katedra za matematiku, fsb...matematika 1 logaritamske i eksponencijalne funkcije katedra za...
TRANSCRIPT
Matematika 1Logaritamske i eksponencijalne funkcije
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2015.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 1 / 47
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranja
Svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 2 / 47
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije
Izvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 2 / 47
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcija
Logaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 2 / 47
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranje
Eksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 2 / 47
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeli
Razvoj exp-log funkcija u red potencija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 2 / 47
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 2 / 47
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcijaEksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanjeDeriviranje i integriranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcijaGeometrijsko znacenje od lnxLogaritamske derivacijeBrzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcijeEksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomiPrimjena racuna eksponencijalnih i logaritamskih funkcijaEksponencijalni rast i pad
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 3 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Primjer 1.
Koliko je 23, 2−3, 21/3, 22/3, 2−2/3?
Rjesenje.
23 = 2 ·2 ·2 = 8 2−3 =123 =
18
21/3 =3√
2≈ 1.26 22/3 = (3√
2)2 ≈ 1.262 = 1.59
2−2/3 =1
22/3 ≈1
1.59≈ 0.63
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 4 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Primjer 1.
Koliko je 23, 2−3, 21/3, 22/3, 2−2/3?
Rjesenje.
23 = 2 ·2 ·2 = 8 2−3 =123 =
18
21/3 =3√
2≈ 1.26 22/3 = (3√
2)2 ≈ 1.262 = 1.59
2−2/3 =1
22/3 ≈1
1.59≈ 0.63
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 4 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Primjer 2.Masa bakterija se udvostrucuje svakog sata. Za koliko se puta uvecanakon(a) 3h (b) 15min (c) 3.5h (d) xh?
Rjesenje.
(a) Za 3h udvostruci se: 23 = 2 ·2 ·2 = 8 puta.(b) Za 15min = 1/4h udvostruci se: 21/4 ≈ 1.19 puta.(c) Za 3.5h udvostruci se: 23.5 =
√128 puta.
(d) Za xh udvostruci se: 2x puta.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 5 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Primjer 2.Masa bakterija se udvostrucuje svakog sata. Za koliko se puta uvecanakon(a) 3h (b) 15min (c) 3.5h (d) xh?
Rjesenje.
(a) Za 3h udvostruci se: 23 = 2 ·2 ·2 = 8 puta.(b) Za 15min = 1/4h udvostruci se: 21/4 ≈ 1.19 puta.(c) Za 3.5h udvostruci se: 23.5 =
√128 puta.
(d) Za xh udvostruci se: 2x puta.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 5 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Eksponencijalna funkcija
Za svaki b > 0, b 6= 1x 7→ bx ,
je definirana za sve x i ima sljedeca svostva:Za sve x , bx > 0; b0 = 1, b1 = bZa b > 1 funkcija bx raste; za 0 < b < 1 funkcija bx pada.
y
x
b > 10 < b < 1
1
Ako je b > c > 0 =⇒bx > cx , za x > 0
bx < cx , zax < 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 6 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Eksponencijalna funkcija
Ako je b > c > 1 =⇒bx > cx , za x > 0
bx < cx , za x < 0
y
x
bx
cx
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 7 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Eksponencijalna funkcija
Ako je 0 < b < c < 1 =⇒bx < cx , za x > 0
bx > cx , za x < 0
y
x
bx
cx
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 8 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 1.Skicirajte funkcije:(a) y = 3x (b) y = 5x (c) y =
(13
)x(c) y =
(15
)x
Rjesenje.y
x
5x
3x
(1
5
)x
(1
3
)x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 9 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 1.Skicirajte funkcije:(a) y = 3x (b) y = 5x (c) y =
(13
)x(c) y =
(15
)x
Rjesenje.y
x
5x
3x
(1
5
)x
(1
3
)x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 9 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zakoni eksponenciranja
1 bxby = bx+y
2 (bx )y = bxy
3 (bc)x = bxcx
4 b0 = 1, b1 = b
Primjer 3.
