integral 1

INTEGRAL

Kompetensi Dasar :

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan

fungsi trigonometri yang sederhana

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva

dan volum benda putar

Indikator :

Mengenal arti Integral tak tentu

Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan

Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

Mengenal arti integral tentu

Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral

Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak

tentu

Menentukan integral dengan dengan cara substitusi

Menetukan integral dengan dengan cara parsial

Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri

Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu

pada koordinat.

Menghitung volume benda putar

integral 2

INTEGRAL

Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri, teknologi, biologi

dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat dalam sejarah pertama

kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimedes seorang ilmuwan

bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 212 SM). Archimedes

menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran,

daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur dan sebagainya. Sejarah

mencatat orang yang paling berjasa dalam hal pengembangan kalkulus integral

adalah George Friederich Benhard Riemann (1826 1866).

A. Integral Taktentu

1. Integral sebagai operasi invers dari turunan.

Misalkan fungsi f adalah turunan dari fungsi F, yang berarti

dF xF x f x

dx

Pandanglah pendiferensialan fungsi-fungsi di bawah ini

3 2

3 2

3 2

3 2

' 3

5 ' 3

17 ' 3

konstanta ' 3

F x x F x f x x

F x x F x f x x

F x x F x f x x

F x x c c F x f x x

Sekarang timbul pertanyaan apakah dari hubungan 'F x f x ini jika

f x diketahui maka f x pasti dapat ditentukan ?

Suatu operasi mencari F x jika f x diketahui yang merupakan invers dari

operasi pendiferensialan disebut operasi anti derivatif, anti diferensial, anti

turunan yang biasa disebut Operasi integral.

Dari contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa anti turunan dari

integral 3

23f x x adalah 3 , konstantaF x x c c .

Dari pengertian bahwa integral adalah invers dari Operasi pendiferensialan,

maka apabila terdapat fungsi F x yang diferensial pada interval ,a b

sedemikian hingga 'df x

F x f xdx

maka anti turunan dari f x

adalah F x c , dan biasa kita tulis dengan notasi.

f x dx F x c . Notasi adalah notasi integral tak tentu.

Catatan :

Orang yang pertama kali memperkenalkan lambang sebagai lambang

integral adalah Leibniz, yang disepakati sebagai salah seorang penemu dari

Kalkulus.

Dari contoh di atas diperoleh hasil 2 33x dx x c

Dengan memperhatikan diferensial-diferensial di bawah ini:

1

1

1

1

' 1

'

1 1' 1

1 1

'1 1

nx

nx

n

n n

n

n n

F x x c F x

F x ax c F x a

F x x c F x xn n

a aF x x c F x ax

n n

maka diperoleh integral fungsi-fungsi aljabar :

integral 4

1

1

1

2

13 , 1

1

14 , 1

1

Dari integral adalah invers diferensial maka

5

6

n n

n n

a

dx x c

adx ax c

x dx x c nn

x dx x c nn

f x f x dx f x dx g x dx

af x dx f x dx

Contoh 1. Tentukan 3 2x x dx

Jawab:

3 4 2

4 2

1 12 2

4 2

1

4

x x dx x x c

x x c

Contoh 2. Integralkanlah 2

33 4x

Jawab:

23 6 3

7 4

7 4

3 4 9 24 16

1 19 24 16

7 4

96 16

7

x dx x x dx

x x x c

x x x c

Mengingat pendiferensialan fungsi-fungsi yang lain; yaitu:

Jika sinf x x maka ' cosf x x

Jika cosf x x maka ' sinf x x

Jika tanf x x maka 2' secf x x

Jika cotf x x maka 2' cscf x x

Jika secf x x maka ' sec tanf x x x

integral 5

Jika cscf x x maka ' csc cotf x x x

Jika xf x e maka ' xf x e

Jika lnf x x maka 'f x x

Dengan mengingat integral adalah operasi invers dari pendiferensialan, maka

akan diperoleh rumus-rumus pengintegralan.

2

2

7 cos sin

8 sin cos

9 sec tan

10 csc cot

11 sec tan sec

12 csc cot csc

13

14 ln

x

xdx x c

xdx x c

xdx x c

xdx x c

x xdx x c

x xdx x c

e dx e c

dxx c

x

Contoh 3. Gradien pada titik ,x y dari suatu kurva y f x diketahui

memenuhi hubungan 2 3dy

xdx

dan melalui 3,5 .

