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0 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE (KIT)
Wärmeleitungsgleichung und finite DifferenzenTobias JahnkeVorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Die Wärmeleitungsgleichung mit Anfangs- undRandbedingungen
1 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Wir betrachten das Anfangs-Randwertproblem
∂u(t , x)∂t
=∂2u∂x2 (t , x) für t ≥ 0, x ∈ (0, 1) PDE, partielle
Differentialgleichung
u(0, x) = u0(x) für x ∈ [0, 1] Anfangsbedingung
u(t , 0) = u(t , 1) = 0 für t ≥ 0homog. Dirichlet-Randbedingungen
oder∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0 für t ≥ 0homog. Neumann-Randbedingungen
2 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Die Rolle der Randbedingungen:
Dirichlet vs. Neumann
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.001
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.002
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.003
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.004
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.005
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.006
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.007
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.008
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.009
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.01
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.02
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.04
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.06
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.08
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.1
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
Dirichlet vs. Neumann
3 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 1
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Wärmeleitungsgleichung:∂u(t , x)
∂t=
∂2u∂x2 (t , x), u(0, x) = u0(x)
Dirichlet-RB: u(t, 0) = u(t , 1) = 0
Neumann-RB:∂u∂x
(t , 0) =∂u∂x
(t , 1) = 0
4 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Glättung von oszillatorischen Anteilen
Glättung von oszillatorischen Anteilen
5 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
5 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.001
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
5 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.002
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
5 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.003
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.004
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.005
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.006
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.007
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.008
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.009
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
Glättung von oszillatorischen Anteilen
5 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.01
u(0,x) glatt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u(0,x) nicht glatt
Exakte Lösungu(t , x) =
∞
∑k=1
bk sin(πkx)e−(πk)2t
Links: b1 = 1 und bk = 0 für alle k > 1Rechts: b1 = 1, b10 = 0.1 und bk = 0 für alle k 6∈ {1, 10}
6 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.001
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.002
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.003
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.004
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.005
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.006
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.007
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.008
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.009
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
Glättung: Differenzierbarkeit bzgl. x
7 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
t = 0
.01
Dirichlet
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Neumann
Beobachtung: x 7→ u(0, x) ist nur stetig, aber nicht differenzierbar.x 7→ u(t , x) ist für alle t > 0 differenzierbar.
8 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Stabilität: explizites vs. implizites Euler-Verfahren
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.001
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.002
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.003
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.004
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.005
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.006
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.007
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.008
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.009
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.01
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
Stabilität der Zeitdiskretisierung
9 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Was passiert, wenn die Zeitdiskretisierung mit dem explizitem Euler-Verfahrendurchgeführt wird?
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
x
t = 0
.011
Stabilitaet
exaktimplizitexplizit
10 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Konvergenz des numerischen Verfahrens
(finite Differenzen + implizites Euler-Verfahren)
Konvergenz des numerischen Verfahrens
11 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
Raumdiskretisierung durch finite Differenzen
Zeitdiskretisierung durch das implizite Euler-Verfahren
10−2
10−1
10−4
10−3
10−2
10−1
∆ x
Feh
ler
(h
= 1
e−00
5)
Konvergenz im Raum
10−3
10−2
10−2
10−1
100
Schrittweite
Feh
ler
(∆
x =
0.0
02)
Konvergenz in der Zeit
0 Wärmeleitungsgleichung und finite Differenzen – Tobias Jahnke – Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE (KIT)
Wärmeleitungsgleichung und finite DifferenzenTobias JahnkeVorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen, WS 2011/12
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu