kinematics دکتر سعید شیری قیداری فصل 2و3 کتاب introduction to robotics...
TRANSCRIPT
Kinematics
قیداری شیری سعید دکتر
کتاب 3و2فصلIntroduction to robotics mechanics and control
Amirkabir University of TechnologyComputer Engineering & Information Technology Department
سینماتیک
Kinematics
درس استاندارد شروع نقطه سینماتیک مطالعه معموال .است روباتیک
نظیر علوم سایر در روباتیک بر عالوه سینماتیک .دارد کاربرد نیز انیمیشن و گرافیک
:سینماتیکروبات حرکت هندسه تحلیلی مطالعه از است عبارت :
ثابت مختصات محور یک به نسبتحرکت باعث که گشتاوری یا و ها نیرو به نسبت
میشوند
سینماتیک
روباتهای برای سینماتیک بحثصنعتی
مستقیم سینماتیک بحث در ارائه روشی صنعتی روباتهای
ها لینک جهت و موقعیت که میشود از تابعی بصورت را روبات ابزار و
به نسبت ها مفصل متغیرهای.میکند محاسبه مرجع محور
به مختصاتی فریمهای اینکار برای وصل روبات مکانیزم از بخش هر
این بین ارتباط سپس و شده.میشود بیان محورها
A 3-DOF Manipulator Arm
Manipulators
از صنعتی روبات یا و روباتیک بازویصلب اتصال تشکیل (link)تعدادی
مفاصل توسط هم (joints)میشودکه به. میشوند متصل
یا و چرخشی است ممکن ها مفصلبر و رفت
. باشند گشتی سیستم یا و موتور از روبات حرکت برای
. میشود استفاده هیدرولیک میگیرد قرار ابزار یک روبات انتهای در
نصب روبات مچ در ای صفحه روی بر کهمیشود.
روباتهای متداول های طرحصنعتی
Cartesian
ArticulatedCylindrical
Spherical
SCARA
Manipulators
Robot Configuration:
Cartesian: PPP Cylindrical: RPP Spherical: RRP
SCARA: RRP
)Selective Compliance Assembly Robot Arm(
Articulated: RRR
Hand coordinate:
n: normal vector; s: sliding vector;
a: approach vector, normal to the
tool mounting plate
Manipulators : میشود شناخته زیر مشخصات با صنعتی روبات
محورها تعداد اصلی موقعیت : 3-1محورهای تعیین برای که
میروند بکار بازو فرعی به : 6-4محورهای دادن جهت برای که
. میروند بکار ابزار اضافی از : n-7محورهای پرهیز برای که
. میروند بکار نامطلوب های موقعیت
: آزادی )Degree of Freedom )DOFدرجه : کاری Workspaceفضای : بار )Payload )load capacityظرفیت : تکرارپذیری و .Precision v.sدقت
Repeatability
Forward kinematics
Given joint variables
End-effector position and orientation, -Formula?
