1

Eelvaade

kinemaatika1 Moodsates lõbustusparkides võib leiduda küll palju põnevat, kuid see kõik kahvatub jalgratta trikkide kõrval, mida sooritati tsirkustes aastatel 1900–1912. Üks kõigi aegade hulljulgemaid rattatrikke sooritati ilmselt Barnumi ja Bailey Tsirkuses Madi-son Square Gardenis 1905. aastal. Etteaste alguses seisis Ugo Ancillotti oma jalgrattaga ühe ja tema vend Ferdinand teise, vastas asuva kaldtee tipus. Märguande peale alustasid vennad laskumist. Kui Ugo jõudis oma kaldtee järsult ülespoole painutatud osale, visati ta sealt 14 meetri kaugusele järgmisele kaldteele, mis lõppes jällegi kõverdatud osaga. Sealt sooritas Ugo teise, 9 meetri pikkuse õhulennu. Samal ajal kihutas Ferdinand läbi oma kaldtee nõgusa alaosa, sooritas pea alaspidi õhulennu ja maandus teisele painutatud kaldteele. Triki muutis eriti närvekõditavaks asjaolu, et tagurpidi pööratud Ferdinand lendas kõigest meetri või paari kauguselt oma esimest õhulendu sooritava Ugo alt läbi.

Ugo Ferdinand

Vastus peitub selles peatükis

1 KINEMAATIKA | Millega tegeleb mehaanika

2

Eelvaade

1.1. miLLeGa teGeLeB meHaanika

Mehaanika põhiülesanneKes meist poleks näinud taevas sõudvaid pilvi, lillelt lillele lendlevat liblikat, mööda teed kihutavat autot, paberile tähti kirjutavat pliiatsiotsa... Kõigi nimetatud kehade ühine tunnus on see, et need liiguvad. Kui eemal lööb välku, jõuab valgus-sähvatus meieni pea kohe ning mürin veidi hiljem. Meie soon-tes voolab veri ja sarnane on elektrivool, mis kujutab endast elektronide suunatud liikumist juhtmes. Meie sees liiguvad aa-tomid ja aatomite sees liiguvad elektronid. Liikumine on kõik-jal. Liikumine on looduse kõige üldisem nähtus.

Füüsika uurib loodust ja sealhulgas ka liikumist. Füüsika see haru, mis uurib liikumist ja selle muutumise põhjusi, kan-nab nime mehaanika. Mehaanika tekkis antiikajal, mil hakati rasket käsitsitööd kergemaks muutvaid masinaid ehitama. Et masinaid täiustada, tuli lähemalt tundma õppida eelkõige neid nähtusi, mis masinates aset leidsid. Tuli uurida liikumist ning liikumist mõjutavaid tegureid. Sõna „mehaanika“ ongi tulnud kreeka keelest (μηχανική — masinatesse puutuv).

Tänapäeval ei piirdu mehaanika ainult masinate ehita-misega, vaid uurib liikumist üldisemalt. Vist igaüks meist on planeerinud mõnda retke ja arvutanud, millal kuhugi pärale jõuab. Sarnane, kuid märgatavalt keerulisem ülesanne on välja arvutada, kuhu jõuab planeetide mõju all olev kosmoseapa-raat paari aasta pärast. See ongi mehaanika põhiülesanne — leida keha asukoht mis tahes ajahetkel.

Kordamisküsimused1. Too näiteid erinevatest liikumistest, mida me oleme võimelised

nägema.2. Too näiteid liikumistest, mida me ei suuda näha, kuid mis on siiski

olemas.

Mehaanika harudMehaanika saab jaotada kolmeks haruks.Kinemaatika (κίνημα — kreeka k liigutus, liikumine) uurib

ja kirjeldab kehade liikumist ruumis. Seejuures pole olu-line, mis on liikumise põhjuseks. Näiteks saab kinemaa-tikaseaduste abil arvutada, kui kõrgele lendab otse üles visatud kivi.

Dünaamika (δύναμη — kreeka k. jõud, vägi) uurib, kuidas lii-kumine tekib ning erinevate mõjude tagajärjel muutub. Näiteks saab arvutada, millise kiiruse saavutab vihmapiisk, mida kiirendab Maa külgetõmme ja pidurdab õhutakistus.

Staatika (στατική — kreeka k. püsiv, muutumatu) uurib, mis

Kinemaatika kirjeldab liikumist

Dünaamika uurib liikumise tekkimise ja muutumise põhjusi

Liikumine on looduse põhinähtus

Mehaanika uurib liikumist ja selle muutumise põhjusi

KINEMAATIKA

DÜNAAMIKA

MEHAANIKA

STAATIKA

1Millega tegeleb mehaanika | KINEMAATIKA

3

Eelvaade

tingimustel liikumine ei muutu, st keha on tasakaalus. Staatika võimaldab näiteks välja arvutada, mitu inimest võib vaatetorni ronida, ilma et see ümber kukuks.

KordamisküsimusedMilline mehaanikaharu tegeleb järgmiste ülesannetega?1. Jalgrattasõidu kestuse arvutamine teekonna pikkuse kaudu.2. Autole vajaliku mootori võimsuse arvutamine.3. Torni tipust langeva kivi langemisaja arvutamine.4. Silla kandejõu leidmine.5. Lennukile vajaliku maandumisraja pikkuse arvutamine hõõrde-

jõu kaudu.6. Tungraua või mõne muu tõsteseadme konstrueerimine.

Liikumise mõiste ja suhtelisusMille järgi tunneme ära, et keha liigub? Algul käes olnud vaas asub pärast mahapillamist põrandal. Sadamast väljunud laev on tunni aja pärast mitu miili eemal. Kui kellaosuti on number kahe kohal, siis mõni aeg hiljem on see juba viie peal. Vaas, laev ja osuti on liikunud — nad on oma asukohta muutnud.

Kõikide liikumiste ühine tunnus on see, et keha asukoht muutub. Seejuures on vaja liikumise kindlakstegemiseks ja uurimiseks mõnda teist keha, mille suhtes me asukohta mää-rame. Liikumine toimub alati millegi suhtes, st liikumine on suhteline. Asukoha muutumine võtab aega. Pole võimalik, et puult kukkuv õun on mingil hetkel oksa küljes ja siis kohe juba mujal. Sel juhul oleks õun ju mitmes kohas korraga! Liikumine on alati seotud ajaga. Seega võime öelda, et liiku-mine on keha asukoha muutumine teiste kehade suhtes mingi aja jooksul.

Liikumise suhtelisus tähendab seda, et erinevate kehade suhtes võib liikumine väga erinev olla. Näiteks meile tundub, nagu Maa oleks paigal ja Päike tiirleks ümber meie. Samas tea-me, et Maa tegelikult pöörleb ümber oma telje ja tiirleb samas suure kiirusega (30 km/s) ümber Päikese.

KordamisküsimusedMis on liikumine ja mida on vaja, et keha liikumist kindlaks teha?1. Milles seisneb liikumise suhtelisus?2. Kirjelda jalgrattapedaali liikumist jalgratturi saapa, jalgrattaraa-

mi ja maantee suhtes.3. Milline on plaadimängija nõela või laseri liikumine pöörleva plaa-

di, mängija korpuse ja helipea või laserihoidja suhtes?

Punktmass ja trajektoorKuna liikumine on asukoha muutumine, siis tuleb liikumise kirjeldamist alustada keha asukoha määramisest. Mida aga lugeda näiteks 20 meetri pikkuse veoauto asukohaks? Kas

Liikumine on suhteline

Liikumine on keha asukoha muutumine teiste kehade suhtes mingi aja jooksul

Staatika uurib tasakaalu

1 KINEMAATIKA | Millega tegeleb mehaanika

4

Eelvaade

eesmise numbrimärgi, juhi ninaotsa, koorma keskpunkti või hoopis haagisekonksu asukohta? Tegelikult polegi ühest lin-nast teise liikumise kirjeldamisel auto mõõtmed ja kuju olu-lised. Suurt veokit võime kahe linna vahemaaga võrreldes ette kujutada lihtsalt ühe punktina. Seda punkti nimetatakse punktmassiks.

Kui me edaspidi räägime keha liikumisest, siis mõtleme selle all enamasti punktmassi liikumist. Punktmassiks nime-tatakse sellist keha, mille mõõtmed loetakse nulliks. Kehaks võetakse punkt, mille mass on sama suur kui keha mass. Kuju ja mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata. Tegemist on reaalse keha lihtsustuse ehk füüsikalise mudeliga.

