jednoliko kružno gibanje - prirodopolis

Mesić – Fizika za srednje škole – Kružno gibanje (radna inačica)

Jednoliko kružno gibanje

Budući da se gibanje odvija po nekom putu nameće se nekako potreba da o putu saznamo sve što je važno za proučavanje gibanja. Pri tome će nas svakako zanimati duljina puta. A važno je znati i to je li put ravan ili zakrivljen, da li se uspinje po kosini ili se spušta, kakvo je trenje itd. Kod kružnog gibanja put je kružnica. Stoga ćemo se podsjetiti osnovnih pojmova..

Krug i kružnica su geometrijski pojmovi koje treba razlikovati, jer to nije isto. Krug je dio ravnine, dakle geometrijski lik, a kružnica je zakrivljena crta koja omeđuje krug. Do pogrešnog shvaćanja tih pojmova dolazi uglavnom zato jer se u svakodnevnom govoru riječ krug rabi kad se misli na kružnicu npr.: "Bila je magla, pa smo se vozili u krug vračajući se stalno na isto mjesto." Da bi upamtili razliku između kruga i kružnice predočit ćemo si slijedeću sliku : Iz komada papira možemo izrezati krug, ako

škarama režemo po kružnici. (Doduše tako izrezani "krug" ima debljinu papira, ali je ta dimenzija tako mala da je možemo zanemariti i smatrati izrezani komad geometrijskim likom) (Sl. 1.)

U opisivanju gibanja po kružnici trebat će nam neki nazivi za točnije sporazumijevanje.

a) Kružnica je skup točaka ravnine koje su jednako udaljene od jedne točke u istoj ravnini - koju zovemo središte, a na crtežima ćemo tu točku označavati slovom S. (Sl.2.)

b) Udaljenost od središta S do bilo koje točke na kružnici zove se polumjer ili radijus, a na

crtežima ćemo tu dužinu označavati slovom r. (Sl.3.)

c) Dužina koja spaja dvije točke na suprotnim stranama kružnice a prolazi središtem zove se promjer ili dijametar. Tu dužinu ćemo označavati kao 2r ili d. (Sl 4.)

Što je to broj π ?l

Za opisivanje kružnog gibanja još je važno je i da razumijemo što je to broj π (grčko slovo pi). Svi znamo koliki je iznos toga broja (π = 3.14.....), ali treba znati odakle potječe taj broj i zašto iznosi upravo toliko. Kako se dolazi do njega i u kakvoj je on vezi s kružnicom.

Da bi odgovorili na postavljena pitanja nacrtat ćemo kružnicu i zamisliti da je načinjena od savitljive niti ili žice, tako da ju na jednom mjestu možemo presjeći škarama. (Sl.5a) Kad je presječena izravnajmo ju i promatrajmo tako ispruženu kružnicu.(Sl 5b) Sad možemo mjeriti njenu duljinu primjenjujući različita mjerila. Npr. centimetar, inč, lakat itd. Možemo čak uzeti bilo koji predmet i stavljajući ga uz


ispruženu kružnicu određivati koliko je takovih predmeta dugačka kružnica. Pa ako, recimo, kao mjerilo uzmemo gumicu za brisanje, možemo se pitati koliko "gumica" je dugačka ispružena kružnica? (Sl. 5c)

Ako duljinu ove kružnice izmjerimo centimetrom vidjet ćemo da je dugačka približno 7 cm. Ako ju pak mjerimo npr. gumicom za brisanje dobit ćemo duljinu od oko "3 gumice". Dakle iznos će svaki put ovisiti o upotrebljenoj mjeri, stoga ćemo svaki put dobit drugačiji broj. Ako duljinu ove kružnice izmjerimo centimetrom vidjet ćemo da je dugačka približno 7 cm. Ako ju pak mjerimo npr. gumicom za brisanje dobit ćemo duljinu od oko "3 gumice". Dakle iznos će svaki put ovisiti o upotrebljenoj mjeri, stoga ćemo svaki put dobit drugačiji broj.

Mjerenje kružnice njenim promjerom

A sad ćemo za mjeru uzeti promjer ili dijametar kružnice. Možemo promjer uzeti u otvor šestara (Sl. 6.) i nanositi ga na ispruženu kružnicu. (Sl. 7) Kolika god da je kružnica uvijek će promjer na nju stati 3,14... puta. Tim smo postupkom promjer proglasili mjernom jedinicom. Kaže se još da smo normirali mjeru. Dakle svaka je kružnica dugačka točno 3,14... svojih promjera. Taj broj nije racionalan pa umjesto preostalih decimalnih mjesta stoje točkice. Zato ćemo odsad za njegovo označavanje upotrebljavati grčko slovo π. Zašto je omjer između opsega kružnice i njenog promjera upravo 3,14.. to nitko ne zna, ali se divimo činjenici da je to uvijek kod svake kružnice tako.

Duljina kružnice ili opseg je dakle

O = 2rπ

Ova činjenica o opsegu ili duljini kružnice toliko je značajna da ćemo ju još i pokusom dokazati.


Uzet ćemo bilo kakovu okruglu posudu (npr. lončić ili zdjelu). Zatim ćemo oko posude obaviti konac ili neku nit, kao što rade krojači kad uzimaju mjeru za opseg oko prsa ili struka obavijajući krojački metar oko tijela osobe za koju šiju. (Sl. 8.) Nakon toga ćemo nit ispružiti po stolu i zabilježiti njen početak i kraj. Tako određenu dužinu izmjerit ćemo promjerom posude (Sl. 9.)

