kalkulus 1 - · pdf file2hadi sutrisno/p.matematika/stkip pgri bangkalan bab i pendahuluan...

1

Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

HADI SUTRISNO

Pendidikan Matematika

STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1

2


BAB I

PENDAHULUAN

A. Sistem Bilangan Real

Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami

bahasan tentang sistem bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada

sistem bilangan real dan sifat-sifatnya.

Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1,

2, 3, 4, ... Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N.

Jadi,

N = {1, 2, 3, 4, …}

Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan dengan

nol, maka diperoleh bilangan cacah, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, … Himpunan

semua bilangan cacah biasa disimbolkan dengan C. Jadi,

C = { 0, 1, 2, 3, 4, …}

Jika di dalam himpunan semua bilangan cacah kita tambahkan

semua negatifnya, maka diperoleh bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1, 0,

1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z.

Jadi,

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Selanjutnya himpunan bilangan yang lebih besar adalah bilangan

rasional. Bilangan Rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat

ditulis b

a dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Himpunan semua

bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi,

0,,, bZbZab

aQ

Lawan dari bilangan rasional adalah bilangan irrasional. Bilangan

irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dengan b

a.

3


Himpunan semua bilangan irrasional biasa dinotasikan dengan I.

Bilangan irrasional antara lain .,5,3,2 edan

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatif dan nol

disebut bilangan real. Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan

R. Hubungan kelima himpunan N, C, Z, Q, dan R dapat dinyatakan

dengan N ⊂ C ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

B. Operasi Bilangan

Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x

dan y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian

x dan y ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi

penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut:

1. Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx.

2. Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z.

3. Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz.

4. Elemen-elemen identitas:

Elemen identitas penjumlahan adalah 0 sebab x + 0 = x.

Elemen identitas perkalian adalah 1 sebab x.1 = x.

5. Invers (kebalikan):

Setiap bilangan real x mempunyai invers penjumlahan yaitu –x

yang memenuhi x + –x = 0 dan setiap bilangan real x yang

tidak nol mempunyai invers perkalian yaitu x

1 yang memenuhi

11

. x

x .

C. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan

relasi <, >, ≤ atau ≥. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua

bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya

4


merupakan interval atau gabungan interval- interval. Mengenai interval

dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih

besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = { a < x < b }.

2. Interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih

besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi

[a,b] = { a ≤ x ≤ b }.

Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.

Penulisan Interval Penulisan Himpunan Garis bilangan

(a , b) { x | a < x < b }

[a , b] { x | a x b }

(a , b] { x | a < x b }

[a , b) { x | a x < b }

(- , b) { x | x < b }

(- , b] { x | x b }

(a , ) { x | a < x }

[a , ) { x | a x }

(- , ) { x | x R }

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2.

Jawab

2x – 7 < 4x – 2

– 7 + 2 < 4x – 2x

– 5 < 2x

− 5

2< 𝑥

HP = { x | x > −5

2 }

a b

a b

a b

a b

b

b

a

a

5


Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – x – 6 < 0.

Jawab

x2 – x – 6 < 0

x2 – x – 6 = 0

(x – 3)(x + 2) = 0

x = 3 V x = - 2

HP = { x | - 2 < x < 3 }

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2𝑥−5

𝑥−2 ≤ 1

Jawab

2𝑥 − 5

𝑥 − 2≤ 1

2𝑥 − 5

𝑥 − 2 − 1 ≤ 0

2𝑥 − 5

𝑥 − 2 –

𝑥 − 2

𝑥 − 2≤ 0

2𝑥 − 5 − (𝑥 − 2)

𝑥 − 2 ≤ 0

𝑥 − 3

𝑥 − 2 ≤ 0

𝑥 − 3

𝑥 − 2= 0

𝑥 − 3 = 0 𝑉 𝑥 − 2 ≠ 0

𝑥 = 3 𝑉 𝑥 ≠ 2

HP = { x | 2 < x < 3 }

D. Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus.

Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam

6


kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan

nilai mutlak.

1. Definisi nilai mutlak

Nilai mutlak bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan dengan

|x| x , jika x ≥ 0

- x , jika x < 0

2. Sifat-sifat nilai mutlak

a. |a.b| = |a|.|b|

b. 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏

c. |a + b| |a| + |b|

d. |a - b| |a| - |b|

3. Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat

digunakan teorema berikut:

a. |x| < a –a < x < a

b. |x| > a x < –a atau x > a.

Contoh 1 c.