Keha ei või siiski igas olukorras punktmassiks lugeda. Näiteks praamile sõitmisel on auto mõõtmed vägagi olulised.

Need punktid, mida liikuv keha (punktmass) läbib, moo-dustavad alati mingi pideva joone. Seda joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. Liikumistrajektoori ei tohi samastada teega! Auto trajektoor on kujuteldav joon, maantee aga teetammist ja asfaltkattest koosnev keha.

Kordamisküsimused1. Millistel järgmistest juhtudest võib keha lugeda punktmassiks:

a) auto sõitmine praamile; b) lennuki suundumine Tallinnast Kärdlasse; c) maratonidistantsi läbimine jooksja poolt; d) ukse sulgumine?

2. Kas rongi trajektoor ja raudtee on üks ja seesama?3. Millise kujuga on järgmiste liikumiste trajektoorid: a) Maa tiirle-

mine ümber Päikese; b) veetilga kukkumine; c) visatud oda lend; d) kellaosuti otsa liikumine?

Liikumise liigidLiikumisi saab liigitada trajektoori kuju järgi. Sirge trajektoori korral on liikumine sirgjooneline. Kui trajektoor pole sirge, siis on liikumine kõverjooneline.

Teiseks saab eristada ühtlast ja mitteühtlast liikumist. Ühtlane on selline liikumine, mille korral mis tahes võrdsetes ajavahemikes muutub keha asukoht sama palju. Muul juhul on liikumine mitteühtlane. Näiteks laskub avatud langevarjuga parašütist enne maandumist ühtlaselt ja maapinnale jõudmisel pidurdudes mitteühtlaselt.

Veel eristatakse kulgevat ja pöörlevat liikumist. Kulgev on näiteks õmblusmasinanõela üles-alla liikumine. Kogu liiku-mise kestel jääb nõel oma esialgsete asenditega paralleelseks. Kulgevalt liikuva keha kõikide punktide trajektoorid on sama kujuga. Pöörleva liikumise korral liiguvad keha erinevad punk-tid mööda erineva raadiusega ringjooni. Näiteks kellaosuti üks ots liigub mööda suurt ringjoont ja teine ots on hoopis paigal.

Trajektoor

Trajektoor on joon, mida mööda punktmass liigub

Punktmass on keha füüsikaline mudel, mis ei arvesta kuju ega mõõtmeid

Sirgjooneline ja kõverjooneline liikumine

Kulgev ja pöörlev liikumine

Ühtlane ja mitteühtlane liikumine

A

B

B

A

1Liikumist kirjeldavad suurused | KINEMAATIKA

5

Eelvaade

Pöörlemise korral ei tohi keha punktmassiks lugeda, sest siin on kuju ja mõõtmed olulised.

Kordamisküsimused1. Mille järgi saab liikumisi liigitada?2. Too näiteid sirg- ja kõverjoonelistest liikumistest.3. Millised järgmistest liikumistest on ühtlased: a) auto startimine;

b) kivi kukkumine; c) eesriide langemine; d) haamrilöök naela pihta; e) käiakivi pöörlemine?

4. Millised järgmistest liikumistest on kulgevad: a) kivi kukkumine; b) auto sõitmine kurvis; c) kellaosuti liikumine; d) jalgrattapedaali liikumine; e) joonlaua liikumine rööplükke tegemisel; f) palli vee-remine?

1.2. LiikUmiSt kiRJeLDaVaD SUURUSeDKoordinaadid ja taustsüsteem Kuna liikumine on suhteline, tuleb välja valida mingi keha, mille suhtes me liikumist jälgime. Keha, mille suhtes liikumist vaadeldakse, nimetatakse taustkehaks. Taustkehaks võib vali-da mis tahes sobiva objekti: kilomeetriposti, mäetipu, raudtee-vaguni, Päikese jne. Tingimuseks on see, et liikumine taustkeha suhtes ikka toimuks ja poleks samas liiga keeruline.

Füüsika on täppisteadus, mis kirjeldab objekte ja nähtusi arvude abil. Arvude abil saab kirjeldada ka liikuva keha asu-kohta. Keha asukoha kirjeldamiseks kasutatavaid arve nimeta-takse koordinaatideks. Koordinaatide määramiseks valitakse mingid kindlad suunad, milles asukohta taustkeha suhtes mõõ-detakse. Samuti lepitakse kokku mõõtühikud. Kokkulepitud mõõtmissuunad, mõõtühikud ja asukoha mõõtmise eeskirjad moodustavad koordinaadistiku ehk koordinaatsüsteemi.

Matemaatikas ja füüsikas kasutatakse enamasti ristkoordi-naadistikku. Samuti on kõigile tuttav maakaartidel kasutatav geograafiline koordinaadistik. Teatrisaalis istekoha leidmiseks loodud istmeridade ja kohanumbrite süsteem on samuti koor-dinaatsüsteem.

Peale asukoha määramise tuleb liikumise kirjeldamisel ar-vestada ka aega. Selleks tuleb kokku leppida aja mõõtmise alg-hetk ja mõõtühik. Taustkeha, sellega seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise süsteem moodustavad taustsüsteemi.

Teepikkus ja niheKui tahame liikumist kirjeldada, on vaja mõõta keha asukoha muutu. Selleks on erinevaid võimalusi.

Kui mõõdame alg- ja lõppasukoha vahekauguse täpselt piki trajektoori, saame teepikkuse. Teepikkust tähistatakse va-lemites tähega l (longitudo — ladina k pikkus).

Taustkeha

Erinevad koordinaatsüsteemid

Taustsüsteem

1 2 3 4 5 6

32

1

yx

z

1 KINEMAATIKA | Liikumist kirjeldavad suurused

6

Eelvaade

Mõõtes kaugust aga mööda sirgjoont ehk linnulennul, saa-dakse nihe. Nihkeks nimetatakse keha algasukohast lõppasu-kohta suunatud sirglõiku. Erinevalt teepikkusest, mida iseloo-mustab vaid arv, on nihkel peale pikkuse ka suund. Seega on nihe vektoriaalne suurus. Nihkevektori tähiseks valemites ja joonistel on s (shift — inglise k nihe).

Teepikkus l ja nihke pikkus s pole tavaliselt võrdsed. Näiteks kui õpilane jõuab pärast kooli koju, on vaatama-ta päeva kestel läbitud suurele teepikkusele tema nihe null. Teepikkus ja nihe on võrdsed vaid sirgjoonelisel muutumatu suunaga liikumisel.

Nihet saab avaldada keha alg- ja lõppasukoha koordi-naatide kaudu. Kui liikumine toimub piki x-telge ning keha alg- ja lõppasukoha koordinaatide tähisteks on vastavalt x0 ja x, saame nihke pikkuseks

s = x – x0 = Δx (1.1)

Sümboliga Δ (loe: delta) tähistatakse suuruse lõpp- ja algväär-tuse vahet ehk muutu.

Teepikkuse ja nihke mõõtühikuks on rahvusvahelises mõõtühikute süsteemis 1 meeter. Pikkade või lühikeste pik-kuste korral kasutatakse kümnendeesliiteid. Näiteks 1000 m = 1 km, 1/100 m = 1 cm.

Kordamisküsimused1. Millise kehaga seotud taustsüsteemis on otstarbekas kirjeldada:

a) planeetide tiirlemist; b) kärbse lendu; c) linnutiiva liikumist; d) trammi sõitmist?

2. Suusataja läbis võistlusel sõites 7,5 km raja kaks korda ning jõudis stardipaika tagasi. Kui suur oli sportlase nihe ja teepikkus?

3. Mida näitab auto spidomeetril asuv odomeeter (kilomeetriloendi) — kas nihet või teepikkust?

4. Too näiteid liikumistest, mille korral nihe on a) teepikkusega võrdne; b) teepikkusest lühem; c) võrdne nulliga.

5. Millistes ühikutes on otstarbekas mõõta kosmoselaeva lennul, jalgrattasõidul, kaugushüppel ning teo roomamisel toimuva liiku-mise teepikkust?

Ühtlane sirgjooneline liikumineMehaanika põhiülesanne on keha asukoha määramine mis ta-hes ajahetkel.

Kõige lihtsam on asukohta arvutada lihtsaima liikumise korral, milleks on ühtlane sirgjooneline liikumine. Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse sirgjoonelist liikumist, mille korral mis tahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrd-sed teepikkused.