Vidimo da u opseg stanu uvijek tri cijela promjera i još malo ostane. To "malo" je onih 0,14... promjera. Ponovimo li ovaj pokus s bilo kojim drugim okruglim predmetom rezultat će uvijek biti isti.

Kad se okruglo tijelo (kotač, bačva, i sl.) kotrlja po nekoj podlozi bez klizanja onda se sa svakim okretom "odmota" po podlozi duljina opsega, a on je uvijek 3,14 puta dulji od promjera. Pa sa svakim okretom tijelo prijeđe put 2rπ. (Sl. 10.)

Što je to obodna brzina?

Stavimo na stol ravnalo koje na jednom kraju ima rupu i kroz tu rupu zabijemo čavlić, a na drugi kraj ravnala položimo neko tijelo, na primjer gumicu za brisanje. Tada možemo, gurajući ravnalo rukom, postići da se gumica giba po kružnoj putanji. (Sl. 11.)


Slično se događa kad jedan krak šestara zabodemo u podlogu a drugi krak jednoliko kruži oko te nepomične točke opisujući kružnicu. U različitim trenucima t1, t2, t3, ... itd. tijelo (gumica) će se naći na različitim položajima svoje kružne putanje. U pojedinim razdobljima prelazit će putove koji su jednaki duljini kružnog luka između pojedinih položaja. Kod gibanja po kružnici tijela imaju brzinu baš kao i kod gibanja po ravnim putanjama.

Dakle, i kod kružnog gibanja brzina je omjer prijeđenog puta i vremena, samo što je put savijen u luk kružnice duljine Δs. (Sl. 12.)

Trajanje gibanja dobit ćemo ako od konačnog vremena t2 oduzmemo početno vrijeme t1. Početno i konačno vrijeme očitamo sa zaporne ure kojom mjerimo trajanje gibanja. Odnosno kažemo da je vrijeme gibanja razdoblje ili interval Δt = t2 - t1, a brzina je omjer puta i vremena.

To je obodna brzina tijela koje jednoliko kruži. Budući da će u istim vremenskim razmacima tijelo prevaljivati jednake putove onda će tako dobiven iznos brzine biti isti bez obzira na kojem dijelu kružnice promatramo gibanje.

Obodna brzina je vektor, što znači da osim iznosa ima i smjer u prostoru. Njen smjer je u svakom trenutku gibanja takav da s polumjerom zatvara pravi kut. Kažemo da je vektor brzine okomit na polumjer putanje ili da je brzina tangencijalna jer leži na pravcu koji je tangenta kružne putanje.

Jednoliko kruženje odvija se tako da tijelo stalno iznova prelazi isti put, a to je kružnica po kojoj se giba. Budući da se sa svakim obilaskom te kružne putanje gibanje ponavlja, možemo brzinu računati tako da načinimo omjer između duljine čitave kružnice i trajanja jednog obilaska po njoj. Dobit ćemo pri tome isti broj kao i kad smo u omjer stavljali mali odsječak puta Δs i pripadajuće vrijeme Δt.


Time što smo brzinu odredili upravo na jednom obilasku cijele kružnice normirali smo vrijeme, tj. veličina T u nazivniku postala je mjera za put duljine opsega. Vrijeme jednog obilaska kružnice mjereno u sekundama naziva se "period"

Iz ove formule se vidi da je obodna brzina razmjerna polumjeru kružnice. Jer, da smo našu gumicu stavili na ravnalo bliže središtu vrtnje ona bi u istom vremenu prevalila kraći put. Odnosno tijelo koje se s istim periodom giba po kružnici većeg polumjera ima i veću obodnu brzinu (Sl. 13)

S periodom je u tijesnoj vezi jedna važna fizikalna veličina koju zovemo frekvencija.

Period je trajanje ili vrijeme jednog obilaska u sekundama, a frekvencija je broj koji nam kaže koliko puta tijelo obiđe kružnicu u jednoj sekundi. Period i frekvencija su međusobno recipročne veličine. Na primjer, ako tijelu treba 0,2 sekunde (ili 1/5 sekunde) da obiđe kružnicu, onda u jednoj sekundi tijelo učini 5 obilazaka. Ili, ako period iznosi 4 sekunde onda tijelo u jednoj sekundi izvrši 1/4 okreta, pa kažemo da je frekvencija 0,25 s

-1. Jedinica za frekvenciju je [s

-1],

ili Hertz [Hz]

Sad kad znamo što je frekvencija, možemo izraz za obodnu brzinu pisati u još jednom obliku, tako da opseg kružnice umjesto dijeljenja s periodom pomnožimo s frekvencijom

Što je to kutna brzina?

Kod kružnog gibanja tijelo osim obodne brzine ima još jednu veličinu koju zovemo kutna brzina. Kako se već iz samog naziva može nazrijeti kutna brzina je u vezi s kutovima, pa je neophodno da kutove znamo mjeriti različitim mjerama. Jednu od mjera već poznajemo, to su stupnjevi (krug podijeljen na 360 dijelova). Druga mjera za kut, koju trebamo znati su radijani. Postoje još i gradi (krug podijeljen na 400 dijelova), ali o njima nećemo govoriti jer se ta stara njemačka mjera više ne koristi. Sve tri mjere postoje na džepnim kalkulatorima i treba dobro paziti koja je mjera odabrana tipkom DRG .


