kapitel 1 die natürlichen und die ganze zahlen. kapitel 1: die natürlichen und die ganzen zahlen...

Kapitel 1

Die natürlichen und die ganze Zahlen

Kapitel 1

Die natürlichen und die ganze Zahlen

Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner

April 2005Seite 2

InhaltInhalt

1.1 Vollständige Induktion

z.B. 1+ 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

1.2 Die Peano-Axiome

Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen

1.3 Die ganzen Zahlen

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, Abzählbarkeit

1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen

Teiler, Division mit Rest, ggT, ...

1.1 Vollständige Induktion

z.B. 1+ 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

1.2 Die Peano-Axiome

Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen

1.3 Die ganzen Zahlen

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, Abzählbarkeit

1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen

Teiler, Division mit Rest, ggT, ...


April 2005Seite 3

1.1 Vollständige Induktion1.1 Vollständige Induktion

Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine

Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir

schreiben auch A(n).

Wenn wir wissen, daß folgendes gilt:

(1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im

Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)),

(2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n)

die Aussage A(n+1),

dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1.

Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine

Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir

schreiben auch A(n).

Wenn wir wissen, daß folgendes gilt:

(1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im

Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)),

(2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n)

die Aussage A(n+1),

dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1.


April 2005Seite 4

ErläuterungErläuterung

Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage für alle

natürlichen Zahlen (also über unendlich viele Objekte!) nachzuweisen,

muss man nur zwei Aussagen beweisen:

Induktionsbasis: A(1)

Induktionsschritt: A(n) A(n+1)

Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung.

Die hinter diesem Prinzip stehende “Philosophie” ist die, dass man in

objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (“alle”

natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips,

wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in

Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt.

Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage für alle

natürlichen Zahlen (also über unendlich viele Objekte!) nachzuweisen,

muss man nur zwei Aussagen beweisen:

Induktionsbasis: A(1)

Induktionsschritt: A(n) A(n+1)

Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung.

Die hinter diesem Prinzip stehende “Philosophie” ist die, dass man in

objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (“alle”

natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips,

wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in

Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt.


April 2005Seite 5

1. Anwendung: Summe der ersten n Zahlen1. Anwendung: Summe der ersten n Zahlen

Problem (C.F. Gauß): 1+2+3 +...+ 100 = ???

1.1.1 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt:

1+2+... + n = n(n+1)/2.

In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich

(n+1)n/2.

Konsequenz: Man kann die Summe 1+2+3+...+n ganz einfach

ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler.

Problem (C.F. Gauß): 1+2+3 +...+ 100 = ???


1+2+... + n = n(n+1)/2.

In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich

(n+1)n/2.

Konsequenz: Man kann die Summe 1+2+3+...+n ganz einfach

ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler.


April 2005Seite 6

Beweis durch vollständige InduktionBeweis durch vollständige Induktion

Beweis durch Induktion nach n.

Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also:

A(n): 1+2+3 +...+ n = n(n+1)/2.

Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen

wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das

Gleiche steht.

Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der

Summand 1, und auf der rechten Seite steht 21/2, also ebenfalls 1.

Also gilt A(1)


Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also:

A(n): 1+2+3 +...+ n = n(n+1)/2.

Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen

wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das

Gleiche steht.


Summand 1, und auf der rechten Seite steht 21/2, also ebenfalls 1.

Also gilt A(1)


April 2005Seite 7

InduktionsschrittInduktionsschritt

Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die

Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die

Summe 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) berechnen.

Wir spalten wir diese Summe auf:

1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1)

= [1+2+3+... +(n–1) + n] + (n+1)

= n(n+1)/2 + (n+1) (nach Induktion)

= [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2.

Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen.

Somit gilt der Satz.

Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die

Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die

Summe 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) berechnen.

Wir spalten wir diese Summe auf:

1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1)

= [1+2+3+... +(n–1) + n] + (n+1)

= n(n+1)/2 + (n+1) (nach Induktion)

= [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2.

Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen.

Somit gilt der Satz.


April 2005Seite 8

2. Anwendung: Summe der ungeraden Zahlen2. Anwendung: Summe der ungeraden Zahlen


1+3+5 + ... + (2n–1) = n2. In Worten: Die Summe der ersten n

ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl.

Beispiele:

(a) 1 + 3 + 5 = 9

(b) 1 + 3 + 5 + ... + 1999 = 1.000.000


1+3+5 + ... + (2n–1) = n2. In Worten: Die Summe der ersten n

ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl.