),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq
),,,,,( TAOzyxY x
y
z
روباتهای برای سینماتیک بحثصنعتی
Given a desired position )P( & orientation )R( of the end-effector
Find the joint variables which can bring the robot the desired configuration
),,( 21 nqqqq
x
y
z
برای معکوس سینماتیک بحثصنعتی روباتهای
Inverse Kinematics
(1 … n) (x,y,z,x,y,z)
K-1
مثال
0x
0y
1x1y
)/(cos
kinematics Inverse
sin
cos
kinematics Forward
01
0
0
lx
ly
lx
l
سخت معکوس سینماتیک از تر بحث:زیرا است مستقیم سینماتیک
و بوده خطی غیر حاصله معادالت حل راه همیشه اینرو از
آنها حل برای سیستماتیکی.ندارد وجود closed form بصورت
نیست بفرد منحصر حل راه.مشخصات به بستگی حل راه
!solutions 2دارد روبات
برای معکوس سینماتیک بحثصنعتی روباتهای
Forward and Inverse Kinematics
xw
Joint 1
Joint 2
Joint 3
Link 1z1
World )Base( Coordinate Frame
Tool Coordinate Frame
Joint 1
Joint 2
Joint 3
Link 1z1
World )Base( Coordinate Frame
Tool Coordinate Frame
1
2
zw
yt
zt
Link Space
n variables (1 … n)
Tool Space
6 variables (x,y,z,x,y,z)
Forward K
Inverse K
متحرک روباتهای سینماتیک
زمینه دو در متحرک روباتهای سینماتیک مطالعه :است الزم
نظر مورد عمل انجام برای روبات مناسب طراحیشده ساخته روبات کنترلی افزار نرم نوشتن
صنعتی روبات و متحرک روبات بین مهم اختالف یک در صنعتی روبات .است موقعیت گیری اندازه در نسبت آنرا موقعیت میتوان لذا است ثابت نقطه یک.گرفت اندازه ثابت نقطه این به
روبات یک موقعیت کنترل
موارد تا است الزم روبات یک موقعیت کنترل برای :بدانیم را زیرروبات دینامیکی/ سینماتیکی مدلزمین و چرخ بین تعامل مدلنیاز مورد حرکت از تعریفی:
موقعیت کنترل- سرعت کنترلمیکند برآورده را الزم نیازمندیهای که کنترلی قانون.
مختصات تبدیل
عالقمند معموال روبات یک موقعیت بررسی هنگام محور یک به نسبت آنرا موقعیت که هستیم
. بسنجیم مرجع مختصاتچرخها، نظیر روبات یک اجزای حرکت حالیکه در
بدنه به نسبت غیره و سنسورها، گرفتن قرار محل .میشوند گیری اندازه روبات
اهداف ویا روبات موقعیت تا است الزم اینرو از گیری اندازه روبات موقعیت به نسبت که را دیگر
.نمود بیان مرجع مختصات محور به نسبت میشوندبود خواهد مختصات تبدیل به نیاز اینکار برای
مختصات مرجع محورهای
World frameJoint frameTool frame
x
yz
x
z
y
W R
PT
Let and be arbitrary vectors in and be the angle from to , then
Where is the angle between the vectors and is the norm.
X.Y=0 if X is perpendicular to Y.
3R
cosyxyx
x yx y
x
y
x
داخلی ضرب
Mutually perpendicular
Unit vectors
Properties of orthonormal coordinate frame
0
0
0
jk
ki
ji
1||
1||
1||
k
j
i
i
jk
O
داخلی ضرب
Point represented in OXYZ:
zyx kji zyxxyz pppP
Tzyxxyz pppP ],,[
Vector represented in OXYZ:
x
y
z
P
O, O’i
jk
بردار و نقطه نمایش
Reference coordinate frame OXYZ
Body-attached frame O’uvw
wvu kji wvuuvw pppP
x
y
z
P
u
vw
O, O’
zwyvxu pppppp
Point represented in O’uvw:
Two frames coincide ==>
مختصات تبدیل
باشیم داشته دوران فقط که حالتی
wvu kji wvuuvw pppP
x
y
zP
zyx kji zyxxyz pppP
uvwxyz RPP u
vw
مختصات تبدیل
داد؟ ربط هم به را مختصات محور ایندو نقاط مختصات میتوان چگونه
Px , Py , and Pz represent the projections of P onto OX, OY, OZ axes, respectively
Since
wvux pppPp wxvxuxx kijiiii
wvuy pppPp wyvyuyy kjjjijj
wvuz pppPp wzvzuzz kkjkikk
wvu kji wvu pppP
ساده دوران حالت
پایه دوران ماتریس
Rotation about x-axis with
w
v
u
z
y
x
p
p
p
p
p
p
wzvzuz
wyvyuy
wxvxux
kkjkik
kjjjij
kijiii
x
z
y
v
wP
u
CS
SCxRot
0
0
001
),(
پایه دوران ماتریس
Rotation about x axis with
cossin
sincos
cossin0
sincos0
001
wvz
wvy
ux
w
v
u
z
y
x
ppp
ppp
pp
p
p
p
p
p
p
x
z
y
v
wP
u
پایه دوران های ماتریسRotation about x-axis with
Rotation about y-axis with
Rotation about z-axis with
uvwxyz RPP
CS
SCxRot
0
0
001
),(
0
010
0
),(
CS
SC
yRot
100
0
0
),(
CS
SC
zRot
پایه دوران ماتریس
Obtain the coordinate of from the coordinate of
uvwxyz RPP
wzvzuz
wyvyuy
wxvxux
kkjkik
kjjjij
kijiii
R
xyzuvw QPP
TRRQ 1
31 IRRRRQR T
uvwPxyzP
<== 3X3 identity matrix
z
y
x
w
v
u
p
p
p
p
p
p
zwywxw
zvyvxv
zuyuxu
kkjkik
kjjjij
kijiii
Dot products are commutative!
