Program Linier 1

PROGRAM LINIER

Kompetensi Dasar:

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Merancang model matematika dari masalah program linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan

menafsirkan solusinya

Indikator:

Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variable

Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Mengenal masalah yang merupakan program linear

Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear

Menggambar daerah fisibel dari program linear

Merumuskan model matematika dari masalah program linear

Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif

Menafsirkan solusi dari masalah program linear

Program Linier 2

PROGRAM LINIER

A. Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Peubah

1. Pertidaksamaan Linier Dua Peubah

Suatu pertidaksamaan linier dua peubah dapat dinyatakan sebagai :

ax by c

ax by c

ax by c

ax by c

dengan , , , ,a b c x y suatu bilangan Real( ).

Pertidaksamaan linier dua peubah memiliki penyelesaian yang berada di dalam

himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian ini berupa titik-titik yang terletak

di bidang kartesian yang apabila diambil dan dimasukkan ke dalam

pertidaksamaan akan memenuhi persyaratan yang diinginkan.

Ada 3 langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

linier dua peubah :

1. Pada bidang kartesian kita menggambar garis yang merupakan persamaan

ax by c

2. Pada bidang kartesian, kita ambil sebuah titik 1 1,P x y yang berada di luar

garis ax by c dan disubsitusikan ke dalam pertidaksamaan untuk menguji

apakah titik 1 1,P x y terletak pada daerah himpunan penyelesaian atau tidak.

Jika 1 1ax by c maka 1 1,P x y adalah penyelesaian pertidaksamaan

ax by c . Jika 1 1ax by c maka 1 1,P x y adalah penyelesaian

pertidaksamaan ax by c

3. Memberikan arsiran pada bidang kartesian dimana daerah yang diarsir

melambangkan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua

peubah.

Program Linier 3

Contoh 1 :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari 4 5 20x y !

Jawab :

Langkah 1 : Pada bidang kartesian, kita menggambar garis 4 5 20x y . Di

bidang kartesian, garis 4 5 20x y memotong sumbu X di (5,0) dan memotong

sumbu Y di (0,4).

X 0 5

Y 4 0

Langkah 2 : Kita ambil sebuah titik, misalkan kita ambil titik 1,1P yang berada

di luar garis 4 5 20x y .

1,1P 4.1+5.1 = 9 20.

Titik 1,1P memenuhi pertidaksamaan 4 5 20x y , sehingga 1,1P terletak

di daerah himpunan penyelesaian.

Langkah 3 : Memberikan arsiran pada bidang kartesian yang menunjukkan daerah

himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua peubah 4 5 20x y . Daerah

himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh gambar dibawah :

2. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Peubah.

Sistem pertidaksamaan linier dua peubah adalah suatu permasalahan matematis

dimana terdapat lebih dari satu (1) pertidaksamaan linier dua peubah dengan

X

Y

(5,0)

(0,4)

P(1,1)

Program Linier 4

daerah himpunan penyelesaian merupakan gabungan dari masing-masing

pertidaksamaan linier 2 peubah.

Contoh 2 :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier yang

dinyatakan dengan 5x y , 2 8x y , 0x , 0y dengan ,x y .

Jawab :

Langkah 1 :

Pada bidang kartesian, gambar garis 5x y , 2 8x y , 0x , 0y . Garis

0x diwakili sumbu tegak Y dan garis 0y diwakili sumbu mendatar X.

Langkah 2 :

Ambil satu titik di luar garis, misalkan kita mabil titik 2,1P . Jika titik 2,1P

memenuhi pertidaksamaan 5x y , 2 8x y , 0x , 0y , maka titik

2,1P merupakan salah satu anggota himpunan penyelesaian.

2,1P

2 1 3 5

2.2 1 5 8

2 0

1 0

Karena titik 2,1P memenuhi semua pertidaksamaan linier dua peubah, maka

titik 2,1P merupakan salah satu anggota himpunan penyelesaian.

Langkah 3 :

Memberikan arsiran pada bidang kartesian yang menunjukkan himpunan

penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua peubah yaitu daerah dimana titik

2,1P berada.. Daerah himpunan penyelesaian ditunjukkan gambar dibawah :

Program Linier 5

3. Latihan 1 :

1. Tentukan gambar himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier 2 peubah :

a. 1 24 2 8x x

b. 1 2 6x x

c. 1 22 18x x

2. Tentukan pertidaksamaan linier 2 peubah yang membentuk daerah yang diarsir

berikut ini :

a.

.

b.

X

Y

4 5

5

8

(3,2)

P(2,1)

5

3

X

Y

Program Linier 6

c.

3. Gambarlah daerah pada bidang kartesian yang ditetntukan oleh sistem

pertidaksamaan :

a.

1 2

1 2

1 2

4 2 8

2 4 8

0, 0

x x

x x

x x

b. 1 2

1 2

8

2 2

x x

x x c.

3 2 36

3 4 12

0, 8

x y

x y

x y

2

-3

X

Y

c

b

c

a

X

Y

Program Linier 7

4. Tentukan sistem pertidaksamaan linier 2 peubah yang membentuk daerah

arsiran :

a.

b.

B. Model Matematika, Program Linier dan Nilai Optimal Program Linier

1. Model Matematika

Model matematika adalah suatu penulisan permasalahan sehari-hari dalam bentuk

matematika, yaitu dengan menggunakan variabel-variabel dalam persamaan-

persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan.

Cara mudah untuk menentukan model matematika adalah dengan

membuat tabel untuk menuliskan permasalahan tersebut. Model matematika ini

nantinya akan disebut kendala sistem pertidaksamaan linier.

3

5

4

Y

X

2

6 5

3

-2

Y

X

Program Linier 8

Contoh 3 :

Sebuah pesawat terbang mempunyai 48 tempat duduk yang terbagi ke dalam kelas

eksekutif dan kelas ekonomi.Setiap penumpang kelas eksekutif diperbolehkan

membawa barang 60 kg dan penumpang kelas ekonomi 20 kg. Tempat bagasi

pesawat maksimal dapat membawa 1440 kg barang. Bila banyak penumpang

kelas eksekutif adalah x orang dan kelas ekonomi adalah y orang. Tentukan

model matematikanya !

Jawab :

Dibuat tabel dari permasalahan

Kelas Eksekutif Kelas Ekonomi

Penumpang x y

Bagasi 60x 20y

Nilai x dan y tidak mungkin negatif, maka 0x , 0y . Jumlah penumpang

maksimal 48 jadi jumlah penumpang eksekutif dan kelas ekonomi maksimal 48

atau 48x y . Jumlah total barang yang dapat dimuat bagasi dapat dinyatakan

dengan 60 20 1440x y . Jadi model matematika dari permasalahan diatas dapat

dinyatakan dengan :

48

60 20 1440

0, 0.

x y

x y

x y

2. Program Linier

Program linier adalah metode untuk menyelesaikan permasalahan yang

menggunakan sistem persamaan atau pertidaksamaan linier. Program linier dapat

dinyatakan sebagai model matematika yang memiliki tujuan yang hendak dicapai.

Tujuan yang hendak dicapai ini disebut dengan fungsi objektif atau fungsi tujuan.

Dapat ditarik kesimpulan bahwa program linier terdiri dari dua (2) bagian :

Program Linier 9

1) Sistem pertidaksamaan linier dua peubah, merupakan kendala yang harus

dipenuhi peubah x dan y .

2) Fungsi tujuan yang merupakan nilai yang akan dioptimalkan.

Contoh 4 :

Dari contoh 3, jika harga tiket dari kelas eksekutif adalah Rp. 200.000,00 dan

harga tiket kelas ekonomi Rp.100.000,00 maka buatlah model matematika dari

program linier !

Jawab :

Jika penumpang kelas eksekutif adalah x orang dan kelas ekonomi adalah y

orang, maka uang hasil penjualan tiket dapat dinyatakan dengan

200000 100000x y . Fungsi ini adalah fungsi tujuan dari model matematika

program linier.

Jadi model matematika dari program linier contoh 3 dapat dinyatakan sebagai :

48

60 20 1440

0, 0.

x y

x y

x y

dengan fungsi tujuan : , 200000 100000f x y x y .