Tentukan penyelesaian |x| < 3

Jawab

Nilai x yang memenuhi –3 < x < 3 merupakan penyelesaian

pertidaksamaan |x| < 3. Jadi, HP = { x | -3 < x < 3 }

Contoh 2

Tentukan penyelesaian |x - 2| < 3

7


Jawab

|x - 2| < 3 –3 < x - 2 < 3

–3 + 2 < x < 3 + 2

–1 < x < 5

Jadi, HP = { x | -1 < x < 5 }

Contoh 3

Tentukan penyelesaian |3x - 5| 1

Jawab

|3x - 5| 1 3x – 5 ≤ –1 V 3x – 5 ≥ 1

3x ≤ 4 V 3x ≥ 6

x ≤ 4

2 V x ≥ 2

Jadi, HP = { x | x ≤ 4

2 V x ≥ 2}

SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan

gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan.

1. 4x – 7 < 3x – 5

2. 6x – 10 ≥ 5x – 16

3. x2 + x – 12 < 0

4. 2x2 + 7x – 15 ≥ 0

5. 𝑥−2

𝑥+4 < 2

6. 2𝑥−1

𝑥−3 ≥ 1

7. |3x + 4| < 8

8. |2 – 4x| 10

9. |4x +2| 10

10. 2 +5

𝑥 > 1

8


BAB II

FUNGSI

A. Definisi Fungsi

Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan

yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Perhatikan diagram panah berikut:

A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain

(daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang

mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil).

Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan

kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang

atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya

domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan

real.

Contoh 1

Relasi manakah yang merupakan fungsi dari diagram panah berikut?

1

2

3

2

4

6

8

A B

9


a. c.

b. d.

Jawab

C dan D

Contoh 2

Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 1

𝑥−3 !

Jawab

Df = { x | x R, x 3 }

Rf = { x | x R }

Contoh 3

Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 9 − 𝑥 !

10


Jawab

Df = { x | x 9 }

Rf = { x | x 0 }

B. Fungsi Komposisi

Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f dan g

ditulis g o f, didefinisikan sebagai (g o f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x Dg.

Contoh 1

Jika f(x) = 2x3 dan g(x) = x + 3, tentukan (g o f)(x)!

Jawab

(g o f)(x) = g [f (x)] = f(x) + 3 = 2x3 + 3

Contoh 2

Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 + 2x + 5, tentukan (h o g)(x)!

Jawab

(h o g)(x) = h[g(x)] = [g(x)]2 + 2[g(x)] + 5

= (2x + 4)2 + 2(2x + 4) + 5

= 4x2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5

= 4x2 + 20x + 29

Contoh 3

Jika g(x) = x2 - x + 3 dan (f o g)(x) = 3x2 - 3x + 4, tentukan f(x)!

Jawab

g(x) = x2 – x + 3

(f o g) (x) = 3x2 – 3x + 4

f(g(x)) = 3(x2 – x + 3) – 5

f(g(x)) = 3[g(x)] – 5

f (x) = 3x – 5

Adapun sifat-sifat fungsi komposisi sebagai berikut:

1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif.

11


(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif

[f o (g o h)](x) = [(f o g) o h](x)

3. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah fungsi

identitas, yaitu I(x) = x sehingga

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

C. Fungsi Invers

Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan

daerah hasil Rf. Fungsi invers ( fungsi balikan ) f adalah f –1 jika dan

hanya jika

(f –1o f)(x) = x untuk setiap x di dalam Df dan (f –1o f)(x) = x untuk setiap x

di dalam Rf.

Contoh 1

Tentukan invers dari fungsi y = f(x) = 5x – 7

Jawab

y = 5x – 7 5x = y + 7

𝑥 = 𝑦+7

5

𝑥 = 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 + 7

5

Jadi, fungsi invers dari y = 5x – 7 adalah 𝑦 = 𝑥+7

5

Contoh 2

Tentukan invers dari fungsi 𝑦 = 3𝑥+4

2𝑥−1

Jawab

𝑦 = 3𝑥 + 4

2𝑥 − 1 𝑦 2𝑥 − 1 = 3𝑥 + 4

2𝑥𝑦 − 𝑦 = 3𝑥 + 4

2𝑥𝑦 − 3𝑥 = 𝑦 + 4

12


𝑥(2𝑦 − 3) = 𝑦 + 4

𝑥 =𝑦 + 4

2𝑦 − 3

Jadi, fungsi invers dari 𝑦 = 3𝑥+4

2𝑥−1 adalah 𝑦 =

𝑥+4

2𝑥−3

Contoh 3

Tentukan invers dari fungsi 𝑦 = 3𝑥2 + 4

Jawab

𝑦 = 3𝑥2 + 4

3x2 = y – 4

𝑥2 = 𝑦 − 4

3

𝑥 = 𝑦 − 4

3

Jadi, fungsi invers dari 𝑦 = 3𝑥2 + 4 adalah 𝑦 = 𝑥−4

3

Soal

1. Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 3

𝑥2−2𝑥−3 !