مثال A point is attached to a rotating
frame, the frame rotates 60 degree about the OZ axis of the reference frame. Find the coordinates of the point relative to the reference frame after the rotation.
)2,3,4(uvwa
2
964.4
598.0
2
3
4
100
05.0866.0
0866.05.0
)60,( uvwxyz azRota
مثال
A point is the coordinate w.r.t. the reference coordinate system, find the corresponding point w.r.t. the rotated OU-V-W coordinate system if it has been rotated 60 degree about OZ axis.
)2,3,4(xyza
uvwa
2
964.1
598.4
2
3
4
100
05.0866.0
0866.05.0
)60,( xyzT
uvw azRota
ترکیبی دوران ماتریس
دارای دوران های ماتریس از محدود ای دنباله . از مواقعی چنین در نیستند جابجائی خاصیت
: میشود استفاده زیر قوانین
If rotating coordinate O-U-V-W is rotating about principal axis of OXYZ frame, then pre-multiply the previous )resultant( rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix
If rotating coordinate OUVW is rotating about its own principal axes, then post-multiply the previous )resultant( rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix
مثال عملیات دوران : ماتریس بیابید را زیر
Post-multiply if rotate about the OUVW axes
Pre-multiply if rotate about the OXYZ axes
...
axis OUabout Rotation
axisOW about Rotation
axis OYabout Rotation
Answer
SSSCCSCCSSCS
SCCCS
CSSSCCSCSSCC
CS
SCCS
SC
uRotwRotIyRotR
0
0
001
100
0
0
C0S-
010
S0C
),(),(),( 3
مختصات تبدیل• position vector of P in {B} is transformed to position vector of P in {A}
• description of {B} as seen from an observer in {A}
Rotation of {B} with respect to {A}
Translation of the origin of {B} with respect to origin of {A}
مختصات تبدیل Two special cases
1. Translation only
Axes of {B} and {A} are parallel
2. Rotation only
Origins of {B} and {A} are coincident
1BAR
'oAPBB
APA rrRr
0' oAr
Homogeneous Representation• Coordinate transformation from {B} to {A}
• Homogeneous transformation matrix
'oAPBB
APA rrRr
1101 31
' PBoAB
APA rrRr
10101333
31
' PRrRT
oAB
A
BA
Position vector
Rotation matrix
Scaling
Homogeneous Transformation
خاص حاالت1 .Translation
2 .Rotation
10
0
31
13BA
BA RT
10 31
'33
oA
BA rIT
مثال Translation along z-axis with h:
1000
100
0010
0001
),(h
hzTrans
111000
100
0010
0001
1
hp
p
p
p
p
p
hz
y
x
w
v
u
w
v
u
x
y
z P
u
vw
O, O’
hx
y
z
P
u
vw
O, O’
مثال Rotation about the x-axis by
1000
00
00
0001
),(
CS
SCxRot
x
z
y
v
wP
u
11000
00
00
0001
1w
v
u
p
p
p
CS
SC
z
y
x
Homogeneous Transformation
Composite Homogeneous Transformation Matrix
Rules: Transformation )rotation/translation( w.r.t )X,Y,Z(
)OLD FRAME(, using pre-multiplication Transformation )rotation/translation( w.r.t )U,V,W(