3. Nilai Optimal Program Linier

Nilai optimal adalah nilai yang didapat dengan mengganti peubah x dan y yang

akan mengakibatkan fungsi tujuan ,f x y menjadi nilai maksimal atau nilai

minimal. Ada 2 metode untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan :

a. Metode uji titik pojok

b. Metode garis selidik

Program Linier 10

a. Menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok

Untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan menggunakan

metode uji titik pojok terdiri dari beberapa langkah :

1) Menentukan model matematika

2) Menentukan daerah himpunan penyelesaian model matematika yang berupa

daerah yang diarsir.

3) Menentukan nilai pasangan atau nilai koordinat kartesian ,x y pada titik

pojok atau titik sudut daerah himpunan penyelesaian.

4) Mensubsitusikan masing-masing nilai pasangan ,x y pada fungsi tujuan.

5) Nilai optimal fungsi tujuan adalah nilai terbesar jika permasalahan adalah

maksimalisasi dan nilai optimal fungsi tujuan adalah nilai terkecil jika

permasalahan adalah minimalisasi.

Contoh 5 :

Dari contoh 4, berapakah uang maksimal yang diperoleh dari hasil penjualan

tiket!

Jawab :

1) Model matematika dari program linier dari contoh 4 adalah :

Maksimal , 200000 100000f x y x y

model matematika :

48

60 20 1440

0, 0.

x y

x y

x y

Program Linier 11

2) Menentukan daerah himpunan penyelesaian dari program linier yang

ditunjukkan oleh gambar dibawah ;

3) Menentukan titik pojok daerah himpunan penyelesaian di A 0,0 , B 24,0 ,

C 12,36 , D 0,48 .

4) Menentukan nilai dari masing-masing titik pojok daerah himpunan

penyelesaian.

Titik , 200000 100000f x y x y

A 0

B 4.800.000

C 6.000.000

D 4.800.000

5) Nilai maksimal diperoleh dari titik C 12,36 dengan nilai 6.000.000

Jadi maksimal uang yang diperoleh dari hasil penjualan tiket sebesar

Rp.6.000.000,00.

X

Y

(0,0) (24,0)

(12,36)

(0,48)

Program Linier 12

b. Menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan metode garis selidik

Cara lain untuk menentukan nilai maksimal atau nilai minimal dari

fungsi tujuan yang dinyatakan dengan ,f x y ax by adalah dengan

menggunakan garis selidik ax by k , k suatu bilangan bulat.

Langkah –langkah untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan adalah :

1. Gambar garis ax by k yang memotong sumbu x di ,0k

a dan memotong

sumbu y di 0,k

b.

2. Jika garis 1ax by k yang sejajar garis ax by k adalah garis yang berada

di paling atas atau paling kanan, tetapi masih memotong atau menyinggung

daerah yang diarsir maka nilai maksimum fungsi tujuan ,f x y ax by

sama dengan 1k . Akan tetapi jika garis 2ax by k adalah garis yang paling

bawah atau paling kiri, maka nilai minimum ,f x y ax by sama dengan

2k .

Contoh 6 :

Dari contoh 4, tentukan penyelesaian program linier dengan metode garis selidik!

Jawab :

Pertama dibentuk garis selidik 200.000 100.000x y k . Untuk 1 0k maka

garis selidik 200.000 100.000x y k melewati titik 0,0O dengan nilai fungsi

tujuan , 200000 100000f x y x y sama dengan nol (0). Jika kita ambil nilai

2 4.800.000k maka garis selidik 200.000 100.000 4.800.000x y yang sejajar

memotong daerah himpunan penyelesaian di titik 24,0 dan 0,48 dengan nilai

fungsi tujuan , 200000 100000f x y x y sama dengan 4.800.000. Untuk nilai

3 6.000.000k maka terbentuk garis selidik 200.000 100.000 6.000.000x y

Program Linier 13

yang masih menyinggung daerah himpunan penyelesaian. Karena garis selidik ini

merupakan garis selidik yang paling kanan, maka menurut langkah 2 nilai

3 6.000.000k merupakan nilai optimal fungsi tujuan. Ilustrasi terlihat dari

gambar di bawah .

Tidak seperti metode uji titik pojok, menentukan nilai optimal dengan

metode garis selidik memiliki kelemahan yang sangat mendasar, mengingat kita

diharuskan menentukan nilai k secara berulang kali sampai kita dapat

menemukan nilai k yang dimaksud.

