REGRESI DAN KORELASI

KELOMPOK 13 :

OKSA WINANTA (1404405068)

NGURAH SATYA (1404405069)

TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS UDAYANA

BAB 13

REGRESI DAN KOLERASI

Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga dapat digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antarvariabel. Jika kita memiliki dua buah variabel atau lebih maka sudah selayaknya apabila kita ingin mempelajari bagaimana variabel-variabel itu berhubungan atau dapat diramalkan.

Analisis regresi mempelajari hubungan yang diperoleh dinyatakan dalam persamaan matematika yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel.

13.1 METODA KUADRAT TERKECIL, REGRESI

Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variabel x dan y, mula-mula kita mengumpulkan data (X,Y). Misal x menyatakan tinggi dan y menyatakan berat, maka kita memandang (X1, Y1), (X2, Y2),..., (Xn, Yn), masing-masing pasangan bebas dan X serta Y didefinisikan pada ruang sampel yang sama.

Misalkan data yang diperoleh adalah (X1, Y1), (X2, Y2),..., (Xn, Yn). Lalu semua titik digambar pada sistem koordinat tegak lurus, hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar. Dari diagram tersebut dapat kita ketahui apakah ada hubungan dan bila ada, apakah hubungan tersebut linier atau non-linier.

Dalam hal ini kita batasi kepada

hal yang linier saja dan untuk mendapatkan garis lurus yang paling baik penjajagannya kita

menggunakan metoda kwadrat terkecil.

Misalkan persamaan garis tersebut adalah y = a + bx. X dipandang sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel yang paling bergantung. Pada gambar 13.1.4 terlihat perbedaan d1 antara ordinat y1

Gb. 13.1.1 ada hubungan linier

Gb. 13.1.2 hubungan non-linier

Gb. 13.1.3 tidak ada hubungan

Gb. 13.1.4 garis yang paling baik penjajagannya

Y1

dan ordinat titik pada garis yang mempunyai absis yang sama dengan X1, yaitu d1 = y1 – a – bx1. Perbedaan itu disebut deviasi atau kesalahan. Sebagai ukuran mutu penjajagan, kita ambil

S = d21

+d22

+ ... + d2n

minimum, disebut garis lurus yang paling baik penjajagannya atau garis

regresi atau garis kuadrat terkecil.

Untuk meminimalkan S, bisa hitung diferensial

S = (Y1 – a – bx1)2 + (y2 – a - bx2)2 + ... + (yn – a – bxn)2

∂ S∂ a

= - 2(y1 – a – bx1) - 2(y2 – a – bx2) - ... - 2(yn – a – bxn)

∂ S∂ a

= - 2x1 (y1 -a – bx1) - 2x2 (y2 - a – bx2) - ... 2x1 (yn - a – bxn)

Dari kedua persamaan kita mendapat

(semua somasi dari 1 sampai dengan n)

Persamaan diatas disebut persamaan normal untuk garis lurus kuadrat terkecil.

Persamaan normal dengan aturan Cramer dengan cara eliminasi atau substitusi sederhana.

a=(∑ y ) ( ∑x2 )−(∑ x )(∑ y )

n ( ∑ x2 )−(∑ x2) dan

b=n (∑ xy )−(∑ x)(∑ y )

n (∑ x2 )−(∑ x2) ( semua somasi dari 1 sampai dengan n)

Dengan demikian kita memperoleh garis kuadrat terkecil (garis regresi Y pada X), juga ada garis regresi X pada Y.

Misalkan garis regresi X dan Y adalah x = c + dy. Akan mendapatkan persamaan normal

Persamaan kedua diperoleh dengan mengalikan dengan y dahulu. Akarnya ialah :

c=(∑ x ) (∑ y2 )−(∑ y )(∑ xy)

n (∑ y2)−(∑ y)2

d=n (∑ xy )−(∑ x )(∑ y)

n ( ∑ y2 )−(∑ y)2 (koefisien arah)

∑ y1 = na + b ∑ x1

∑ x1y1 = a + b ∑ x1 + b x22

∑ x = nc + d ∑ y

∑ xy = c ∑ y + d ∑ y

Garis X pada Y menunjukkan hubungan antara X dan Y, dan dapat dipakai untuk menaksir X bila nilai Y diketahui.

