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Limites infinitos e no infinito
Juliana Pimentel
Bases Matematicas
UFABC Bases Matematicas
Limites Infinitos e assıntotas verticais
Consideremos a funcao f (x) =1
x2. Quando x se aproxima de 0, x2
tambem se aproxima de 0 e1
x2fica arbitrariamente grande quando
tomamos valores de x proximos de 0.
Para indicar este fatoescrevemos
limx→p
f (x) = +∞.
UFABC Bases Matematicas
Limites Infinitos e assıntotas verticais
Consideremos a funcao f (x) =1
x2. Quando x se aproxima de 0, x2
tambem se aproxima de 0 e1
x2fica arbitrariamente grande quando
tomamos valores de x proximos de 0. Para indicar este fatoescrevemos
limx→p
f (x) = +∞.
UFABC Bases Matematicas
Definicao (Limite Infinito)
Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que
I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.
I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.
I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).
UFABC Bases Matematicas
Definicao (Limite Infinito)
Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que
I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.
Notacao limx→pf (x) = +∞.
I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.
I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).
UFABC Bases Matematicas
Definicao (Limite Infinito)
Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que
I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.
I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.
I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).
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Definicao (Limite Infinito)
Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que
I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.
I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.
Notacao limx→pf (x) = −∞.
I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).
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Definicao (Limite Infinito)
Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que
I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.
I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.
I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).
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Definicao (Limite Infinito)
Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que
I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.
I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.
I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).
UFABC Bases Matematicas
Exemplo
Prove que limx→0+
1
x= +∞.
Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que
0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1
K. De fato, seja
K > 0 escolha δ =1
K. Se 0 < x < δ, entao
0 < x < δ ⇒ 1
x>
1
δ= K .
O que mostra que limx→0+
1
x= +∞.
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Exemplo
Prove que limx→0+
1
x= +∞.
Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que
0 < x < δ.
Isto sugere que devemos tomar δ =1
K. De fato, seja
K > 0 escolha δ =1
K. Se 0 < x < δ, entao
0 < x < δ ⇒ 1
x>
1
δ= K .
O que mostra que limx→0+
1
x= +∞.
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Exemplo
Prove que limx→0+
1
x= +∞.
Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que
0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1
K.
De fato, seja
K > 0 escolha δ =1
K. Se 0 < x < δ, entao
0 < x < δ ⇒ 1
x>
1
δ= K .
O que mostra que limx→0+
1
x= +∞.
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Exemplo
Prove que limx→0+
1
x= +∞.
Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que
0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1
K. De fato, seja
K > 0 escolha δ =1
K. Se 0 < x < δ, entao
0 < x < δ ⇒ 1
x>
1
δ= K .
O que mostra que limx→0+
1
x= +∞.
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Exemplo
Prove que limx→0+
1
x= +∞.
Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que
0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1
K. De fato, seja
K > 0 escolha δ =1
K. Se 0 < x < δ, entao
0 < x < δ ⇒
1
x>
1
δ= K .
O que mostra que limx→0+
1
x= +∞.
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Exemplo
Prove que limx→0+
1
x= +∞.
Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que
0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1
K. De fato, seja
K > 0 escolha δ =1
K. Se 0 < x < δ, entao
0 < x < δ ⇒ 1
x>
1
δ= K .
O que mostra que limx→0+
1
x= +∞.
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Exemplo
Prove que limx→0+
1
x= +∞.
Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que
0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1
K. De fato, seja
K > 0 escolha δ =1
K. Se 0 < x < δ, entao
0 < x < δ ⇒ 1
x>
1
δ= K .
O que mostra que limx→0+
1
x= +∞.
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Definicao
A reta x = p e chamada de assıntota vertical do grafico dafuncao f se pelo menos uma das seguintes condicoes estiversatisfeita:
limx→p
f (x) = +∞, limx→p+
f (x) = +∞, limx→p−
f (x) = +∞,
limx→p
f (x) = −∞, limx→p+
f (x) = −∞, limx→p−
f (x) = −∞.
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Definicao
A reta x = p e chamada de assıntota vertical do grafico dafuncao f se pelo menos uma das seguintes condicoes estiversatisfeita:
limx→p
f (x) = +∞, limx→p+
f (x) = +∞, limx→p−
f (x) = +∞,
limx→p
f (x) = −∞, limx→p+
f (x) = −∞, limx→p−
f (x) = −∞.
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Definicao
A reta x = p e chamada de assıntota vertical do grafico dafuncao f se pelo menos uma das seguintes condicoes estiversatisfeita:
limx→p
f (x) = +∞, limx→p+
f (x) = +∞, limx→p−
f (x) = +∞,
limx→p
f (x) = −∞, limx→p+
f (x) = −∞, limx→p−
f (x) = −∞.
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Propriedades dos limites infinitos
Seja L um numero real. Temos:
I
limx→p
f (x) = L
limx→p
g(x) = −∞ =⇒
limx→p
(f · g)(x) = −∞, L > 0
limx→p
(f · g)(x) = +∞, L < 0
limx→p
(f + g)(x) = −∞.
I
limx→p
f (x) = L
limx→p
g(x) = +∞ =⇒
limx→p
(f · g)(x) = +∞, L > 0
limx→p
(f · g)(x) = −∞, L < 0
limx→p
(f + g)(x) = +∞
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Propriedades dos limites infinitos
Seja L um numero real. Temos:
I
limx→p
f (x) = L
limx→p
g(x) = −∞ =⇒
limx→p
(f · g)(x) = −∞, L > 0
limx→p
(f · g)(x) = +∞, L < 0
limx→p
(f + g)(x) = −∞.
I
limx→p
f (x) = L
limx→p
g(x) = +∞ =⇒
limx→p
(f · g)(x) = +∞, L > 0
limx→p
(f · g)(x) = −∞, L < 0
limx→p
(f + g)(x) = +∞
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Propriedades dos limites infinitos
Seja L um numero real. Temos:
I
limx→p
f (x) = L
limx→p
g(x) = −∞ =⇒
limx→p
(f · g)(x) = −∞, L > 0
limx→p
(f · g)(x) = +∞, L < 0
limx→p
(f + g)(x) = −∞.
I
limx→p
f (x) = L
limx→p
g(x) = +∞ =⇒
limx→p
(f · g)(x) = +∞, L > 0
limx→p
(f · g)(x) = −∞, L < 0
limx→p
(f + g)(x) = +∞
UFABC Bases Matematicas
I
limx→p
f (x) = +∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = +∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = −∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = −∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒ limx→p
(f · g)(x) = −∞
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I
limx→p
f (x) = +∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = +∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = −∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = −∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒ limx→p
(f · g)(x) = −∞
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I
limx→p
f (x) = +∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = +∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = −∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = −∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒ limx→p
(f · g)(x) = −∞
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I
limx→p
f (x) = +∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = +∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = −∞ =⇒
limx→p
(f + g)(x) = −∞
limx→p
(f · g)(x) = +∞
I
limx→p
f (x) = −∞
limx→p
g(x) = +∞ =⇒ limx→p
(f · g)(x) = −∞
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2=
limx→0
cos x1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2=
+∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4=
limx→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2=
+∞.
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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.
Exemplo
Calcule limx→0
cos x
x2.
limx→0
cos x
x2= lim
x→0cos x
1
x2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→0
sen x2
x4.
limx→0
sen x2
x4= lim
x→0
sen x2
x21
x2= +∞.
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Observacao: As propriedades acima sugerem como operar com ossımbolos +∞ e −∞. Assim, por exemplo,
L±∞ = ±∞, ∞ · (−∞) = −∞ e L · (−∞) = +∞ se L < 0.
Temos as seguintes indeterminacoes:
∞−∞, −∞+∞, 0 · ∞, ∞∞,
0
0, 1∞, 00, ∞0.
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Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4= lim
x→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1= lim
x→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) = −∞.
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Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4=
limx→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1= lim
x→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) = −∞.
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Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4= lim
x→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2=
+∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1= lim
x→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) = −∞.
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Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4= lim
x→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1= lim
x→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) = −∞.
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Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4= lim
x→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1= lim
x→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) = −∞.
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Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4= lim
x→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1=
limx→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) = −∞.
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Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4= lim
x→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1= lim
x→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) =
−∞.
UFABC Bases Matematicas
Exemplo
Calcule limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4.
limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4= lim
x→2+
1
x − 2
x2 + 3x
x + 2= +∞.
