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3. Rechnen mit natürlichen Zahlen
• 3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen
• 3.2 Die Grundaufgaben: Das 1+1 und 1x1
• 3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen
• 3.4 Die schriftlichen Rechenverfahren
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Wesen schriftlicher Rechenverfahren
Schriftliche Rechenverfahren (Normalverfahren) sind durch folgende Punkte charakterisiert:
•Die Einzelschritte erfolgen beim Normalverfahren schematisch nach gegebenen Regeln in fester Reihenfolge (algorithmisches Verfahren).
•Eine Einsicht in das Verfahren ist bei seiner Durchführung nicht erforderlich, es reicht das schematische Anwenden der Regeln und Verfahrensvorschriften.
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Bedeutung schriftlicher Rechenverfahren
• Traditionelle Sichtweise:• Krönung des Mathematikunterrichts• Leichtes, standardisiertes, effektives und effizientes Rechnen
ohne viel nachzudenken; vormachen, nachmachen und üben, üben, üben
• Relativierte Sichtweise:• Abrunden der Rechenmethoden• Eine Methode unter verschiedenen, Einsicht in Verfahren und
algorithmisches Denken• Nicht nur rechnen, sondern auch verstehen, durchschauen,
erklären
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Vorteile schriftlicher Rechenverfahren
• Hohe Rechensicherheit• Starke Denkökonomie durch Entlastung des Gedächtnisses• Große Erhöhung der Schnelligkeit• Verminderung von Schwierigkeiten innerhalb des
Klassenverbandes durch Standardisierung• Hilfe für langfristige Sicherung des Lernerfolges
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Nachteile schriftlicher Rechenverfahren
• Bei der Einführung viele Teilschritte• Zu frühe Automatisierung führt zu mangelhaftem Verstehen• Verfahren ohne Einsicht führen zu typischen Fehlern• Zahlen werden nicht mehr als Ganzes betrachtet, dadurch
werden bestimmte Fehler nicht mehr wahrgenommen.• Tragen nur wenig zur Unterstützung des Zahlverständnisses bei• Ständige Anwendung führen dazu, dass Normalverfahren auch
dann angewendet werden, wenn leichtere Wege zum Ziel führen
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Nachteile schriftlicher Rechenverfahren
• Maßnahmen, die den Nachteilen entgegenwirken:
• Das Normalverfahren soll als ein Verfahren unter verschiedenen Rechenverfahren betrachtet werden, nicht als „Höhepunkt“
• Normalverfahren sollten als Endform eines längeren Prozesses stehen
• Teilschritte sorgfältig entwickeln, damit Verständnis für die Verfahren erreicht wird
• Auch in der Automatisierungsphase Einsicht in das jeweilige Verfahren lebendig halten.
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Behandlung schriftlicher Rechenverfahren
• Klasse 3:• Einführung der schriftlichen Addition und Subtraktion• Bei der Subtraktion ist (in Hessen) das Ergänzungsverfahren
vorgeschrieben.
• Klasse 4:• Einführung der schriftlichen Multiplikation (beide Faktoren
können mehrstellig sein)• Einführung der schriftlichen Division: Teilen durch einstellige
Zahlen als verbindliches Lernziel für alle Kinder. Im freien oder zusätzlichen Angebot kann mit zweistelligen Divisoren gerechnet werde.
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Lerntheoretische Positionen zur Behandlung der schriftlichen Verfahren des Rechnens
• 1. Vorkenntnisse sichern• 2. Sachsituationen zur Motivierung
auswählen• 3. Algorithmen einsichtig ableiten• 4. „Klippen“ frühzeitig berücksichtigen• 5. Operative Übungen einbeziehen• 6. Vielfältige Anwendungen aufzeigen• 7. Frühzeitig Fehleranalysen durchführen
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Zur schriftlichen Addition
• Zwei prinzipielle Vorgehensweisen der Einführung:
• Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen:• Ausgangspunkt: „Stellenwerte extra“• Verändern der Reihenfolge (erst Einer, dann Zehner, dann
Hunderter)
• Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel:
• Material in dekadischer Struktur wird gebündelt (Mehrsystemblöcke, Geld)
• Schreibweise in der Stellentafel
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Zur schriftlichen Addition• Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen (Zahlenbuch 3, S. 63):
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Zur schriftlichen Addition• Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der
Stellentafel (Denken und Rechnen 3, S. 57):
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Zur schriftlichen Addition
• Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel (Welt der Zahl 3, S. 59):
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Zur schriftlichen Addition
• Sprechweise (Rahmenplan, S. 156)
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Zur schriftlichen Subtraktion
• Es lassen sich zwei Verfahren der schriftlichen Subtraktion unterscheiden:
• Abziehverfahren• Ergänzungsverfahren
• Es lassen sich drei Techniken des Übertragens unterscheiden:
• Borge- oder Entbündelungstechnik• Erweiterungstechnik• Auffülltechnik
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Verfahren der schriftlichen Subtraktion
• Abziehverfahren• Die Differenz wird durch Wegnehmen (Abziehen) berechnet
• Ergänzungsverfahren• Die Differenz wird durch Ergänzen berechnet
754- 342 412
Sprechweise beim Abziehverfahren:4 minus 2 gleich 25 minus 4 gleich 17 minus 3 gleich 4
Sprechweise beim Ergänzungsverfahren:2 plus 2 gleich 44 plus 1 gleich 53 plus 4 gleich 7
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Verfahren der schriftlichen Subtraktion