Dalil 13.1.1

Kedua garis regresi selalu melalui titik (x8 , ӯ).

Bukti persamaan gari X dan Y adalah y = a + bx. (1)

Persamaan normal yang pertama adalah ∑ y = na + b∑x.

Jika dibagi dengan n mendapatkan ӯ = a + bx8 . (2)

Jika (1) dikurangi dengan (2) mendapatkan y – y = b(x- x8 ), dan ini menyatakan garis itu melalui titik (x8 , ӯ).

Contoh 13.1.1 Diketahui

X 1 3 4 6 8 9 10 12Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Tabel 13.1.1

a. Gambarlah diagram pencarb. Carilah garis regresi y pada xc. Carilah garis regresi x pada yd. Gambarlah kedua garis regresi pada diagram pencare. Taksirlah y, jika x = 14f. Taksirlah x, jika y = 10

Jawab :

a. Gambar Diagram Pancar

b. N = 8Misal persamaan garis regresi y pada x adalah y = a + bx. Persamaannya adalah :8a + 53b = 4053a + 451b = 338

A =

40338

853

5345153

451

= 18040−17914

3608−2809 = 0,156

x Y X2 Xy Y2

1346891012

12445789

11916366481100144

161624406380108

14161625496481

53

40 451 338 256

B =

8538

53

4038853451

= 2704−21203608−2809

= 0,730

Garis regresi Y dan X adalah y = 0,156 + 0,730 x.c. Misalkan garis regresi x pada y adalah x= c + dy. Persamaan normal untuk ini adalah

8 c + 40 d = 5340 c + 256 d = 338

C =

53338

840

4025620

246

= 13568−13520

2048−1600 = 0,107

D =

8408

40

5333840257

= 2704−21202048−1600

= 1,303

Jadi garis regresi x pada y adalah x = 0,107 + 1.303 y.

CATATAN Kedua garis regresi melalui titik (x8 , ӯ) = 6625 ; 5000).

d. Jika x = 14, taksiran untuk y ialah 0,156 = 0,730 x 14 = 10,376.e. Jika y = 10, taksiran untuk x ialah 0,107 + 1,303 x 10 = 13,137.

A dan d :

Gambar 13.1.5 Diagram dan ke dua garis regresi

Contoh 13.1.2 Tabel 13.1.3 menunjukkan hasil ujian 10 mahasiswa dalam Matematika dan Statistika.

a. Gambarlah diagram pencar.b. Carilah garis regresi y pada x.c. Carilah garis regresi x pada y.d. Gambarlah kedua garis regresi ini pada diagram pencar.

e. Bila seorang mahasiswa mendapat nilai 55 untuk Matematika, taksirlah nilai statistiknya.f. Bila seorang mahasiswa mendapat nilai 40 untuk Statistika, taksirlah nilai Matematikanya.

MatematikaX

70

50 93 65 60 75 68

40 65 80

StatistikaY

81

55 86 72 55 82 80

35 65 70

Tabel 13.1.3

Jawab :

a. untuk memudahkan hitungan kita adakan transformasi linier, yaitu suatu translasi

X =60 + x’

Y = 60 + y’

X’ Y’ X’2 X’Y’ Y’2

10-103350158

-20520

21-52612-5220

-25510

1001001089250

2256440025400

21050858650

3300

50025200

44125676144254840

62525600

66 61 2428 2233 2545 Tabel 13.1.4

b. x8 ’= 6,6, ӯ’ =6,1. Untuk garis regresi y dan X, persamaan normal adalah 10 a + 66 b = 6166 a + 2428 b = 2233