Tentukan persamaan kurvanya.

Jawab:

Gradien kurva y f x adalah 2 3dy

xdx

2

2

Sehingga 2 3

12 3

2

3

y x dx

y x x c

y x x c

Melalui 23,5 5 3 3 3

5

c

c

Jadi persamaannya : 2 3 5y x x

integral 6

Jika suatu soal integral tak dapat diselesaikan dengan integral langsung,

mungkin dengan mensubstitusi variabel baru soal tersebut dapat dipecahkan.

2. Pengintegralan Dengan Substitusi

Menentukan integral fungsi yang dapat disederhanakan menjadi bentuk

n

f x d f x .

Mengacu pada rumus pengintegralan bentuk 11

, 11

n nx dx x c nn

,

maka pengintegralan 11

, 11

n nu dx u c nn

.

Contoh 1.

Tentukan 3 22x x dx

Jawab : Misalkan 3 2u x maka 2 2 13

3du x x dx du

Sehingga

3 2

1

2

1

2

93 2

12

3

1

3

1 2

3 3

22

9

x x dx u du

u du

u c

x c

Contoh 2. : 1

2 9

3

6

x dx

x x

Jawab :

2Misalkan 6 2 6

13

2

u x x du x dx

x dx du

integral 7

1 12 9 3

1

9

2

9

22 9

Sehingga :

13 2

6

1

2

1

1 2

2 3

36

4

dux dx

x x u

u du

u c

x x c

Contoh 3.

Integralkanlah 5sin 3xdx

Jawab:

25 2sin 3 sin 3 sin 3xdx x xdx

Misalkan cos3 3sin 3u x du xdx

1sin 3

3xdx du

Sehingga:

2 22 2

22

2 4

3 5

sin 3 sin 3 1 cos 3 sin 3

11

3

11 2

3

1 2 1cos3 cos 3 cos 3

3 9 15

x xdx x xdx

u du

u u du

x x x c

Latihan:

Tentukanlah:

1. 2

3 22 3x x dx 9. 3

sin

cos

xdx

x

2. 1

3 222x x dx 10. 2cos

sin

xdx

x

integral 8

3. 2

33

8

2

x dx

x 11. 3

tan

cos

xdx

x

4. 2

3 2

x dx

x 12. 2

cot

sin

xdx

x

5. 23 1 2x x dx 13.

tan 3 2

cos 3 2

x dx

x

6. 3 21 2x x dx 14. 2

sin 2

1 cos 2

xdx

x

7. 3 43 2x x dx 15. cos3

3 2sin 3

xdx

x

8. 22 3

xdx

x 16.

2

tan 1

cos

xdx

x

Tentukan pula antiderivatif dari soal-soal di bawah ini:

17. 3

4 3

xdx

x

24. 4 3cos 2 sin 2x xdx

18. 2

2

2

1

x xdx

x

25. 3 5sin 3 cos 3x xdx

19. 2

1

2 4

x dx

x x 26.

3cos3

xdx

20. 1

3

dx

a bx

27. 4sin xdx

21. 2

3

xdx

a bx

28. 4 2sin 3 cos 3x xdx

22. 5cos xdx 29. 3

21 cos3 sin3x xdx

23. 2 3sin cosx xdx 30. 3 4tan 3 sec 3x x dx

integral 9

3. Menentukan Hasil dari 2 2a x dx dengan Substitusi sinx t atau

cosy t

Bentuk-bentuk integral di atas dapat digunakan substitusi dengan

menggunakan bantuan sketsa geometri.

Contoh 1

Tentukan 24 x dx

Misalkan sin 2sin2

xt x t

2cosdx t

224cos 4 2cos

2

xt x t

2

2

Sehingga 4 2cos 2cos

2 2cos

2 1 cos 2

12 sin 2

2

x dx t tdt

tdt

t dt

t t c

Untuk mengembalikan hasil dalam t ini kembali ke variabel x digunakan

fungsi invers dari fungsi trigonometri, yang biasa kita kenal sebagai fungsi

siklometri.

