) i współczynnikiem załamania płytki (n). Roz-
ważmy w tym celu trójkąt prostokątny ∆ABC kąt γ w tym trójkącie możemy
obliczyć korzystając z równości kątów wierzchołkowych i mamy że:
β + γ = α→ γ = α− β
Korzystając z zależności trygonometrycznych w trójkącie ∆ABC otrzymujemy:
x
y= sin(γ)→ x = y sin(α− β)(∗)
Drogę promienia w płytce (y) możemy wyznaczyć z trójkąta ∆ADB
d
y= cos(β)→ y =
d
cos(β)
Po podstawienie za y w równaniu (∗) otrzymamy:
x =d
cos(β)sin(α− β)
Korzystając z tożsamości trygonometrycznych (sinus różnicy kątów) mamy:
x =d
cos(β)(sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β))
9
po uproszczeniu i skorzystaniu z definicji funkcji tangens dostajemy:
x = d(sin(α) − cos(α) tan(β)) = d(sin(α) − cos(α)sin(β)
cos(β))
Korzystając z prawa Snella (sin(α)sin(β) = n) możemy obliczyć sin(β) = sinαn
i cos(β) =√
1− sin2(β) =
√
1− sin2(α)
n2i podstawiając wszystko do
wzoru na przesunięcie promienia (x)
x = d
(
sin(α)− cos(α)sinαn
√
1− sin2(α)
n2
)
Otrzymany wzór zawiera dość skomplikowaną zależność przesunięcia promienia
(x) od kąta padania α.
Aby go trochę uprościć załóżmy, że kąt α jest tak mały, że można skorzystać z
następujących przybliżeń: cos(α) ≈ 1 isin(α)n
√
1−sin2(α)
n2
= sin(α)n
otrzymamy:
x = d(sin(α) − 1sin(α)
n) = d sin(α)(1 −
1
n)
Przejście światła przez pryzmat
Pryzmat to jednorodna optycznie (o stałym współczynniku załamania większym
niż 1) bryła będąca graniastosłupem prostym o podstawie trójkąta. Poniżej
przedstawiono schematyczny rysunek pryzmatu (widok z góry) i bieg promienia
światła.10
ϕ
180−ψ
ψα γ
δβϕ
A B
D
C
α−β γ−δ
W pryzmacie będziemy chcieli znaleźć zależność tzw. kąta ugięcia (ψ) od
parametrów charakteryzujących pryzmat; tzw. kąta łamiącego (ϕ). Korzystając
z prawa Snella można zapisać:
sin(α)
sin(β)= n i
sin(γ)
sin(δ)= n
W przypadku gdy kąt padania jest mały można skorzystać z przybliżenia:
sin(x) ≈ x i dostaniemy wówczas:
α = nβ i γ = nδ(∗)
Rozważmy trójkąt ∆ABC; korzystając z faktu że suma kątów musi być równa
180o mamy:
180− ψ + α− β + γ − δ = 180→ ψ = α− β + γ − δ
Korzystając z równań (∗) otrzymujemy:
ψ = nβ−β+nδ− δ = β(n− 1)+ δ(n− 1) = (n− 1)(β+ δ)(♣)
W trójkącie ∆ADB suma kątów to także 180o więc:
β + δ + 180− ϕ = 180→ β + δ = ϕ11
I po podstawieniu do równania (♣) otrzymujemy ostatecznie:
ψ = (n− 1)ϕ
Okazuje się więc że otrzymaliśmy bardzo prostą zależność kąta ugięcia od kąta
łamiącego pryzmatu.
S O C Z E W K I
Soczewka - wykonana z jednorodnego optycznie materiału bryła będąca: częścią
wspólną, sumą, różnicą lub dopełnieniem 2 kul.
W zależności od kształtu wyróżnamy następujące rodzaje soczewek:
1. Dwuwypukłe
(a) symetryczne
(b) asymetryczne
2. Płaskowypukłe
3. Dwuwklęsłe
(a) symetryczne
(b) asymetryczne
4. Płaskowklęsłe
5. Wypukłowklęsłe
6. Wklęsłowypukłe
W zależności od zachowania się wiązki promieni równoległych wyróżniamy:12
• Soczewki skupiające – (ozn. l) wiązka promieni równoległych po przejściu
przez soczewkę staje się zbieżna. Jednak w ogólności promienie nie muszą
zbiegać się w jednym punkcie; okazuje się (i zostało to przedstawione
ne poniższy rysunku), że promienie bliskie osi soczewki (tzw. przyosiowe)
przecinają się w większej odległości od soczewki niż promienie leżące dalej od
osi soczewki (tzw. pozaosiowe). Zjawisko to nazywa się aberracją sferyczną.