Beispiele:

(a) 1 + 3 + 5 = 9

(b) 1 + 3 + 5 + ... + 1999 = 1.000.000


April 2005Seite 9

Beweis mit vollständiger InduktionBeweis mit vollständiger Induktion



Summand 1, und auf der rechten Seite steht 12 = 1. Somit gilt A(1).

Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte

A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen.

Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so

lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten:

1+3+5+ ... + (2n–1) + (2n+1) = [1+3+5+ ... + (2n–1)] + (2n+1)

= n2 + (2n+1) (nach Induktion)

= n2 + 2n + 1 = (n+1)2 .

Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen.



Summand 1, und auf der rechten Seite steht 12 = 1. Somit gilt A(1).

Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte

A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen.

Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so

lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten:

1+3+5+ ... + (2n–1) + (2n+1) = [1+3+5+ ... + (2n–1)] + (2n+1)

= n2 + (2n+1) (nach Induktion)

= n2 + 2n + 1 = (n+1)2 .

Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen.


April 2005Seite 10

1.2 Die Peano-Axiome1.2 Die Peano-Axiome

Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, ...;

die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.

Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 -

1891): „Die ganzen Zahlen (in unserem Sprachgebrauch: die

natürlichen Zahlen) hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist

Menschenwerk.“

Giuseppe Peano (1858 - 1939) hat die natürlichen Zahlen zum erstem

Mal mathematisch präzise beschrieben. Er hat ein System von fünf

Axiomen (Grundsätzen) aufgestellt, um die natürlichen Zahlen zu

charakterisieren.

Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, ...;

die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.

Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 -

1891): „Die ganzen Zahlen (in unserem Sprachgebrauch: die

natürlichen Zahlen) hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist

Menschenwerk.“

Giuseppe Peano (1858 - 1939) hat die natürlichen Zahlen zum erstem

Mal mathematisch präzise beschrieben. Er hat ein System von fünf

Axiomen (Grundsätzen) aufgestellt, um die natürlichen Zahlen zu

charakterisieren.


April 2005Seite 11

Das Axiomensystem von PeanoDas Axiomensystem von Peano

Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten:

(P1) 0 ist eine natürliche Zahl.

(P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten

Nachfolger n‘ .

(P3) 0 ist kein Nachfolger.

(P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger.

(P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen

ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger

n‘ enthält, dann ist M = N.

Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten:

(P1) 0 ist eine natürliche Zahl.

(P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten

Nachfolger n‘ .

(P3) 0 ist kein Nachfolger.

(P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger.

(P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen

ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger

n‘ enthält, dann ist M = N.


April 2005Seite 12

Definition der natürlichen ZahlenDefinition der natürlichen Zahlen

Mit den Peano-Axiomen kann man die natürlichen Zahlen definieren:

1 := 0‘ (= Nachfolger von 0)

2 := 1‘ (= 0‘‘)

3 := 2‘ (= 1‘‘ = 0‘‘‘)

...

Auch die Operation „+“ kann man definieren, z.B.:

n + 1 := n‘

n + 2 := n‘‘

...

Mit den Peano-Axiomen kann man die natürlichen Zahlen definieren:

1 := 0‘ (= Nachfolger von 0)

2 := 1‘ (= 0‘‘)

3 := 2‘ (= 1‘‘ = 0‘‘‘)

...

Auch die Operation „+“ kann man definieren, z.B.:

n + 1 := n‘

n + 2 := n‘‘

...


April 2005Seite 13

1.3 Die ganzen Zahlen1.3 Die ganzen Zahlen

Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung.

D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m

immer eine natürliche Zahl.

Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muß jedoch keine natürliche

Zahl sein (z.B. 3 - 5 N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl.

Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern.

Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:

Z := N { -n | n N }.

Dabei ist -n das bzgl. der Addition inverse Element („negatives

Element“) von n, d.h. es gilt -n + n = 0.

Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung.

D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m

immer eine natürliche Zahl.

Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muß jedoch keine natürliche

Zahl sein (z.B. 3 - 5 N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl.

Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern.

Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:

Z := N { -n | n N }.

Dabei ist -n das bzgl. der Addition inverse Element („negatives

Element“) von n, d.h. es gilt -n + n = 0.