1 1

1 1

1 1

Bahwa jika sin maka sin arcsin

cos maka cos arccos

tan maka tan arctan

f x x f x x x

f x x f x x x

f x x f x x x

Dengan hubungan jika siny x maka arcsinx y

integral 10

Dari persoalan di atas, dari

24 2 sin 2

2 2sin cos

x dx t t c

t t t c

sin arcsin2 2

x xt t yang berarti:

22

2

44 2arcsin 2

2 2 2

2arcsin 42 2

x x xx dx c

x xx c

Contoh 2:

Tentukan 29 4x dx

Jawab:

2 3Misalkan sin sin

3 2

3cos

2

2arcsin

3

xt x t

dx tdt

xt

229 4cos 9 4 3cos

3

xt x t

integral 11

2

2

2

2

3Sehingga 9 4 3cos cos

2

9cos

4

91 cos 2

4

9 1sin 2

4 2

9sin cos

4

9 2 2 9 4arcsin

4 3 3 3

9 2 3arcsin 9 4

4 3 2

x dx t tdt

tdt

t dt

t t c

t t t c

x x xc

x xx c

Contoh 3:

Tentukan 2 24

dx

x x

2

22

Misalkan tan 2 tan2

2sec

4sec 4 2sec

2

xt x t

dx tdt

xt x t

integral 12

2

22 2

2

2

2

1

2

2

2secSehingga

2 tan sec4

1 sec

4 tan

1sin cos

4

1sin sin

4

1sin

4

1

4sin

1

44

4

4

dx tdt

t tx x

tdt

t

t tdt

d t

t c

ct

cx

x

xc

x

Latihan:

Tentukanlah integral dari soal-soal di bawah ini:

1. 21 x dx 11. 3

2 24

dx

x

2. 225 x dx 12. 2 2 2

dx

x a x

3. 23 x dx 13. 2

52 24

x dx

x

4. 25 x dx 14. 2

32 2 2

x dx

a x

5. 29 4x dx 15.

2 29

dx

x x

6. 23 4x dx 16.

3 2 2x a x dx

integral 13

7. 25 3x dx 17. 1

2 24

dx

x x

8.

32 2

6

16 9xdx

x

18. 23 2x x dx

9. 2

22

x dx

x x 19.

25

dx

x

10. 3

2 24 24 27

dx

x x

20. 216 9

dx

x

4. Integral Parsial

Misalkan u dan v masing-masing fungsi yang diferensiabel dalam x , maka

diferensial dari y u v adalah :

d u v u dv v du

dan jika kedua ruas diintegralkan, akan diperoleh :

d uv udv vdu

uv udv vdu

Atau:

udv uv vdu

Rumus integral ini disebut rumus integral parsial dimana rumus ini biasa

digunakan apabila vdu mudah dicari dalam upaya mencari penyelesaian dari

udv yang secara langsung sulit.

Contoh 1.

Tentukan integral-integral :

a. 3x xdx

b. sin3x xdx

integral 14

Jawab:

a. Misalkan u x maka du dx

Dan 3dv x maka

1 3

2 22

3 3 3 33

v xdx x d x x c

3 3

2 2

3 3

2 2

3 5

2 2

3 5

2 2

2 2Sehingga 3 3 3

3 3

2 23 3 3

3 3

2 2 23 3

3 3 5

2 43 3

3 15

x xdx x x x dx

x x x d x

x x x c

x x x c

b. Misal u x du dx

1sin 3 sin 3 cos3

3dv xdx v xdx x c

1 1Sehingga sin 3 cos3 cos3

3 3

1 1cos3 sin 3

3 9

x xdx x x x dx

x x x c

Untuk soal-soal tertentu kadang-kadang diperlukan lebih dari sekali

memparsialkan.

Contoh 2.

Tentukanlah 2 cos 2 3x x dx

Jawab:

Misalkan 2u x maka 2du xdx dan cos 2 3dv x dx

Maka 1

cos 2 3 sin 2 32

v x dx x c

integral 15

Sehingga:

2 2

2

1 1cos 2 3 sin 2 3 sin 2 3 2

2 2

1sin 2 3 sin 2 3

2

x x dx x x x xdx

x x x x dx i

Integral sin 2 3x x dx dapat dicari dengan memparsialkan sekali lagi

1 1sin 2 3 cos 2 3 cos 2 3

2 2

1cos 2 3 cos 2 3

2

1 1cos 2 3 sin 2 3

2 4

x x dx x d x xd x

x x x dx

x x x c ii

Dari (i) dan (ii) diperoleh :

2 2

2

1 1 1cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3

2 2 4

1 1 1sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3

2 2 4

x x dx x x x x x c

x x x x x c

Pengembangan :

Khusus untuk pengintegralan parsial berulang bentuk udv yang turunan ke-k

dari u adalah 0 (nol), dan integral ke-k dari v ada, maka integral berulang di

atas dapat ditempuh cara praktis sebagaimana contoh di bawah ini.

