- 6 -

0 Einführung

0.1 Entwicklungsetappen Klassische Analyse - Approximationstheorie (Michlin, 1967) - spezielle analytische Lösung (Binns, 1963) - Transformationen (Schwarz, 1869) (Christoffel, 1870) Graphische Methoden (Johnson, 1927) (Stevenson, 1927) (Bewley, 1948) Netzwerkmodelle - Widerstandsnetzwerke (Liebman, 1949/52) (Duffin, 1959) Kontinuierliche Modelle - leitendes Papier (Karplus, 1958)

- elektrolytischer Trog Finite – Differenzen - Methode (Binns, 1963) Variationsrechnung - Rayleigh – Ritz - Verfahren (Ritz, 1909)

(Gould, 1957) (van Bladel, 1964) (Kornhauser, 1952) (McDonald, 1974) Statistische Verfahren - Monte – Carlo - Methode (Ehrlich, 1959) 0.2 Moderne numerische Feldberechnung

Anfang der siebziger Jahre

- 2D, statisch FDM (Trowbridge, 1972) FEM (Silvester, 1970)

- 3D FDM (Müller, 1972/83) IGM (Tozoni, 1975) Mitte der siebziger bis Mitte der achtziger Jahre

- zeitabhängige Probleme, 2D + 3D - interaktive Grafiktechniken (Csendes, 1981) - vorkond. konjugierte Gradientenverfahren (PCCG) (Kershaw, 1978) - automatische Netzgenerierung (2D) (Csendes, 1985) - a posteriori – Fehleranalysen (Biddlecombe, 86) - PC’s und CAD - Verfahren (Simkin, 1983) (Lowther, 1986)

Seit Mitte der achtziger Jahre - Übertragung auf PC – Technik - Nutzung von Supercomputern und Parallelrechnern - Kopplung verschiedener Methoden - CAD – Systeme - Berechnung verkoppelter Felder

- 7 -

0.3 Diskretisierungsmethoden Finite – Differenzen – Methode (FDM)

- erste elektrotechnische Anwendung (Erdelyi, 1970) - große 3D – Probleme (Müller, 1983) - Zeitdiskretisierung

Finite – Elementen – Methode (FEM)

- Mechanik (Zienkiewicz, 1965) - Elektrotechnik, Magnetostatik (Winslow, 1967) - elektrische Maschinen (Silvester, 1970) - elektrostatische Potentialprobleme (Silvester, 1969) - Wellenleiteranordnung (Silvester, 1969) (Ng, 1974) - 3D – Mikrowelleneinrichtungen (Hara, 1983) - Wirbelstromprobleme (Konrad, 1985) (Chari, 1980) - Modellierung von Permanentmagneten (Nakata, 1988) - 3D – Feldprobleme

Integralverfahren (IGM)

- Strukturmechanik BEM (Brebbia, 1980) - Elektrotechnik (Simkin, 1976)

(Wexler, 1969) - BEM – Softwarepakete (Tortschanoff, 1984) - Umlaufintegralmethode (Reichert, 1967)

(Koch, 1985) - Ersatzladungsverfahren (Steinbigler, 1968) - Momenten-Methode (Harrington, 1968)

COMPUMAG – Konferenzen ( „state-of-the-art“):

1987 - Graz / Austria 1989 - Tokyo / Japan 1991 - Sorrento / Italy 1993 - Miami / USA 1995 - Berlin / Germany 1997 - Rio de Janeiro / Brasil 1999 - Sapporo / Japan 2001 - Evian / France 2003 - Saratoga Springs / USA 2005 - Shenyang / China 2007 - Aachen / Germany 2009 - Florianopolis / Brazil 2011 - Sydney / Australia

2013 - Budapest / Hungary

- 8 -

1 Mathematisch – physikalische Feldmodellierung 1.1 Klassifizierung und Randbedingungen Approximationen physikalischer Erscheinungen: partielle Differentialgleichungen + Rand-/Anfangsbedingungen Beispiele: Felder von: - Drücken - Temperaturen - Massekonzentrationen - Verschiebungen - Elektromagnetischen oder akustischen Potentialen RWA - Ortskoordinate = unabhängige Variable AWA - Zeit = unabhängige Variable pDGL 2. Ordnung: L() - f = 0