Sto je vece: 27 ili 9√
3?
Rjesenje.
9√
3 = 3√
12 > 27 = 3√
9.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 10 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zakoni eksponenciranja
1 bxby = bx+y
2 (bx )y = bxy
3 (bc)x = bxcx
4 b0 = 1, b1 = b
Primjer 3.
Sto je vece: 27 ili 9√
3?
Rjesenje.
9√
3 = 3√
12 > 27 = 3√
9.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 10 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zakoni eksponenciranja
1 bxby = bx+y
2 (bx )y = bxy
3 (bc)x = bxcx
4 b0 = 1, b1 = b
Primjer 3.
Sto je vece: 27 ili 9√
3?
Rjesenje.
9√
3 = 3√
12 > 27 = 3√
9.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 10 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 2.Usporedite sljedece brojeve:
1 64√
2 i 164
23√
814 i 5√
912
3 86 i (√
7)18
4181
i1
27√
3
5 25−2√
3 i1
125√
2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 11 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Vazno je uociti:bx 6= xb
Primjer 4.
Skicirajte grafove od: x2, x12 , 2x ,
(12
)x
.
Rjesenje.
y = x12
y = x22x
(1
2
)x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 12 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Vazno je uociti:bx 6= xb
Primjer 4.
Skicirajte grafove od: x2, x12 , 2x ,
(12
)x
.
Rjesenje.
y = x12
y = x22x
(1
2
)x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 12 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Vazno je uociti:bx 6= xb
Primjer 4.
Skicirajte grafove od: x2, x12 , 2x ,
(12
)x
.
Rjesenje.
y = x12
y = x22x
(1
2
)x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 12 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 3.Spari funkcije:
(1) y = x√
2 (2) y = (√
2)x (3) y =(
1√2
)x(4) y = x
1√2
s odgovarajucim grafovima.
Slika 4.
Slika 2.
Slika 3.
Slika 1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 13 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Logaritamska funkcija
Za svaki b > 0, b 6= 1x 7→ logb x ,
je definirana za sve x > 0 sa:
y = logb x ⇐⇒ x = by
b > 10 < b < 1
1
y = bx y = logb x
b > 1
0 < b < 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 14 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Primjer 5.Rijesite sljedece jednadzbe:a) log2 8 = x , b) logx 64 = 3 c) log7 x = 0
Rjesenje.a) x = 3, b) x = 4 c) x = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 15 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Primjer 5.Rijesite sljedece jednadzbe:a) log2 8 = x , b) logx 64 = 3 c) log7 x = 0
Rjesenje.a) x = 3, b) x = 4 c) x = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 15 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Logaritamska funkcija
1 logb 1 = 0, logb b = 12 Za b > 1 funkcija logb x raste; za 0 < b < 1 funkcija logb x pada.
y = logb xb > 1
0 < b < 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 16 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Logaritamska funkcija
Ako je b > c > 1 =⇒logb x > logc x , za 0 < x < 1
logb x < logc x , za x > 1
y = logb x
y = logc x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 17 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Logaritamska funkcija
Ako je 1 > b > c > 0 =⇒logb x > logc x , za 0 < x < 1
logb x < logc x , za x > 1
y = logc x
y = logb x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 18 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Logaritamska funkcija
Ako je b > 1 > c > 0 =⇒logb x < logc x , za 0 < x < 1
logb x > logc x , za x > 1
y = logc x
y = logb x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 19 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 4.Skiciraj: a) y = log3 x , b) y = log5 x c) y = log 1
3x d) y = log 1
5x
Rjesenje.
y = log5 x
y = log 15x
y = log3 x
y = log 13x
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 20 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 6.Spari funkcije:a) y = 2x , b) y = x2 c) y = log2 x d) y = log 1
2x
e) y =√
x , f ) y =(1
2
)x
s grafovima:
Slika 5. Slika 6.
Slika 2.
Slika 4.
Slika 1. Slika 3.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 21 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zakoni logaritmiranja
1 logb(xy) = logb x + logb y2 logb (xy ) = y logb x3 logb x = (logb c)(logc x)
4 logb 1 = 0, logb b = 15 Oznaka: lnx = loge x , logx = log10 x
Primjer 6.
Izracunajte: log√
1000100.9
Rjesenje.
log√
1000100.9 = log(103/2)− log100.9 = 3
2 −0.9 = 0.6.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 22 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zakoni logaritmiranja
1 logb(xy) = logb x + logb y2 logb (xy ) = y logb x3 logb x = (logb c)(logc x)
4 logb 1 = 0, logb b = 15 Oznaka: lnx = loge x , logx = log10 x
Primjer 6.
Izracunajte: log√
1000100.9
Rjesenje.
log√
1000100.9 = log(103/2)− log100.9 = 3
2 −0.9 = 0.6.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 22 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zakoni logaritmiranja
1 logb(xy) = logb x + logb y2 logb (xy ) = y logb x3 logb x = (logb c)(logc x)
4 logb 1 = 0, logb b = 15 Oznaka: lnx = loge x , logx = log10 x
Primjer 6.
Izracunajte: log√
1000100.9
Rjesenje.
log√
1000100.9 = log(103/2)− log100.9 = 3
2 −0.9 = 0.6.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 22 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 7.Odredite faktor proporcionalnosti izmedu:
a) log10 x i log2 x
b) log21 x i log7 x
Rjesenje.
a)log10 xlog2 x
= log10 2
b)log21 xlog7 x
= log21 7
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 23 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje
Zadatak 7.Odredite faktor proporcionalnosti izmedu:
a) log10 x i log2 x
b) log21 x i log7 x
Rjesenje.
a)log10 xlog2 x
= log10 2
b)log21 xlog7 x
= log21 7
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 23 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Deriviranje i integriranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Derivacija logaritamske funkcije
y = logb x =⇒∆y∆x
=logb(x + ∆x)− logb x
∆x
=1
∆xlogb
(x + ∆x
x
)
= logb
(1 +
∆xx
) 1∆x
=1x
logb
(1 +
∆xx
) x∆x
Vrijedilimh→0
(1 + h)1h = e ≈ 2.71828⇒
dydx
= lim∆x→0
∆y∆x
=1x
logb e =1
x lnb
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 24 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Deriviranje i integriranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Deriviracija logaritamske funkcije
Specijalno:d(lnx)
dx=
1x.
Takoder zakljucujemo: ∫ 1x
dx = lnx + C, x > 0
∫ 1x
dx = ln(−x) + C, x < 0
tj. ∫ 1x
dx = ln |x |+ C, x 6= 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 25 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Deriviranje i integriranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Zadatak 8.Odredite derivacije:
a) y = log5 x b) y = 4log5(2x)
c) y = ln(2x2−x) d) y = cos(ln(x2))
Rjesenje.
a) y ′ = 1x ln5 b) y ′ = 4
(ln5)x
c) y ′ = 4x−12x2−x d) y ′ = −2sin(ln(x2))
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 26 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Deriviranje i integriranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Zadatak 8.Odredite derivacije:
a) y = log5 x b) y = 4log5(2x)
c) y = ln(2x2−x) d) y = cos(ln(x2))
Rjesenje.
a) y ′ = 1x ln5 b) y ′ = 4
(ln5)x
c) y ′ = 4x−12x2−x d) y ′ = −2sin(ln(x2))
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 26 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Geometrijsko znacenje od lnx
x∫1
1t
dt = lnx
y
x
y = 1x
1 x
ln x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 27 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Zadatak 9.Izracunajte integrale:
1
∫ 12x + 1
dx
2
1∫0
12x + 1
dx
3
2∫1
3x3 + 2x2 + 1x
dx
Rjesenje.1 1
2 ln |2x + 1|+ C2 1
2 ln33 10 + ln2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 28 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Zadatak 9.Izracunajte integrale:
1
∫ 12x + 1
dx
2
1∫0
12x + 1
dx
3
2∫1
3x3 + 2x2 + 1x
dx
Rjesenje.1 1
2 ln |2x + 1|+ C2 1
2 ln33 10 + ln2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 28 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Primjer 7.Izracunajte:
d(ex )
dx,
d(bx )
dx,∫
exdx ,∫
bxdx
Rjesenje.