Contoh 1

Tentukanlah 2 cos 2 3x x dx

Jawab :

integral 16

Sehingga:

2 21 1 1cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 32 2 2

x x dx x x x x x c

Contoh 2

Integralkanlah: 4 sin 2 3x x dx

Jawab:

Sehingga:

4 4 3 21 3sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3 cos 2 32 2

3 3sin 2 3 cos 2 3

2 4

x x dx x x x x x x

x x x c

Pengayaan :

Pengintegralan fungsi-fungsi trigonometri, kecuali dengan substitusi dapat

juga digunakan rumus-rumus reduksi di bawah ini:

1. 1

2sin cos 1sin sinn

n nu u nudu udun n

2. 1

2cos sin 1cos cosn

n nu u nudu udun n

3.

1 12

1 12

sin cos 1sin cos sin cos ,

sin cos 1sin cos ,

n mn m n m

n mn n

u u mu du u udu n m

m n n m

u u nu udu n m

m n n m

integral 17

Bukti:

1

1

1 1

1 2

1 2 2

1 2

1 2

1. sin sin sin

sin cos

sin cos cos sin

sin cos 1 cos sin cos

sin cos 1 cos sin

sin cos 1 1 sin sin

sin cos 1 sin 1

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

udu u udu

ud u

u u ud u

u u n u u udu

u u n u udu

u u n u udu

u u n udu n

1 2

sin

sin sin cos 1 sin

n

n n n

udu

n udu u u n udu

Jadi 1

2sin cos 1sin sinn

n nu u nudu uduu n

Contoh 1:

Tentukanlah 3sin 5 2x dx

Jawab:

3 3

2

1sin 5 2 sin 5 2 5 2

5

sin 5 2 cos 5 21 2sin 5 2 5 2

5 3 3

1 2sin 5 2 cos 5 2 cos 5 2

15 15

x dx x d x

x xx d x

x x x

integral 18

Contoh 2:

Tentukanlah 4cos 2 3x dx

Jawab:

4 4

3

2

3

3

1cos 2 3 cos 2 3 2 3

2

cos 2 3 sin 2 31 3cos 2 3 2 3

2 4 4

cos 2 3 sin 2 31 3 1cos 2 3 sin 2 3 2 3

8 8 2 2

1 3 3cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3 2 3

8 16 16

x dx x d x

x xx d x

x xx x d x

x x x x x c

5. Pengintegralan du

u

Dari 1

ln 'f x x f xx

maka lndx

x cx

Yang berarti lndu

u cu

Contoh 1:

Tentukanlah 2

2 21 x xe e dx

Jawab: misalkan 21 xu e maka 2 2 12

2

x xdu e dx e dx du

2x 2 2 2

3

2

1 1Sehingga 1-2

2 2

1 1

2 3

11

6

x

x

e dx u du u du

u c

e c

Contoh 2:

Tentukanlah 3 cossin xxe dx

Jawab :

Misalkan 3 cos sinu x du xdx

integral 19

3 cos

3 cos

Sehingga sin x u

u

x

xe dx e du

e c

e c

Contoh 3:

Integralkanlah 5 ln

dx

x x

Jawab:

Misalkan 5 lndx

u x dux

Sehingga 5 ln

ln

ln 5 ln

dx du

x x u

u c

x c

Contoh 4:

Integralkanlah log 2 3x dx

Jawab:

Misalkan ln 2 3 2

log 2 3ln10 2 3 ln10

x dxu x du

x

1 12 3 2 3

2 2du dx d x u x c

Sehingga,

1 1 2log 2 3 2 3 log 2 3 2 3

2 2 2 3 ln10

1 12 3 log 2 3

2 ln10

12 3 log 2 3

2 ln10

dxx dx x x x

x

x x dx

xx x c

integral 20

Contoh 5:

Integralkanlah sinxe xdx

Jawab:

sin cos

cos cos

cos cos

cos sin

cos sin sin

cos sin sin

2 sin cos sin

x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

x x x

e xdx ex d x

e x xd e

e x e xdx

e x e d x

e x e x xd e

e x e x e xdx

e xdx e x e x c

Jadi 1

sin sin cos2

x xe xdx e x x c

B. Integral tertentu

1. Pengertian Integral Tertentu (Integral Riemann)

Gambar di samping

memperlihatkan daerah L

yang dibatasi oleh

y f x , sumbu x dari

x a sampai dengan x b

. Untuk mencari luas

daerah L ditempuh langkah-

langkah sebagai berikut.

