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IM250 – Prof. Eugênio Rosa
CINEMÁTICA
Assista Flow Visualization
Download film notes
CONTEÚDO DA AULA
i. Definição de fluido;
ii. Definição de contínuo;
iii. Referencial Lagrangeano e Euleriano;
iv. Campos de Velocidade (regimes 1D, 2D, 3D, transiente);
v. Representação dos campos: linha do tempo, trajetória partícula; linha de emissão de linha de corrente;
vi. Derivada Substantiva e seu significado;
vii. Tensor deformação do fluido e sua decomposição;
viii.Vorticidade;
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Definição de Fluido
Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:
O Fluido se deforma continuamente
O Sólido se deforma, mas não continuamente
Sólido Fluido
O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.
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Fluido como um Continuo
Os fluidos são compostos de moléculas em constante
movimento.
1 mol de gás contém 1023 moléculas, não é possível simular a
trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os
efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade,
pressão, temperatura, etc.
O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa
de lado o comportamento individual das moléculas.
Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da
mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do
problema
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Fluido como um Contínuo
Definição da densidade num ponto
infinitezimal requer um cubo com
arestas maiores que 10-6 m
Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um
valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular
o ponto C do espaço
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Dimensões comparadas ao metro
1mm = 10-3m milimetro
1m = 10-6m micrometro (‘micro word’ 100 m a 1 m)
1nm = 10-9m nanometro (grandeza da ordem do átomo)
1A = 10-10 m Angstrom (grandeza da ordem do átomo)
1pm = 10-12m picometro
Considere um mol de gás (6x1023 moléculas) a P e T de 105 Pa e 300K e a
constante universal dos gases 8.31 J/(mol K).
Calcule o volume que o gás ocupa: V = P/RT = 24,94 litros
Considere agora um cubo com aresta de 1m, volume = 10-15 litros
Calcule o No moléculas no volume. No = 6x1023x10-15/24,94 = 2.4x107!
O No moléculas num cubo de aresta de 1m
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Referencial
Euler x Lagrange
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Métodos de Descrição
Referencial Lagrangeano:
Acompanha elementos de massa identificáveis;
Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de
cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.
Referencial Euleriano
Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento
num determinado ponto do espaço como função do
tempo;
As propriedades do campo do escoamento são descritas
como funções das coordenadas espaciais e do tempo;
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Lagrange: segue a trajetória de partículas
com identidade fixa
y
x
0tr
ttr 0
ttr 20
t,c,b,azz
t,c,b,ayy
t,c,b,axx
dtdzw
dtdyv
dtdxu
22
22
22
dtzddtdwa
dtyddtdva
dtxddtdua
z
y
x
Eqs. paramétricas da trajetória de uma
partícula que t =t0, x=a, y=b e z=c
Velocidade partícula Aceleração partícula
Em t = t0, r (t0) = ai + bj + ck ^ ^ ^
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Euleriano: descreve o que ocorre em
diferentes posições do campo do escoamento
y
x
t,z,y,xww
t,z,y,xvv
t,z,y,xuu
000
000
000
Anemômetro
O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no
tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x0,y0)
ele vai registrar a velocidade:
Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x0,y0)
será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para
o ponto (x1,y1) você obterá um novo valor de velocidade
(x0,y0) (x1,y1)
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Relação Coordenadas: Euler e Lagrange
No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x0,y0,z0)
coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por
este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano):
0
0
0
0000000
0000000
0000000
tt
tt
tt
dtt,z,y,xZdt,z,y,xww
dtt,z,y,xYdt,z,y,xvv
dtt,z,y,xXdt,z,y,xuu
Euler Lagrange
Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial:
EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento.
Policial: segue um veículo
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Lagrangeano x Euleriano
A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com 1
segundo de injeção.
Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd,
cortesia Prof. Altemani DE.
Tente acompanhar como o CO2 se dispersa (Lagrangeano)
Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia
(Euleriano)
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .
2 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 4 seg, indicando superfície com 15 % .
4 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 6 seg, indicando superfície com 15 % .
6 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.
8 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.
10 seg após injeção
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Lagrangeano x Euleriano
Todas as leis físicas são definidas para um referencial
Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento,
energia etc.
Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade)
fixa.
Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os
fluidos, dentro deste contexto?
Reescrever as leis a partir de um referencial Euleriano que
define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.
Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds
(cap 3).