Oznacimo y = bx ⇒ x = lnylnb . Po teoremu o inverznoj funkciji:
dydx
=1dxdy
=11
y lnb
= y lnb = bx lnb⇒
d(bx )
dx= bx lnb,
d(ex )
dx= ex
∫exdx = ex + C,
∫bxdx =
bx
lnb+ C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 29 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Primjer 7.Izracunajte:
d(ex )
dx,
d(bx )
dx,∫
exdx ,∫
bxdx
Rjesenje.
Oznacimo y = bx ⇒ x = lnylnb . Po teoremu o inverznoj funkciji:
dydx
=1dxdy
=11
y lnb
= y lnb = bx lnb⇒
d(bx )
dx= bx lnb,
d(ex )
dx= ex
∫exdx = ex + C,
∫bxdx =
bx
lnb+ C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 29 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Zadatak 10.Izracunaj derivacije
1 y = 2x + x2
2 y = e3x + ex2−x
3 y = 2esinx
4 y = 2√
x + 3x2+x
Rjesenje.
1 y ′ = 2x ln2 + 2x2 y ′ = 3e3x + (2x−1)ex2−x
3 y ′ = 2esinx cosx4 y ′ = 2
√x ln2
2√
x + ln3(2x + 1)3x2+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 30 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Zadatak 10.Izracunaj derivacije
1 y = 2x + x2
2 y = e3x + ex2−x
3 y = 2esinx
4 y = 2√
x + 3x2+x
Rjesenje.
1 y ′ = 2x ln2 + 2x2 y ′ = 3e3x + (2x−1)ex2−x
3 y ′ = 2esinx cosx4 y ′ = 2
√x ln2
2√
x + ln3(2x + 1)3x2+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 30 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Zadatak 11.Izracunaj integrale
1∫
ekxdx
21∫0
e2x+1
31∫0
(2x
3x + 2x3x)
Rjesenje.
1 ekx
k + C
2 e3−e2
3 13(ln3−ln2) + 5
ln6
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 31 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx
Zadatak 11.Izracunaj integrale
1∫
ekxdx
21∫0
e2x+1
31∫0
(2x
3x + 2x3x)
Rjesenje.
1 ekx
k + C
2 e3−e2
3 13(ln3−ln2) + 5
ln6
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 31 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Logaritamske derivacije
Zadatak 12.Odredite derivaciju funkcije
y =(2x + 3)3/2√
x2 + 1
Rjesenje.
lny =32
ln(2x + 3)− 12
ln(x2 + 1)
y ′
y=
32
22x + 3
− 12
2xx2 + 1
y ′ =(2x + 3)3/2√
x2 + 1
(3
2x + 3− x
x2 + 1
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 32 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Logaritamske derivacije
Zadatak 12.Odredite derivaciju funkcije
y =(2x + 3)3/2√
x2 + 1
Rjesenje.
lny =32
ln(2x + 3)− 12
ln(x2 + 1)
y ′
y=
32
22x + 3
− 12
2xx2 + 1
y ′ =(2x + 3)3/2√
x2 + 1
(3
2x + 3− x
x2 + 1
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 32 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Logaritamske derivacije
Zadatak 13.Odredite derivacije funkcija
1 y = xsinx
2 y = xsinx + cosx
Rjesenje.