• Vorteile des Abziehverfahrens:• Das Abziehen wird als natürliche Sinngebung der Subtraktion
gesehen.• Verwechslungen mit der Addition werden eingeschränkt.• Kein Auseinanderklaffen von Schreib- und Sprechweise
• Vorteile des Ergänzungsverfahrens:• Beim Ergänzungsverfahren wird nur das Einspluseins (und nicht
auch) das Einsminuseins benötigt.• Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion wird besser
deutlich
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Übertragungstechniken der schriftlichen Subtraktion
• Borgetechnik (Entbündelungstechnik):• Im Minuend wird eine Einheit des nächsthöheren Stellenwertes
entbündelt• Erweiterungstechnik:• Das Gesetz von der Konstanz der Differenz liegt zugrunde:
Minuend und Subtrahend werden um den gleichen Betrag vergrößert
• „Trick“: Werden zur betreffenden Ziffer des Minuenden 10 Einheiten addiert, so wird dieser Betrag im Subtrahenden gebündelt dem nächsthöheren Stellenwert als eine Einheit zugeschlagen
• Auffülltechnik:• Dem Subtrahenden wird eine Zahl hinzugefügt, um den
Minuenden als Zielbetrag zu erhalten• Minuend bleibt unverändert
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Verfahren der schriftlichen Subtraktion
• Wie können verschiedene Subtraktionsverfahren und Übertragungstechniken miteinander kombiniert werden?
Borgen Erweitern Auffüllen
Abziehen + + -
Ergänzen + + +
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Zur schriftlichen Subtraktion
• Sprechweise beim Ergänzungsverfahren (Rahmenplan, S. 156):
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Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern
Das Zahlenbuch 3, S. 73
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Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern
Denken und Rechnen 3, S. 74
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Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern
Denken und Rechnen 3, S. 76
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Zur schriftlichen Multiplikation
• Normiertes Verfahren:• Beide Faktoren stehen in einer Zeile, • rechte Zahl ist Multiplikator, linke Multiplikand (Problem: Beim
halbschriftlichen Rechnen ist es in der Regel umgekehrt)• Die Multiplikation beginnt mit der höchsten Stelle des
Multiplikators• Teilprodukte werden ihrem Stellenwert entsprechend unter den
zweiten Faktor gesetzt
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Zur schriftlichen Multiplikation
• Endform (Rahmenplan, S. 156):
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Zur schriftlichen Multiplikation
• Methodische Stufenfolge bei der Behandlung
• Multiplikation mit einstelligem Faktor• 728 · 6
• Multiplikation mit Vielfachen von 10• 378 · 60
• Multiplikation mit mehrstelligem Faktor• 347 · 253
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Zur schriftlichen Multiplikation
• Möglichkeiten der Einführung:
• Schriftliche Addition gleicher Summanden als Ausgangspunkt• Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen• „Stellenwerte extra“ als Ausgangspunkt• Vom Malkreuz über „Nepersche Streifen“ zur schriftlichen
Multiplikation
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Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern
Welt der Zahl 4, S. 47
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Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern
Denken und Rechnen 4, S. 39
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Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern
Denken und Rechnen 4, S. 52
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Das Zahlenbuch 4, S. 46
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Zur schriftlichen Division
• Das schriftliche Dividieren wird als die bei weitem komplizierteste Grundrechnungsart angesehen.
• Ein Problem ist die hohe Komplexität.
• Teilschritte beim schriftlichen Dividieren (22449 : 7):• 1. Überschlag 21000 : 7 = 3000• 2. Ermitteln des ersten Teildividenden• 3. Schätzen der ersten Wertziffer des Quotienten 22 : 7 = 3• 4. Multiplikation • 5. Subtraktion• 6. Zwischenkontrolle• 7. „Herunterholen“ der nächsten Ziffer
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Zur schriftlichen Division
• Möglichkeiten der Erarbeitung des Verfahrens:
• Anknüpfen an Entbündelungshandlungen
• Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen
• Direkte Konfrontation mit dem Verfahren
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Schriftliche Division in Schulbüchern
Denken und Rechnen 1998, S. 70
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Schriftliche Division in Schulbüchern
Denken und Rechnen 2003, S. 68
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Das Zahlenbuch 4, S. 54
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Leonardo 4, S. 70
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Übungen zum schriftlichen Rechnen
• Päckchenaufgaben (in Termform)• Aufgaben mit fehlenden Ziffern (Klecksaufgaben)• Fehlerhafte Aufgaben• Aufgaben mit Zahlenkarten• Aufgaben mit „besonderen Zahlen“• Sach- und Anwendungsaufgaben
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Übungen zum schriftlichen Rechnen
Leonardo 4, S. 93
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Übungen zum schriftlichen Rechnen
Denken und Rechnen 3, S. 58
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Übungen zum schriftlichen Rechnen
Denken und Rechnen 3, S. 59
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Übungen zum schriftlichen Rechnen
Das Zahlenbuch 3, S. 74