Langkah pertama, interval ,a b dibagi menjadi n interval dengan panjang

masing-masing interval bagian 1 2 3, , , , nx x x x . Sedang pada masing-

masing interval ditentukan titik-titik 1 2 3, , , , nx x x x . Selanjutnya dibuat

persegipanjang-persegipanjang dengan panjang masing-masing

integral 21

1 2 3, , , , nf x f x f x f x dan lebar masing-masing

1 2 3, , , , nx x x x sehingga :

1 1

2 2

3 3

+

1 1 2 2 3 3

Luas persegipanjang pertama

Luas persegipanjang kedua

Luas persegipanjang ketiga

Luas persegipanjang ke-

Jumlah luas seluruh persegipanjang

n n

f x x

f x x

f x x

n f x x

f x x f x x f x x

1

n n

n

i i

i

f x x

f x x

Dan untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah

pada interval ,a b , notasi sigma di atas sering kita tulis dengan notasi.

Jumlah semua luas persegipanjang b

x a

f x x .

Jika n dibuat cukup besar maka jumlah luas di atas mendekati luas daerah L.

Sehingga luas daeah L adalah nilai limit jumlah di atas.

0lim

b

xx a

L f x x

Notasi tersebut di atas biasa ditulis dengan notasi integral tertentu atau

integral Riemann :

b

aL f x dx

Contoh 8

Tunjukkan dengan jalan mengarsir daerah yang ditunjukkan oleh

3

12 1x dx

integral 22

Jawab: Persamaan kurva 2 1y x

Integral di atas menyajikan daerah yang

dibatasi oleh kurva 2 1y x , sumbu x,

dengan garis-garis 1 dan 2x x , seperti

daerah yang diarsir di samping.

2. Menentukan nilai b

af x dx

Untuk menentukan nilai b

af x dx

dicari sebagai berikut :

Andaikan akan dicari luas daerah yang

dibatasi oleh y f x , sumbu x dari x a

sampai dengan x b . Misalkan luas daerah

yang dicari adalah L b , maka

, dan

0

b

a

c

a

c h

a

a

a

L b f x dx

L c f x dx

L c h f x dx

L a f x dx

Luas PQRU < luas PQSU < luas PQST

, 0

f c h L c h L c f c h h

L c h L cf c f c h h

h

Jika 0h maka

0 0 0lim lim lim

' '

h h h

L c h L cf c f c h

h

f c L c f c L c f c

Oleh karena hasil tersebut berlaku untuk setiap c pada interval [a,b] maka

integral 23

setiap ,x a b berlaku:

' sehinggaL x f x

L x f x dx

Jika F x adalah anti turunan dari f x maka

L x F x c ................................................ (1)

Dari 0L a , berarti 0, sehingga F a c c F a

1

b b

aa

L b F b c F b F a

f x dx F x F b F a

Contoh 9

Tentukan nilai integral dari 3

12 3x dx

Jawab:

3 32

11

2 2

2 3 3

3 3 3 1 3 1 18 4

14

x dx x x

integral 24

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f x , sumbu x

dan garis x a dan garis x b .

Untuk daerah di atas sumbu x atau pada

interval , 0a x b f x untuk setiap x,

sehingga 0b

x a

f x x yang berarti

b

af x dx adalah positif.

Sedang daerah yang berada di bawah sumbu x atau b x c , maka 0f x

untuk setiap x.

Sehingga 0c

x b

f x x yang berarti

c

bf x dx adalah negatif. Sehingga

nilai integral c

bf x dx untuk daerah di bawah sumbu x bernilai negatif.

Contoh 10

a. Hitung 5

13x dx

b. Hitung luas daerah yang disajikan oleh integral di atas.

Jawab:

55

2

11

2 2

13 3

2

1 1 1 15 3 5 1 3 1 12 15 3

2 2 2 2

1 12 2 0

2 2

x dx x x

integral 25

Karena ada daerah yang terletak di bawah sumbu x, maka nilai integral

tertentunya negatif, sehingga luas daerah yang diarsir L I II , atau

3 5

1 3

3 5

2 2

1 3

2 2 2 2

3 3

1 13 3

2 2

1 1 1 13 3 3 1 3 1 5 3 5 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 14 9 3 12 15 4 9

2 2 2 2

14

2

L x dx x dx

x x x x

1 1 12 2 4

2 2 2

2 2

2 2 4

Jadi luas daerahnya = 4 satuan luas.