April 2005Seite 14

Rechengesetze in ZRechengesetze in Z

Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der

Menge Z noch Rechenregeln definieren.

Wir definieren (wie üblich) für n, m N:

(-n) + (-m) = - (n + m)

(-n) (-m) = n m

usw.

Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so?

Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze (Beweis als Übung):

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, ...

Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der

Menge Z noch Rechenregeln definieren.

Wir definieren (wie üblich) für n, m N:

(-n) + (-m) = - (n + m)

(-n) (-m) = n m

usw.

Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so?

Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze (Beweis als Übung):

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, ...


April 2005Seite 15

Wie viele ganze Zahlen gibt es?Wie viele ganze Zahlen gibt es?

Klar: Es gibt unendlich viele ganze Zahlen. Denn schon N enthält

unendliche viele Zahlen.

Nicht ganz so klar: Gibt es „mehr“ ganze als natürliche Zahlen?

1. Antwort: Ja, denn N ist eine echte Teilmenge von Z.

2. Antwort: Nein, denn die Mengen N und Z sind „gleichmächtig“.

Definition. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es

eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.

Wie könnte diese bijektive Abbildung von N nach Z aussehen?

Klar: Es gibt unendlich viele ganze Zahlen. Denn schon N enthält

unendliche viele Zahlen.

Nicht ganz so klar: Gibt es „mehr“ ganze als natürliche Zahlen?

1. Antwort: Ja, denn N ist eine echte Teilmenge von Z.

2. Antwort: Nein, denn die Mengen N und Z sind „gleichmächtig“.

Definition. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es

eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.

Wie könnte diese bijektive Abbildung von N nach Z aussehen?


April 2005Seite 16

N und Z sind gleichmächtigN und Z sind gleichmächtig

1.3.1 Satz. Die Mengen N und Z sind gleichmächtig.

Beweis. Wir definieren eine Abbildung f von N nach Z wie folgt:

f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = 2, f(4) = -2, f(5) = 3, f(6) = -3, ...

Damit wir jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zugeordnet.

Umgekehrt wird auch jeder ganzen Zahl z genau eine natürliche

zugeordnet: Der ganzen Zahl z>0 wird 2z-1 N zugeordnet, z<0 wird

-2z N zugeordnet, und z = 0 wird 0 zugeordnet. Also ist f surjektiv.

Da aus f(n) = f(m) offensichtlich n = m folgt, ist f auch injektiv.

Also ist f bijektiv, also sind N und Z gleichmächtig.

1.3.1 Satz. Die Mengen N und Z sind gleichmächtig.

Beweis. Wir definieren eine Abbildung f von N nach Z wie folgt:

f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = 2, f(4) = -2, f(5) = 3, f(6) = -3, ...

Damit wir jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zugeordnet.

Umgekehrt wird auch jeder ganzen Zahl z genau eine natürliche

zugeordnet: Der ganzen Zahl z>0 wird 2z-1 N zugeordnet, z<0 wird

-2z N zugeordnet, und z = 0 wird 0 zugeordnet. Also ist f surjektiv.

Da aus f(n) = f(m) offensichtlich n = m folgt, ist f auch injektiv.

Also ist f bijektiv, also sind N und Z gleichmächtig.


April 2005Seite 17

AbzählbarkeitAbzählbarkeit

Definition. Eine Menge, die gleichmächtig zu N ist, heißt abzählbar.

Mit anderen Worten: Abzählbare Mengen kann man mit den

natürlichen Zahlen numerieren.

Satz 1.3.1 kann man dann auch wie folgt ausdrücken:

1.3.2 Folgerung. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar.

Definition. Eine Menge, die gleichmächtig zu N ist, heißt abzählbar.

Mit anderen Worten: Abzählbare Mengen kann man mit den

natürlichen Zahlen numerieren.

Satz 1.3.1 kann man dann auch wie folgt ausdrücken:

1.3.2 Folgerung. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar.


April 2005Seite 18

1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen

Wir wiederholen einige Eigenschaften der ganzen Zahlen.

Seien a und b ganze Zahlen.

Wir sagen “a teilt b” (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z

gibt mit b = za.

Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a.

Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen:

2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0.

Wir wiederholen einige Eigenschaften der ganzen Zahlen.


Wir sagen “a teilt b” (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z

gibt mit b = za.

Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a.

Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen:

2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0.


April 2005Seite 19

Division mit RestDivision mit Rest

1.4.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0).

Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit

a = bq + r und 0 r b–1.

Beispiele.

a = 13, b = 4 13 = 43 + 1 (q = 3, r = 1)

a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3)

a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1)

a = –13, b = –4 –13 = –44 + 3 (q = 4, r = 3).

Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften

(a = bq + r und 0 r b–1) zustande.

1.4.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0).

Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit

a = bq + r und 0 r b–1.

Beispiele.

a = 13, b = 4 13 = 43 + 1 (q = 3, r = 1)

a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3)

a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1)

a = –13, b = –4 –13 = –44 + 3 (q = 4, r = 3).

Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften

(a = bq + r und 0 r b–1) zustande.


April 2005Seite 20

Gemeinsame TeilerGemeinsame Teiler


Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls

sowohl d a als auch d b gilt.

Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2.

(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.

(c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Bemerkungen.

(a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv.

(b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler.


Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls

sowohl d a als auch d b gilt.

Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2.

(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.

(c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Bemerkungen.

(a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv.

(b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler.


April 2005Seite 21

Teilerfremde ZahlenTeilerfremde Zahlen

Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen

gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1.

Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen

gemeinsamen Teiler haben.

M.a.W.: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemein-

samer Teiler die Zahl 1 ist.

Achtung: “Teilerfremd” bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen

gemeinsamen Teiler haben!

Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind

teilerfremd.

Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen

gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1.

Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen

gemeinsamen Teiler haben.

M.a.W.: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemein-

samer Teiler die Zahl 1 ist.

Achtung: “Teilerfremd” bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen

gemeinsamen Teiler haben!

Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind

teilerfremd.


April 2005Seite 22

Größter gemeinsamer TeilerGrößter gemeinsamer Teiler

Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind.

Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze

Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b.

Beispiele.

(a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18,

denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;

unter diesen ist 6 ist größte Zahl.

(b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd,

falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.

Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind.

Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze

Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b.

Beispiele.

(a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18,

denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;

unter diesen ist 6 ist größte Zahl.

(b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd,

falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.


April 2005Seite 23

Der ggTDer ggT

Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht

beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler;

dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet.

Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6.

(b) ggT(1001, 2001) = 1.

(Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt

auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch 1001 – 1000 =

1.)

(c) ggT(–15, –21) = 3.

(d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der

größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)

Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht

beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler;

dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet.

Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6.

(b) ggT(1001, 2001) = 1.

(Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt

auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch 1001 – 1000 =

1.)

(c) ggT(–15, –21) = 3.

(d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der

größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)


April 2005Seite 24

Berechnung des ggTBerechnung des ggT

1.4.2 Satz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q

und r diejenigen ganzen Zahlen mit

a = qb + r und 0 r < b.

Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).

Ist dies ein guter Satz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT

großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen

(b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen.

Beispiel: ggT(2001, 1001) = ?

2001 = 11001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1;

also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.

1.4.2 Satz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q

und r diejenigen ganzen Zahlen mit

a = qb + r und 0 r < b.

Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).

Ist dies ein guter Satz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT

großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen

(b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen.

Beispiel: ggT(2001, 1001) = ?

2001 = 11001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1;

also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.


April 2005Seite 25

BeispielBeispiel

ggT(4711, 1024) = ?

4711 = 4 1024 + 615 ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615)

1024 = 1 615 + 409 ... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409)

615 = 1 409 + 206 ... ggT(615, 409) = ggT(409, 206)

409 = 1 206 + 203 ... ggT(409, 206) = ggT(206, 203)

206 = 1 203 + 3 ... ggT(206, 203) = ggT(203, 3)

203 = 67 3 + 2 ... ggT(203, 3) = ggT(3, 2)

3 = 1 2 + 1 ... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.

ggT(4711, 1024) = ?

4711 = 4 1024 + 615 ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615)

1024 = 1 615 + 409 ... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409)

615 = 1 409 + 206 ... ggT(615, 409) = ggT(409, 206)

409 = 1 206 + 203 ... ggT(409, 206) = ggT(206, 203)

206 = 1 203 + 3 ... ggT(206, 203) = ggT(203, 3)

203 = 67 3 + 2 ... ggT(203, 3) = ggT(3, 2)

3 = 1 2 + 1 ... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.

kapitel 1 die natürlichen und die ganze zahlen. kapitel 1: die natürlichen und die ganzen zahlen...

Documents