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Campo de Velocidade
Um conceito EULERIANO
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Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma
função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo
(t) – referencial euleriano;
Ou em termos de suas componentes:
(u,v,w), também dependem de x, y, z e t.
Campo de Velocidade
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ESCOAMENTO PERMANENTE
As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não mudam
com o tempo, então:
ESCOAMENTO TRANSIENTE:
As propriedades em cada ponto do escoamento
mudam com o tempo, então:
Campo de Velocidade
zy,x,V V ou 0 t
V
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Escoamentos 1D, 2D e 3D
Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade .
Exemplos:
Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D
permanente e D1 xVV
transiente e D1 t,xVV
permanente e D2 y,xVV
transiente e D3t,z,y,xVV
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Escoamento 1D
Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O
perfil de velocidades é dado por:
A velocidade axial é função
do “r”
2
maxR
r-1 u u
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Escoamento 2D em um Difusor Plano
A velocidade varia em y e x.
O canal é considerado como infinito em z. O campo de
velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os
planos, ou seja, invariável na direção z.
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Escoamento 3D
Escoamento em rotação
na vizinhança da parede
de um disco estacionário.
A velocidade varia nas
direções x, y e z.
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Campo de Velocidades: regime permanente e 2D
Escoamento
laminar sobre
uma placa, plano
YZ.
Resultados
produzidos pelo
PHOENICS cfd
Campo Vetorial (j,k)
Campo escalar w(y,z)
superposição
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PIV imagem: campo de velocidades
instantâneas num plano, experimental
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Outras Formas de Representação Visual do
Campo de Escoamento
É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das
velocidades das partículas por meio de:
Linhas de tempo (experimental)
Trajetória da partícula (experimental)
Linhas de emissão (experimental)
Linhas de Corrente (matemática)
Assista o filme NCFMM “Flow Visualization”
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Linhas de Tempo
Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas
simultaneamente num dado instante do tempo:
• making timelines 1
• making timelines 2
Links p/ técnica de bolha de
hidrogênio: (1) e (2)
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Trajetória e Linhas de Emissão
Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano).
Linha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço
Injetor de fumaça
dtXdV
veja túnel de fumaça
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Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão
Em regime permanente, a trajetória da partícula é coincidente com a
linha de emissão , veja filme.
A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente!
Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal
alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha ->
trajetória.
Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a
trajetória!
emissão emissão + trajetória
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Placa Plana Oscilante
Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento
transiente as linhas de emissão não coincidem com a
trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de
corrente!
filme
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Linha de Corrente
ds
dx
dy
u
v V
ds
R(t)
R(t+dt)
Linha de corrente
V
Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática
da linha de corrente:
w
dz
v
dy
u
dx
Definição: tangente ao vetor velocidade em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.
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Linhas de Corrente 1: linhas de correntes são tangentes ao vetor velocidade. Consequência:
não há escoamento normal a elas.
flow no- flow
flow no- flow
Impossível!
2: linhas de corrente não se cruzam no interior do escoamento, do contrário haveria extinção ou produção de massa.
Escoamento num cilindro com circulação. Cruzamento linhas de corrente num ponto
de estagnação! Não viola item (2)
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Importante
Em regime permanente, a trajetória das
partículas é coincidente com a linha de
emissão que por sua vez também coincide
com a linha de corrente
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Exemplo Um campo de velocidade é dado por:
Obtenha uma equação para as linha de corrente e outra para a trajetória de uma partícula no plano xy para aquela que passou pelo ponto (x,y) = (1,2)
1m/s B e 3m/sA ;jAyiBAxV
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(m)
y(m
)
c=1
c=2
c=4
c=8
y(3x+1)=C
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Derivada Total ou
Substantiva
Ela relaciona a taxa de variação no tempo de uma propriedade
(H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano
a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!
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Para que serve Derivada Total?
Todas as leis físicas são definidas para um referencial
Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento,
energia etc
Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade)
fixa.
Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os
fluidos, utilizando um referencial Lagrangeano?
A derivada Total é a taxa de variação no tempo seguindo uma
partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a
partir de um referencial Euleriano.
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Ref. Lagrangeano:
segue a partícula
y
x
r(t)
r(t+dt)
2
2
y
2
2
x
dt
yd
dt
dva
dt
dyv
dt
xd
dt
dua
dt
dxu
Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano.