Exemplo
Calcule limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1.
Observe quex3 − 1
x2 − 2x + 1=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2. Assim,
limx→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1= lim
x→1−
1
x − 1(x2 + x + 1) = −∞.
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Limites no Infinito e assıntotas horizontais
Definicao (Limite no Infinito)
I Seja f uma funcao, entao
limx→+∞
f (x) = L
se,
dado ε > 0, existir R > 0 tal que |f (x)− L| < ε ∀x ∈ Df
com x > R .
I elim
x→−∞f (x) = L
se,dado ε > 0, existir R < 0 tal que |f (x)− L| < ε, ∀x ∈ Df
com x < R .
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Limites no Infinito e assıntotas horizontais
Definicao (Limite no Infinito)
I Seja f uma funcao, entao
limx→+∞
f (x) = L
se,dado ε > 0, existir R > 0 tal que |f (x)− L| < ε ∀x ∈ Df
com x > R .
I elim
x→−∞f (x) = L
se,
dado ε > 0, existir R < 0 tal que |f (x)− L| < ε, ∀x ∈ Df
com x < R .
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Limites no Infinito e assıntotas horizontais
Definicao (Limite no Infinito)
I Seja f uma funcao, entao
limx→+∞
f (x) = L
se,dado ε > 0, existir R > 0 tal que |f (x)− L| < ε ∀x ∈ Df
com x > R .
I elim
x→−∞f (x) = L
se,dado ε > 0, existir R < 0 tal que |f (x)− L| < ε, ∀x ∈ Df
com x < R .
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Definicao
A reta y = L e chamada de assıntota horizontal do grafico de fse ou
limx→+∞
f (x) = L ou limx→−∞
f (x) = L.
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Exemplo
Temos limx→+∞
1
x= 0 e lim
x→−∞
1
x= 0.
Dado ε > 0, queremos achar R > 0 suficientemente grande tal que
x > R > 0 =⇒ |f (x)− 0| =
∣∣∣∣1x − 0
∣∣∣∣ =1
x< ε.
Tomando R =1
ε> 0 temos
x > R > 0 =⇒ 0 <1
x<
1
R= ε.
Logo limx→+∞
1
x= 0. A prova para x → −∞ e analoga.
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Exemplo
Temos limx→+∞
1
x= 0 e lim
x→−∞
1
x= 0.
Dado ε > 0, queremos achar R > 0 suficientemente grande tal que
x > R > 0 =⇒ |f (x)− 0| =
∣∣∣∣1x − 0
∣∣∣∣ =1
x< ε.
Tomando R =1
ε> 0 temos
x > R > 0 =⇒ 0 <1
x<
1
R= ε.
Logo limx→+∞
1
x= 0. A prova para x → −∞ e analoga.
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Exemplo
Temos limx→+∞
1
x= 0 e lim
x→−∞
1
x= 0.
Dado ε > 0, queremos achar R > 0 suficientemente grande tal que
x > R > 0 =⇒ |f (x)− 0| =
∣∣∣∣1x − 0
∣∣∣∣ =1
x< ε.
Tomando R =1
ε> 0 temos
x > R > 0 =⇒ 0 <1
x<
1
R= ε.
Logo limx→+∞
1
x= 0. A prova para x → −∞ e analoga.
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Observacao: As propriedades do limite sao tambem validas sex → p for substituıdo por x → +∞ ou x → −∞.
Exemplo
Calcule limx→+∞
1
xnonde n e um inteiro positivo.
limx→+∞
1
xn= lim
x→+∞
(1
x
)n= 0.
Em geral, temos que limx→±∞
1
x r= 0 onde r e um numero racional
positivo.
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Observacao: As propriedades do limite sao tambem validas sex → p for substituıdo por x → +∞ ou x → −∞.
Exemplo
Calcule limx→+∞
1
xnonde n e um inteiro positivo.
limx→+∞
1
xn= lim
x→+∞
(1
x
)n= 0.
Em geral, temos que limx→±∞
1
x r= 0 onde r e um numero racional
positivo.
