matematika 1 - unizg.hr · 2013-05-24 · matematika 1 katedra za matematiku, fsb zagreb, 2012...
TRANSCRIPT
Matematika 1
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2012
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 19
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Primjene trigonometrijskih funkcijaPrimjene pravokutnog trokuta
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 2 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjene pravokutnog trokuta
Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:
ϕ
yz
x
Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicine,npr., vremena t :
x = x(t), y = y(t), z = z(t), ϕ = ϕ(t)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 3 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjene pravokutnog trokuta
Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:
ϕ
yz
x
Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicine,npr., vremena t :
x = x(t), y = y(t), z = z(t), ϕ = ϕ(t)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 3 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjer 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60◦ u odnosu na horizonatalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2◦ u sekundi. Kolika je brzina aviona?
Rjesenje.
ϕ
x
10km
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 4 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjer 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60◦ u odnosu na horizonatalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2◦ u sekundi. Kolika je brzina aviona?
Rjesenje.
ϕ
x
10km
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 4 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje.dϕ
dt= 2◦ =
π
90[rad/s]. Trazimo
dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
.
dxdt
=ddt
(10tgϕ) =10
cos2 ϕ
dϕ
dt⇒
⇒ dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
=10
cos2(30◦)π
90=
4π
27[km/s]≈ 0.47[km/s] = 1675[km/h]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 5 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje.dϕ
dt= 2◦ =
π
90[rad/s]. Trazimo
dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
.
dxdt
=ddt
(10tgϕ) =10
cos2 ϕ
dϕ
dt⇒
⇒ dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
=10
cos2(30◦)π
90=
4π
27[km/s]≈ 0.47[km/s] = 1675[km/h]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 5 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Zadatak 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?
Rjesenje.
ϕ
kamera
automobilx
d
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 6 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Zadatak 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?
Rjesenje.
ϕ
kamera
automobilx
d
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 6 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje-nastavak.
tgϕ =xd⇒ ϕ = arctg
xd.
dxdt
= v ⇒ x = v · t ⇒ ϕ = arctg(
v · td
)⇒
Kutna brzina kamere:
dϕ
dt=
1
1+ v2
d2 t2
vd
Brzina je najveca za t = 0 i iznosidϕ
dt=
vd.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 7 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
U primjenama su cesta kruzna gibanja:
x = r cosϕ = r cos(ωt)x = r sinϕ = r sin(ωt)
v =st=
rωtt
= rω
ωT = 2π, T ν = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 8 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjer 2.Istocno od zida, na udaljenosti od 10m, nalazi se stup visok 10m.Kojom se brzinom skracuje sjena sto je stup baca na zid?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 9 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje.
ϕ
ϕ
10m
x
10m
T = 24h
ω =2π
T=
π
12[rad/h]
ϕ = ωt , x = tgϕ⇒x = 10tg
(π
12t)⇒
dxdt
=10
cos2( π
12 t)π
12=
5π
6cos2( π
12 t)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 10 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Zadatak 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?
Rjesenje.
ϕ
x
500m
Frekvencija rotacije:ν = 2[okreta/min]⇒kutna brzina rotacije:ω = 4π[rad/min]⇒ ϕ = ω · t⇒ ϕ = 4πt
x = 500tgϕ ⇒ x = 500tg(4πt)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 11 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Zadatak 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?
Rjesenje.
ϕ
x
500m
Frekvencija rotacije:ν = 2[okreta/min]⇒kutna brzina rotacije:ω = 4π[rad/min]⇒ ϕ = ω · t⇒ ϕ = 4πt
x = 500tgϕ ⇒ x = 500tg(4πt)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 11 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Zadatak 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?
Rjesenje.
ϕ
x
500m
Brzina svjetla na zidu:dxdt
=2000π
cos2(4πt)Najmanja brzina:
za t = 0 tj. x = 0,dxdt
= 2000π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 12 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjer 3.Brzina bicikla je v , polumjer kotaca je r i udaljenost macjeg oka odsredista kotaca je a. Opisite gibanje macjeg oka, nadite njegovu brzinui akceleraciju.
Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:
dxdt
,dydt
,d2xdt2 ,
d2ydt2 .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 13 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjer 3.Brzina bicikla je v , polumjer kotaca je r i udaljenost macjeg oka odsredista kotaca je a. Opisite gibanje macjeg oka, nadite njegovu brzinui akceleraciju.
Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:
dxdt
,dydt
,d2xdt2 ,
d2ydt2 .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 13 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje.y
x
(x, y)ϕ
a
s = rϕ
s = rϕ
a cosϕ
a sinϕ
r
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 14 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje-nastavak.
s = rϕ, s = vt ⇒ ϕ =vr
t
x = vt−asin(ωt)y = r −acos(ωt)
dxdt
= v −aωcos(ωt)
dydt
= aωsin(ωt)
d2xd2 = aω
2 sin(ωt)
d2ydt2 = aω
2 cos(ωt)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 15 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Primjer 4.Korito je izradeno od ravnog lima sirine 3m, tako da je lim podijeljen natri pruge sirine 1m, pa su zatim rubne pruge podignute za kut ϕ. Za kojikut ϕ je volumen korita najveci?
ϕ
1m
1m
1mh
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 16 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje.Volumen je proporcionalan povrsini:
P = (x +1)h = (cosϕ+1)sinϕ
Dakle trazimo ϕ ∈ [0,π/2] za koji je P(ϕ) = (cosϕ+1)sinϕ
maksimalno.
dPdϕ
=−sinϕ ·sinϕ+(cosϕ+1)cosϕ = 0
⇒ 2cos2ϕ+cosϕ−1 = 0
⇒ cosϕ = 12 ili cosϕ =−1⇒ (jer ϕ ∈ [0,π/2])⇒ cosϕ = 1
2 ⇒ ϕ =π
3.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 17 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Zadatak 4.Dva hodnika sirine a susrecu se pod pravim kutem. Koja je duljina dnajduze sipke koja se moze (horizonatlno) prenijeti kroz hodnik?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 18 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje.
d
a
a
π2− ϕ
ϕ
d =a
sinϕ+
asin(π
2 −ϕ)
⇒ d =a
sinϕ+
acosϕ
pri cemu je ϕ ∈ [0,π
2]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 19 / 19
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje.
d
a
a
π2− ϕ
ϕ
d ′ =−acosϕ
sin2ϕ
+asinϕ
cos2 ϕ= 0
⇒cos3ϕ = sin3
ϕ
⇒cosϕ = sinϕ⇒ ϕ =π
4.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 19 / 19