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Referencial Euleriano: fixo no
espaço ele define o campo de
velocidades em função do ponto.
y
x
r1
r2
tz,y,xvvtz,y,xvv
tz,y,xuutz,y,xuu
,22222,11111
,22222,11111
Como seguir uma partícula num fluido? Conceito Lagrangeano.
Como definir uma aceleração?
1 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x i y j e r x i y j
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Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...)
Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua
concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza.
Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um
bote com motor e um medidor da concentração C do contaminante.
Você realizou três medidas dentro do bote: parado, movendo e motor
desligado. Cada medida c/ um resultado diferente! Tente explicar
porque:
1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma
concentração;
2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a
velocidade Vb e mediu outra concentração;
3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a
correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.
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Barco Estacionário, Vb = 0
t
c
Dt
Dc
Se o barco está estacionário, o
sensor de poluição medirá uma
concentração C que passa pelo
ponto de medida : x
y
A variação da concentração c é função
do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
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Barco Movimentando
com Vb ≠ 0
Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são
independentes mas estão relacionados por Vb:
bV
x
y
dtvdy e dtudx bb
A variação da concentração c é função
do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
A taxa temporal de c é determinada por:
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
dt
dy
y
c
dt
dx
x
c
t
c
Dt
Dcbb
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Barco Movimentando com
a correnteza Vb = V
V
x
y Se o bote desloca junto com a
correnteza então:
Desta maneira o medidor de concentração irá medir a
variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula
carregada pela correnteza (CONCEITO
LAGRANGEANO!!!)
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
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Derivada Total, Material ou Substancial
• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal
de variação de uma grandeza escalar ou vetorial SEGUINDO uma
partícula de fluido.
• f é uma variável genérica, sua derivada substancial:
• Sua taxa de variação, Df/Dt, é coincidente com aquela determinada por
um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um
referencial EULERIANO.
• Nota: o termo convecção é usualmente utilizado para transporte de
calor e advecção para transporte de uma concentração. Entretanto
muitos utilizam como sinônimos.
convectivo termo
transiente termo
yv
xu
tDt
D
f
f
f
f
forma vetorial
Dou V
Dt t
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Derivada Total de um Escalar
• O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia interna,
entalpia, entropia, etc.
• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada por:
f Transiente
Convectivo – 2D
T
c
u
h
tT u T x v T y
tc u c x v c y
ˆ ˆu u x v u y
u h x v h y
u t
th
t V
f
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Derivada Total de um Vetor
• A derivada total do vetor velocidade é a aceleração da partícula
medida de um referencial Lagrangeano.
• Para um escoamento 2D ela possui duas componentes:
f transiente Convectivo 2D
u
v
tu u u x v u y
tv u v x v v y
3
kk i
i 1 i
DV v DVV V v ; ou V V
Dt x Dt
d
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Identidades para Aceleração do Campo
Aceleração seguindo uma
partícula:
DV VV V
Dt t
Considere as
identidades: V V V V
DV V V V V
Dt t 2
Definindo o vetor vorticidade: V
V VV V
2
A relação acima será importante para derivar Bernoulli.
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TAXA DE DEFORMAÇÃO
DO FLUIDO
• Fluidos são substâncias que se deformam continuamente
quando submetidas a uma tensão (normal ou cisalhante).
• A determinação da taxa de deformação será necessária para
estabelecer uma equação constitutiva para o fluido: ~
deformação
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Estado simples de deformação (o que vc viu no seu curso de graduação)
Placas paralelas com espaçamento dy deslocam-se com velocidade relativa du. Calcule a deformação angular e sua taxa, d/dt
Como generalizar a taxa de deformação se ocorrer deformações nas três direções simultaneamente?
dy
u0
u0+du 0 0u du u dt du
dtdy dy
d du 1
dt dy seg
Note que a tensão, yx é proporcional à viscosidade ,
y
x
yx
u
y
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Natureza da Taxa de Deformação
Taxa de deformação é um conceito relativo, quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo à sua vizinhança;
Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.
Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional
Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy = du/dy
Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...
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Deformação 2D de um Elemento Fluido
A taxa de deformação depende do movimento relativo de um ponto
em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre
ele e seus vizinhos.
Caso 2D há duas direções principais. Em t = 0 tem-se o triângulo
AOB, após t = dt observa-se o deslocamento e deformação devido às
diferentes vel. que atuam em AOB.