Niisuguse liikumise suund ei muutu ja võrdsete teepikkus-te läbimisel sooritatud nihked on võrdsed. Nihke kaudu de-

Ühtlane sirgjooneline liikumine on lihtsaim liikumine

Teepikkus ja nihke pikkus pole alati võrdsed

0,5m

0,5m

0,5m

1min2min

3min4min

A

B

s l

A B

x0

xx0

s=x-x0

s

Nihkevektor s on suunatud alg asukohast lõppasukohta

Teepikkust mõõdetakse piki trajektoori

Nihe s

1Liikumist kirjeldavad suurused | KINEMAATIKA

7

Eelvaade

fineerimisel nimetatakse ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks sellist liikumist, mille korral mis tahes võrdsetes ajavahemikes sooritatakse võrdsed nihked. Trajektoori kuju pole sel juhul vaja eraldi mainida.

Millised on sellise liikumise näited? Ideaalselt ühtlast sirgjoonelist liikumist me looduses tegelikult ei leiagi. Enam-vähem saame selliseks lugeda näiteks rongisõidu sirgel teel, kuigi raudtee pole Maa kumeruse tõttu päris sirge ja ükski rong ei saa sõita igavesti peatumata.

Sellegipoolest võib paljudel juhtudel väikesed kõrvalekal-ded ideaalist arvestamata jätta ning liikumist siiski ühtlaseks sirgjooneliseks pidada. Lihtsustuste tegemine tähendab füü-sikas mudeli kasutamist. Ühtlane sirgjooneline liikumine on lihtsaima liikumise mudel.

Nii võib sirgjoonelise liikumise mudeli abil kirjeldada sir-gel maanteel kihutava auto, ujuva sportlase ja laskuva lange-varjuri liikumist.

KordamisküsimusedMilliseid järgmisi liikumisi võib lugeda ühtlaseks sirgjooneliseks: a) tennisepalli lend; b) teerulli sõit; c) sörkjooks; d) kiikumine; e) kivi kukkumine; f) lifti laskumine?

KiirusLiikumine on keha asukoha muutumine mingi aja jooksul. Muutumise aeg võib seejuures olla erinev. Näiteks jalgrattur jõuab ühest asulast teise varem kui samal ajal liikumist alusta-nud jalakäija. Sel puhul öeldakse, et jalgratturi kiirus on jalakäi-ja omast suurem. Kiirus näitab, kui suure teepikkuse läbib keha ajaühiku jooksul. Valemites tähistatakse kiiruse arvväärtust tä-hega v (velocitas — ladina k kiirus). Ühtlasel sirgjoonelisel liiku-misel on teepikkus võrdne nihke pikkusega ning sel juhul võime öelda, et kiirus on võrdne ajaühikus sooritatud nihkega. Kiiruse leidmiseks tuleb sooritatud nihe jagada liikumisajaga t:

vst

= . (1.2)

Tähis v viitab sellele, et kiirus on suunaga ehk vektoriaalne suurus. Kui suund pole liikumise kirjeldamisel oluline, võime sama valemit kasutada skalaarkujul:

vst

= . (1.3)

Kiiruse mõõtühik SI-s on 1 m/s ehk 1 meeter sekundis.Tuleb tähele panna, et valemites (1.2) ja (1.3) ei tähista t

mitte ühte ajahetke, vaid liikumise kestust. Tegemist on lõpp- ja algpunktis paiknemise hetkede vahega, mida saab väljenda-da deltamärgi abil:

Kiirus on võrdne nihke ja liikumisaja jagatisega

Ühtlane sirgjooneline liikumine on lihtsaima liikumise mudel

Kiirus on vektoriaalne suurus

A

B

v

v

v

1 KINEMAATIKA | Ühtlase sirgjoonelise liikumise liikumisvõrrand ja -graafik

8

Eelvaade

Δt = t – t0. (1.4)

Siin tähistab t0 alghetke ja t lõpphetke. Enamasti võetakse alg-hetk nulliks ja siis on liikumisaeg Δt = t. Seda aega t ongi kiiru-se valemites (1.2) ja (1.3) silmas peetud.

Võttes nüüd ajavahemiku tähiseks Δt ja vastavalt valemile (1.1) nihke tähiseks Δx, saame kiiruse valemile veel ühe kuju:

vxt

=∆∆

. (1.5)

Kordamisküsimused1. Ants Antson võitis 1964. aastal Innsbrucki taliolümpiamängudel

kuldmedali 1500 m uisutamises ajaga 2 minutit ja 10,3 sekundit. Millise kiirusega ta sõitis?

2. Arvuta kiirus keha jaoks, mis asudes hetkel 3 s punktis koordinaa-diga 15 m jõuab hetkeks 8 s punkti koordinaadiga 30 m.

3. Mitu meetrit sekundis on: a) 72 km/h; b) 90 km/h; c) 75 cm/min?

1.3. ÜHtLaSe SiRGJOOneLiSe LiikUmiSe LiikUmiSVÕRRanD Ja -GRaaFik

Liikumise kirjeldamise analüütiline ja graafiline meetodLiikumine on nähtus, milles keha asukoht aja jooksul muutub. Erinevatel ajahetkedel on asukoht erinev, st keha koordinaa-did sõltuvad ajast. Ajast sõltuvad ka kogu liikumise kestel läbi-tud teepikkus ning sooritatud nihe. Muutuva liikumise korral võivad ajast sõltuda veel ka kiirus ja kiirendus. Liikumisnähtus on kirjeldatav seda iseloomustavate suuruste ajast sõltuvuste kaudu.

Sõltuvusi saab väljendada analüütiliselt ja graafiliselt. Analüütilise meetodi korral kirjeldatakse sõltuvust matemaa-tiliste avaldiste abil. Avaldiste kaudu esitatud sõltuvusi on võimalik matemaatiliselt lähemalt uurida ja seeläbi lisainfot saada. Graafiline meetod kasutab liikumise kirjeldamiseks — nagu nimigi ütleb — graafikuid. Graafikud ei võimalda küll liikumist iseloomustavaid suurusi neilt otse välja lugeda, kuid annavad sõltuvustest seevastu ülevaatlikuma pildi.

LiikumisvõrrandMehaanika põhiülesanne on määrata keha asukoht mis ta-hes ajahetkel, st leida keha koordinaatide sõltuvus ajast. Kui paneme selle sõltuvuse kirja matemaatilise avaldise abil, saame liikumisvõrrandi. Liikumisvõrrandiks nimetatakse matemaatilist avaldist, mis näitab keha koordinaatide sõltu-vust ajast.

Liikumisvõrrand näitab keha koordinaatide sõltuvust ajast

Liikumist saab kirjeldada analüütiliselt ja graafiliselt

x

0 t

x=2,5t-4y=-0,5t+2z=-5t2+20t+10

1Ühtlase sirgjoonelise liikumise liikumisvõrrand ja -graafik | KINEMAATIKA

9

Eelvaade

Ühtlase sirgjoonelise liikumise liikumisvõrrand

Sirgjoonelist liikumist kirjeldatakse ühe koordinaadiga

x

x

0

0

0

x

Inimese poolt tajutav ruum on kolmemõõtmeline — ruu-mil ja igal selles asetseval kehal on pikkus, laius ja kõrgus. Seepärast on keha asukoha määramiseks üldjuhul vaja kolme koordinaati. Juhul, kui keha liigub mööda kindlat pinda, piisab kahest koordinaadist. Merepinnal seilava laeva asukoha saab kirja panna kahe geograafilise koordinaadi — pikkus- ja laius-kraadi abil. Veduri asukoha annab kätte vaid üks arv, näiteks kaugus algjaamast, kuna ilmselt püsib vedur relssidel.

Sirgjoonelise liikumise kirjeldamiseks piisab ühest sirgest koordinaatteljest, mille suund on mõistlik valida piki liikumise trajektoori. Koordinaadi tähiseks võetakse tavaliselt x. Selle punkti koordinaati, kus keha asub ajamõõtmise alghetkel, ni-metatakse algkoordinaadiks ja tähistatakse sümboliga x0.

Kirjeldame näiteks auto sõitmist: alghetkel t = 0 on selle koordinaat x0. Aja t jooksul nihkub auto edasi ning koordi-naat muutub nihke pikkuse s võrra suuremaks (vt joonist). Koordinaadi uus väärtus x on seega

x = x0 + s. (1.6)

x0

xx0

Algkoordinaat Koordinaathetkel t

t=0 t

Nihe

s

v

Teame, et aja t jooksul sooritatava nihke pikkus sõltub kiiru-sest. Ühtlase liikumise kiiruse valemist (1.3) saame nihke pik-kuse avaldada kui s = vt. Paigutades selle nihke avaldise koor-dinaadi valemisse (1.6), on tulemuseks seos, mis näitab auto koordinaadi sõltuvust ajast:

x = x0 + vt. (1.7)

See ongi ühtlaselt sirgjooneliselt liikuva keha liikumisvõrrandi üldkuju.