DCx

Bx

ALn

i i

i

n

i i

i

) () () (

) (11

2

2

allgemeine pDGL mit 2 unabhängigen Variablen:

yxyxD

yC

yxB

xA ,,,,2

2

22

2

2

Klassifizierung Nach Form der Funktion D: B2 - A C < 0 elliptische DGL B2 - A C = 0 parabolische DGL B2 - A C > 0 hyperbolische DGL Randbedingungen Allgemeine Form:

n

1. Art ( Dirichlet-RB): gegeben; = 0 2. Art (Neumann-RB): /n gegeben; =0

homogene Neumann-RB: /n=0

3. Art (gemischte RB): , 0

Sturmscher Typ: = 0 auch: Cauchy-RB

- 9 -

X

Y

Z

1.2 Randwertprobleme / Anfangswertprobleme Feldeinteilung und Randbedingungen

Typ

hyperbolisch

parabolisch

elliptisch

D > 0 = 0 < 0

Normal- form

uxy = F uxx – uyy =F

uxx = F

uxx + uyy =F

Rand- bedingungen

3. Art

Dirichlet Neumann

3. Art

Dirichlet Neumann (3. Art)

Beispiel

Wellen- gleichung

utt = 2uxx

Wärme- leitung

ut = 2uxx

Potential- gleichung

uxx + uyy =0

Randwertaufgaben Lösung eines Variationsfunktionals:

F ( , ) = f ( )

Anfangs- / Randbedingungen:

- Startzeit t0 - Dirichlet .)()( konstxgx

- Neumann .)()(

konstxgn

x

- mixed ( Konvektion ) )()(

)( xgn

xbxa

- binär ( m = 0; k = 1) mxxk iI )()(

oder periodisch

- Fernfeld

- 10 -

Dirichlet – Randbedingung

Bedingung 1. Art: Potential vorgegeben

Problem: - Wo muss der Rand definiert werden?

a) b) c) Streufluss vernachlässigt

d) e) Kelvin–Transformation f)

11

Neumann – Randbedingung

Ableitung in Normalen-Richtung ist konstant

Periodische Randbedingung Feldsymmetrien: Diskretisierung muss auf den

Rändern (i , I) identisch sein

mxxk iI )()(

Wahl: m = 0, k = 1 binäre Randbedingung

Kelvin-Transformation Transformation des freien Raumes

in einen endlichen Raum (d.h. im oberen kleinen Kreis FEM-Lösung)

Potentiale auf dem Rand des (kleinen) FEM–Gebietes

sind identisch mit denen auf dem Kreis (z.B. in der Umgebung einer Hochspannungsleitung)

12

1.3 Potentialfelder und Analogien Analoge Größen skalarer Potentialfelder

Größe Elektrostatik

Elektrisches Strömungs-

feld

Magneto- statik

Temperatur-feld

Flüssigkeits-strömung

Gravitations-feld

Potential Potential

Potential

Potential

Temperatur

T

Geschwindig-keitspotential

Newton- Potential

Intensität

elektrische Feldstärke

E

elektrische Feldstärke

E

magnetische Feldstärke

H

Temperatur-gradient

Geschwindig-keit

v

Gravitations-kraft

Material-konstante

Permittivität

Leitfähigkeit

Permeabilität

Wärmeleit-fähigkeit

Dichte

Kehrwert derGravitations-

konstante

Fluss-dichte

Verschiebung-

stromdichte D

Stromdichte J

Magnetische Flussdichte

B

Wärme-strom- dichte

q

Flussrate

Quellen-stärke

elektrische Ladungs-

dichte e

Stromdichte J

magnetische Ladungs-

dichte m

Wärme-quellen- dichte

q

Ausflussrate Massendichte

Integral-parameter

Kapazität C

Leitwert G

Induktivität L

Wärme- kapazität

C

13

Feldanalogien

Magnetfeld:

0

:oder

JA1

2

2

A – magnetisches Vektorpotential – Permeabilität J – Stromdichte B – Magnetflussdichte ( = x A ) – skalares magnetisches Potential µ – Permeabilität J – Stromdichte ( = 0 ) H – magnetische Feldstärke ( = - )

Elektrostatik:

2

– skalares elektrisches Potential – Permittivität – Raumladungsdichte E – elektrische Feldstärke ( = - )

Flüssigkeitsströmung:

0f

oder

qp

2

2

p – Geschwindigkeitspotential – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = - ) f – Strömungsfunktion – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = x f )

Temperaturfeld:

qTk 2

T – Temperatur k – Leitfähigkeit q – Wärmequellendichte v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k T )

Grundwasserströmung:

qk 2

– piezometrischer Knopf k – Leitfähigkeit q – Entladung / Pumpung v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k )

Torsion (2D):

212

G Φ

– Spannungsfunktion G – Young-Modul – Verdrehungswinkel / Länge – Scherspannung ( = x )

Elastische Membran:

FuT 2

u – Querauslenkung T – Membranspannung F – horizontal verteilte Last

14

Analogien in den Feldgleichungen

0

Elektrostatik rot 0, div ,

Magnetostatik rot , div 0,

a) weichmagnetisch B B(H), ( ), M 0

b) hartmagnetisch , ( )

stationäres elektrisches rot 0, div 0,

Strömungsfeld

ha

E D D E

H J B B H M

H

M M H

E J J E

rmonische rot , , rot j

Wirbelstromfelder

stationärediv gradT q 0

Temperaturfelder

transienterot , , rot

Wirbelstromfelder t

transientediv gradT q c

Temperaturfelder

0

0

H J E B H E B

BH J E B H E

T

t

1.4 Feldformulierungen Skalares elektrisches Potential V:

Vektoridentität ( ) 0V

führt zur elektrischen Feldstärke - V E

und zu einer Poisson – Gleichung für das elektrische Potential

2V V V

15

Skalares magnetisches Potential

Formulierung für das skalare magnetische Potential in stromfreien Gebieten

2

( ) 0

0

H

weniger Unbekannte verglichen mit dem Vektorpotential Probleme in Regionen mit eingeprägten Strömen werden überwunden durch die

Definition eines elektrischen Vektorpotentials

2( ) ( ) T Niederfrequente Magnetfelder

Statisch langsam veränderlich, transient zeitharmonische Wirbelstromprobleme

- linear - sinusförmig - Einzelfrequenzen

A – Formulierung

A – Formulierung

- Formulierung

Potentialformulierung

Vektorpotential

2 A J

Skalarpotential

2 ( ) T

Implizit erfüllte Gleichung

0 B

H J

Explizit erfüllte Gleichung

H J

B H

0

B

B H

Feldquellen

J

T ist zu bestimmen

Zusatzbedingungen

Eichung

Schnitte / Symmetrien

Elementetyp

Kante (edge)

Knoten (node)

16

Quasistationäre elektromagnetische Felder

PDE vom Poisson – Typ (d/dt = 0) Diffusionsgleichung (stationär) ( ) A J

physikalische Effekte - ferromagnetische Sättigung - Hysteresis - zusätzliche Terme (quasistationär) Bewegung v B

Wirbelstrom 2 j A A J

transienter Term 2

t

A

A J

Praktische Anwendung: Elektrische Energiewandler (Frequenz < 10kHz) Motoren Aktuatoren Hochspannungsleitungen Ausnahme: Mikrowellenheizung (Verschiebungsströme)

Felderzeugung durch stromdurchflossene Spulen - Motoren - Transformatoren - Induktoren Leitungsstrom, kein Verschiebungsstrom !

Durchflutungsgesetz H J

Felder sind quasistationär: ; a

lT l

v

große Anstiegszeit Ta verglichen mit der Signallaufzeit

mm km ; l 5...10 ; v

lT GhzHza 30;600010...5 1050

Wirbelstromformulierungen

Faraday´sches Gesetz t t

E B A

Ohmsches Gesetz t

eJ A

1

t

0A A J

Transiente Formulierung: 2

t

0A A J

jt

A A

Zeitharmonische Formulierung (sinusförmige bzw. Einzelfrequenz- Erregung) 2 j 0A A J

Komplexes Vektorpotential )tcos(A)t(A

)t(jeA)t(A

17

Lösung von Feldaufgaben

1.5 Lösungsansätze

Analytische Methoden

- Superposition

- Gaußscher Satz der Elektrotechnik

- Direkte Integration

- Spiegelungsmethode

- Konforme Abbildung

- Schwarz – Christoffel´scher Abbildungssatz

- Separation der Variablen (Produktansatz)

- Reihenentwicklungen (Fourier-, Multipol-,...)

- Durchflutungsgesetz

- Gesetz von Biot – Savart

- Vektorpotential

- Skalarpotential (totales oder reduziertes)

- Monte – Carlo – Methode

Analysemethoden

analytische Methoden semi- analytisch/numerisch numerische Methoden

exakte Methoden:

Separation der

Variablen LAPLACE –

Transformation ...

Approximationen:

RAYLEIGH –

RITZ GALERKIN-

Methoden ...

numerische Lösung finite oder diskrete Elemente Methode

numerische Integration

finite Differenzen

18

Semi – analytische Verfahren

- Ersatzladungsverfahren - Sonderfälle der Momentenmethode - Fourier – Transformation

Spectral Domain Analysis (3D Fourier – Transformation) Reihensätze, die auf komplizierte Integrale führen

- Point – Matching – Methode (Kollokation) - MMP – Methode (Multiple – Multipol –Methode)

Semi – numerische Verfahren

- Momenten-Methode

Numerische Verfahren

- Direkte Lösung der Maxwell – Gleichungen Integralform Differentialform

- Lösung abgeleiteter Gleichungen Wellengleichung Potentialgleichung

- Unabhängige Variable direkte Feldgrößen: E, D, H, B, J abgeleitete Größen: Skalarpotentiale ,

Vektorpotentiale A, T Hertzscher Vektor Z

Lösungsansätze erfüllen die Randbedingungen, aber nicht die Feldgleichungen!

Lösungsansätze erfüllen weder die Feldgleichungen, noch die Randbedingungen exakt!