4. Menginterprestasikan Penyelesaian Optimal Program Linier

Ketika menghadapi permasalahan program linier, sering kali kita hanya

terpaku pada penyelesaian nilai optiomal fungsi tujuan. Padahal sering kali selain

mencari nilai optimal fungsi tujuan, kita juga diminta untuk menafsirkan nilai dari

variabel pembentuk persamaan atau pertidaksamaan dari model matematika

program linier ( x dan y ). Nilai x dan y pada awalnya adalah variabel yang kita

gunakan sebagai pengganti indikator permasalahan. Sebagai contoh, dari

permasalahan program linier diatas diperoleh nilai 12x dan nilai 36y

X

Y

(0,0) (24,0)

(12,36)

(0,48)

k1 = 0

k2 = 4.800.000

k3 = 6.000.000

Program Linier 14

dengan nilai fungsi tujuan , 6.000.000f x y . Dari nilai-nilai diatas dapat kita

tafirkan bahwa pada permasalahan pesawat terbang terdapat 12 penumpang kelas

eksekutif, 36 penumpang kelas ekonomi dengan uang hasil penjualan tiket senilai

Rp. 6.000.000,00.

5. Latihan 2 :

1. Tentukan koordinat titik pojok daerah himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan : 0x , 0y , 2 5 100x y , 5 2 100x y !

2. Tentukan maksimal 2 3z x y

Dengan kendala :

6

2 6

0, 0 .

x y

x y

x y

3. Seorang petani merencanakan untuk menanam jagung dan kacang tanah. Lahan

yang dimilikinya seluas 9 hektar. Ia memiliki modal untuk membeli benih dan

pupuk sebesar Rp.24 juta. Untuk mengolah 1 ha tanaman jagung dibutuhkan

biaya Rp.3 juta dan 1 ha tanaman kacang tanah sebesar Rp. 2 juta. Tentukan

model matematika permasalahan di atas!

4. Dari soal nomer 1, setelah 3 bulan ternyata setiap ha tanaman jagung

menghasilkan 10 kuintal jagung dan setiap ha tanaman kacang tanah

menghasilkan 8 kuintal kacang tanah. Tentukan luas tanah masing-masing

tanaman (ha) sehingga jumlah total hasil tanaman akan maksimal dan

berapakah total produksi tanaman (kuintal) yang dihasilkan!

5. Jika tiap hektar tanaman jagung menghasilkan uang Rp. 4 juta dan tiap hektar

tanaman kacang tanah menghasilkan Rp.3 juta tentukan model matematika

permasalahan program linier dan total uang yang diperoleh dari hasil penjualan

produksi pertanian!

Program Linier 15

C. Latihan Pemantapan

1. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

1. Diketahui titik 0,0 , 4,3O A dan 1,2B . Daerah OAB memenuhi

sistem pertidaksamaan :

a. 4 3 , 2 , 5 11y x y x x y

b. 3 4 , 2 , 5 11y x y x x y

c. 3 4 , 2 , 5 11y x y x x y

d. 4 3 , 2 , 5 11y x y x x y

e. 4 3 , 2 , 5 11y x y x x y

2. Pada gambar di bawah, daerah yang diarsir memenuhi sistem

pertidaksamaan :……

a. 1

, 10 , 102

y x y x y x

b. 1

, 10 , 102

y x y x y x

c. 1

, 10 , 102

y x y x y x

y =1

2x + 10

y = x

y =10-x

Program Linier 16

d. 1

, 10 , 102

y x y x y x

e. 1

, 10 , 102

y x y x y x

3. Diketahui titik-titik A(40,0), B(80,0), C(0,480

11) dan D(0,80). Koordinat

titik potong antara AD dan BC adalah :

a. (20,35) b. (25,30) c. (30,25)

d. (35,40) e. (25,25)

4. Nilai maksimal 2 3T x y , dengan ,x y adalah titik pada daerah

himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan

0, 0, 6 11 480, 2 80x y x y x y adalah :…………….

a. 80 b. 120 c. 140

d. 160 e. 180

5.

a. 20 b. 24 c. 28

d. 30 e. 32

11

10 5,5

5

X

Y Daerah yang diarsir

pada gambar di

samping merupakan

himpunan

penyelesaian dari

suatu program linier.