• Soczewki rozpraszające – (ozn. ) wiązka promieni równoległych po przejściu
przez soczewkę staje się rozbieżna; przedłużenia tych promieni (podobnie
jak promienie w soczewce skupiającej) również nie przecinają się w jednym
punkcie.
W dalszych rozważaniach będziemy korzystali z modelu soczewki cienkiej tzn.
takiej, której grubość jest dużo mniejsza niż promień krzywizny. Oznacza to, że
poznawane przez nas prawa będą słuszne jedynie w przybliżeniu.13
soczewka
gruba
R
d
R=d
R
d
R>>d soczewka cienka
Soczewka cienka nie posiada aberracji sferycznej i dlatego bieg wiązki promieni
równoległych w takiej soczewce jest następujący:
• Soczewki skupiające – wiązka promieni równoległych po przejściu przez
soczewkę staje się zbieżna i przecina się w jednym punkcie zwanym ogniskiem
soczewki
• Soczewki rozpraszające – wiązka promieni równoległych po przejściu przez
soczewkę staje się rozbieżna lecz przedłużenia tych rozbiegających się pro-
mieni również przecinają się w jednym punkcie zwanym ogniskiem pozornym
soczewki
Rozważmy soczewkę dowolnego z opisanych wcześniej rodzaju; niech jej wspł-
czynnik załamania światła wynosi: ns. Umieszczamy ją w ośrodku którego14
współczynnik załamania światła wynosi: no. Aby wyznaczyć odniskową (f)
takiej soczewki posługujemy się następującym wzorem:
1
f=
(
ns
no− 1
)(
1
r1+
1
r2
)
gdzie r1 i r2 to promienie krzywizn obydwu powierzchni soczewki; znaki tych
liczb ustala się następująco:
• r > 0 – dla części wypukłej soczewki,
• r < 0 – dla części wklęsłej soczewki,
• r =∞⇒ 1r= 0 – dla części płaskiej soczewki,
Wprowadzając pojęcie zdolności skupiającej (zbierającej), zdefiniowane jako:
z =1
f[z] =
1
m= D (Dioptria)
Mamy w zależności od otrzymanej wartości zdolności zkupiającej D:
• soczewki skupiające, gdy D > 0 (tzw. „plusy”),
• soczewki rozpraszające, gdy D < 0 (tzw. „minusy),
Rozważmy następujący przykład:
Soczewkę płaskowklęsłą o promieniu krzywizny 20cm wykonano ze szkła o
współczynniku załamania 1.4 i umieszczono w cieczy której współczynnik zała-
mania wynosi 1.5. Oblicz ogniskową tej soczewki. Jaka jest to soczewka?
Opisana w zadaniu soczewka wygląda następująco:
r1= 8
r1
1= 0
2r <0
(czesc wklesla)
Podstawiając do równania na ogniskową soczewki otrzymujemy:
1
f=
(
1.4
1.5− 1
)(
0−1
20
)
=1
3015
A zatem f = +30cm i okazuje się że soczewka wklęsła może być skupiająca.
Nie należy więc utożsamiać soczewek wypukłych jako skupiających a wklęsłych
jako rozpraszających.
Powstawanie obrazów w soczewkach cienkich
Powstające w soczewkach lub zwierciadłach obrazy mogą być:
• w zależności od wielkości obrazu w stosunku do przedmiotu:
– powiększone – gdy obraz jest większy niż przedmiot
– pomniejszone – gdy obraz jest mniejszy niż przedmiot
• w zależności od tego, czy obraz powstaje z promieni, czy z ich przedłużeń:
– rzeczywiste – gdy obraz poowstaje z promieni
– pozorne – gdy obraz powstaje z przedłużeń promieni
• w zależności od orientacji obrazu w stosunku do przedmiotu:
– prosty – gdy obraz ma taką samą orientacje jak przedmiot
– odwrócony – gdy obraz jest odwrócony względem przedmiotu
Konstrukcje obrazów w soczewkach:
W przypadku soczewek skupiających należy rozważyć aż 5 różnych przypadków
powstawania obrazu, w przypadku soczewek rozpraszających będziemy mieli tylko
jeden przypadek.