)NEW FRAME(, using post-multiplication
مثال Find the homogeneous transformation matrix )T(
for the following operation:
:
axis OZabout ofRotation
axis OZ along ofn Translatio
axis OX along ofn Translatio
axis OXabout Rotation
Answer
d
a
44,,,, ITTTTT xaxdzz
1000
00
00
0001
1000
0100
0010
001
1000
100
0010
0001
1000
0100
00
00
CS
SC
a
d
CS
SC
Homogeneous Representation
A frame in space )geometric interpretation(
x
y
z
n
sa
1000zzzz
yyyy
xxxx
pasn
pasn
pasn
F
),,( zyx pppP
101333 PR
F
Principal axis n w.r.t. the reference coordinate system
Homogeneous Transformation
Translation
y
z
n
sa n
sa
1000
10001000
100
010
001
zzzzz
yyyyy
xxxxx
zzzz
yyyy
xxxx
z
y
x
new
dpasn
dpasn
dpasn
pasn
pasn
pasn
d
d
d
F
oldzyxnew FdddTransF ),,(
Homogeneous Transformation
21
10
20 AAA
Composite Homogeneous Transformation Matrix
0x
0z
0y
10 A
21A
1x
1z
1y 2x
2z2y
?i
i A1 Transformation matrix for adjacent coordinate frames
Chain product of successive coordinate transformation matrices
مثال For the figure shown below, find the 4x4 homogeneous transformation
matrices and for i=1, 2, 3, 4, 5
1000zzzz
yyyy
xxxx
pasn
pasn
pasn
F
ii A1
iA0
0x 0y
0z
a
b
c
d
e
1x
1y
1z
2z2x
2y
3y3x
3z
4z
4y4x
5x5y
5z
1000
010
100
0001
10
da
ceA
1000
0100
001
010
20 ce
b
A
1000
0001
100
010
21 da
b
A
Can you find the answer by observation based on the geometric interpretation of homogeneous transformation matrix?
Orientation Representation
Rotation matrix representation needs 9 elements to completely describe the orientation of a rotating rigid body.
Any easy way?
101333 PR
F
Euler Angles Representation
Orientation Representation Euler Angles Representation ) , , (
Many different types Description of Euler angle representations
Euler Angle I Euler Angle II Roll-Pitch-Yaw
Sequence about OZ axis about OZ axis about OX axis
of about OU axis about OV axis about OY axis
Rotations about OW axis about OW axis about OZ axis
x
y
z
u'
v'
v "
w"
w'=
=u"
v'"
u'"
w'"=
Euler Angle I
Orientation Representation Euler Angle I
100
0cossin
0sincos
,
cossin0
sincos0
001
,
100
0cossin
0sincos
''
'
w
uz
R
RR
Euler Angle I
cossincossinsin
sincos
coscoscos
sinsin
cossincos
cossin
sinsincoscossin
sincos
cossinsin
coscos
''' wuz RRRR
Resultant eulerian rotation matrix:
Euler Angle II
x
y
z
u'
v'
=v"
w"
w'=
u"
v"'
u"'
w"'=
Note the opposite (clockwise) sense of the third rotation, .
Orientation Representation Matrix with Euler Angle II
cossinsinsincos
sinsin
coscossin
coscos
coscossin
sincos
sincoscoscossin
cossin
coscoscos
sinsin
Orientation Representation Description of Roll Pitch Yaw
X
Y
Z