B =

10661066

61223366

2428

= 0,918

Jadi garis regresi Y padaX ialah y’ - ӯ’ = b(x’ - x8 ’).(Dalil 13.1.1)Y’ – 6,1 = 0,918 (x’ -6,6).Dengan transformasi inver x’ = x – 60 dan y’ = y – 60, kita mendapat y – 60 – 6,1 = 0,918(x – 60 – 6,6).Atau y = 0,918x + 4,961.

c. Untuk garis regresi X pada Y, persamaan normal ialah10 c + 61 d =6661 c + 2545 d = 2233

Sehingga d =

10611061

66223361

2545

= 0,842

Jadi garis regresi X pada Y ialahx’ - x8 ’ = d(y’ - ӯ’);x’ – 6,6 = 0,842(y’ – 6,1).Dengan translasi invers kita mendapatX – 60 – 6,6 = 0,842(y – 60 – 6,1), atau x = 0,842 y + 10,945.

A dan d :

Gambar 13.1.6

e. Jika x = 55, maka y =0,918 x 55 + 0,042 = 50,532 ~ 50,5

f. Jika y = 40, maka x = 0,823 x 40 + 1,580 = 34,384 ~ 34,4.

13.2 KORELASI

Korelasi merupakan teknik statistik yang digunakan untuk meguji ukuran mengenai

kesempurnaan, bahwa satu garis lurus menyatakan hubungan antara dua variabel acak.

Korelasi juga dapat didefinisikan sebagai angka yang menunjukkan arah dan kuatnya

hubungan antar variabel atau lebih. Artinya dinyatakan dalam bentuk hubungan positif atau

negatif, sedangkan kuatnya hubungan dinyatakan dalam besarnya koefisien korelasi.

Jika pada diagram pencar semua titik terletak pada garis lurus, dapat dikatakan ada kolerasi

sempurna antara X dan Y. Jika pada diagram pencar semua titik terletak dekat satu garis

lurus, korelasi ialah linier. Dalam hal ini ada dua hal, yaitu:

Pada gambar korelasi positif, hubungan dua variabel atau lebih dinyatakan positif, bila nilai

satu variabel ditingkatkan, maka akan meningkatkan variabel yang lain, dan sebaliknya bila

nilai satu variabel diturunkan maka akan menurunkan variabel yang lain.

Sedangkan pada gambar korelasi negatif, hubungan dua variabel atau lebih dinyatakan

negatif, bila nilai satu variabel dinaikkan maka akan menurunkan nilai variabel yang lain, dan

juga sebaliknya bila nilai satu variabel diturunkan, maka akan menaikkan nilai variabel yang

lain.

Dalam statitiska analogi Cov (X,Y) adalah kovariansi sampel, yaitu:

Sx = 1n∑

1

n

(x1− x̄)❑(y1− ӯ ¿

Dan analogi variansi ơ2x

dan ơ2y

ialah variansi sampel, yaitu:

Sehingga analogi  ρ (X,Y) ialah koefisien korelasi sampel:

DEFINISI r (x,y) =

Jika r (x,y) = +-1, kita katakan korelasi antara X dan Y adalah sempurna dan pada gambar

pencar semua titik terletak pada suatu garis lurus. Jika r = `1 condong garis lurus ialah positif

dan jika r = -1, condong garis lurus ialah negatif.

Contoh soal

X 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67Y 68 64 69 65 67 66 68 65 70 67

Cari koefisien korelansinya!

         n (∑XY) – (∑X) (∑Y)r(KK) = ___________________________________________

√(n (∑X2) – (∑X)2) (n (∑Y2) – (∑Y)2) 10 (44.182) – (660) (669)

= ________________________________________________________

√ (10 (43.618) – (660)2) (10 (44.789) – (669)2)

441.820 – 441.540 = _____________________________________________________

√ (436.180 – 435.600) (447.890 – 447.561)

280 = _________________

√ (580) (329)

280 = ____________

√ 190.820

280 = ___________

436,8295

= 0,641

Artinya korelasi positif.,rendah