Nilai maksimum

dari 3 4x y adalah

:…

Program Linier 17

6. Berikut ini adalah koordinat titik pada daerah penyelesaian sistem

pertidaksamaan linier : 0, 0, 2 8, 8 5 40x y x y x y , kecuali

a. (8,0) b. (0.8) c. (4,3)

d. (8,4) e. (3,3)

7. Diketahui sistem pertidaksamaan linier 0x , 0y , 20x y ,

3 30x y , 3 30x y . Titik yang tidak terdapat dalam daerah

himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah : ……

a. (35,0) b. (30,0) c. (15,5)

d. (5,15) e. (0,20)

8. Sebuah perusahaan membuat 2 jenis lemari yaitu tipe A dan B. Lemari tipa

A memerlukan 3 m2 kayu dan tipe B memerlukan 4 m

2 kayu. Perusahaan

memiliki 1700 m2 kayu/minggu. Tiap lemari tipe A membutuhkan waktu 1

jam untuk merakitnya dan 2,5 jam untuk lemari tipe B. Dalam 1 minggu

terdapat 800 jam untuk total produksi. Jika keuntungan dari lemari tipe A

sebesar Rp.20.000,00 dan Rp.40.000,00 untuk tipe B dan banyaknya tipe

A dan B yang diproduksi adalah x dan y , maka sistem pertidaksamaan

yang sesuai adalah … .

a. 0, 0, 3 4 1600, 2 5 1700x y x y x y

b. 0, 0, 3 4 1700, 2 5 1600x y x y x y

c. 0, 0, 3 2 1700, 4 5 1600x y x y x y

d. 0, 0, 3 2 1600, 4 5 1700x y x y x y

e. 0, 0, 3 5 1700, 4 2 1600x y x y x y

9. Fungsi tujuan yang menyatakan keuntungan yang diperoleh perusahaan

pada soal no.8 adalah … .

a. 2 4x y d. 20000 40000x y

b. 4 2x y e. 40000 20000x y

c. 2 4x y C

Program Linier 18

10. Nilai maksimal 6 2z x y dengan daerah penyelesaian : 0x , 0y ,

4 5 20x y , 3 16x y adalah :… .

a.8 b. 9 c. 10

d. 12 e. 30

11. Nilai maksimal 4 4z x y dengan daerah penyelesaian : 0x , 0y ,

3 4 12x y , 7 2 14x y adalah :… .

a. 8 b. 9 c. 148

11

d. 16 e. 143

7

12. Seorang pedagang menerima 2 jenis permen. Dalam tiap jenis memuat

coklat, susu dan gula dengan komposisi sebagai berikut :… .

Jenis Coklat Susu Gula

A(%)

B(%)

20

20

20

60

60

20

Kedua permen ini kemudian dicampur dan dibuat permen jenis baru yang

akan lebih laku jika memuat paling sedikit 4 kg coklat, paling 6 kg susu

dan paling sedikit 6 kg gula. Harga perman A adalah Rp. 100.000,00 per

kg dan Rp. 150.000,00 untuk permen B. Jika permen yang dicampur

sebanyak x kg perman A dan y kg permen B, maka sistem pertidaksamaan

yang sesuai adalah :… .

a. 0, 0, 20, 3 30, 3 30x y x y x y x y

b. 0, 0, 30, 3 20, 3 30x y x y x y x y

c. 0, 0, 30, 3 20, 3 20x y x y x y x y

d. 0, 0, 20, 3 30, 3 20x y x y x y x y

e. 0, 0, 20, 3 20, 3 20x y x y x y x y

Program Linier 19

13. Fungsi tujuan yang menyatakan total biaya yang dikeluarkan pedagang

pada soal nomor 12 adalah … .

a. 150000 100000x y

b. 100000 150000x y

c. 2 3x y

d. 3 2x y B

e. 3 2x y

14. Sebuah pabrik perakitan sepeda dan motor dapat merakit sepeda paling

banyak 120 unit tiap bulan dan motor paling sedikit 10 dan paling banyak

60 unit. Keuntungan dari tiap unit sepeda Rp. 50.000,00 dan

Rp.300.000,00 untuk motor. Total produksi dalam sebulan sebanyak 160

unit. Bila banyak sepeda dan motor yang dirakit perbulan x buah dan y

buah, maka sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah… .