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Exemplo
Calcule limx→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x + 1.
limx→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x + 1= lim
x→+∞
x5(1 + 1
x + 1x5
)x5(2 + 1
x4+ 1
x5
)= lim
x→+∞
1 + 1x + 1
x5
2 + 1x4
+ 1x5
=1 + 0 + 0
2 + 0 + 0=
1
2.
Analogamente, mostra-se que o limite quando x→−∞ e1
2.
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Observacao: A estrategia para calcular limites no infinito de umafuncao racional consiste em colocar em evidencia a mais altapotencia de x no denominador e numerador.
Exemplo
Ache as assıntotas horizontais de f (x) =
√2x2 + 1
3x + 5.
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Consideremos x → +∞, entao x > 0.
limx→+∞
√2x2 + 1
3x + 5= lim
x→+∞
√x2(2 + 1
x2)
x(3 + 5x )
= limx→+∞
√2 + 1
x2
3 + 5x
=
√2
3.
Agora, consideramos x → −∞, entao x < 0.
limx→−∞
√2x2 + 1
3x + 5= lim
x→−∞−
√2 + 1
x2
3 + 5x
= −√
2
3.
Logo, a reta y =
√2
3e assıntota para x → +∞ e y = −
√2
3e
assıntota para x → −∞.
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Exemplo
Calcule limx→+∞
(2 +
senx
x
).
Observe que∣∣∣sen x
x
∣∣∣ ≤ 1
|x |=
1
x, para x > 0. Como lim
x→+∞
1
x= 0,
pelo Teorema do Confronto, limx→+∞
sen x
x= 0. Portanto,
limx→+∞
(2 +
sen x
x
)= 2 + 0 = 2.
Exemplo
Calcule limx→+∞
x sen1
x.
Fazendo u =1
xtemos que quando x → +∞, u → 0. Portanto,
limx→∞
x sen1
x= lim
u→0
1
usenu = 1.
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Limites Infinitos no Infinito
Utilizamos a notacao
limx→+∞
f (x) = +∞
para indicar que f (x) converge para +∞ quando x converge para+∞. De forma analoga utilizamos a notacao
limx→+∞
f (x) = −∞, limx→−∞
f (x) = +∞, limx→−∞
f (x) = −∞.
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Exemplo
Encontre limx→+∞
x2.
Definicao (Limite Infinito no Infinito)
I limx→+∞ f (x) = +∞
se, dado K > 0, existir R > 0 tal que f (x) > K , ∀x ∈ Df talque x > R .
I limx→+∞ f (x) = −∞
se, dado K < 0, existir R > 0 tal que f (x) < K , ∀x ∈ Df talque x > R .
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Observacao: Todas as propriedades de limites infinitos valem sesubstituirmos x → p por x → +∞ ou x → −∞.
Exemplo
I Prove, usando a definicao, que limx→+∞
x = +∞.
I Segue das propriedades que limx→+∞
xn = +∞, onde n e um
inteiro positivo.
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Exemplo
Calcule limx→+∞
(x2 − x).
Observe que temos uma indeterminacao da forma ∞−∞. Naopodemos aplicar a propriedade da soma. Contudo, podemosescrever
limx→+∞
(x2 − x) = limx→+∞
x(x − 1) = +∞ · (+∞− 1) = +∞.
Exemplo
Calcule limx→+∞
x3 + 3x − 1
2x2 + x + 1.
limx→+∞
x3 + 3x − 1
2x2 + x + 1= lim
x→+∞
x3(1 + 3
x2− 1
x3
)x2(2 + 1
x + 1x2
) = +∞.
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Exemplo
Calcule limx→−∞
x3 − 3x2 + 1
1− 2x2.
limx→−∞
x3 − 3x2 + 1
1− 2x2= lim
x→+∞
x3(1− 3
x + 1x3
)x2(
1x2− 2) = (−∞)
(−1
2
)= +∞.
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Limite Exponencial Fundamental
Teorema
limx→∞
(1 +1
x)x = e
onde e e aproximadamente 2, 71828 e e chamada constante deEuler.
Definicao
O logaritmo de base e e denominado funcao logaritmo natural ousimplesmente logaritmo. Assim, a funca ao logaritmo e a funcaoln : (0,∞)→ dada pela regra
ln x = y ⇐⇒ ey = x
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