1 lny = sinx lnx ⇒ y ′y = cosx lnx + sinx
x
⇒ y ′ = xsinx(
cosx lnx + sinxx
)
2 y ′ =(xsinx)′+ (cosx)′ = xsinx
(cosx lnx + sinx
x
)−sinx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 33 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Logaritamske derivacije
Zadatak 13.Odredite derivacije funkcija
1 y = xsinx
2 y = xsinx + cosx
Rjesenje.
1 lny = sinx lnx ⇒ y ′y = cosx lnx + sinx
x
⇒ y ′ = xsinx(
cosx lnx + sinxx
)
2 y ′ =(xsinx)′+ (cosx)′ = xsinx
(cosx lnx + sinx
x
)−sinx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 33 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Brzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcije
Brzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcije
Eksponencijalna funkcija raste brze od bilo koje potencije:
limx→∞
ex
xn = ∞; limx→∞
xn
ex = 0,
za svaki n ∈ N. Logaritamska funkcija raste sporije od svake potencije:
limx→∞
lnxxa = 0; lim
x→∞
xa
lnx= ∞,
za svaki a > 0.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 34 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Brzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcije
Zadatak 14.Skicirajte grafove funkcija:
1 y = x2e−x
2 y =lnxx
3 y = x lnx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 35 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Brzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcije
Rjesenje.y
x0 2
y = x2e−x
y
x
y = lnxx
e
y
x1/e
1
y = x ln x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 36 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomi
Eksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomi
ex = 1 + x +x2!
2+
x3!
3+
x4!
4+ · · ·
Ako se kod izracuna vrijednosti eksponencijalne funkcije ogranicimona konacno mnog clanova reda, onda je greska manja od prvogneupotrebljenog clana.
Primjer 8.
Izracunajte e−1 na 3 decimale.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 37 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomi
Rjesenje.
e−1 = 1− 11!
+12!− 1
3!+
14!− 1
5!+
16!· · ·
≈ 0.367
Greska aproksimacije je manja od17!
<1
5000= 0.0002.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 38 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomi
Logaritamske funkcije kao beskonacni polinomi
ln(1−x) =−(
x +x2
2+
x3
3+
x4
4+
x5
5+ · · ·
)
za sve |x |< 1.
Napomena.Uvjet |x |< 1 nije ogranicenje za racunanje logaritama. Npr.
ln10 =− ln1
10=− ln
(1− 9
10
)=
910
+( 9
10)2
2+ · · ·
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 39 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Primjena racuna eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Primjena racuna eksponencijalnih i logaritamskihfunkcija
Primjer 1.Iznos od G kuna ulozimo uz 100p% kamata (npr. za 5% je p = 0.05).Na koliko naraste ulog nakon
1 1, 2, 3, n godina?2 n godina, ako se kamate upisuju 2 odnosno m puta godisnje?3 n godina, ako se kamate upisuju kontinuirano?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 40 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Primjena racuna eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Rjesenje.1 G1 = G + pG = (1 + p)G
G2 = G1 + pG1 = (1 + p)G + p(1 + p)G = (1 + p)2GG3 = G2 + pG2 = (1 + p)3G
Gn = (1 + p)nG
2 G2,n = (1 + p2 )2nG
Gm,n =(
1 +pm
)mnG
3 G∞,n = limm→∞
Gm,n = limm→∞
(1 +
pm
)mnG = enpG
G∞,n = enpG
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 41 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Primjena racuna eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Pravilo 70
Ako se glavnica neprekidno ukamacuje uz kamatu k% i ako seglavnica udvostruci za t godina, onda je kt ≈ 70.
Iz 2G = ekt
100 G slijedikt
100= ln2≈ 0.7
tj. k · t ≈ 70.
Primjer 7.Ako je kamata 7% za koliko ce se ulog udvostruciti?
Rjesenje.
t ≈ 70k = 10 godina.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 42 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Primjena racuna eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Pravilo 70
Ako se glavnica neprekidno ukamacuje uz kamatu k% i ako seglavnica udvostruci za t godina, onda je kt ≈ 70.