O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação
pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação
angular, deformação linear e rotação ( obs. a translação não entra!):
C
0tr
A’
B’
A
B O
O’ dttr
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Cinemática • Veja deformação de um elemento próximo a parede (filme).
• Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos
básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:
rotação
def.
linear
def.
angular
Assista o filme NCFMM “Deformation of Continua media”
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Deformação de um Elemento Fluido
No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w
A velocidade na vizinhança de O é determinada por uma expansão em
série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:
O O
O O
O O
u u uu du u dx dy dz
x y z
v v vv dv v dx dy dz
x y z
w w ww dw w dx dy dz
x y z
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Deformação de um Elemento Fluido
A variação da velocidade de O para vizinhança é expressa por uma
matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:
Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido
( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e
portanto tem natureza tensorial.
A matriz é o tensor deformação do fluido D definido por:,
dz
dy
dx
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
dw
dv
du
T
D V
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Tensor Deformação
Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por
Em notação vetorial,
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
DDD
DDD
DDD
x
uD
j
ij,i
333231
232221
131211
TTVDou VgradD
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Partição Tensor de Deformação O tensor D i,j = ui/xj ( i = linha e j = coluna) pode ser decomposto
em uma parte simétrica e outra anti-simétrica:
ji ij
j ji i
i j i j j i i j j i
j i j i
Tensor Simétrico Tensor Anti-Simétrico RS
u uu u1 1 1 1D D D = D D =
2 2 x x 2 2 x x
,,
, , , , ,
TENSOR SIMÉTRICO
u 1 u v 1 u w 1 u v 1 u0
x 2 y x 2 z x 2 y x 2 z
1 v u v 1 v w
2 x y y 2 z y
1 w u 1 w v w
2 x z 2 y z z
TENSOR ANTI-SIMÉTRICO
w
x
1 v u 1 v w0
2 x y 2 z y
1 w u 1 w v0
2 x z 2 y z
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Decomposição do Tensor Deformação
Vamos ver a seguir que:
1. A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear
do elemento
2. Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão
associados a deformação angular
3. Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação
do elemento fluido.
TENSOR SIMÉTRICO
u 1 u v 1 u w 1 u v 1 u0
x 2 y x 2 z x 2 y x 2 z
1 v u v 1 v w
2 x y y 2 z y
1 w u 1 w v w
2 x z 2 y z z
TENSOR ANTI-SIMÉTRICO
w
x
1 v u 1 v w0
2 x y 2 z y
1 w u 1 w v0
2 x z 2 y z
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(1) Dilatação linear na direção x
Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0
deforma-se e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A
extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’.
O deslocamento relativo:
' '0 0
u u x dx u dtA C AC
dxAC
A taxa de deformação linear na
direção é:
' '
xx
d A C ACD
dt AC
As componentes nas outras
direções são:
yvDyy zwDzz
u x
u x dt
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(2) Deformação angular no plano xy
Um segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no
tempo t = 0 deforma-se no instante t = dt, em A’D’B’C’. O ângulo
original do vértice A deforma-se nos ângulos xy e yx
yu
dt
d
dy
dydtyu
AD
DD xy'
xy
'yx
yx
dv x dxdtCCv x
dx dtAC
A taxa de deformação angular é
definida como a média destes dois
movimentos:
A deformação angular e sua taxa:
xvyu
2
1
dt
d
dt
d
2
1DD
yxxyyxxy
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(3) Rotação no plano xy
Um segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira
sobre o vértice A e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O
ângulo original do vértice A é preservado! Não há deformação mas
rotação.
A taxa de rotação no plano (x,y) é definida
como a média de d/dt dos vértices. O
sinal ‘-’ para xy é porque u < 0!
Se o ângulo de A é
preservado então:
xy
xy
du y dydtDDu y
dy dtAD
'
'yx
yx
dv x dxdtCCv x
dx dtAC
xy yx
DD CC
AD AC
' '
yuxv
2
1
dt
d
dt
d
2
1DD
yxxyyxxy
Sinal: regra
mão direita
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Ten
sor
Def
orm
açã
o
1. A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento.
2. Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação
angular.
3. Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação
do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente
rotação dos elementos.
xx xy xz xy xz
xy yy yz xy yz
xz yz zz xz yz
TENSOR S TENSOR R
SIMÉTRICO ANTI-SIMÉTRICO
S S S 0 R R
Def V S S S R 0 R
S S S R R 0
( )
j i
ij ji
i j
u u1S S
2 x x
j i
ij ijk
i j
u u1R
2 x x
onde = 0 se dois índices forem iguais, = +1 se ijk = 1,2,3; 2,3,1;
3,1,2 e = -1 se ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2.