a. 0, 0, 60, 120, 160x y y x x y

b. 0 120, 0 60, 160x y x y

c. 0 120, 0 60, 160y x x y

d. 0 120, 10 60, 160x y x y

e. 0 120, 10 60, 160y x x y

15. Berikut ini merupakan koordinat titik sudut daerah jimpunan penyelesaian

sistem pertidaksamaan pada nomor 14, kecuali… .

a. (0,10) b. (150,0) c. (0,60)

d. (120,0) e. (120,40)

16. Pendapatan maksimum yang diperoleh pabrik perakitan adalah … .

a. Rp. 9.000.000,00

b. Rp. 10.500.000,00

c. Rp. 18.000.000,00

d. Rp. 23.000.000,00

Program Linier 20

e. Rp. 48.000.000,00

17. Seorang pembuat roti mempunyai bahan A, B, dan C yang banyaknya

berturut-turut 300 kg, 180 kg, dan 300 kg. Dengan bahan yang tersedia,

pembuat roti membuat 2 macam roti sesuai pesanan. Komposisi bahan

dinyatakan lewat tabel berikut :

Macam roti Bahan A Bahan B Bahan C

I (kg)

II(kg)

2

6

2

4

4

2

Bila banyak roti I dan II adalah x buah dan y buah, maka sistem

pertidaksamaan yang sesuai adalah … .

a. 0, 0, 3 300, 2 180, 2 300x y x y x y x y

b. 0, 0, 2 6 150, 2 4 90, 4 2 150x y x y x y x y

c. 0, 0, 3 150, 2 90, 2 150x y x y x y x y

d. 0, 0, 3 150, 2 90, 2 150x y x y x y x y

e. 0, 0, 3 75, 2 45, 2 75x y x y x y x y

18. Bila harga roti I adalah Rp. 350,00 dan roti II adalah Rp. 800,00, maka

jumlah roti yang diproduksi sebesar… .

a. 45 b. 70 c.75

d. 80 e. 90

19. Nilai maksimal 5 4z x y dengan sistem pertidaksamaan 0x , 0y ,

4 5 20x y , 3 6x y tercapai di titik … .

a. (0,6) b. (5,0) c. (0,12)

d. (0,4) e. (2,0)

Program Linier 21

20. Titik yang terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan 0, 7, 7 4 28, 3, 3 8 16x y x y x y x y

adalah… .

a. 40 7

,11 11

b. (4,0) c. (0,2)

d. 7 40

,11 11

e. (0,8)

21. Nilai minimal bentuk objektif 400000 300000x y dengan sistem

pertidaksamaan 4000, 5000, 10000x y x y adalah… .

a. 3.100.000 b. 3.400.000 c. 3.500.000

d. 3.100.000.000 e. 3.400.000.000

22. Nilai maksimal bentuk objektif 2 3x y yang memenuhi sistem

pertidaksamaan 2 6, 1, 4x y x y x adalah… .

a. 9 b. 18 c. 23

d. 25 e. 31

23. Seorang pedagang hendak membeli 2 jenis perhiasan, jenis I seharga

Rp.90.000,00 dan jenis II seharga Rp.120.000,00. Modal yang dimiliki

sebesar Rp. 5.040.000,00 dan dia hanya mampu membeli sebanyak 50

buah perhiasan.. Bila perhiasan I sebanyak x buah dan memberi laba

Rp.12.500,00 dan perhiasan II sebanyak y buah memberi laba

Rp.13.000,00, maka berapa jumlah perhiasan I dan II yang harus dibeli

agar didapat laba maksimal adalah … .

a. 9 dan 16 buah

b. 18 dan 30 buah

c. 26 dan 24 buah

d. 20 dan 30 buah

e. 32 dan 18 buah

Program Linier 22

24. Sebuah pabrik memiliki persediaan 2400 kg kayu, 3600 kg plastik, dan

1800 kg baja. Pabrik itu akan membuat dua macam produk yaitu A dan B

yang memerlukan bahan-bahan (dalam kg) sepeti dalam daftar berikut :

Produk Kayu Plastik Baja

A

B

10

30

30

40

20

10

Keuntungan tiap produk A adalah Rp.40.000,00 dan B adalah

Rp.60.000,00. Bila banyak produk A dan B adalah x dan y buah maka

didtem pertidaksamaan yang sesuai adalah …

a. 0, 0, 3 240, 4 3 360, 2 180x y x y x y x y

b. 0, 0, 3 240, 4 3 360, 2 180x y x y x y x y

c. 0, 0, 3 240, 3 4 360, 2 180x y x y x y x y

d. 0, 0, 3 240, 3 4 360, 2 180x y x y x y x y

e. 0, 0, 3 240, 3 4 360, 2 180x y x y x y x y

25. Dari soal nomor 24, laba maksimal yang dapat diperoleh pabrik adalah…

a. Rp.3.600.000,00

b. Rp.4.600.000,00

c. Rp.4.800.000,00

d. Rp.5.280.000,00

e. Rp.5.400.000,00

2. Tentukan penyelesaian permasalahan program linier dibawah ini!

1. Sebuah penerbitan buku yang memproduksi buku matematika dan buku

fisika sebanyak 450 buku. Dari penjualan buku matematika mendapat

untung Rp.1500,00 dan buku fisika Rp.1250,00 tiap bukunya. Untuk

memproduksi buku matematika dibutuhkan biaya Rp.20.000,00 dan

Program Linier 23

Rp.16.000,00 untuk buku fisika. Modal yang dimiliki penerbitan sebesar

Rp.8.000.000,00.

a. Tentukan model matematika program linier di atas!

b. Berapakah jumlah masing-masing buku matematika dan fisika yang

harus diproduksi sehingga didapat keuntungan maksimal ?

c. Berapa besar keuntungan yang diperoleh ?

2. Suatu perusahaan real estate berencana membangun rumah bagi 1080

orang. Karena terbatasnya lahan, banyaknya rumah yang dibangun tidak

lebih dari 240 buah yang terdiri dari 2 tipe. Tipe I untuk 4 orang dengan

harga jual Rp.16 juta dan tipe II untuk 6 orang seharga Rp.20 juta.

a. Tentukan model matematika program linier di atas!

b. Berapakah jumlah masing-masing tipa yang dibangun?

c. Tentukan jumlah uang hasil penjualan rumah!

3. Sebuah perusahaan mebel ingin membuat 2 jenis mebel yaitu meja dan

lemari. Untuk membuatnya diperlukan 3 tahap (pemasangan, penghalusan

dan pengecatan). Lamanya tiap tahap dinyatakan dalam jam dan

dinyatakan lewat tabel di bawah ini :

Mebel Pemasangan (jam) Penghalusan (jam) Pengecatan (jam)

Meja

Lemari

2

1

1

2

1

1

Dalam 1 minggu, waktu yang tersedia untuk pemasangan 18 jam,

penghalusan 16 jam dan pengecatan 10 jam. Keuntungan dari penjualan

adalah Rp.18.000,00 tiap meja dan Rp.12.000,00 tiap lemari.

a. Tentukan jumlah meja dan lemari yang harus dibuat agar keuntungan

maksimal!

b. Berapa besar keuntungan yang diperoleh?

Program Linier 24

4. Sebuah toko roti akan membuat 2 jenis roti. Jenis I memerlukan 3 ons

gandum dan 4 ons mentega. Jenis II memerlukan 4 ons gandum dan 2 ons

mentega. Tersedia 4,8 kg gandum dan 4 kg mentega. Keuntungan jenis I

Rp.100,00 dan jenis II Rp.200,00.

a. Tentukan model program linier!

b. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian !

c. Tentukan jumlah masing-masing jenis roti dan berapa keuntungan

maksimalnya?

5. Seorang pedagang beras ingin membeli beras Rojolele dan beras ketan.

Harga 1 kg beras Rojolele Rp.4000,00 dan beras ketan Rp.2500,00 tiap kg.

Dengan modal Rp.300.000,00 ia memperkirakan hanya mampu membeli 1

kuintal saja. Jika ia ingin mengambil untung Rp.500,00 tiap kg beras

rojolele dan Rp.300,00 tiap kg beras ketan, maka tentukan :

a. Model matematika program liniernya

b. Komposisi jumlah beras Rojolel dan beras ketan yang harus dibeli.

c. Keuntungan maksimal yang diperoleh!