𝑥−4 !


𝑥2 !

4. Tentukan f o g(x) dan g o f (x) dari fungsi f(x) = 3 – 4x dan g(x) = 2x3 +

2 !

5. Jika f (x) = 2x2 + 7 dan f o g (x) = 3(3 – 2x), tentukanlah g(x) !

6. Jika g(x) = 2 (x – 1) dan g o f (x) = 2x (x – 5), tentukanlah f(x) !

7. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut

13


a. f(x) = 2 – x2

b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

c. 𝑓 𝑥 =2

3𝑥−2

d. 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 − 6

14


BAB III

LIMIT FUNGSI

A. Definisi Limit

Definisi yang tepat tentang limit pertama kali diperkenalkan oleh

Cauchy. Cauchy adalah seorang mahaguru di Ecole Polytechnique,

Sarbone, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya

sangat cemerlang sehingga semua buku ajar moderen mengikuti

penjelasan kalkulus yang terperinci oleh Cauchy.

Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel

pada suatu bilangan real. Notasi limit adalah

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

dijabarkan sebagai "limit fungsi f(x) pada saat x mendekati a sama

dengan L". Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri

dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real

dari sebelah kiri yang dinotasikan lim𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 .

Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari

sebelah kanan yang dinotasikan lim𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 .

B. Limit Fungsi Aljabar

Beberapa cara dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

1. Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung

Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan

cara substitusi langsung seperti contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim𝑥→−4(𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6)

15


Jawab

lim𝑥→−4(𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6) = −4 3 + 4 −4 2 − 4 − 6

= - 64 + 64 – 4 – 6

= - 10

Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim𝑥→0𝑥3+1

𝑥+1

Jawab

lim𝑥→0𝑥3+1

𝑥+1=

03+1

0+1

= 1

1= 1

2. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu

Jika dengan cara substitusi langsung pada lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

diperoleh bentuk 0

0 (bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran terlebih

dahulu terhadap f(x) dan g(x). Kemudian, sederhanakan ke bentuk

paling sederhana.

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim𝑥→2𝑥2−4

𝑥−2

Jawab

lim𝑥→2𝑥2−4

𝑥−2= lim𝑥→2

𝑥+2 (𝑥−2)

𝑥−2

= lim𝑥→2(𝑥 + 2)

= 2 + 2

= 4

16


Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim𝑥→−3𝑥+3

𝑥+3

Jawab

lim𝑥→−3𝑥+3

𝑥+3 = lim𝑥→−3

𝑥+3 𝑥+3

𝑥+3

= lim𝑥→−3 𝑥 + 3

= −3 + 3

= 0

= 0

Contoh 3

Tentukan limit fungsi lim𝑥→03𝑥2+3

2𝑥2−8𝑥

Jawab

lim𝑥→03𝑥2+3

2𝑥2−8𝑥= lim𝑥→0

3𝑥(𝑥+1)

2𝑥(𝑥−4)

= lim𝑥→03(𝑥+1)

2(𝑥−4)

= 3(0+1)

2(0−4)

=3

−8

=−3

8

3. Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan

Jika pada lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) diperoleh bentuk tak tentu

0

0 untuk x = a

dan sulit untuk memfaktorkan f(x) dan g(x), lakukan perkalian dengan

faktor sekawan dari g(x) atau f(x). Agar lebih jelas, pelajari contoh

berikut.

17


Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim𝑥→03− 9−9𝑥

3𝑥

Jawab

lim𝑥→03− 9−9𝑥

3𝑥= lim𝑥→0

3− 9−9𝑥

3𝑥.

3+ 9−9𝑥

3+ 9−9𝑥

= lim𝑥→09−(9−9𝑥)

3𝑥 (3+ 9−9𝑥)

= lim𝑥→09𝑥

3𝑥 (3+ 9−9𝑥)

= lim𝑥→03

(3+ 9−9𝑥)

= 3

3+ 9−9.0

= 3

3+ 9

= 3

3+3

=1

2

Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim𝑥→1 3𝑥−1− 𝑥+1

2𝑥−1− 𝑥

Jawab

lim𝑥→1 3𝑥−1− 𝑥+1

2𝑥−1− 𝑥= lim𝑥→1

3𝑥−1− 𝑥+1

2𝑥−1− 𝑥 .

