arithmetik 4. die natürlichen zahlen 1 m n m (n + 1) m
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Arithmetik
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4. Die natürlichen Zahlen
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1 M
n M (n + 1) M
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1 M
n M (n + 1) M
(4.1)
(4.2)
Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt M (4.3)
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Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
1 + 2 + 3 + ... + 100
100 + 99 + 98 + ... + 1
101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
= 5050
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4.2 Der binomische Satz
Die binomische Formel: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)2 =
02 a2b0 +
12 a1b1 +
22 a0b2
Binomialkoeffizienten
02 = 1,
12 = 2 und
22 = 1
(a + b)n =
0n anb0 +
1n an-1b1 +
2n an-2b2 + ... +
nn a0bn
kn
kkknnnn
1)(3211)(2)1)((
= = 1
0n
1n
1-n
n= n =
nn
=
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4.2 Der binomische Satz
kn
kkknnnn
1)(3211)(2)1)((
= = 1
0n
1n
1-n
n= n =
nn
=
1n
1n
=
2n
=
211)(
nn
3n
= 3212)1)((
nnn
usw.
nn
= nnnnnnn
1)(3211)(2)1)((
nnnnnn
1)2)((3211232)1)((
=
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Pascalsches Zahlendreieck
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n
k kn
0 = 2n denn (a + b)n liefert genau 2n Produkte.
k
n 1 =
1-k
n +
kn
Blaise Pascal(1623 - 1662)
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23
57
810
649
4.1 Man berechne die Binomialkoeffizienten
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5. Erweiterungen der Zahlenmenge
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Die natürlichen Zahlen sind zwar abgeschlossen unter Addition und Multiplikation, denn für n, m ist (n + m) und (nm) . Dagegen ist n - m und n/m nicht immer eine natürliche Zahl.
5.1 Die ganzen ZahlenDie Erweiterung zu den ganzen Zahlen geschah im 13. Jahrhundert, im Zeitalter des aufblühenden Bankwesens, durch Leonardo von Pisa über die Interpretation von negativen Zahlen als Schulden.
Leonardo von Pisa (1170 - 1240)= Fibonacci
= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
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x ≤ |x|
Die Abbildung Absolutbetrag bildet die ganze Zahl x auf die nicht negative Zahl |x| ab
0 falls0falls{
xx-xx
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x| =
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5.3 Die rationalen Zahlen
dbbc da
bdbc
dbda
dc
ba
31
6/22/2
62
dbca
dc
ba
cd
ba
dc
ba
/
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Schon im 14 Jahrhundert hat Nicole von Oresme mit Hilfe von Identitäten wie
43 = 64 = 82
sogar gebrochene Exponenten eingeführt
43/2 = 8
Nicole von Oresme(1323 - 1382)
Vorsicht bei negativen Zahlen!
(-8) = (-2)3 = (-2)6/2 = 64 = 8
ist falsch. Grundsätzlich dürfen nur positive Zahlen mit gebrochenen Exponenten versehen werden.
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3 5 810 10 10 x y x y10 10 10 x y x ya a a
xx
1a a
xx y x y
yaa a a a
x
x x x x 0x
aa a a 1 aa
310 10 10 10 1000
a 0
y yx ( x )a : a
yx x y( a ) : a
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Wotans Ring Draupnir
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t/s Anzahl
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
43 min 1000! übertroffen
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
43 min 1000! übertroffen
? 999
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t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
43 min 1000! übertroffen
11 a 263 d 999
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5.5 Die reellen Zahlen
2 a/b
2b2 = a2 ?
Jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die nicht selbst eine natürliche Zahl ist, kann nicht als Bruch dargestellt werden.
Man bezeichnet solche Zahlen als Irrationalzahlen.
= U
Die Gleichung
x2 = 2
besitzt zwei Lösungen, nämlich 2 und -2.
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