3. Menentukan Volume Benda Putar

Perhatikan gambar di bawah ini :

Untuk menentukan volume benda putar yang dibentuk oleh y f x yang

diputar mengelilingi sumbu-X pada interval [a,b] kita bagi-bagi benda tersebut

menjadi keratan-keratan, di mana setiap

keratan mempunyai volume :

2

i i iv f x x

integral 26

Sehingga volume keseluruhan :

2 2 atau b b

a av f x dx v y dx

4. Panjang Busur ( Materi Pengayaan)

Aplikasi lebih lanjut dari integral tertentu adalah untuk menghitung panjang

busur dari suatu garis lengkung dari kurva y f x .

Misalkan gambar di atas memperlihatkan kurva y f x , dan titik-titik A

dan B pada kurva y f x . Jika kurva y f x dan turunan-turunan

kontinu dalam interval [a,b], maka panjang busur AB dapat ditentukan sebagai

berikut :

Misalkan titik-titik ,P x y dan titik ,Q x x y y terletak pada kurva

y f x . Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema

Pythagoras :

2 2s x y

Panjang busur AB dapat dinyatakan sebagai limit jumlah segmen-segmen s

yaitu :

0

2 2

0

2

0

lim

lim

lim 1

s

s

s

s s

x y

yx

x

integral 27

Hubungan di atas jika disjikan dalam notasi Riemann, akan menjadi :

2

1b b

a a

dys ds dy

dx

Contoh 1.

Tentukan panjang garis dengan persamaan y = x + 1 dari x = 1 sampai dengan

x = 5 !

Jawab:

Dari 1y x maka 1dy

dx. Panjang

busur AB:

25

1

52

1

5

1

5

1

1

1 1

2

2 5 2 1 2

4 2

dys dx

dx

dx

dx

x

Jadi panjang ruas 4 2AB satuan panjang.

Catatan : Kebenaran jawab ini dapat anda cek dengan menggunakan rumus

jarak dua titik A(1,2) dan B(5,6).

Untuk kurva-kurva yang disajikan dalam bentuk parameter x x t dan

y y t maka panjang busur AB dapat ditentukan dengan rumus :

2

1

2 2t

t

dx dys dt

dt dt

integral 28

Rumus ini diturunkan dari rumus

2

1b

a

dys dx

dx dengan menggunakan

substitusi:

dydy dy dt dt

dxdx dt dtdt

Contoh 2:

Tunjukkan bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah 2 r

Bukti :

Persamaan lingkaran di samping ini, jika disajikan

dalam persamaan parameter :

cosx r t

siny r t

Dari cos sindy

x r t r tdt

sin cosdx

y r t r tdt

. Sehingga keliling lingkarannya, digunakan rumus

untuk lingkaran di atas:

2

1

2 2

2 22 2 2 2 2

0 0

2 2

00

,

sin cos sin cos

2 0 2

t

t

dy dxs dt

dt dt

s t r t dt r t t dt

r dt r t r r

Dengan demikian terbukti bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah

2 r satuan panjang.

integral 29

Pilihlah jawaban dengan benar:

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva: 0x , 21x y , 1y , 3y

adalah:

a. 11

b. 40

3

c. 12

d. 32

3

e. 10

2. Hitunglah nilai dari

4

2

0

sin x dx

a. 1

8 2

b. 1

4 2

c. 1

8 4

d. 1

8 2

e. 1

4 4

3. Suatu objek bergerak sepanjang sumbu x dengan kecepatan gaya sebesar

2

1( )

1F x

x. Berapakah besar kerja yang dilakukan objek tersebut jika

bergerak dari 0x hingga 1x ?

a.

b. 16

c. ln 2

d. 4

e. ln8 ln 2

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2x y dan 2x y adalah

a. 5

b. 3

2

c. 9

2

d.