3𝑥−1 + 𝑥+1

3𝑥−1 + 𝑥+1 .

2𝑥−1 + 𝑥

2𝑥−1 + 𝑥

= lim𝑥→12𝑥−2

𝑥−1 .

2𝑥−1 + 𝑥

3𝑥−1 + 𝑥+1

= lim𝑥→12(𝑥−1)

𝑥−1 .

2𝑥−1 + 𝑥

3𝑥−1 + 𝑥+1

= lim𝑥→12 2𝑥−1 + 𝑥

3𝑥−1 + 𝑥+1

= 2 2.1−1 + 1

3.1−1 + 1+1 =

2 2−1 + 1

3−1 + 2 =

2.2

2 2 =

2

2

18


C. Limit Tak Hingga

Lambang (dibaca: tak hingga) digunakan untuk menyatakan nilai

bilangan yang semakin besar. Jadi, bukan merupakan lambang

bilangan dan tidak dapat dioperasikan secara aljabar sehingga tidak

benar – = 0 atau

= 1.

Beberapa cara menyelesaikan limit tak hingga antara lain dengan

membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan sekawan.

1. Menentukan Limit dengan Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞6𝑥 + 1

2𝑥 + 10

Jawab

lim𝑥→∞6𝑥+1

2𝑥+10= lim𝑥→∞

6𝑥 + 1

𝑥2𝑥 + 10

𝑥

= lim𝑥→∞

6 + 1

𝑥

2 + 10

𝑥

= 6 +

1

∞

2 + 10

∞

= 6 + 0

2 + 0

= 3

Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞8𝑥 + 100

3𝑥2−5𝑥 + 10

Jawab

19


lim𝑥→∞8𝑥 + 100

3𝑥2−5𝑥 + 10= lim𝑥→∞

8𝑥 + 100

𝑥2

3𝑥2−5𝑥 + 10

𝑥2

= lim𝑥→∞

8

𝑥+

100

𝑥2

3 −5

𝑥 +

10

𝑥2

=

8

∞+

100

∞ 2

3 −5

∞ +

10

∞ 2

= 0 + 0

3 − 0 + 0

= 0

3 = 0

Contoh 3

Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞𝑥

𝑥2− 𝑥−1

Jawab

lim𝑥→∞𝑥

𝑥2− 𝑥−1= lim𝑥→∞

𝑥

𝑥2

𝑥2− 𝑥−1

𝑥2

= lim𝑥→∞

𝑥

𝑥

1 − 1

𝑥−

1

𝑥2

= lim𝑥→∞1

1 − 1

𝑥−

1

𝑥2

= 1

1 − 1

∞−

1

∞ 2

= 1

1 − 0− 0

= 1

1 = 1

20


2. Menentukan Limit dengan Mengalikan dengan Sekawan

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞( 𝑥 + 1 − 𝑥)

Jawab

lim𝑥→∞( 𝑥 + 1 − 𝑥) = lim𝑥→∞ 𝑥 + 1 − 𝑥 . 𝑥+1+ 𝑥

𝑥+1+ 𝑥

= lim𝑥→∞ ( 𝑥+1)2 –( 𝑥)2

𝑥+1+ 𝑥

= lim𝑥→∞1

𝑥+1+ 𝑥

= lim𝑥→∞

1

𝑥

𝑥+1

𝑥+

𝑥

𝑥

= lim𝑥→∞

1

𝑥

1+1

𝑥+ 1

=

1

∞

1+1

∞+ 1

= 0

1+0+ 1 =

0

2 = 0

Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞( 𝑥2 − 1 − 𝑥2 + 1)

Jawab

lim𝑥→∞( 𝑥2 − 1 − 𝑥2 + 1) =

lim𝑥→∞( 𝑥2 − 1 − 𝑥2 + 1).( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim𝑥→∞ 𝑥2−1

2− 𝑥2+1

2

( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

21


= lim𝑥→∞ 𝑥2−1 − 𝑥2+1

( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim𝑥→∞𝑥2−1−𝑥2−1

( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim𝑥→∞−2

( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim𝑥→∞

−2

𝑥2

𝑥2

𝑥2−1

𝑥2+ 𝑥2

𝑥2+1

𝑥2

= lim𝑥→∞

−2

𝑥

1−1

𝑥2+ 1+1

𝑥2

= −2

∞

1−1

∞ 2+ 1+1

∞ 2

= 0

1−0+ 1+0 =

0

1+1 = 0

D. Limit Fungsi Trigonometri

Pada Subbab sebelumnya telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali ini

akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini dengan

mempelajari sifat berikut.

1. lim𝑥→0 sin 𝑥 = sin 0 = 0

2. lim𝑥→𝜋 cos 𝑥 = cos 𝜋 = −1

3. lim𝑡→0sin 𝑡

𝑡= 1

4. lim𝑡→0𝑡

sin 𝑡= 1

5. lim𝑡→0tan 𝑡

𝑡= 1

6. lim𝑡→0𝑡

tan 𝑡= 1

22


Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri, pelajari

cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut. Dalam beberapa hal,

cara menghitung limit fungsi trigonometri sama dengan cara menghitung

limit fungsi aljabar. Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab

sebelumnya berlaku juga untuk limit fungsi trigonometri.

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim𝑥→02𝑥

sin 2𝑥

Jawab

lim𝑥→02𝑥

sin 2𝑥= 1

Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim𝑥→05𝑥−sin 𝑥

𝑥

Jawab

lim𝑥→05𝑥−sin 𝑥

𝑥= lim𝑥→0

5𝑥

𝑥− lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥

= lim𝑥→0 5 − lim𝑥→0sin 𝑥

𝑥

= 5 – 1 = 4

Contoh 3

Tentukan limit fungsi lim𝑥→0sin 3𝑥

tan 2𝑥

Jawab

lim𝑥→0sin 3𝑥

tan 2𝑥= lim𝑥→0

sin 3𝑥

tan 2𝑥.

2𝑥

3𝑥.

3

2

= lim𝑥→02𝑥

tan 2𝑥.

sin 3𝑥

3𝑥.

3

2

= 3

2 . lim

𝑥→0

2𝑥

tan 2𝑥.

sin 3𝑥

3𝑥

= 3

2 .1 .1 =

3

2

23


Soal

Tentukan limit fungsi berikut

1. lim𝑥→1𝑥−1

𝑥−1

2. lim𝑥→22− 𝑥+2

𝑥−2

3. lim𝑥→∞𝑥

𝑥2−2𝑥−1

4. lim𝑥→∞ 3𝑥2−2𝑥+1

𝑥+100

5. lim𝑥→∞ 4𝑥+2 2

4𝑥2+9

6. lim𝑥→∞ 𝑥 + 1 − 𝑥 − 1

7. lim𝑥→03𝑥

sin 5𝑥

8. lim𝑥→𝜋

4

2(sin 𝑥−cos 𝑥)

1−sin 2𝑥

24


BAB IV

TURUNAN (DIFERENSIAL)

A. Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi f’ yang nilainya pada sebarang

bilangan c adalah 𝑓 ′ 𝑥 = lim𝑕→0 𝑓 𝑐+𝑕 − 𝑓(𝑐)

𝑕 jika limitnya ada. Notasi

turunan menggunakan f’ atau 𝑑𝑦

𝑑𝑥.

B. Teorema-Teorema Turunan

1. 𝑦 = 𝑘 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 dengan k konstanta

2. 𝑦 = 𝑥 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1

3. 𝑦 = 𝑥𝑛 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1 dengan n bilangan rasional

4. 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎. 𝑛𝑥𝑛−1 dengan n bilangan rasional

5. 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 + 𝑕′ 𝑥

6. 𝑦 = 𝑢. 𝑣 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢′ . 𝑣 + 𝑣′ . 𝑢

7. 𝑦 = 𝑢

𝑣 →

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑢 ′ .𝑣−𝑣′ .𝑢

𝑣2

8. 𝑦 = sin 𝑥 → 𝑦′ = cos 𝑥

9. 𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −sin 𝑥

10. 𝑦 = tg 𝑥 → 𝑦′ = sec2 𝑥

11. 𝑦 = cotg 𝑥 → 𝑦′ = −cosec2 𝑥

12. 𝑦 = sin 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = cos 𝑕 𝑥 . 𝑕′ (𝑥)

13. 𝑦 = cos 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = −sin 𝑕 𝑥 . 𝑕′(𝑥)

14. 𝑦 = tg 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = sec2 𝑕 𝑥 . 𝑕′(𝑥)

15. 𝑦 = cotg 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = −cosec2 𝑕 𝑥 . 𝑕′(𝑥)