Bardzo istotne są także oznaczenia, mimo iż we wzorach na soczewki i zwierciadła
istnieje symetria ze względu na odwrócenie biegu promienia.
- soczewka skupiająca
mamy tutaj następujące przypadki:
x > 2f16
F2F F
2Fh
H
1
2
3
x y
h – wysokość przedmiotu, H – wysokość obrazu
x – odległość przedmiotu od soczewki, y – odległość obrazu od soczewki
promień „1” – równoległy do osi optycznej, po przejściu przez soczewkę przejdzie
przez ognisko
promień „2” – przechodzący przez środek soczewki, pozostanie bez zmian
promień „3” – przechodzący przez ognisko, po przejściu przez soczewkę stanie
się równoległy do głównej osi optycznej
Powstały, w miejscu przecięcia się promieni, obraz jest: pomniejszony, rzeczywisty,
odwrócony
x = 2f
F2F F
2F
H
h
Obraz H jest: tej samej wielkości, rzeczywisty, odwrócony
f < x < 2f
F2F F 2F
h
H
17
Obraz H jest: powiększony, rzeczywisty, odwrócony
x = f
F2F F 2F
h
Promienie są równoległe więc nie mogą się przeciąć; ani one same, ani ich
przedłużenia więc obraz nie powstanie
x < f
F2F F 2F
h
H
Obraz H jest: powiększony, pozorny, prosty
- soczewka rozpraszająca
Powstający w niej rodzaj obrazu nie zależy od odległości przedmiotu od soczewki
i jest on: pomniejszony, pozorny i prosty, zaś jego konstrukcja jest następująca:
F
h
FH
Dla soczewki cienkiej prawdziwe są następujące wzory:
1
f=
1
x+
1
y18
p =H
h=y
x
Wyprowadzenie równania soczewki i wzoru na powiększenie
W naszym wyprowadzeniu będziemy zakładać, że wiązka promieni równoległych
po przejściu przez soczewkę skupia się w jednym punkcie (ognisku), a zatem
obowiązuje model soczewki cienkiej.
F F SSA
B
A’
B’
C
D
O
x
x−f f
y
f y−f
– równanie soczewki:
Z podobieństwa trójkątów ∆AFB∆FOD i ∆OFC∆FA′B′ mamy:
|FO|
|AF |=|OD|
|AB|i|FA′|
|OF |=|A′B′|
|OC|
ale |OD| = |A′B′|, |OC| = |AB|, |FO| = |OF | = f , |AF | =
x− f , |FA′| = y − f więc po podstawieniu mamy:
(∗)f
x− f=|A′B′|
|AB|iy − f
f=|A′B′|
|AB|
porównując lewe strony tych równań:
f
x− f=y − f
f→ f
2= xy − xf − yf + f
2 → xy = yf + xf
dzieląc ostatnie równanie przez xyf mamy równanie soczewki: 1f= 1
x+ 1
y
– wzór na powiększenie:19
Wychodzimy z definicji powiększenia: p = h′
h= |A′B′||AB| i korzystamy z wyrażenia
(∗) oraz obliczając z równania soczewki f = xyx+y
p =|A′B′|
|AB|=
f
x− f=
xyx+y
x− xyx+y
=
xyx+y
x(x+y)−xyx+y
=xy
x2 + xy − xy=xy
x2=
otrzymaliśmy zatem wzór na powiększenie: p = yx
Zwierciadła
Zwierciadłem nazywamy płaską, wypolerowaną, idealnie odbijającą światło po-
wierzchnię; w zależności od jej kształtu wyróżniamy:
1. Zwierciadła płaskie – gdy odbijająca światło powierzchnia jest płaska (część
płaszczyzny)
2. Zwierciadła kuliste (lub poprawniej sferyczne)
(a) Wypukłe – odbijająca światło powierzchnia jest zewnętrzną częścią wy-
cinka sfery,
(b) Wklęsłe – odbijająca światło powierzchnia jest wewnętrzną częścią wy-
cinka sfery,
Ad. 1 Zwierciadło płaskie
Konstrukcja obrazu:
AA’
B’ B
Otrzymany obraz (A′B′) jest pozorny, prosty i tej samej wielkości. Należy jednak
pamiętać, że odległość między przedmiotem a obrazem jest dwa razy większa niż
odległość przedmiotu od zwierciadła i że obraz jest odwrócony (odbity) z lewa20
na prawą.