e. 2

integral 30

5. Daerah yang dibatasi oleh kurva 0x , 1x y , 0y , 2y diputar

mengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terbentuk adalah

a. 26

3

b. 80

3

c. 22

3

d. 32

3

e. 62

3

6. Dengan menggunakan substitusi trigonometri, nilai dari integral 29

dx

x

adalah

a. sec d

b. 3sec

d

c. sec

d

d. 3tan d

e. tan

d

7. Nilai dari 1

0

2 xx e dx adalah

a. 1 2e

b. 1

c. 3 2e

d. 2e

e. 3

8. Nilai dari 3cos x dx adalah

a. 4sin

4

xC

b. 2 4sin sin

2 4

x xC

c. 4cos

4

xC

d. 3sin

sin3

xx C

e. 4cos

4

xC

integral 31

9. Hitunglah nilai dari 4

2

0

9 x x dx .

a. 147

2

b. 98

3

c. 6

d. 392

3

e. 8

3

10. Nilai dari

1 2

2

0

xxe dx

a. 1 1

2 4e

b. 21

4e

c. 21

14

e

d. 1

4

e. 3

4

11. Hitunglah nilai dari

4

2 4

0

tan secx x dx

a. 2 2

ln 12 2

b. 2 2

ln 12 2

c. 7

40

d. 4

35

e. 4

12. Carilah luas area yang dibatasi oleh kurva 23x y , 2 2x y , 2y ,

dan 3y seperti gambar di bawah ini:

integral 32

a. 8

b. 24

c. 40

d. 56

e. 64

13. Nilai dari

4

4

0

tan sec x x dx adalah

a. 2

b. 2 4

32 1024

c. 1

4

d. 3

4

e. 5

6

14. Carilah luas area antara parabola 216y x dan 2 4y x x .

a. 38

b. 72

c. 96

d. 102

e. 128

15. Hitunglah nilai dari cos

0

sin xxe dx

a. 1e e

b. 1e

c. 1 1e

d. 1

1e

e. 1

ee

integral 33

16. Carilah solusi untuk persamaan dy x

dx y dengan kondisi 3 4y .

Dengan demikian nilai dari 0y

a. 0

b. 1

c. 3

d. 5

e. 6

17. Hitunglah nilai dari 1

lne

dxx x

.

a. 0

b. 1

e

c. 1

d. e

e.

18. Hitunglah 1

1 2dx

x x.

a. 1

ln 2 ln 13

x x C

b. ln 1 ln 2x x C

c. 1

ln 1 ln 23

x x C

d. 2ln 2x x C

e. 1tan 1,5x C

19. Nilai dari

4

2

0

cos x dx adalah

a. 8

b. 1

8 2

c. 1

8 4

d. 1

8 4

e. 1

8 2

integral 34

20. Hitunglah integral 3 ln x x dx

a. 23 ln lnx x x C

b. 4 4

ln4 4

x xx C

c. 4 4lnx x x C

d. 4 4

ln4 16

x xx C

e. 2 23 lnx x x C

21. Carilah nilai integral tertentu 1

1

sinx x dx

a. 1

b. 2

c. 2

d. 2

2 2

e. 0

22. Carilah luas area yang dibatasi oleh fungsi 28f y y dan

2 5g y y .

a. 22

3

b. 32

3

c. 16

3

d. 12

e. 30

23. Carilah nilai dari integral

4

2 2

0

sin cos x x dx

a. 32

b. 0

c. 1

32 32

d. 2

32 32

e. 2

32 32

integral 35

24. Carilah nilai dari integral 1

0

xxe dx

a. e

b. 2

e

c. 0

d. 1e

e. 1

25. Carilah nilai dari integral 8

3

3

1

xdx

x

a. 32

b. 3 8 3 3

c. 7

d. 62

e. 12

26. Hitunglah luas area yang dibatasi oleh kurva 2 2y x dan 3y x dengan

batasan 0x hingga 2x .

a. 1

b. 0

c. 2

3

d. 1

3

e. 1

6

27. Hitunglah integral 2

1

3 4dx

x x

a. 22 3 4x x C

b. 1 2sin 3 4x x C

c. 1tan 2x C

d. 1sin 2x C

e. 1tan 1x C

28. Jika y adalah penyelesaian dari 5

2

2'

xy

y, 1 1y , maka nilai y untuk

2x adalah

a. 4

b. 0

c. 1

d. 2

e. 3

integral 36

29. Jika 0b dan 2

0 0

b b

x dx x dx , maka area yang diarsir pada gambar di

bawah ini adalah

a. 1

12

b. 1

6

c. 1

4

d. 1

3

e. 3

2

30. Carilah nilai dari integral 1

2

01

xdx

x.

a. 1

b. 4

c. 12

tan2

d. log 2

e. log 2