Schaum's Outline Überblicke/Aufgaben

Endliche Differenzen und Differenzengleichungen

Theorie und Anwendung

MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D. Professor of Mathematics

Rensselaer Polytechnic Institute

Übersetzung und deutsche Bearbeitung: Dr. Bernhard Thomas, Universität Köln

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Inhalt

Kapitell DIFFERENZENRECHNUNG. 1

Operatoren. Einige Definitionen im Zusammenhang mit Operatoren. Algebra der Operatoren. Der Differenzenoperator. Der Translationsoperator. Der Ableitungsoperator. Der Differential­operator. Beziehung zwischen Differenzen-, Ableitungs- und Differentialoperator. Allgemeine Ableitungsregeln. Ableitungen spezieller Funktionen. Allgemeine Regeln der Differenzenrechnung. Faktoriellenfunktionen. Faktoriellenpolynome. Stirlingsche Zahlen. Verallgemeinerte Faktoriellen-funktionen. Differenzen spezieller Funktionen. Taylorreihen. Operatorform der Taylorreihe. Die Gregory-Newton-Formel. Leibnitzsche Regel. Weitere Differenzenoperatoren.

Kapitel 2 ANWENDUNGEN DER DIFFERENZENRECHNUNG 32

Indexschreibweise. Differenzenschema. Differenzen von Polynomen. Gregory-Newton-Formel in Indexschreibweise. Allgemeines Glied einer Folge oder Reihe. Interpolation und Extrapolation. Zentrales Differenzenschema. Verallgemeinerte Interpolationsformeln. Zick-Zack-Wege und Rautendiagramme. Interpolationsformel von Lagrange. Tabellen mit fehlenden Eintragungen. Dividierte Differenzen. Newtonsche Interpolationsformel mit dividierten Differenzen. Inverse Interpolation. Näherungsweise Differentiation.

Kapitel 3 SUMMENRECHNUNG 79

Der Integraloperator. Allgemeine Integrationsregeln. Integrale spezieller Funktionen. Bestimmte Integrale. Fundamentalsatz der Integralrechnung. Einige wichtige Eigenschaften des bestimmten Integrals. Einige wichtige Sätze der Integralrechnung. Der Summenoperator. Allgemeine Summa-tionsregeln. Summation spezieller Funktionen. Bestimmte Summen und der Fundamentalsatz der Summenrechnung. Differentiation und Integration von Summen. Summation in Indexschreibweise. Abelsche Transformation. Operatormethoden zur Summation. Summation von Reihen. Die Gam-mafunktion. Bernoullische Zahlen und Polynome. Wichtige Eigenschaften der Bernoullischen Zahlen und Polynome. Eulersche Zahlen und Polynome. Wichtige Eigenschaften der Eulerschen Zahlen und Polynome.

Kapitel 4 ANWENDUNGEN DER SUMMENRECHNUNG 121

Einige spezielle Methoden zur exakten Summation von Reihen. Reihen von Konstanten. Potenz­reihen. Näherungsweise Integration. Fehlerterme in den Integrationsformeln. Die Integrationsfor­mel von Gregory. Die Euler-MacLaurin-Formel. Der Fehlerterm in der Euler-MacLaurin-Formel. Die Stirlingsche Formel für n\.

Kapitel 5 DIFFERENZENGLEICHUNGEN 150

Differentialgleichungen. Definition einer Differenzengleichung. Ordnung einer Differenzengleichung. Lösung, allgemeine Lösung und partikuläre Lösung einer Differenzengleichung. Differentialgleichun­gen als Limites von Differenzengleichungen. Verwendung der Indexschreibweise. Lineare Differen-

zengleichungen. Homogene lineare Differenzengleichungen. Homogene lineare Differenzengleichun­gen mit konstanten Koeffizienten. Linear unabhängige Lösungen. Lösung der inhomogenen Gleichung Methoden zur Bestimmung partikulärer Lösungen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Spe­zielle Operatormethoden. Die Methode der Variation der Konstanten. Die Methode der Reduktion der Ordnung. Die Methode der erzeugenden Funktionen. Lineare Differenzengleichungen mit varia­blen Koeffizienten. Sturm-Liouvillesche Differenzengleichungen. Nichtlineare Differenzengleichun­gen. Systeme von Differenzengleichungen. Gemischte Differenzengleichungen. Partielle Differenzen­gleichungen.

Kapitel 6 ANWENDUNG VON DIFFERENZENGLEICHUNGEN 199

Problemstellungen mit Differenzenglsichungen. Anwendung für schwingende Systeme. Anwendung für elektrische Netzwerke. Anwendung bei der Biegung von Stäben. Anwendung beim Stoß. An­wendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Fibonacci-Zahlen. Vermischte Anwendungen.

Anhang A Stirlingsche Zahlen erster Art s\ 232

Anhang B Stirlingsche Zahlen zweiter Art S\ 233

Anhang C Bernoullische Zahlen 234

Anhang D Bernoullische Polynome 235

Anhang E Eulersche Zahlen 236

Anhang F Eulersche Polynome 237

Anhang G Fibonacci-Zahlen 238

LÖSUNGEN ZU ERGÄNZUNGSAUFGABEN 239

SACHWORTVERZEICHNIS 255