Ad. 2a Zwierciadło sferyczne wypukłe
Konstrukcja obrazu:
W zwierciadle sferycznym (kulistym) wypukłym konstrukcja obrazu nie zależy od
położenia przedmiotu i wygląda następująco:
F A
B
A’
B’
A’B’ pomniejszony pozorny prosty
Ad. 2a Zwierciadło sferyczne wypukłe
Konstrukcja obrazu:
W zwierciadle tym mamy następujące przypadki konstrukcji obrazu:
1) x > 2f
O F S A’B’ − pomniejszonyrzeczywisty, odwroconyB’
A’A
B
2) x = 2f
O F S
A’B’ tej samej wielkosci rzeczywisty odwrocony
A A’
B’
B
21
3) f < x < 2f
O F SA
B
A’
B’
rzeczywisty odwrocony
A’B’ powiekszony
4) x = f
O F S
B
A
obraz nie powstanie
rownolegle)(promienie odbite sa
5) 0 < x < f
O F SA
BB’
A’
A’B’ powiekszony pozorny prosty
Dla zwierciadeł prawdziwe są następujące wzory:
1
f=
1
x+
1
y
p =H
h=y
x
f =r
2Lupa
To jak duże jest dane ciało zależy nie tylko od samej jego wielkości ale również22
od dległości od obserwatora. Ciała duże ale będące daleko mogą być odbierane
jako mniejsze niż ciała małe ale znajdujące się blisko. Można powiedzieć że
najważniejsze dla oceny wielkości obserwowaniego ciała jest kąt pod jakim go
widzimy.
Aby swiększyć kąt obserwacji danego ciała można podejść do niego bliżej ale
nie dowolnie blisko ponieważ odległość dobrego widzenia (minimalna odległość
powyżej której następuje poprawna akomodacja oka człowieka) wynoski około
30cm.
Lupa to przyrząd który pozwala na zwiększenie kąta obserwacji danego ciała
bez „podchadzienia” do niego na małą odległość; jest to po prostu soczewka
skupiająca dająca obraz powiększony i pozorny (przedmiot jest w odległości
mniejszej niż ogniskowa). Działanie lupy przedstawiono na poniższym rysunku:
F F
H
hh
y=d=0,3m
x
αβ
Powiększenie lupy możemy zdefiniowań następująco:
p =β
α=
tan(β)
tan(α)
Obliczając tan(β) = hx
i tan(α) = hd
mamy:
p =tan(β)
tan(α)=
hx
hd
=d
x= d
1
x(∗)
Obliczając 1x
z równania soczewki cienkiej (pamiętając że ponieważ powstały23
obraz jest pozorny to d→ −d):
1
f=
1
x−
1
d←
1
x=
1
f+
1
d=d + f
df
I podstawiamy otrzymany wynik do równania (∗) otrzymując wzór na powięk-
szenie lupy:
p = d1
x= d
d+ f
df=d
f+ 1
Z otrzymanego wzoru widać, że aby uzyskiwać duże powiększenia lupa musi
mieć małą ogniskową (czyli mały promień krzywizny) a oznacza to, że „będzie
gruba” i aberracje spowodują degradacje powstającego obrazu (ponadto sam opis
będzie trudniejszy bo nie będzie modelu soczewki cienkiej), dlatego powiększenia
uzyskiwane przy zastosowaniu lupy są niewielkie; rzędu kilkunastu, kilkudziesięciu.
Ponadto aby usyskać duże powiększenia konieczne jest stosowanie dużych socze-
wek, co jest nieekonomiczne.