Iz 2G = ekt
100 G slijedikt
100= ln2≈ 0.7
tj. k · t ≈ 70.
Primjer 7.Ako je kamata 7% za koliko ce se ulog udvostruciti?
Rjesenje.
t ≈ 70k = 10 godina.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 42 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Eksponencijalni rast i pad
Ako je brzina rasta velicine Q(t) proporcionalna toj velicini tj.
Q′(t) = kQ(t)
(Q raste za k > 0, pada za k < 0) onda je
Q(t) = Q(t0)ek(t−t0)
ili za t0 = 0Q(t) = Q(0)ekt .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 43 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Eksponencijalni rast i pad-Dokaz.
Q′(t)Q(t)
= k =⇒ (ln(Q(t)))′ = k ⇒
ln(Q(t))− ln(Q(t0)) = k(t− t0)⇒
ln(
Q(t)Q(t0)
)= k(t− t0)⇒
Q(t) = Q(t0)ek(t−t0)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 44 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Zadatak 15.Radioaktivna tvar se raspada brzinom koja je proporcionalna kolicinitvari u danom trenutku. Koliko je vremena potrebno da se raspadnepola pocetne tvari?
Rjesenje.R(t)−kolicina tvari nakon t vremena.
R(t) = R0ekt , k < 0
Vrijeme poluraspada:
12
R0 = R0ekt ⇒
ekt =12⇒
t =ln2−k
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 45 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Zadatak 15.Radioaktivna tvar se raspada brzinom koja je proporcionalna kolicinitvari u danom trenutku. Koliko je vremena potrebno da se raspadnepola pocetne tvari?
Rjesenje.R(t)−kolicina tvari nakon t vremena.
R(t) = R0ekt , k < 0
Vrijeme poluraspada:
12
R0 = R0ekt ⇒
ekt =12⇒
t =ln2−k
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 45 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Zadatak 16.Vrijeme poluraspada radioaktivne tvari je 1000 godina. Ako je napocetku bilo 1000 grama tvari koliko ce se grama tvari raspasti nakon100 godina?
Rjesenje.R(t)−kolicina tvari nakon t vremena.
R(t) = R0ekt , k < 0
Vrijeme poluraspada:
12
R0 = R0e1000k ⇒ k =ln2−1000
⇒
R(t) = R02−t
1000 ⇒ R(100)≈ 0.93R0
Dakle raspalo se R0−0.93R0 = 0.07R0 = 70 grama tvari.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 46 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Zadatak 16.Vrijeme poluraspada radioaktivne tvari je 1000 godina. Ako je napocetku bilo 1000 grama tvari koliko ce se grama tvari raspasti nakon100 godina?
Rjesenje.R(t)−kolicina tvari nakon t vremena.
R(t) = R0ekt , k < 0
Vrijeme poluraspada:
12
R0 = R0e1000k ⇒ k =ln2−1000
⇒
R(t) = R02−t
1000 ⇒ R(100)≈ 0.93R0
Dakle raspalo se R0−0.93R0 = 0.07R0 = 70 grama tvari.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 46 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Zadatak 17.Neka populacija bakterija se udvostruci za 10 minuta. Koliko putanaraste populacija za 1h?
Rjesenje.Q(t)−kolicina tvari nakon t vremena.
Q(t) = Q0ekt , k > 0
2Q0 = Q0e10k ⇒ k =ln210⇒
Q(t) = Q02t
10 ⇒Q(60) = 64Q0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 47 / 47
Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad
Zadatak 17.Neka populacija bakterija se udvostruci za 10 minuta. Koliko putanaraste populacija za 1h?
Rjesenje.Q(t)−kolicina tvari nakon t vremena.
Q(t) = Q0ekt , k > 0
2Q0 = Q0e10k ⇒ k =ln210⇒
Q(t) = Q02t
10 ⇒Q(60) = 64Q0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 47 / 47