katedra za matematiku, fsb · 2 3 0 0 5 6 2 0 4 4 1 5 =43( 2)5 = 120 dakle, determinantu trokutaste...
TRANSCRIPT
Matematika 1Inverz matrice i determinanta
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2015
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 1 / 15
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pojam invertiranja-jedincna matrica kao neutralni elementOperacija nad retcima-algoritam trazenja inverza matriceDeterminante-svojstva i efektivno racunanjeRegularnost matrice
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 15
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Inverz i determininanta matriceInverzna matricaAlgoritam za trazenje inverzaDeterminanta matriceSvojstva determinante
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 3 / 15
Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica
Inverzna matrica
INVERZNA MATRICA KVADRATNE MATRICE A JE MATRICA A−1
TAKVA DA JE:AA−1 = A−1A = I
Inverzna matrica ne mora postojati, a ako postoji jedinstvena je.PRIMJENA:
Ax = b
⇒ A−1Ax = A−1b
⇒ x = A−1b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 4 / 15
Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica
Zadatak 1.
Je li matrica A =
[1/3 1/3−2/3 1/3
]inverzna matrici
[1 −12 1
]?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 5 / 15
Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica
Zadatak 2.
Zadana je matrica A =
[1 99 1
]. Je li neka od sljedecih matrica njezin
inverz?
B =
[−1 99 −1
],C = 1
80
[−1 99 −1
],D = 1
81
[−1 99 −1
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 6 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Nadite inverz matrice
A =
3 −1 1−15 6 −5
5 −2 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0
−15 6 −5 0 1 05 −2 2 0 0 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0
−15 6 −5 0 1 05 −2 2 0 0 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0
0 1 0 5 1 00 −1
313 −5
3 0 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0
0 1 0 5 1 00 −1
313 −5
3 0 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje. 3 0 1 6 1 0
0 1 0 5 1 00 0 1
3 0 13 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje.
3 0 1 6 1 00 1 0 5 1 0
0 013
0 13 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje. 1 0 0 2 0 −1
0 1 0 5 1 00 0 1 0 1 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Algoritam za trazenje inverza
Primjer.Rjesenje. 1 0 0 2 0 −1
0 1 0 5 1 00 0 1 0 1 3
Inverz matrice A je
A−1 =
2 0 −15 1 00 1 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Zadatak 3.
Nadi inverzne matrice A−1, B−1 ako je
A =
[1 23 4
], B =
1 −1 02 −2 −1−2 3 1
Provjerite dobivene rezultate!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 8 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Zadatak 4.
Nadite A−1, B−1, C−1 ako je
A =
[1 −10 −1
], B =
1 −2 70 1 −20 0 1
, C =
2 0 00 3 00 0 −5
Provjerite dobivene rezultate!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 9 / 15
Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza
Zadatak 5.
Neka je A =
1 2 11 1 02 0 −1
, B =
−1 3 20 2 −13 1 0
.Ako je A−1 =
1 −2 1−1 3 −12 −4 1
nadite matricu X tako da vrijedi
AX = B. Takoder, nadite matricu Y tako da je YA = B.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 10 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:2×2 matrice
det(
a bc d
)=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣= a ·d −b ·c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣=a(−1)1+1∣∣∣∣ e f
h i
∣∣∣∣+b(−1)1+2∣∣∣∣ d f
g i
∣∣∣∣+c(−1)1+3∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣= a∣∣∣∣ e f
h i
∣∣∣∣−b∣∣∣∣ d f
g i
∣∣∣∣+c∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣=b(−1)1+2∣∣∣∣ d f
g i
∣∣∣∣+e(−1)2+2∣∣∣∣ a c
g i
∣∣∣∣+h(−1)3+2∣∣∣∣ a c
d f
∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣= −b∣∣∣∣ d f
g i
∣∣∣∣+e∣∣∣∣ a c
g i
∣∣∣∣−h∣∣∣∣ a c
d f
∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trecem retku∣∣∣∣∣∣∣∣
a b c de f g hi j k lm n o p
∣∣∣∣∣∣∣∣= i(−1)3+1
∣∣∣∣∣∣b c df g hn o p
∣∣∣∣∣∣+ j(−1)3+2
∣∣∣∣∣∣a c de g hm o p
∣∣∣∣∣∣+
+k(−1)3+3
∣∣∣∣∣∣a b de f hm n p
∣∣∣∣∣∣+ l(−1)3+4
∣∣∣∣∣∣a b ce f gm n o
∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Determinanta matrice
Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trecem retku∣∣∣∣∣∣∣∣
a b c de f g hi j k lm n o p
∣∣∣∣∣∣∣∣= i
∣∣∣∣∣∣b c df g hn o p
∣∣∣∣∣∣− j
∣∣∣∣∣∣a c de g hm o p
∣∣∣∣∣∣+
+k
∣∣∣∣∣∣a b de f hm n p
∣∣∣∣∣∣− l
∣∣∣∣∣∣a b ce f gm n o
∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Primjer.Izracunajte determinantu:∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣= 4
∣∣∣∣∣∣3 0 0−6 −2 04 1 5
∣∣∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3∣∣∣∣ −2 0
1 5
∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120
Dakle, determinantu trokutaste matrice racunamo tako da pomnozimoelemente na dijagonali.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 15
Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice
Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120
Dakle, determinantu trokutaste matrice racunamo tako da pomnozimoelemente na dijagonali.
Sada cemo navesti svojstva determinate koja nam olaksavaju njezinoracunanje, naprimjer svodenjem na determinantu trokutaste matrice.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 15
Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante
Svojstva determinante
1 Ako za kvadratnu matricu A vrijedi det(A) 6= 0 onda A ima inverznumatricu. Ako je det(A) = 0 onda A nema inverznu matricu
2 Mnozenjem retka (stupca) brojem i dodavanjem nekom drugomretku (stupcu) ne mjenja se vrijednost determinante
3 Zamjenom dva retka (stupca) mijenja se predznak determinante4 Determinantu mnozimo brojem c tako da samo jedan njezin redak
(ili stupac) pomnozimo brojem c5 det(AB) = detAdetB, posebno det(Ak ) = (detA)k , k ∈ N6 Determinanta koja ima dva jednaka retka ili stupca jednaka je nuli
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 13 / 15
Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante
Primjer.Izracunajte determinantu: ∣∣∣∣∣∣
1 125 −80 −250 20−9 375 12
∣∣∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 14 / 15
Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante
Rjesenje.
∣∣∣∣∣∣1 125 −80 −250 20−9 375 12
∣∣∣∣∣∣= 125
∣∣∣∣∣∣1 1 −80 −2 20−9 3 12
∣∣∣∣∣∣== 125 ·3·
∣∣∣∣∣∣1 1 −80 −2 20−3 1 4
∣∣∣∣∣∣= 125 ·3 ·4 ·
∣∣∣∣∣∣1 1 −20 −2 5−3 1 1
∣∣∣∣∣∣= 1500·
(1 ·∣∣∣∣ −2 5
1 1
∣∣∣∣−3 ·∣∣∣∣ 1 −2−2 5
∣∣∣∣)=1500 · (−7−3 ·1) =−15000
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 14 / 15