Mikroskop
Analizując działanie lupy, stwierdziliśmy, że jej powiększenie (kątowe) można
wyrazić wzorem p = 1 + df, zatem chcąc uzyskać jak największe powiększenie
należy stosować soczewki o jak najmniejszej ogniskowej, a to oznacza, że
bardzo szybko przestaje obowiązywać model soczewki cienkiej i ostru obraz
powstaje jedynie w środkowej części soczewki. W praktyce powiększenia lupe nie
przekraczają kilkunastu. Przyrząd w którym możliwe jest uzyskanie większych
powiększeń to mikroskop. Budowę układu optycznego mikroskopu przedstawia
poniższy rysunek:24
obiektyw
F Fob ob
okular
F Fok ok
(1)
(2)
(3) d
∆
Podstawowymi zespołami układu optycznego mikroskopu są:
• obiektyw – tworzący obraz odwrócony, rzeczywisty i powiększony (2)
• okular – działający jak lupa, przez którą obserwuje się obraz utworzony przez
obiektyw (3)
Powiększenie mikroskopu obliczamy traktując go jako lupę o ogniskowej fmikr
1
fmikr=
1
fob+
1
fok−
d
fokfob=fok + fob − d
fobfok
Skoro jest lupą to pm = 1 + df, stąd:
pm = 1 +d(fok + fob − d)
fobfok≈
∆
fob·250
fok= pob · pok
Luneta Keplera (1611)
|| | |
Przedmiotbaardzo daleko
Obraz25
Składa się z dwóch soczewek; przedniej – obiektywu i tylniej – okularu. Obiektyw
daje obraz przedmiotu, który jest rzeczywisty, pomniejszony i odwrócony. Okular
który pełni rolę lupy daje obraz pozorny powiększony i odwrócony względem
przedmiotu.
Budowa oka człowieka
Oko człowieka jako układ optyczny składa się z soczewki, źrenicy i siatkówki.
Soczewka oka ma zdolność do zmiany swojej ogniskowej (mięśnie rzęskowe
powodują że soczewka oka może być grubsza, lub cieńsza), dzięki temu można
uzyskiwać na siatkówce ostre obrazy przedmiotów w różnych odległościach od
oka, pomimo iż odległość soczewki od siatkówki jest stała. Zdolność tą nazywamy
akomodacją oka.
Źrenica oka ma za zadanie regulację ilości światła jakie pada na siatkówkę; w
pomieszczeniach ciemnych poszesza się a w jasnych zwęża i dzięki temu zapewnia
prawidłowe oświetlenie siatkówki. Nazywa się to adaptacją oka.
Siatkówka zawiera warstwę włókien nerwowych, warstwę czułą na światło i
warstwę zapewnająca prawidłowe ukrwienie powyższych warstw. W warstwie
czułej na swiatło znajdują się czopki (odpowiedzialne za widzenie za dnia) i
pręciki (odpowiedzialne za widzenie po zmroku) i dzięki odpowiednim reakcjom
chemicznym wytwarzają się niej impulsy elektryczne, które poprzez warstwę
włókien nerwowych przekazywane do nerwu wzrokowego i dalej nim do mózgu.
Mechanizm w jaki mózg przetwarza impulsy elektryczne z nerwów wzrokowych
nie jest do dzisiaj wyjaśniony, podobnie jak mechanizm widzenia kolorowego.
Dzięki temu, że posiadamy dwoje oczu, możemy widzieć przestrzennie, odbywa
się to na zasadzie analizy przez mózg różnicy obrazów odbieranych przez oko.
Wady wzroku (układu optycznego):
Krótowzroczność - wada ta polaga na tym że wskutek niedostatecznej zdol-
ności akomodacyjnej soczewki lub anatomicznej budowy oka (gałka oczna zbyt
duża), ostry obraz powstaje PRZED siatkówką, wskutek czego nie dostrzegamy
wyraźnie przedmiotów leżących daleko. Korekcja tej wady polega na zastosowa-
niu okularów mających soczewki rozpraszające (o ogniskowej ujemnej, stąd ich
nazwa – minusy), lub odpowiednia modyfikacja przedniej cześci soczewki.26
Dalekowzroczność - wada ta polaga na tym że wskutek niedostatecznej
zdolności akomodacyjnej soczewki lub anatomicznej budowy oka (gałka oczna
zbyt mała), ostry obraz powstaje ZA siatkówką, wskutek czego nie dostrzegamy
wyraźnie przedmiotów leżących blisko. Korekcja tej wady polega na zastosowaniu
okularów mających soczewki skupiające (o ogniskowej dodatniej, stąd ich nazwa
– plusy), lub odpowiednia modyfikacja laserowa przedniej cześci soczewki.
Astygmatyzm - jest to wada anatomiczna oka wskutek której uzyskujemy
ostry lub nieostry obraz w zależności od ustawienia gałek ocznych. Korekcja tej
wady polega na zastosowaniu okularów mających soczewki cylindryczne.
27