Konkreetsete ülesannete puhul on x0 ja v kohal võrran-dis kindlad arvulised väärtused. Näiteks võrrand x = 10 + 2t väljendab liikumist keha jaoks, mille alg koordinaat on 10  m ning kiirus 2 m/s. Kui soovime teada, kus keha 5 sekun-di pärast asub, võtame aja t väärtuseks 5 s ning arvutame, et x = 10 + 2·5 = 20 (m). Liikumisvõrrandi abil saab leida keha asukoha mis tahes ajahetkel. Suurused x0 ja v võivad omada nii

1 KINEMAATIKA | Ühtlase sirgjoonelise liikumise liikumisvõrrand ja -graafik

10

Eelvaade

Liikumisgraafikult saab leida algkoordinaadi

Aeg

Alghetk

AlgkoordinaatKoo

rdin

aat Liikumisgraafik

x

t=0

x0

t

t (s)0

2

4

6

8

10

(m)x 1

x=10m 2

2 4 6 8 10 12

x=9m

x=6mt=10s

t=40s

x=4m

Liikumisgraafiku tõus näitab liikumise kiirust

Aeg

Aja

st s

õltu

v ko

ordi

naa

t

x

4

1

3

2

t

Liikumisgraafik näitab koordinaadi sõltuvust ajast

positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Negatiivne kiirus tä-hendab seda, et keha liigub koordinaattelje negatiivses suunas. Rõhutamaks seda, et sirgel trajektooril saab liikumine toimu-da kahes suunas, kirjutatakse liikumisvõrrand mõnikord kujul

x = x0 ± vt. (1.8)

Kordamisküsimused1. Kirjuta liikumisvõrrand keha jaoks, mille algkoordinaat on 25 m

ja mis liigub piki koordinaattelge kiirusega 6 m/s.2. Mida saab öelda liikumise kohta, mille võrrandiks on x = 25 – 15t ?3. Mille poolest erinevad järgmiste võrranditega iseloomustatavad

liikumised: a) x = 10 + 5t ja x = 10 – 5t ; b) x = 10 + 5t ja x = –10 + 5t ; c) x = 10 + 5t ja x = 5t + 10 ?

LiikumisgraafikÜhe suuruse teisest sõltuvuse graafiku saamiseks tuleb joonesta-da kaks ristuvat telge, horisontaalsele teljele märkida muutuv suu-rus ning vertikaalsele suurus, mis muutujast sõltub. Matemaatikas oleme harjunud, et horisontaaltelje tähiseks võetakse x ja veriti-kaalse tähiseks y. Füüsikas kasutatakse teisi tähiseid.

Liikumisgraafikuks nimetatakse graafikut, mis näitab keha asukoha (koordinaadi x) sõltuvust ajast. Liikumisgraafiku ho-risontaalteljele kantakse aeg t ja püstteljele ajast sõltuv koor-dinaat x. Erinevat liiki ja erineva suunaga liikumiste graafikud on erineva kujuga.

Ühtlase liikumise korral muutub koordinaat iga sekun-diga sama palju ning seepärast on graafikuks sirgjoon. Sirge saab välja joonestada kahe punkti järgi ja seega piisab ühtlase liikumise graafiku saamiseks, kui teame keha asukohta kahel erineval ajahetkel.

Võrdleme kahe ühtlaselt liikuva keha liikumisgraafikuid. Oletame, et hetkel t1 = 4 s on nende koordinaadid 4 m ja 6 m ning hetkel t2 = 10 s vastavalt 9 m ja 10 m. Kui graafikud välja joonestada (vt joonist), siis näeme, et need on erineva tõusuga. Ajavahemik kahe vaatlusaluse hetke vahel oli Δt = 10 – 4 = 6 se-kundit. Järsema graafikuga keha koordinaat muutus selle ajaga Δx1= 10 – 4 = 6 m võrra. Järelikult on kiirus 6 m/ 6 s = 1 m/s. Teise keha koordinaadi muuduks saame Δx2= 9 – 6 = 3 m ja kiiruseks 3 m/ 6 s = 0,5 m/s.

Jõudsime olulise tulemuseni — liikumisgraafiku tõus näi-tab liikumise kiirust. Mida suurem kiirus, seda suurem on graa-fiku tõus. Kui graafik langeb ja tõus on negatiivne, siis on ka kiirus negatiivne, st liikumise suund on koordinaattelje posi-tiivse suunaga vastupidine.

Teiseks saab liikumisgraafikult välja lugeda keha algkoor-dinaadi. Koordinaati näitav püstine graafikutelg asub just aja-

1Muutuv liikumine ja selle kiirus | KINEMAATIKA

11

Eelvaade

Liikumisgraafik ja nihke graafik

Ühtlasel liikumisel kiirus ei muutu

Muutuval liikumisel kiirus muutub

Muutuvat liikumist iseloomustab keskmine kiirus ja hetkkiirus

x (m)

x0

t 0

s

t

2

x

4

1

3

t

telje nullkohal. Järelikult see punkt, kus graafiku joon püstist koordinaattelge lõikab, vastabki algkoordinaadile. Eespool toodud näites koostatud graafikutelt näeme, et kiirema keha algkoordinaat on 0 ja aeglasema oma 4 m.

Graafiku võib koostada ka nii, et püstteljele kantakse koordinaadi asemel keha poolt sooritatud nihke pikkus või teepikkus. Selline graafik on kujult liikumisgraafiku sarnane, kuid algab alati nihke või teepikkuse nullist — alghetkel pole ju keha veel jõudnud edasi nihkuda.

Kui liikumisgraafik pole sirge ja selle tõus muutub, siis jä-relikult muutub ka liikumise kiirus ja tegemist on muutuva liikumisega.

Kordamisküsimused1. Keha algkoordinaat on 8 m ja hetkel t = 10 s on selle koordinaat

4 m. Joonesta selle liikumise graafik.2. Joonesta graafikud liikumiste jaoks, mille võrrandid on x = 2 + 1,5t

ja x = 4 – 2t.3. Iseloomusta kõrvaloleval joonisel esitatud graafikutega väljenda-

tud liikumisi.

1.4. mUUtUV LiikUmine Ja SeLLe kiiRUS

Muutuv liikumineNagu juba teame, saab liikumine olla kas ühtlane või mitte-ühtlane. Ühtlase liikumise korral sooritab keha mis tahes võrdsete ajavahemike kestel võrdsed nihked. Sel juhul annab

valem vst

= kiiruse jaoks kogu aeg sama tulemuse ja kiirus on

järelikult muutumatu. Pole oluline, kas kiiruse arvutamiseks mõõdetakse kogu tee või ainult mingi selle osa nihke pikkus ja läbimise aeg.

Mitteühtlasel liikumisel ei pruugi võrdsete ajavahemike kestel sooritatud nihked trajektoori erinevates paikades ühe-sugused olla ja järelikult kiirus muutub. Sellise muutuva liiku-mise iseloomustamiseks ei saa leida kiirust ühtlase liikumise valemi järgi, kuna tulemus sõltub nüüd mõõtmiseks valitud ajavahemikust ning teelõigust.

Seepärast kasutatakse muutuva liikumise iseloomustami-seks teistmoodi defineeritud kiirust. Selleks on kaks võimalust: keskmine kiirus ja hetkkiirus.

Keskmine kiirusKõik me oleme sõitnud liinibussiga ja teame, et suurema osa ajast liigub see üsna nobedasti, kuid auklikel teelõikudel aeg-lustab sõitu ning peatustes ja punase fooritule taga seisab

1 KINEMAATIKA | Muutuv liikumine ja selle kiirus

12

EelvaadeALA

30ALA

km/h70

2 0 8 6 2

7 300

9

Hetkkiirus on kiirus kindlal ajahetkel

Keskmiseks kiiruseks nimetatakse kogu teepikkuse ja kogu liikumisaja jagatist

18:00

80km

vk= =4080km––––2h

16:00A

A

hoopis paigal. Mõõtes kogu läbitud teepikkuse ja jagades sel-le kulunud ajaga, saame mingi kiiruse. Arvutatu pole aga kii-rus, millega buss liinil tegelikult sõitis. Kiirus muutus suures vahemikus ega pruukinud nimetatud väärtust üldse omadagi. Ometi iseloomustab kogu teepikkuse ja liikumisaja kaudu ar-vutatud kiirus bussi sõitu ja lubab ligikaudselt välja arvutada, millal kuhugi peatusesse välja jõutakse.

Selliselt arvutatud kiirust nimetatakse keskmiseks kiiru-seks. Keskmine kiirus on võrdne kogu läbitud teepikkuse ja selleks kulunud koguaja jagatisega. Keskmise kiiruse tähiseks on vk ja mõõtühikuks 1 m/s.

vl

tk

kogu

kogu

= (1.9)

Igasuguste sõidugraafikute ja matkaplaanide koostamisel, liik-lusteede läbilaskevõime hindamisel ja muudel sarnastel juhtu-del võetakse aluseks just liikumise keskmine kiirus.

Märkused:• Keskmise kiiruse leidmisel ei tohi lasta end eksitada mõiste

kõlalisest sarnasusest sagedasti kasutatava aritmeetilise kesk-misega. Keskmist kiirust ei saa leida aritmeetilise keskmisena, vaid seda tuleb teha ikka kogu teepikkuse ja koguaja kaudu!

• Keskmise kiiruse arvutamiseks ei kasutata mitte nihke pikkust, vaid ikka teepikkust. Kui alg- ja lõppasukohad langevad kokku ja nihe on seetõttu null, ei saa ju ometi väita, et terve päeva ringi sõitnud ja garaaži naasnud bussi keskmine kiirus oli null.

• Kasutusel on ka kiiruste statistilise keskmise mõiste. Sel ju-hul on uurimise all palju erinevate kiirustega liikuvaid kehi ja keskmist väärtust hinnatakse statistikaseadustele tuginedes. Nii leitakse näiteks elutoas ringisebivate õhumolekulide statis-tiliselt keskmine kiirus.

HetkkiirusKõik me oleme näinud sõidukite liikumiskiirust reguleerivaid teemärke ja teame, et politseinikud mõõdavad teedel sagedasti kiirust. Ohtlikematele teelõikudele on isegi automaatselt töö-tavaid kiiruskaameraid üles seatud. Autojuhtidel aitab kiirus-piiranguid järgida armatuurlaual paiknev spidomeeter (speed [spi:d] — inglise k kiirus) ja sarnase kiirusemõõtja saab mon-teerida isegi jalgrattale.

Mis liiki kiirusega siin tegemist on? Vaevalt, et keskmisega, sest kuidas saaks liiklusmärgi ülespanija või politseinik arvesta-da sõidukijuhi juba asetleidnud ja veel vähem alles eelolevaid kihutamisi ja seisakuid! Pealegi ei oma juba toimunud ja tuleva-ne liikumine konkreetse hetke liiklusolukorras mingit tähtsust. Oluline on ju see, kuidas liigutakse selles paigas just sellel aja-hetkel. Siin kirjeldatud juhtudel kasutatav kiirus on hetkkiirus.

1Muutuv liikumine ja selle kiirus | KINEMAATIKA

13

Eelvaade

Jalgratta kiirusemõõtja tööpõhimõte

d

Δs=πd

Δt

Δs

Hetkkiiruse nimetus viitab sellele, et mõeldud on kiirust mingil konkreetsel ajahetkel. Samas on hetke kestus null ja selle kestel läbitav teepikkus samuti null. Püüdes nüüd kiirust arvutada, jõuame välja võimatu tehteni, mida matemaatikud tunnevad kui

määramatust. Mis ikkagi hetkkiirus on ja kui-

das seda mõõdetakse? Jalgratta kiirusemõõtja kujutab endast pisikest kellaga arvu-

tit, mille külge on ühendatud väike magnetvälja muutusi tajuv an-dur. Andur paikneb esiratta kõrval nii, et kodara külge kinnitatud magnet ratta iga täisringi järel andurile oma möödumisest teada annab. Arvuti kell mõõdab ratta täisringi tegemiseks kulunud aja ja lähtudes mälusse sisestatud ratta läbimõõdu väärtusest, leiab ühe rattaringi jooksul sooritatud nihke pikkuse ning arvutab välja selle lühikese teejupikese läbimise keskmise kiiruse.

Hetkkiiruse all mõistetakse küll keha liikumiskiirust kind-lal ajahetkel, aga selle väärtust saab hinnata siiski mitte hetke, vaid lühikese ajavahemiku kestel leitava keskmise kiirusena.

Hetkkiiruse tähistamiseks kasutatakse sarnaselt ühtlase liikumise kiirusega sümbolit v. Kui võtame lühikese ajavahe-miku, mille kestel kiirus ei jõua oluliselt muutuda, tähiseks Dt ja selle aja jooksul sooritatud nihke pikkuse tähiseks Ds, saame hetkkiiruse arvutusvalemiks

vst

=∆∆

, kus Dt on võimalikult väike (1.10)

Mida lühem on uuritav ajavahemik Dt, seda täpsemini saab hetkkiiruse teada, sest seda vähem jõuab kiirus selle ajaga muutuda. Mitteühtlase liikumise hetkkiirus on sarnaselt üht-lase liikumise kiirusega vektoriaalne ehk suunaga suurus. Kui liikumise kirjeldamisel on ka suund oluline, tuleb hetkkiiruse valemit kasutada vektorkujul

vst

=∆∆

. (1.10’)

Kordamisküsimused1. Kui hetkkiirus leitakse lühikese ajavahemiku jooksul sooritatud

nihkevektori ∆t kaudu, siis kuidas on suunatud hetkkiiruse vektor v trajektoori suhtes?

2. Millisel tingimusel on keha liikumise keskmine kiirus ja hetkkiirus võrdsed?

3. Mille poolest sarnanevad ning mille poolest erinevad keskmise kiiruse ja hetkkiiruse mõisted?

4. Milliste kiirustega on tegu järgmistel juhtudel: a) püssikuuli alg-kiirus on 800 m/s; b) auto läbis linnadevahelise tee kiirusega 70 km/h; c) matka planeerimisel arvestati kiirusega 3 km/h; d) suu-sahüppaja kiirus äratõukel on 27 m/s; e) Monza ringrajal Itaalias arendavad vormel 1 autod kiirust kuni 360 km/h?

5. 800 meetri jooksja läbis esimese ringi 51,4 ja teise 53,3 sekundiga. Milline oli tema keskmine kiirus?

Hetkkiirus on lühikesel ajavahemikul läbitud tee keskmine kiirus

1 KINEMAATIKA | Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine

14

EelvaadeÜhtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine on füüsikaline mudel

Sirg

e tr

ajek

toor

x

∆t=1s∆v=10

v=0

t=1sv=10m---s

m---s

∆t=1s∆v=10m---s

∆t=1s∆v=10m---s

m---s

m---s

t=2sv=20

t=3sv=30

t=00

Ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumise kiirus kasvab mis tahes võrdsetes ajavahemikes ühepalju ja trajektooriks on sirgjoon

6. Liinibuss läbis poole tunniga 40 km, seisis siis veerand tundi ja läbis veel 25 km kiirusega 75 km/h. Kui suur oli selle liini läbimisel bussi keskmine kiirus?

7. Teatevõistlusel peab tuletõrjuja ära tooma eemalseisva tulekustu-ti. Kustutini jookseb ta kiirusega 5,0 m/s ja tagasitulekul on kiirus 3,0 m/s. Kui suur on võistleja keskmine kiirus?

8. Määra enda koolist kojumineku keskmine kiirus.Ülesannete 5.–7. õiged vastused sisalduvad järgmises loetelus: 3,75 m/s; 7,64 m/s; 13,5 km/h; 16,9 m/s; 27,5 km/h; 60 km/h.

1.5. ÜHtLaSeLt mUUtUV SiRGJOOneLine LiikUmine

Ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumise mõisteMuutuv liikumine võib olla väga erinev, sest kiirus saab muu-tuda mitmesugustel viisidel — pidevalt kasvada, olla vahepeal muutumatu, jälle kasvada, kuid aeglasemalt, ja siis hoopis ka-haneda... Tihti kohtame aga sellist liikumist, mille kiirus kas-vab või kahaneb mis tahes võrdsetes ajavahemikes ühepalju.

Sellist liikumist, mille kiirus muutub mis tahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesuguse väärtuse võrra, nimetatakse ühtlaselt muutuvaks liikumiseks. Näiteks kasvab õhutakistu-seta kukkuva kivi kiirus iga sekundiga ligikaudu 10 m/s võrra. Käest lahti lastud kivi saavutab ühe sekundiga kiiruse 10 m/s, teise sekundi lõpuks 20 m/s, kolmanda lõpuks 30 m/s jne. Samas on vabalt kukkuva kivi trajektooriks sirgjoon ja seega on tegemist ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumisega.