16. 𝑦 = ln 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑓(𝑥)

𝑓 ′ (𝑥)

17. 𝑦 = 𝑒𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒𝑓 𝑥 . 𝑓 ′ (𝑥)

25


18. 𝑦 = arc sin 𝑥 → 𝑦′ =1

1−𝑥2

19. 𝑦 = arc tg 𝑥 → 𝑦′ =1

1+𝑥2

C. Turunan Tingkat Dua dan Turunan Tingkat Tiga

𝑦 → 𝑦′ → 𝑦′′ → 𝑦′′′

Atau

𝑦 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 →

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 →

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3

Contoh 1

𝑦 = cos 𝑥 , tentukan 8y’’’ + 4y’’ + 2y’ + y

Jawab

𝑦 = cos 𝑥

𝑦′ = − sin 𝑥

𝑦′′ = − cos 𝑥

𝑦′′′ = − − sin 𝑥 = sin 𝑥

8y’’’ + 4y’’ + 2y’ + y = 8 sin x + 4 (-cos x) + 2 (-sin x) + cos x

= 8 sin x - 4 cos x - 2 sin x + cos x

= 6 sin x - 3 cos x

SOAL

Tentukan turunan fungsi berikut

1. 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑥

2. 𝑦 = 𝑥

9+

9

𝑥

3. 𝑦 = 𝑥4 𝑥 − 5

4. 𝑦 = 2 + 3𝑥2 9

5. 𝑦 = 5 + 2𝑥 3 + 2𝑥 + 1

26


6. 𝑦 = tg 𝑥3 − 5𝑥

7. 𝑦 = 𝑥2 sin 𝑥

8. 𝑦 = 4𝑥3 cos −6𝑥

9. 𝑦 =𝑥3

4𝑥+1

10. 𝑦 =𝑥3

𝑥2+5

27


BAB V

APLIKASI TURUNAN

A. Persamaan Garis Singgung

Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva

y = f(x) di titik A [a, f(a)] adalah m. Persamaan garis lurus yang melalui

titik P(x1, y1) dengan gradien m adalah

y – y1 = m(x – x1)

Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A [a, f(a)] pada

kurva adalah

y – f(a) = f '(a)(x – a)

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4)

Jawab

f(x) = x2 f ’ (x) = 2x

m = f ’ (-2) = 2(-2) = -4

persamaan garis singgungnya adalah

y – f(a) = f '(a)(x – a)

y – 4 = f '(-2)(x – (-2))

y – 4 = (-4)(x + 2)

y – 4 = -4x - 8

y = -4x – 8 + 4

y = -4x – 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = -4x – 4

B. Nilai Ekstrem atau Nilai Puncak

Fungsi f dengan domain D yang memuat titik a dikatakan bahwa

1. f(a) adalah nilai maksimum fungsi f jika f(a) > f(x) untuk semua x dalam

D syarat nilai maksimum adalah f’(a) = 0 dan f’’(a) < 0

28


2. f(a) adalah nilai minimum fungsi f jika f(a) < f(x) untuk semua x dalam

D syarat nilai minimum adalah f’(a) = 0 dan f’’(a) > 0

Contoh 1

Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva y = 2x2 - x

Jawab

y = 2x2 – x

y’ = 4x – 1

4x – 1 = 0

𝑥 = 1

4 y = 2x2 – x

y = 2 1

4 2 -

1

4

y = 2

16 -

1

4 =

1

8 -

1

4 = - -

1

8

y’ = 4x – 1

y’’ = 4 (y’’ > 0) nilai minimum

Jadi, titik puncak adalah 1

4, −

1

8 dan merupakan titik maksimum

SOAL

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva-kurva berikut

a. f(x) = x2 – 3x – 7 di x = 4

b. f(x) = 1 − 1

2𝑥2 di titik (2,–1)

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 3x yang sejajar garis

y = x.

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x + 5 yang tegak

lurus y = –2x + 3.

4. Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva f(x) = x3 – 6x2 + 9x

5. Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume

8.000 cm3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang

digunakan seminimal mungkin.

29


6. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. Tentukan bilangan-bilangan

tersebut agar jumlah kuadratnya minimum.

7. Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi x unit

barang jenis A sebesar 2x3 – 4.000x2 + 6.000.000x rupiah per hari. Jika

barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi

agar biaya produksi per unitnya minimum.

kalkulus 1 - · pdf file2hadi sutrisno/p.matematika/stkip pgri bangkalan bab i pendahuluan...

Documents