Lösungsansätze erfüllen die Feldgleichungen, aber nicht die Randbedingungen!

19

Numerische Verfahren Magnetic Equivalent Circuit (MEC) Feldersatzverfahren (Elementarstrom-, Mengentheorie des Magnetismus) numerische Lösungsmethoden

- FDM - FEM - BEM

Materialmodellierung numerische Implementierung Netzverfeinerung Postprocessing Äquivalente magnetische Netzwerke / Magnetic Equivalent Circuit (MEC)

Äquivalenz zwischen elektrischem Strömungsfeld und Magnetfeld

Vorteile

- schnell - leicht zu implementieren - nichtlinear möglich

Nachteile - nur einfache Geometrie - Flusswege müssen für die Aufstellung des Modells bekannt sein - Kraftberechnung ist schwierig

20

Äquivalente Netzwerke

Elemente mit konstanten Eigenschaften

1

0 )()(

1

xSx

dxR

m

m

- linear - nichtlinear - parametrisch nichtlinear

Feldlösung

- in diskreten Netzwerkknoten - gute Approximationsmethode

Netzwerkmethoden Äquivalenz zwischen elektrischem und magnetischem Feld Vorteile

- relativ schnell - 3D – Felder

Nachteile - Nichtlinearitäten werden nicht erfasst - nur für spezielle Geometrien - spezifische Randbedingungen (manchmal nicht sehr realistisch)

21

Elementarstrommodell der Magnetisierung Verteilte (Elementar-) Ströme

- homogen verteilte Dipolmomente führen zu einem Oberflächenstrom IS, - Volumenstrom IV verschwindet

Magnetisches Ladungsmodell der Magnetisierung

Maxwell – Gleichungen 0 B H J

Stromfreie Gebiete 0 H

Gradientenfeld

m H

Entmagnetisierungkennlinie des Permanentmagneten

0 ( ) B H M

Poisson – Gleichung

0 ( ) 0 B H M

m m M H m M

Äquivalenz des PM – Feldes mit dem elektrischen Feld Regeln der Elektrostatik sind anwendbar für die Bestimmung von Skalarpotential und

magnetischer Feldstärke (Integration über die Oberfläche des Permanentmagnetes)

0 0

0 0

( ) ,4 4

( )4 4

PM PM

PM PM

m PA A

PA A

0 0

pq pq

0 0

pq pq

M MdA dA

r r

M MH dA dA

r r

22

Weitere Aspekte bei der Methodenwahl

o Parasitäre Effekte, die für die Anwendung numerischer Methoden sprechen

Ferromagnetische Sättigung Zunahme von Leckströmen Hohe Betriebstemperaturen irreversible Verluste bei Verwendung von Permanentmagneten Kopplung verschiedener Effekte thermische/magnetische/strukturdynamische/Strömungsfelder durch Bewegung induzierte Strömungsfelder

o Eigenschaften numerischer Methoden

Zuverlässigkeit Robustheit Genereller Anwendungsbereich Genauigkeit Leistungsfähigkeit

23

Theorie – Simulation – Experiment

Computersimulation - numerische Approximation - reflektiert und beeinflusst die klassische Theorie

Lösungsprozess

Annahmen

- Randbedingungen - Materialeigenschaften

Lösungskriterien - Gleichungstyp - Lösungsalgorithmus

Reale Anordnung Modellierung Mathematisches Modell des Gerätes

Messung

Experimentelle Daten

Computersimulation Theorie

Berechnete Daten Theoretische Erwartungen

Vergleich Vergleich

Modellverifikation durch Simulation

Modelverifikation über die Theorie

System von partiellen DGLn

Annahmen

Potentiale, Eichung, Schnitte, Symmetrie

Formulierung

Wahl des Lösungskriteriums

Wahl der Diskretisierungselemente

24

Ablauf einer Feldberechnung

Grundelemente - Problemdefinition Geometrie Material Problemtyp:

- statisch, - transient, - zeitharmonisch, - gekoppelt,...

- Lösung - Auswertung

Potentialverteilung

Teilschritte einer Feldanalyse

Eingaben: - Geometrie - Fehlergrenzen - Auswertung als - Material - max. Iterationszahl Diagramm, - Randbedingungen Farbplots,... - Diskretisierung - Netzadaption - Optimierung - Approximation - numerische Methoden - weitere Modellierungen - Parametrisierung - Gleichungslöser konzentrierte Parameter - Kopplung: Felder - Approximation lokaler Geometrie Feldgrößen Netzwerk - Feldkopplung Bewegung Methoden

Preprocessing 50% Definition Geometrie,

Material

Netzgenerierung

Processing 20%

Modifizierte Newton – Methode

SSOR-CG

Fehlerabschätzung

Netzadaption

Postprocessing 30%

Auswertung

Preprocessing Processing Postprocessing