Kukkuva kivi kiirus ei kasva muutumatuna siiski lõpu-tult, kuna langemise käigus ei jää endiseks ei liikumist mõju-tav kaugus Maast ega ka õhutakistus. Tegelikult looduses me ideaalset ühtlaselt muutuvat sirgjoonelist liikumist ei kohtagi. Sellist liikumist saab vaid ette kujutada ja matemaatika meeto-ditega kirjeldada. Tegemist on teatud liikumise füüsikalise mu-deliga. Kuigi puhast sellist liikumist olemas pole, saab nimeta-tud mudeli juures väljaselgitatud lihtsaid seaduspärasusi siiski suurepäraselt sarnaste reaalsete liikumiste uurimisel kasutada.

Näiteks võib teatud piirides ühtlaselt muutuvaks sirgjoo-neliseks liikumiseks pidada suusahüppaja laskumist hüppe-mäel, hokilitri libisemist jääl, kaubarongi liikumahakkamist ning otse üles visatud palli lendu.

Muutuva liikumise kiirendusKui jälgida foori taga ootavaid sõidukeid, võib tähele panna, et rohelise tule süttimisel ei hakka kõik liikuma ühtmoodi. Sõiduautod võtavad paigalt ja saavutavad lubatud maksimum-kiiruse üsna kärmesti, kuid pungil täis liinibussil kulub sellise kiiruse saavutamiseks märgatavalt rohkem aega. Ka aeglustu-

1Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine | KINEMAATIKA

15

EelvaadeKiirendus on võrdne kiiruse muudu ja selle muutumise aja jagatisega

Kiirendus iseloomustab kiiruse muutumise kiirust

Liikumine võib muutuda erineva kiirusega

mine võib olla erinev. Kui turvavarustuse katsetamisel peatub suurel kiirusel vastu müüri paiskuv auto peaaegu silmapilkselt, siis palju väiksema kiirusega sõitva kaubarongi peatamine kes-tab mitu minutit. Liikumise muutumine võib toimuda erineva kiirusega.

Ülaltoodud näited viitavad sellele, et muutuvat liikumist kir-jeldab peale keskmise ja hetkkiiruse ka hetkkiiruse muutumise kiirus. Tegemist on liikumist iseloomustava omadusega, mida saab mõõta ja arvuliselt väljendada, seega on tegemist füüsikali-se suurusega. Füüsikud on kokku leppinud, et seda kiiruse muu-tumise kiirust väljendavat suurust nimetatakse kiirenduseks.

Mis tahes suuruse muutumiskiirust saab määrata nii, et leitakse, kui palju see suurus ühe ajaühiku jooksul muutuda jõuab. Selleks tuleb muutuse suurus jagada muutumiseks ku-lunud ajaühikute arvuga ehk muutumise ajaga. Samamoodi tuleb toimida ka kiiruse muutumise kiiruse iseloomustami-sel. Seega võime kiirenduseks nimetada liikumist iseloomus-tavat suurust, mis on võrdne kiiruse muudu ja selle muutu-mise aja jagatisega. See definitsioon on matemaatiline, kuna kasutab sõnastuses matemaatilisi tehteid. Samaväärselt või-me kasutada ka füüsikalist definitsiooni: kiirenduseks nime-tatakse füüsikalist suurust, mis on võrdne kiiruse muuduga ajaühikus.

Kiirenduse valemi kirjapanekuks peame kokku leppima sobivad tähistused. Tähistame alghetke (hetke, mil kiiruse muutumine algab) sümboliga t0 = 0. Kui võtame muutumise lõpphetke tähiseks t, siis on muutumise kestus võrdne aja-vahemikuga Δt = t - t0 = t (sest t0 = 0). Nimetame kiiruse, mida keha omas muutumise alguses, algkiiruseks ja tähista-me selle vektoriaalse suuruse sümboliga v0. Kiirus muutumi-se lõpus olgu lõppkiirus v. Liikumiskiiruse muut on selliste tähistuste puhul Δv = v - v0. Kiirenduse tähisena kasutatakse sümbolit a (acceleration — ingl k kiirendus). Nooleke tähe kohal näitab mäletatavasti seda, et tegu on suunaga suuruse ehk vektoriga. Kuna definitsiooni järgi on kiirendus võrdne kiiruse muudu ja kiiruse muutumise aja jagatisega, saame kiirenduse valemiks

avt

v vt

= =−∆

∆0 . (1.11)

Kiirenduse valemi saab esitada ka skalaarkujul:

av v

t=

− 0 . (1.11’)

Et kiiruse muudu mõõtühik on sarnaselt kiiruse ühikuga 1 m/s ja ajavahemiku ühik 1 s, saame kiirenduse mõõtühikuks nende jagatise 1

11

m ss

ms2

= , mida loetakse kui 1 meeter sekundi ruu-du kohta.

1 KINEMAATIKA | Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine

16

Eelvaade

Kiir

eneb

Aeg

lust

ub

v0

v

v

a

a

a

v a

Muutuva liikumise suund võib muutuda vastupidiseks

Kordamisküsimused1. Paigalseisust startiv vormelauto saavutab kiiruse 100 km/h ajaga

2,4 sekundit. Arvuta auto kiirendus.2. Millise ajaga saavutab paigalseisust startiv auto kiiruse 50 km/h,

kui mootor annab talle kiirenduse 2 m/s2?3. Kiirenduse definitsioonivalem (1.11) sisaldab lahutustehet, mille

tulemus võib olla ka negatiivne. Mida väljendab negatiivne kii-rendus?

4. Kiirusega 15 m/s sõitval kaubarongil võtab aeglustamine kiiruseni 5 m/s aega 2 minutit. Kui suur on rongi kiirendus pidurdamisel?

Ühtlaselt muutuva liikumise kiiruse sõltuvus ajastKui on teada algkiirus ja kiirendus, on ühtlaselt muutuva lii-kumise korral lihtne leida keha kiirust mis tahes ajahetkel. Selleks tuleb kiirus avaldada kiirenduse definitsioonivalemi-test (1.11) või (1.11’):

v = v0 + at (1.12)

või v = v0 + at. (1.12’)Alghetkel, mil t = 0, annab valem kiiruseks v = v0 ehk algkii-ruse. Muudel momentidel on liidetav at sõltuvalt kiirenduse väärtusest kas positiivne või negatiivne ja kiirus võib kas kas-vada või kahaneda. Kui kiirendus on algkiirusega võrreldes vastupidiselt suunatud, siis a  <  0 ja võib juhtuda olukord, et ka kiirus muutub negatiivseks. See tähendab seda, et kiiruse suund on algkiirusega võrreldes vastupidine ja keha on haka-nud kiirenevalt tagasi liikuma.

Nii juhtub näiteks ülesvisatud õunaga. Tõusul on liikumi-ne aeglustuv, kuid langemisel muutub kiirenevaks. Langemisel on liikumise suund esialgsega vastupidine ja kiirendusega samasuunaline. Kui kiirendus on kiirusega samasuunaline, on liikumine kiirenev ning vastassuunalise kiirenduse korral aeg-lustuv.

Kui

a v↑↑ , siis kiirus kasvab;

kui

a v↑↓ , siis kiirus kahaneb.

Kordamisküsimused1. Kiirusega 3 m/s sõitev jalgrattur alustas laskumist kiirendusega 0,3

m/s2. Kui suureks kasvas kiirus, kui laskumine kestis 7 sekundit?2. Poiss maandus kiirusega 4 m/s batuudile, mis andis talle kiirendu-

se –2 m/s2. Kui suur on poisi kiirus 2 ja 4 sekundi pärast?

1Ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand ja liikumisgraafik | KINEMAATIKA

17

EelvaadeÜhtlaselt muutuva liikumise kiiruse graafikuks on tõusev või langev sirge

Nihke pikkus on võrdne kiiruse graafiku alla jääva pindalaga

0

2

5 10 15 20-2

4

6

8

10v

1 2

t (s)

v

0

1 2

v0

4

3

t

v

v

v

t

t t

s=v·t

0

Ühtlase liikumise kiiruse graafik on horisontaalne sirgjoon

Aeg

Kiir

us

v

1

2

t

1.6. ÜHtLaSeLt mUUtUVa LiikUmiSe LiikUmiSVÕRRanD Ja LiikUmiSGRaaFik

Kiiruse graafikKui liikumisgraafik näitab keha koordinaadi sõltuvust ajast, siis kiiruse graafik kiiruse sõltuvust ajast. Kiiruse graafiku püstteljele kantakse kiiruse väärtused ja horisontaalteljele sar-naselt liikumisgraafikuga aeg. Kõige lihtsam kiiruse graafik on ühtlasel liikumisel. Kuna ühtlasel liikumisel kiirus ei muutu, on selle väärtus igal ajahetkel sama ja graafikuks on horisontaalne sirgjoon (vt joonist). Kiirema liikumise korral asub graafik tel-jestikus kõrgemal ja aeglasema korral madalamal positsioonil.