Što su to radijani?ll

Kutove smo navikli mjeriti u stupnjevima. Oni se dobiju tako da krug podijelimo na 360 jednakih dijelova. Jedan takav dio ravnine je stupanj.

Radijani su mjera za kut koju ćemo također dobiti dijeljenjem kruga ali na drugi broj dijelova. Evo kako:

Nacrtat ćemo kružnicu pomoću šestara. Spojimo polumjerom središte s bilo kojom točkom na kružnici, a zatim iz te točke nastavimo nanositi polumjer presijecajući kružnicu šestarom. (Sl. 14)

S koliko ćemo takvih koraka ponovo doći u početnu točku? Očito sa šest koraka. Uostalom šestar se i zove tako jer pomoću njega možemo krug podijeliti na šest jednakih dijelova. Svatko će se sjetiti "cvjetića" koje djeca rado konstruiraju kad se upoznaju sa šestarom.

Polumjer položen šestarom pruža se kao tetiva luka. No mi ćemo zamisliti da je polumjer načinjen od neke niti ili konca, tako da ga možemo položiti na samu crtu kružnice (vidi sliku 15). Sad je polumjer postao luk. Spojimo li krajeve tog luka sa središtem kružnice bit će time određen kut od jednog radijana. Kad smo govorili o broju π vidjeli smo da promjer može stati na kružnicu 3.14… puta, stoga je očito da će polumjer koji je upola kraći stati na kružnicu dvostruko više puta, tj. 6,28…ili 2 π puta. A budući da svaki luk duljine polumjera određuje kut od jednog radijana imat će

puni krug 6,28…ili 2π radijana. Sad znamo još jednu mjeru za kutove pa možemo lako pretvarati

stupnjeve u radijane i obrnuto:

Za pojam kutne brzine važno je upamtiti da puni kut ima

2π radijana.

Kutna brzina …. Vratimo se sada kutnoj brzini. Tijelo koje se giba po zakrivljenoj putanji uvijek ima neku udaljenost od središta zakrivljenosti. Općenito se ta udaljenost mijenja, no kod gibanja po kružnici ona je stalna. Vektor koji se pruža od središta zakrivljenosti putanje do tijela na toj putanji naziva se "vektor pratilac" ili "radijus-vektor". Vrh tog vektora stalno prati tijelo tijekom gibanja, a početak je vezan za središte zakrivljenosti. Kako se vektor pratilac vrti zajedno s tijelom tako njegova dužina prelazi ravninom gibanja i pri tom "prebriše" određeni kut. (Slika 17)

STUPNJEVI RADIJANI

00

= 0

900

=

π/2

1800

=

π

2700

=

3π/2

3600

=

2π

Slika 14

Slika 16


Δφ

U vremenu Δt vektor pratilac, čiji vrh je vezan za tijelo,

"prebriše" kut Δφ

Slika 18

Vektor pratilac ili radijus-vektor

t = 2 sek

U različitim trenucima t1, t2, t3, ... itd. tijelo (gumica) će se naći na različitim položajima svoje kružne putanje. U pojedinim razdobljima vektor pratilac prebrisat će kutove određene duljinom kružnog luka između pojedinih položaja. Kutna brzina je omjer prebrisanog kuta Δφ i vremena Δt, a označava se grčkim slovom omega. ω (Sl. 18)

Kao primjer kutne brzine poslužit će nam brisač vjetrobranskog stakla na vozilu. Ako od jednog do drugog krajnjeg položaja brisač, na primjer, prebriše kut od 120

0, a za to mu je

potrebno recimo 2 sekunde, onda je njegova kutna brzina 60

0 u sekundi.

r

Kut koji u vremenu Δt prebriše radijus-vektor

Slika 17

r

st

1ω


To je kutna brzina tijela koje jednoliko kruži. Budući da će u istim vremenskim razmacima radijus-vektor prebrisati jednake kutove onda će tako dobiven iznos kutne brzine biti isti bez obzira na kojem dijelu kružnice promatramo gibanje.

Kutna brzina je vektor. U svakom trenutku taj vektor zatvara pravi kut i s polumjerom i s obodnom brzinom. Kažemo da je vektor brzine okomit na ravninu putanje ili da kutna brzina leži na pravcu koji je os vrtnje tijela. Smjer se određuje pravilom desne ruke – kad prsti pokazuju smjer obodne brzine palac pokazuje smjer kutne brzine.

Budući da se sa svakim obilaskom kružne putanje gibanje ponavlja, možemo kutnu brzinu računati tako da načinimo omjer između punog kuta i vremena potrebnog da se on prebriše, a to je trajanje jednog obilaska po kružnici. Dobit ćemo pri tome isti broj kao i kad smo u omjer stavljali mali odsječak kuta Δφ i pripadajuće vrijeme Δt. Sad kad znamo što su to radijani puni kut ćemo mjeriti tom mjerom. Radijani nemaju posebnu oznaku za jedinicu, stoga se u formulama ne piše [rad] niti išta drugo. Jedinica za kutnu brzinu je [s

-1].