Kuigi kiiruse graafikul on näidatud vaid kiiruse sõltu-vus ajast, saab selle abil ka sooritatud nihke pikkuse leida. Vaatame ühtlase liikumise graafikut. Kui märgime sellel ära ajavahemiku 0 kuni t, saame ristküliku, mille külgede pikkus-teks püstsihis on kiirus v ja horisontaalsihis aeg t. Selle ristkü-liku pindala on võrdne külgede pikkuste korrutisega ehk v·t. Kiiruse ja liikumiskorrutise korrutis on aga võrdne sooritatud nihke pikkusega: s = vt. Jõudsime olulise tulemuseni: kiiruse graafiku alla jääv pindala on võrdne keha poolt sooritatud nih-ke pikkusega. See kehtib mitte ainult ühtlase, vaid ka muutuva liikumise korral.

Ühtlaselt muutuva liikumise korral muutub kiirus võrdse-tes ajavahemikes sama palju ja kiiruse graafikuks on tõusev või langev sirge. Graafiku tõus või langus on seda suurem, mida kiiremini kiirus muutub ehk mida suurem on kiirendus. Tõusva graafiku korral liikumine kiireneb, langeva korral aeglustub. Kui graafik on ajateljest allpool, on kiirus negatiivne, liikumine toimub koordinaattelje negatiivses suunas ning langev graafik tähistab sel juhul kiiruse kasvamist. Graafiku lõikepunkt püs-tise kiiruse teljega annab kiiruse hetkel t = 0 ehk algkiiruse v0. Kui graafik pole sirge, on tegemist mitteühtlaselt muutuva liikumisega.

Kordamisküsimused1. Kiirusel 72 km/h sõitev auto pidurdab kiirendusega –2 m/s2.

Joonesta selle auto kiiruse graafik.2. Leia graafikult: a) mõlema keha algkiirus; b) mõlema keha kiiren-

dus; g) hetk, mil kiirused on võrdsed.

Ühtlaselt muutuva liikumise nihe ja liikumisvõrrandSelleks et tuletada valem, mis näitaks ühtlaselt muutuva liiku-mise korral nihke sõltuvust ajast, saame kasutada teadmist, et nihke pikkus on võrdne kiiruse graafiku alla jääva pindalaga. Olgu keha kiirus alghetkel v0 ja saavutagu aja t möödumisel

1 KINEMAATIKA | Ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand ja liikumisgraafik

18

Eelvaade

s v tat

= +0

2

2

sv v

a=

−202

2

Ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand

Ühtlaselt muutuva liikumise nihe on ruutfunktsioon ajast

Nihet saab arvutada kiirenduse ning alg- ja lõppkiiruse kaudu

väärtuse v. Kiiruse graafikuks on tõusev sirge, mille alla jääv kujund on trapets, mille alusteks on kiirused v0 ja v, ning kõr-guseks aeg t. Aja t jooksul keha poolt sooritatava nihke pikkus on võrdne selle trapetsi pindalaga, mille leidmiseks tuleb alus-te poolsumma korrutada kõrgusega:

sv v

tv t vt

=+

= +0 0

2 2 2. (1.13)

Teades seosest (1.12), et kiirus avaldub kiirenduse kaudu kujul v = v0 + at, saame pärast asendamist

sv t v at t

= ++0 0

2 2( ) , (1.14)

mille lihtsustamisel jõuamegi avaldiseni, mis näitab nihke sõl-tuvust ajast ühtlaselt muutuval liikumisel:

s v tat

= +0

2

2 (1.15)

Näeme, et nihe sõltub ajast ruutfunktsiooni järgi. Mõne probleemi lahendamisel pole liikumise aeg teada,

küll aga on teada lõppkiirus. Sel juhul leitakse aeg kiiruse va-lemist (1.12’)

tv v

a=

− 0 . (1.16)

Selle ajaga asendamisel omandab seos (1.13) kuju

sv v v v

a=

+⋅

−( ) ( )0 0

2 ehk s

v v v va

=+

⋅−( ) ( )0 0

2 (1.17)

Pärast lihtsustamist ruutude vahe valemi abil saame nihke ar-vutamiseks valemi:

sv v

a=

−202

2 (1.18)

Teades nihke sõltuvust ajast, on liikumisvõrrandit lihtne koos-tada. Näitab ju see võrrand keha koordinaadi sõltuvust ajast ja nagu ütleb seos (1.6), saame keha koordinaadi arvutada mis ta-hes ajahetke jaoks, liites algkoordinaadile selleks hetkeks soori-tatud nihke pikkuse: x = x0 + s. Lähtudes nihke avaldisest (1.15), näeme, et ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrandiks on

x x v tat

= + +0 0

2

2. (1.19)

Tegemist on ruutfunktsiooniga, mille liikmed võivad olla sõl-tuvalt algkoordinaadi, algkiiruse ja kiirenduse märgist nii posi-tiivsed kui ka negatiivsed. Liikme märk sõltub vastava suuruse suunast koordinaattelje suhtes. Märgi olulisuse rõhutamiseks kasutatakse võrrandi üldkujus + asemel mõnikord sümbolit ±. Sel juhul näeb liikumisvõrrand välja veidi teistsugusena:

x x v tat

= ± ±0 0

2

2. (1.19’)

Konkreetse liikumise korral on võrrandis x0, v0 ja a/2 kohal vastavate suuruste arvväärtused.

vv

v0

vv0

t

t t0

s=v0+v2

·t

1Liikumine maa külgetõmbe mõjul | KINEMAATIKA

19

Eelvaade

Kerge ja raske kuul maanduvad korraga

x1 2

3

t

x

t

a>021 a<0

0

x0

x0

Ühtlaselt muutuva liikumise graafikuks on parabool

Kordamisküsimused1. Kiirusega 9000 m/s liikuvale sidesatelliidile antakse orbiidi muut-

misel 10 sekundiks liikumissuunaline kiirendus 20 m/s2. Kui palju nihkub satelliit selle ajaga edasi, kui liikumist võib lugeda sirgjoo-neliseks?

2. Väikelennuk Cessna 150 miinimumkiirus ohutuks õhkutõusmi-seks on 35 m/s. Vähemalt millise pikkusega peab olema stardira-da, millelt kiirendust 2 m/s2 andva mootoriga lennuk tohiks õhku tõusta?

3. Keha liikumisvõrrand on x = – 10 + 15 t – 5 t2. Kirjuta välja kõik seda liikumist iseloomustavad suurused.

Ühtlaselt muutuva liikumise graafikNüüd, mil teame, et ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõr-rand (1.19) kujutab endast aja ruutfunktsiooni, mis on sarnane matemaatikast tuntud funktsiooniga y = ax2+ bx + c, pole raske konstrueerida ka selle liikumise graafikut. Koordinaat x sõltub ajast t kui ruutfunktsioon. Ruutfunktsiooni graafik on teata-vasti parabool ja nii ongi ühtlaselt muutuva liikumise graafik parabooli kujuga. Sõltuvalt ruutliikme kordaja (kiirenduse) märgist on parabooli harud suunatud kas üles (a > 0) või alla (a < 0).

KordamisküsimusIseloomusta ja võrdle joonisel esitatud graafikutele vastavaid liikumisi.

1.7. LiikUmine maa kÜLGetÕmBe mÕJUL

Vaba langemineGravitatsioon (gravitas — ladina k raskus) on vastastik-mõju, millele alluvad kõik kehad, nii kosmilised kui ka maapealsed. Meie poolt tajutav gravitatsioon on Maa kül-getõmme. Kõik kehad tõmbuvad Maa keskpunkti poole ja omavad seepärast raskust. Kui keha lahti pääseb, kukub see alla. Selle üle, kuidas kehad Maa külgetõmbe tõttu kukuvad, juureldi juba tuhandeid aastaid tagasi. Kui kreeka mõtte-tark Aristoteles oli veendunud, et rasked kehad kukuvad kergematest kiiremini, siis 2000 aastat hiljem näitas itaalia teadlane Galileo Galilei, et kõik kehad liiguvad Maa külge-tõmbe mõjul ühtmoodi.