Time što smo kutnu brzinu odredili upravo na jednom obilasku cijele kružnice normirali smo vrijeme na isti način kao i kod obodne brzine. Iz ove formule se vidi da kutna brzina ne ovisi o polumjeru kružnice. Jer, da smo našu gumicu stavili na ravnalo bliže središtu vrtnje njezin bi radijus-vektor u istom vremenu prebrisao isti kut. Odnosno - tijela koja se s istim periodom gibaju po kružnicama različitih polumjera imaju jednaku kutnu brzinu (Sl. 19) Izraz za kutnu brzinu možemo pisati u još jednom obliku, tako da puni kut (u radijanima) umjesto dijeljenja s periodom pomnožimo s frekvencijom:

Tt

2

Puni kut u radijanima

3600 = 2 [radijana]

Period

T

2

1 = 2

Prebrisani su jednaki kutovi

Slika 19

f 2


Kakva je veza između obodne i kutne brzine ?ll

Izveli smo izraze za obodnu i kutnu brzinu, pa pogledajmo kakva je veza među tim izrazima i kako se znajući jednu od tih brzina može izračunati ona druga. To će nam biti od velike koristi u rješavanju zadataka.

OBODNA BRZINA KUTNA BRZINA

U izrazu za obodnu brzinu nalazi se izraz 2π/T koji možemo zamijeniti znakom ω jer je to kutna brzina.

Zadatak. Na crtežu desno prikazan je lančani prijenos kod

bicikla. Na zupčanicima koji se okreću su dva zupca obojena crveno. Koji od tih zubaca ima veću kutnu, a koji obodnu brzinu?

Centripetalno ubrzanje*

Kako je moguće da se zemlja stalno kreće po kružnoj putanji oko sunca obilazeći ga neprekidno

iznova i iznova prividno bez ičega što bi je držalo na toj putanji? Zašto mjesec ne padne na zemlju?

Kako umjetni sateliti mogu stajati na toj udaljenosti od zemlje? Zašto se biciklist mora nagnuti u zavoju

dok se automobil naginje u suprotnu stranu. Kako centrifuga suši rublje? Sve su ovo primjeri kružnog

gibanja i neophodno je istražiti njegove osobitosti

Razmatrat ćemo kruženje stalnom kutnom brzinom, odnosno gibanje sa stalnim brojem obilazaka u

sekundi. Mogli bi pomisliti da za ove uvjete vrijedi I Newtonov zakon, ali on se odnosi na jednoliko

gibanje po pravcu, a ne po kružnici. Gibate li se po kružnici možete imati stalan iznos brzine, ali

smjer brzine sigurno neće biti stalan jer se on kod kružnog gibanja neprekidno mijenja.

T

2

rv r

v


Prilikom vrtnje tijelo se stalno ubrzava prema središtu kružnice. Usprkos tom stalnom ubrzanju tijelu se

ne povećava iznos brzine niti se ono približava središtu. Ubrzanje se očituje jedino u tome, što tijelo

skreće smjer svoje brzine prema središtu. Promatrajmo brzinu tijela na početku i na kraju kratkog

razdoblja Δt. Na početku je tijelo u točki P i ima brzinu v. Poslije toga je u točki P' i ima brzinu v´. To

nisu isti vektori. Translatiramo li vektor v tako da mu se hvatište poklapa s hvatištem od v' vidjet ćemo

da među njima postoji razlika Δv. U promatranom razdoblju smjer vektora brzine promijenio se za isti

kut Δφ koji je prebrisao i radijus vektor.

Da brzinu zakrenemo za toliki kut, moramo joj prema središtu kružnice dati prirast jednak Δv. No veličinu tog vektora nećemo računati izravno nego ćemo je zamijeniti lukom koji je opisao vrh vektora obodne brzine kad se je iz položaja u času t1 zakrenuo u položaj u času t2. Za male kutove to će biti dobro približenje. Toliko je približno velik luk između strelica v i v', koje na crtežu predočuju brzine na početku i kraju razdoblja Δt. Tu promjenu brzine sila je proizvela u promatranom vremenu Δt. Dakle, omjer između promjene brzine i tog vremena upravo je jednak kružnoj akceleraciji:

(4) acp = Δv/ Δt ≈ v Δφ / Δt

Omjer između kuta Δφ i vremena Δt jednak je kutnoj brzini ω odnosno omjeru između punog kuta

kružnice (u radijanima) 2π i trajanja T jednog cijelog okretaja. Stoga je centripetalno ubrzanje

jednako umnošku obodne i kutne brzine.

(5) acp = v ω

odnosno, ako uvedemo zamjene v = ω r i ω = v/ r

(6) acp = v2/ r = ω2 r

Ovaj je rezultat na prvi pogled proturječan. Naime ne možemo odmah reći je li centripetalno ubrzanje veće kad je tijelo bliže središtu vrtnje ili kad je dalje od njega.

Centripetalno ubrzanje obrnuto je razmjerno polumjeru

Centripetalno ubrzanje obrnuto je razmjerno polumjeru

acp = v2/ r

Ovo je dosta zorno. Zamislimo da se polumjer zavoja ceste povećava. Tada se sve manje mijenja smjer brzine prema središtu. U granici beskonačnog polumjera tijelo se kreće po pravcu, i centripetalnog ubrzanja nema. Ovisnost centripetalnog ubrzanja o kvadratu brzine možemo također lako uvidjeti ako pomislimo da se smjer brzine to brže mijenja što se čestica po kružnici brže giba. To vrijedi ako uspoređujemo gibanje na različitim polumjerima ali istih obodnih brzina.


Centripetalno ubrzanje razmjerno je polumjeru Ako, međutim, promatramo gibanje tijela na različitim polumjerima ali s istim kutnim brzinama onda će centripetalno ubrzanje biti razmjerno polumjeru, odnosno veće ubrzanje imat će tijelo kojem je veća obodna brzina.

Centripetalno ubrzanje razmjerno je polumjeru

Centripetalna sila Budući da je sila općenito umnožak mase i ubrzanja tako se i centripetalna dobiva množenjem mase i centripetalnog ubrzanja:

Fcp = mv2/ r = mω2 r = m 4π2/T2 r = m 4π

2f2 r

I ovdje ćemo utvrditi da je za kružnu putanju potrebno djelovanje sile, ali bi bilo pogrešno reći da je "centripetalna sila uzrok kružnog gibanja“. Naime centripetalna sila nije uzrok nikakvog gibanja pa niti kružnog zato što centripetalna sila ne može niti jedno tijelo pomaknuti s mjesta niti mu može mijenjati iznos brzine.

Centripetalna sila može samo putanju učiniti kružnom, odnosno ona može mijenjati smjer brzine. No ona nije "pogon" za napre-dovanje tijela po toj kružnici. Na primjer: Ako bi nogom udarili loptu koja je vezana za klin zaboden u zemlju, lopta bi krenula u gibanje po pravcu sve dok joj napetosti niti koja igra ulogu centripetalne sile ne bi putanju savila u kružnicu. Ali pri tome ta centripetalna sila nije uzrok gibanja lopte, jer lopta se giba zato

što je udarena nogom, a napetost niti joj samo mijenja smjer brzine. Ako bismo loptu koja miruje na travnjaku počeli povlačiti prema kolčiću, dakle u smjeru centripetalne sile, to ne bi uzrokovalo kruženje lopte. Za ostvarivanje kružne putanje potrebno je da tijelo već ima neku brzinu kojoj će centripetalna sila promijeniti smjer.


Osim napetosti niti ulogu centri-petalne sile može igrati i pritisak stjenke. Tako na primjer možemo zamisliti da kuglu zakotrljamo u kružnu ogradu. Pritisak ograde skrenut će putanju a time i vektor brzine. Ako bi ograda bila obložena mekanim plastelinom kugla bi ostavila utisnuti trag kao posljedicu pritiska. No jasno je da pritisak ograde nije uzrok gibanja kugle, ona se giba zato što smo je gurnuli, a centripetalna sila samo skreće smjer vektora brzine.

Ulogu centripetalne sile mogu igrati i druge sile pa se tako možemo pitati koja sila omogu-ćava automobilu da skreće u zavoju ceste. Odnosno koji uvjeti na cesti uzrokuju da automobil ne može skrenuti nego nastavlja gibanje po pravcu i dolazi do slijetanja s ceste? Očito je iz iskustva da na poledici vozila ne mogu zadržati smjer kružnoga gibanja iz čega zaključujemo da ulogu centripetalne sile igra sila trenja.

Još je jedna značajna sila centripetalna. To je ona sila zbog koje nebeska tijela kruže oko nekog većeg centralnog tijela kao što je naše Sunce. Ili zbog koje sateliti kruže oko Zemlje. Naime gravitacijsko privlačenje igra ulogu centripetalne sile.


U magnetskom polju javlja se također jedna centripetalna sila koja djeluje na električni naboj u gibanju. Ako se naboj Q giba brzinom v tako da vektor brzine i vektor magnetske indukcije B čine neki paralelogram (tj. da nisu paralelni) javlja se sila koja je okomita i na v i na B. Ta se sila zove Lorentzova, a djeluje tako da skreće putanju naboja. Lorentzova sila je razmjerna naboju Q i površini paralelo-grama koji razapinju v i B.

Iz svega do sada navedenog možemo zaključiti da centripetalna sila nije neka posebna jedinstvena sila nego da njenu ulogu mogu igrati različite sile koje djeluju na tijelo u gibanju. Primjerice na avion koji leti u tzv. "lupingu" djeluje pritisak zraka na njegova krila na isti način kao što na naboj u magnetskom polju djeluje Lorentz-ova sila.

A što je s centrifugalnom silom?

Centrifugalnu silu uočava samo promatrač koji se nalazi u sustavu kojem se brzina mijenja po smjeru. Da bismo razumjeli ovu izjavu potrebno je razlikovati ubrzani i mirujući sustav. Zamislimo da putujemo u kabini prekooceanskog broda koja je u trupu broda ispod razine mora. To znači da kabina nema prozor kroz koji bismo mogli vidjeti pučinu ili kopno. Ona predstavlja naš sustav i mi se gibamo zajedno s tim sustavom. Kako ćemo znati giba li se naš sustav ili miruje, i ako se giba ide li jednoliko po pravcu ili mijenja brzinu (po iznosu ili smjeru).

Okolnosti su takve da položaj našeg sustava ne možemo uspoređivati prema okolini jer nema prozora, Zato ćemo promatrati tri predmeta: kuglu na ravnoj podlozi, površinu tekućine u čaši i svjetiljku koja visi na niti. Ako naš sustav ne mijenja brzinu, tj. ako miruje ili ide jednoliko po pravcu, nije moguće razlikovati u kojem se

stanju nalazi - giba li se ili miruje. U oba stanja brzina sustava se ne mijenja niti po iznosu niti po smjeru, jer i mirovanje je stanje nepromijenjene brzine, samo što je ta brzina jednaka nuli. I ne postoji nikakav pokus niti pojava pomoću koje bismo mogli utvrditi giba li se naš sustav jednoliko po pravcu ili miruje. U oba slučaja kugla će ostati na mjestu, površina tekućine ostat će vodoravna, a svjetiljka neće pokazivati nikakav otklon.

To je mirujući ili inercijalni sustav i u njemu možemo primijeniti prvi Newtonov zakon.


Ako sustav (brod i kabina na njemu) počne ubrzavati ili usporavati ili mijenjati smjer brzine, to ćemo primijetiti kao promatrač u ubrzanom ili akceleriranom sustavu. Uočit ćemo da se tijela u tom sustavu ubrzavaju i to u suprotnom smjeru od smjera kojim se ubrzava sam sustav. Kugla će se kotrljati, površina tekućine će se nagnuti, a svjetiljka će se otkloniti iz svog ranijeg položaja. Za nas kao promatrača u takvom sustavu postojat će tzv. inercijalno ubrzanje, odnosno inercijalna sila. Međutim ta je sila samo prividna, naime nju vidi samo promatrač u takvom ubrzanom sustavu. Promatrač koji bi s nepomične obale gledao u našu kabinu ne bi primijetio nikakvu silu, on bi jednostavno ustanovio da se tijela koja su dobro vezana za sustav ubrzavaju zajedno s njim, a ona na koja se ubrzanje sustava slabo prenosi (kugla, tekućina, njihalo) jednostavno zbog inercije ostaju na mjestu. Dakle promatrač iz

mirujućeg sustava vidi samo ubrzavaju li se tijela zajedno sa sustavom ili ne. Ako je vozilo sustav događaji izgledaju ovako:

Možemo zaključiti: za promatrača u sustavu koji mijenja brzinu javljaju se inercijalne sile s ubrzanjima suprotnim od ubrzanja samog sustava. Iznos tih ubrzanja jednak je ubrzanju sustava. Za promatrača iz mirujućeg sustava te sile ne postoje. Za njega postoji samo ubrzavanje zajedno sa sustavom ili inercijsko zadržavanje ranijeg stanja mirovanja, odnosno jednolikog gibanja po pravcu.

Putnik u tramvajskim kolima

može mirno stajati sve dok kola

miruju ili se gibaju jednoliko

po pravcu. Ne mora se držati za

rukohvat. Kada ne bi bilo pro-

zora, on ni na koji način ne bi

mogao utvrditi gibaju li se kola

ili stoje na mjestu.

Kada sustav ubrzava, tijela koja su

dobro vezana za sustav, kao što su

stopala putnika vezana trenjem,

ubrzavaju se zajedno sa sustavom.

Dijelovi tijela na koja se ubrzanje

sustava ne prenosi ostaju zbog

inercije na mjestu (glava i gornji

dio tijela). Međutim putnik to

doživljava kao inercijalno ubrza-

nje koje ga gura prema stražnjem

dijelu kola.

Kod usporavanja, sustav usporava

tijela s kojima je dobro spregnut,

kao što su stopala putnika vezana

trenjem, i usporavaju se zajedno

sa sustavom. Dijelovi tijela na

koja se usporavanje sustava ne

prenosi nastavljaju se zbog iner-

cije gibati dalje (glava i gornji dio

tijela). Međutim putnik to doži-

vljava kao inercijalnu silu koja

ga gura prema naprijed.


Inercijalne sile mogu biti izuzetno velike ako sustav u djeliću sekunde doživi veliku promjenu brzine. U krajnjim slučajevima ne pomažu ni sigurnosni uređaji za vezanje jer pri zaustavljanju naši unutrašnji organi trpe ogrom-ne inercijalne sile koje ne mogu podnijeti i uslijed kojih dolazi do njihovog prsnuća.

Ubrzani sustavi u vertikalnom gibanju Dizanje tereta u gravitacijskom polju može biti osim težinom opterećeno dodatnim inercijalnim silama koje treba uzimati u obzir. Dobar primjer za to su pojave u dizalima. Razmotrimo nekoliko različitih slučajeva

a) Dizalo miruje ili se giba jednolikom brzinom – nema inercijalne sile

b) Dizalo ubrzava prema gore – tijela dodatno pritišću na pod dizala jer postoji inercijalno ubrzanje suprotno od ubrzanja dizala i uže kojim se dizalo diže trpi veću silu nego kad dizalo miruje ili se giba jednoliko.

c) Dizalo usporava u gibanju prema gore - tijela manje pritišću na pod dizala jer je inercijalno ubrzanje suprotno od ubrzanja sile teže i uže trpi manju silu.

d) Dizalo ubrzava u gibanju prema dolje – ubrzano spuštanje, ako bi ubrzanje dizala bilo jednako ubrzanju sile teže, primjerice kada bi uže puknulo, tijela u kabini dizala bila bi u bestežinskom stanju. main=mg ═► F'=0

e) Dizalo usporava u gibanju prema dolje – U slučaju naglog kočenja pri spuštanju dizala ili pri padu dizala, javlja ju se velike inercijalne sile koje vrše pritisak tijela na pod kabine jer se težini pribraja još i velika inercijalna sila.

sm

jer

gib

an

ja

sm

jer

gib

an

ja

sm

jer

gib

an

ja

sm

jer

gib

an

ja

b) c) d) e)

asustav

g ainerc.

asustav

ainerc. g g g

asustav

ainerc.

asustav

ainerc.

F'= mg + main F'= mg - main F'= mg - main F'= mg + main

a)

v = 0 ili v = konst.

F'= mg

g


Ubrzani sustavi u kružnom gibanju

Na ravnu platformu koja može jednoliko kružiti postavimo glatku kuglu i pregradu duž polumjera. Jedan promatrač stoji na platformi, a drugi promatrač događaj promatra iz mirujućeg sustava. Što će oni uočiti kad počne vrtnja platforme?

Promatrač iz mirujućeg sustava vidi da pregrada gura kuglu, a ona se giba po pravcu. Jednostavno zato što kugla nije spregnuta sa sustavom čiji dijelovi se centripetalno ubrzavaju pa nema niti centripetalne sile koja bi putanju kugle učinila kružnom. On stoga može uočiti samo to da kugla uslijed inercije zadržava stanje jednolikog gibanja po pravcu. Tek ako je tijelo vezano za sustav, vidjet će centripetalno ubrza-vanje zajedno sa sustavom.

Promatrač u sustavu koji se okreće vidi, međutim, da se kugla giba od središta prema obodu platforme, a tome je uzrok 'neka sila'. To je inercijalna sila i ona postoji samo za promatrača u tom sustavu. To je centrifugalna sila.

Pogledajmo na još jednom primjeru kako događaji izgledaju u različitim sustavima: U tovarnom prostoru kamiona sjede dva meksikanca naslonjena leđima na kabinu kamiona. U lijevom kutu tovarnog sanduka vozi se glavica kupusa. Događaj promatra treći meksikanac koji sjedi na uzvisini pored ceste. Kamion ulazi u zavoj i pri tome predstavlja sustav koji se centripetalno ubrzava. Promatrač iz mirujućeg sustava vidi da na glavicu kupusa ne djeluje nikakva centripetalna sila koja bi njegovu putanju učinila kružnom pa kupus nastavlja gibanje po pravcu sve dok se ne nasloni na ogradu vozila nakon čega će se početi gibati po kružnoj putanji, odnosno počet će se centripetalno ubrzavati.

Međutim, promatrači koji se nalaze u ubrzanom sustavu vide da se glavica kupusa otkotrljala prema vanjskom rubu zavoja ceste i oni zaključuju da je to uzrokovala 'neka sila'. Za njih dakle postoji centrifugalna sila koja ima smjer suprotan od smjera ubrzanja sustava. Iznos tog inercijalnog ubrzanja jednak je iznosu centripetalnog ubrzanja ali je suprotnog smjera i može se uočiti samo iz sustav koji se ubrzava. Za promatrača u mirujućem sustava to ubrzanje i ta sila ne postoje. Centrifugalna i centripetalna sila jesu isitih iznosa, a suprotnih smjerova i djeluju na isto tijelo ali u različitim sustavima pa stoga ne podliježu 3. Newtonovom zakonu i međusobno se ne poništavaju. Ako bismo tvrdili da se centripetalna i centrifugalna sila poništavaju to bi značilo da je ukupna sila na tijelo jenaka nuli pa bi se po 1. Newtonovom zakonu tijelo moralo gibati po pravcu, a ono to ne čini jer kruži.

rmr

mvFcf

22

acp

acf

Promatrač iz mirujućeg sustava

Promatrači u ubrzanom sustavu

Promatrač iz mirujućeg sustava

Promatrač iz ubrzanog sustava


Simuliranje gravitacije u svemirskoj stanici Odnos između centripetalne i centrifugalne sile zbunjuje većinu ljudi pa se znaju javljati ovakva pitanja: "Ako centrifugalna sila u stvarnosti ne postoji, tj. ako je ona fiktivna, zašto nam je onda ona potrebna da bismo

objasnili umjetnu gravitaciju?"

Što je u stvari težina?

Opisujući razliku između sustava koji miruje ili se giba jednoliko po pravcu i sustava koji mijenja brzinu rekli smo da ne možemo osjetiti brzinu stalnog iznosa i smjera i ne možemo je razlikovati od stanja mirovanja, ali ubrzanja možemo osjetiti. Kao putnici u automobilu možemo čak i zatvorenih očiju reći kada vozilo ubrzava, usporava ili skreće u zavoju. Međutim samo zato što možemo osjetiti ubrzanja ne znači da mi uvijek osjećamo ubrzanje. Na primjer u slobodnom padu, osjećamo bestežinsko stanje – osjećamo se kao da lebdimo, a ne kao da se ubrzavamo (kao u autu). Ako skočimo sa stolice, ubrzavamo se dok padamo ali tijekom padanja ne osjećamo ubrzavanje. Kada astronauti izlaze iz svoje kapsule u svemirsku šetnju, oni su u slobodnom padu, i centripetalno se ubrzavaju prema Zemlji, ali oni izgledaju i osjećaju se kao da lebde – a ne kao da padaju. Prema tome, kada ste bačeni u slobodan let, sila teža vas privlači prema Zemlji iznosom mg, i u stvari se ona očituje u ubrzavanju prema tlu s ubrzanjem "g", ali pri tome ne osjećate svoju težinu – osjećate se kao da lebdite. Ako, međutim, sjedite ili stojite Zemlja vas vuče prema dolje silom iznosa mg, a pod ili vaš stolac gura vas prema gore jednakom silom reakcije tako da je ukupna sila jednaka nuli, i vaše ubrzanje u vertikalnom smjeru je također nula – tada osjećate

težinu. Kada bi zajedno sa stolicom slobodno padali, stolica vas ne bi gurala prema gore pa bi jedina sila bila sila teža prema dolje i vi bi se ubrzavali prema dolje – ali ne bi osjećali težinu. Moramo dakle zaključiti, ako na nas djeluje samo sila teža mg, nalazimo se u bestežinskom stanju. Sila teža nas čini "teškima", ali osjećaj težine daje nam reakcija podloge silom prema gore a ne sila teža koja nas vuče dolje. Stoga, da bismo oponašali utjecaj gravitacije nije nam potrebna sila slična sili teži prema dolje, nego samo reakcija podloge, pravog iznosa, usmjerena prema gore! Najprije, razmotrimo ne-rotirajuću svemirsku stanicu negdje u svemiru. Uočite da astronaut unutar stanice lebdi. Budući da su i astronaut i svemirska stanica u slobodnom padu, astronaut (i sve ostalo u svemirskoj stanici) osjeća "bestežinsko stanje".

Stacionarna svemirska stanica Rotirajuća svemirska stanica

Da bi se astronaut unutar svemirske stanice gibao po kružnici mora na njega djelovati centripetalna sila. Tu silu može stvarati vanjska stjenka svemirske stanice. Uočite da ta sila oponaša reakciju podloge kakvom tlo djeluje na čovjeka na Zemlji. Zbog toga će centripetalna sila stvarati kod

Ako je čovjek u slobodnom padu, gravitacijska sila ga ubrzava ali on nema težinu,

nalazi se u "bestežinskom stanju."

Dok čovjek stoji na tlu, gravi-tacijska sila ga ne ubrzava ali on osjeća "težinu". Težina nije

posljedica gravitacije, nego sile kojom se odupire podloga!

mg

mg

reakcija podloge


astronauta osjećaj težine! Nema gravitacijske sile – samo reakcija podloge – astronaut nije stvarno teži, on samo osjeća težinu. Sve što trebamo učiniti jest da brzinu vrtnje svemirske stanice prilagodimo tako da centripetalna sila kojom stanica djeluje na astronauta bude jednaka težini astronauta na Zemlji, tj. mg, i on će osjećati svoju normalnu težinu (ali neće biti pod djelovanjem sile teže!!). Budući da nemamo na raspolaganju svemirsku stanicu možemo jednostavnim pokusom pokazati kako centripetalna sila može zamijeniti težinu:

Posijemo li pšenicu u posudu koja se za vrijeme klijanja i rasta pšenice neprekidno okreće, vlati će rasti usmjerene prema osi vrtnje. Za biljku je to smjer u kojem se najlakše odupire savijanju uslijed bočnih sila. Taj smjer je vektorski zbroj reakcije tla (suprotan od g) i centripetalnog ubrzanja ω

2r koje

osjeća zrno. Bilo bi zanimljivo ispitati može li biljka uopće rasti u bestežinskom stanju.

Kako radi "centrifuga" u perilici rublja?

Centrifuga služi za izvlačenje (odvajanje) vode iz opranog rublja. Mokro rublje okreće se u bubnju koji ima plašt izbušen brojnim rupicama. Vrtnjom bubnja rublje se uslijed djelovanja centripetalne sile giba po kružnoj putanji. Ulogu te sile igra pritisak stjenke bubnja. Voda se, zbog rupica, ne može prisiliti na kružnu putanju pa se ona cijedi i uslijed inercije nastavlja gibanje po pravcu. Promatrač iz mirujućeg sustava vidi da na vodu ne djeluje centripetalna sila jer sustav tu silu ne može prenijeti na vodu.

Ako bi se promatrač vrtio u bubnju zajedno s rubljem on bi vidio da "neka sila" pritišće i rublje i vodu uz stjenku bubnja. Ta sila gnječi rublje i cijedi vodu iz njega pa ona odlazi kroz rupice. Dakle, centrifugalnu silu, koja istiskuje vodu iz rublja, vidi samo promatrač u ubrzanom sustavu. Za promatrača izvana ona ne postoji.

acp= ω2r

- g

g

acp

Kut koji vlat pšenice zauzima prema vodoravnom smjeru dobije se iz omjera centripetalnog ubrzanja i ubrzanja sile teže. Ako želimo da taj kut bude primjerice 45° onda ta dva ubrzanja moraju biti jednaka. Za kut od 60° centripetalno ubrzanje mora biti polovica gravitacijskog. Budući da centripetalno ubrzanje ovisi o polumjeru kružne putanje, za danu kutnu brzinu vlati koje rastu dalje od središta bit će strmije usmjerene prema osi vrtnje.

jednoliko kružno gibanje - prirodopolis

Documents