Tegelikult oli õigus ka Aristotelesel. Kõik me oleme ko-genud, et korraga käest lahti lastud metallraha ja paberileht ei maandu korraga. Paber kukub aeglasemalt, kuna langemist segab õhutakistus. Suhteliselt raskete esemete korral (metall-kuulid, kivid) jääb õhutakistus raskusjõu kõrval aga väikeseks ja kehad maanduvad siis korraga.

1

20

Eelvaade

KINEMAATIKA | Liikumine Maa külgetõmbe mõjul

v=v0-gt

0

h=h0+v0t-

h0

h

gt2

2v

g v0

x → ha → – g

Õhutakistuse puudumisel kukkumine on vaba langemine

Vaba langemine on ühtlaselt muutuv liikumine

Vaba langemise kiirendus g = 9,8 m/s2

Sellist kehade kukkumist, kus õhutakistus puudub või on väike, nimetatakse vabaks langemiseks. Katsed näitavad, et va-balt langevatel kehadel kasvab kiirus ühtmoodi — see ei sõltu raskusest ja kujust. Torus, millest on õhk välja pumbatud, ku-kuvad tinahaavel ja udusulg kõrvuti.

Vaba langemine on ühtlaselt muutuv liikumine. Kõik ke-had saavad sõltumata massist ja juba olemasoleva kiiruse suu-rusest ning suunast Maa külgetõmbe toimel ühesuguse kiiren-duse. Seda nn vaba langemise kiirendust on mõõdetud Maa eri paigus ja erinevatel meetoditel ning tulemuseks on saadud alati ligikaudu 9,8 m/s2. Vaba langemise kiirenduse tähis on g ja see on suunatud alati alla, Maa keskpunkti poole.

KordamisküsimusMilliseid järgmisi liikumisi võib lugeda vabaks langemiseks: a) vee tilkumine kraanist; b) langevarjuga laskumine; c) puulehe langemine; d) udusule kukkumine õhutühjas ruumis?

Vabalt langeva keha kiiruse ja kõrguse sõltuvus ajastVaba langemine on ühtlaselt muutuv liikumine ja selle käigus keha kõrgus muutub. Sellise liikumise korral on püstsuunali-seks koordinaadiks mõistlik võtta keha kõrgus. Telg on sel ju-hul suunatud alt üles ning koordinaadi ehk kõrguse tähiseks on tavaliselt h (height — inglise k kõrgus). Sageli kasutatakse püstkoordinaadina ka y.

Keha liikumist Maa külgetõmbe mõjul saab kirjeldada ühtlaselt muutuva liikumise mudeli abil. Lähtume kiiruse ajast sõltuvuse valemist (1.12’) ja liikumisvõrrandist (1.19):

v v at= +0 . (1.12’)

x x v tat

= + +0 0

2

2. (1.19)

Neis avaldistes tuleb kiirenduseks võtta vaba langemise kiiren-dus ning koordinaadiks kõrgus h. Et kõrgus on suunatud alt üles ja vaba langemise kiirendus ülalt alla, on sellises koordi-naatsüsteemis vaba langemise kiirendus negatiivne ja valemi-tes tuleb võtta a = –g. Selliselt toimides saame vabalt langeva keha kiiruse ja kõrguse ajast sõltuvuse jaoks järgmised seosed:

v v gt= −0 , (1.20)

h h v tgt

= + −0 0

2

2. (1.21)

Kui näiteks kivi üles visata, on valemites algkiirus v0 posi-tiivne, allaviskamisel negatiivne ja lihtsalt käest pillamisel null. Sümbol h0 tähistab kõrgust aja alghetkel ehk algkõrgust.

1

21

Eelvaade

Liikumine Maa külgetõmbe mõjul | KINEMAATIKA

Kiiruse saab lahutada kaheks komponendiks

h

x

v0h

v0x

v0

x

h

x

h

Kuul liigub üles-alla ja samal ajal ka edasi

Kõrguse nullpunkt valitakse vastavalt olukorrale. Enamasti on selleks maapind. Vaba langemise kiirenduse väärtuseks võe-takse 9,8 m/s2, ent kui pole öeldud teisiti, võib kooliülesannete lahendamisel kasutada väärtust 10 m/s2.

Kordamisküsimused1. Kivi visatakse maapinnalt otse üles algkiirusega 20 m/s. Kui kõrgel

asub kivi ja millist kiirust omab see hetkedel 1 ja 3 sekundit pärast viset?

2. Kui kaua ja kui kõrgele tõuseb kiirusega 10 m/s otse üles visatud kivi?

3. Kui kaua kukub ja millise kiiruse saavutab Tallinna teletorni ti-pust allapillatud ese? Torni kõrgus on 314 m. Kui kõrgel on ese 5 sekundit pärast kukkumise algust?

Horisondiga kaldu visatud keha liikumineKui kõrgushüppaja võitleb gravitatsiooniga, et tõusta kõrgele, siis kuulitõukaja peab kuuli lennutama võimalikult kaugele. Mismoodi toimida? Algkiirus peab olema võimalikult suur, kuid ka tõukesuund on oluline. Mida kõrgemale kuul tõuseb, seda kauem see õhus püsib. Samas ei saa kogu energiat kõr-guse saavutamiseks kulutada, osa tuleb panustada edasiliiku-misse.

Kaldu visatud keha liikumist saab vaadata kui kahte kor-raga toimuvat sõltumatut liikumist. Üks on suunatud üles-alla ja allub vaba langemise seadustele ning teine horisontaalsuu-nas ja on kõrvaliste mõjude puudumisel ühtlane sirgjooneline. Kaks erisihilist korraga toimuvat liikumist on teineteisest täies-ti sõltumatud ja neid saab kirjeldada eraldi võrrandite abil.

Kaldu visatud keha liikumise kirjeldamiseks on vaja kahte koordinaattelge. Üles-alla toimuva muutuva liikumise jaoks kasutame püstist kõrguse telge h ja horisontaalsuunas ühtla-selt edasi liikumise jaoks telge x. Selleks et nende kahe koordi-naattelje jaoks saaks liikumisvõrrandid kirja panna, on vaja ka algkiirus v0 jagada kaheks komponendiks — püstsuunaliseks v0h ja horisontaalsuunaliseks v0x. Jooniselt on näha, et kiiruse komponentide suurused saab täisnurksetest kolmnurkadest siinus- ja koosinusfunktsiooni abil (α on viskenurk horison-taalsihi suhtes):

v vh0 0= sinα (1.22)

v vx0 0= cosα . (1.23)Nende avaldistega tuleb vastavad suurused asendada liikumis-võrrandites (1.8) ja (1.21). Kuna nüüd on meil ühe liikumise asemel korraga kaks, siis peame selle kirjeldamiseks kasutama ühe liikumisvõrrandi asemel kahest võrrandist koosnevat süs-teemi:

1

22

Eelvaade

KINEMAATIKA | Liikumine Maa külgetõmbe mõjul

Kaldu visatud keha liikumist kirjeldatakse kahest sõltumatust liikumisvõrrandist koosneva süsteemiga

h

h=h0+v0yt -

x=x0+v0xt

h0

x0

x

v0h

v0x

v0

h h v t

gt

x x v t

= + −

= +

0 0

2

0 0

2sin

cos

α

α. (1.24)

Sagedamini tulevad ette ülesanded, kus keha alustab liikumist maapinnalt. Sel juhul võetakse mõlemad algkoordinaadid h0 ja x0 nulliks. Liikumisvõrrandite süsteemi (1.24) abil saame leida horisondiga nurga α all visatud keha koordinaadid h ja x mis tahes ajahetkel t. Kui soovime leida lennukaugust ja -kõrgust, tuleb esmalt leida lennuaeg. Lennu lõpus kukub keha maha ning kõrgus h = 0. Seda väärtust kasutades saame esimesest võrrandist avaldada lennuaja. Teades lennuaega, leiame teisest võrrandist sellele vastava kauguse x. Lennukõrguse leidmiseks kasutame jälle esimest võrrandit, võttes ajaks seekord poole kogu lennuajast, kuna just lennu keskmomendil on keha oma trajektoori kõrgeimas punktis.

Kordamisküsimused1. Kivi visatakse algkiirusega 15 m/s horisondi suhtes 60º nurga all.

Kui suur on algkiiruse püst- ja horisontaalsuunaline komponent?2. Aiakastmisvoolikust suunatakse veejuga maapinna suhtes 45º

nurga all. Kui kõrgele ja kui kaugele juga ulatub, kui vee väljavoo-lukiirus voolikust on 10 m/s?

3. Millise nurga all visatud pall lendab a) kõige kõrgemale; b) kõige kaugemale?