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Dij = Sij + Rij
D = parte simétrica (shear) + parte anti-
simétrica (rotação)
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Vetor Vorticidade,
Definição
de vetor
vorticidade:
j
i i ijk
k
i j ku
V ou x y zx
u v w
d
Observe que as componentes do vetor vorticidade , i, são
compostas por velocidades que existem num plano ortogonal.
w v u w v uˆ ˆ ˆV i j ky z z x x y
x y z
w v u w v uˆ ˆ ˆi; j ky z z x x y
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Tensor Rotação e Vetor Vorticidade
As componentes do tensor Rotação, Rij, estão diretamente
associadas às três componentes do vetor vorticidade:
IMPORTANTE: vorticidade ou rotação do elemento são fenômenos
locais, isto é, linhas de corrente com curvatura não garantem que o o
fluido tenha rotação!
1 1z y2 2
1 1z x2 2
1 1y x2 2
1 u v 1 u w0 0 +
2 y x 2 z x
1 v u 1 v w+ 0 0
2 x y 2 z y
1 w u 1 w v 002 x z 2 y z
é igual a duas vezes a taxa de rotação do elemento de fluido.
Considere rotação no plano xy, rz é a média das taxas de rotação:
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Relação entre Rij e
Um tensor anti-simetrico (Rij) possui somente 3 escalares distintos,
isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!
Para um elemento em estado de rotação pura (S ≡ 0),
1ij 2
R dr U dr = dU
x y z
1 v u 1 u w0
2 x y 2 z xdx i j k
1 v u 1 w v 10 dy det
2 x y 2 y z 2dz dx dy dz
1 u w 1 w v0
2 z x 2 y z
z y
z x
y x
ˆ ˆdy dz i du i
ˆ ˆ dx dz j dv j
ˆ ˆdx dz k dw k
ji
ij ijk ijk k
j i
uu1 1R
2 x x 2
Para rotação pura, as componentes dU são definidas em termos da
rotação dos eixos e das distâncias dx, dy e dz
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Vetor Vorticidade,
A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido.
Ela tem papel central no estudo de escoamentos com ausência de viscosidade.
Escoamentos onde é nulo são chamados de escoamentos irrotacionais.
Note que na parede (condição de não deslizamento) o fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!
As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.
Assista o filme NCFMM “Vorticity 1 and 2”
Baixe as notas dos filmes 1 e 2
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FIM
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Apêndice I
Expressões para a derivada total do vetor velocidade em
coordenadas cartesianas e cilíndrico-polar.
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Aceleração de uma partícula de fluido num campo de velocidade
Sistema de coordenadas Cilíndrico Polar
Sistema de coordenadas Cartesiano
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APROVEITAR SLIDES DE EM561 DU/Dt
para aula da ´PG
TAREFA PARA 2019
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Métodos de Descrição Referencial Lagrangeano: Acompanha elementos de massa identificáveis; Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada
partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.
Referencial Euleriano: Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num
determinado ponto do espaço como função do tempo; As propriedades do campo do escoamento são descritas como
funções das coordenadas espaciais e do tempo;
As leis físicas (massa, 2ª lei Newton, Energia) aplicam-se para referencial Lagrangeano com elementos de massa identificáveis (todo curso de dinâmica baseia-se neste princípio!). No entanto, fluidos se deformam continuamente. Não é possível seguir cada partícula individualmente mas é possível determinar a aceleração seguindo uma partícula. Este é o tema desta aula!
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Lagrangeano x Euleriano
A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com
1 segundo de injeção.
Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd.
Tente acompanhar como o CO2 se dispersa
(Lagrangeano)
Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia
(Euleriano)
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Referencial Lagrangeano:
segue a partícula de fluido
y
x
r(t)
r(t+dt)
2
2
y
2
2
x
dt
yd
dt
dva
dt
dyv
dt
xd
dt
dua
dt
dxu
Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano:
Mas, como seguir uma partícula no fluido?
y
x
Referencial Euleriano:
fixo no espaço, define o
campo de velocidades.
(x2,y2) (x1,y1)
Velocidade para um referencial
Euleriano:
Como definir uma aceleração??
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
u u x , y , t u u x , y , t
v v x , y , t v v x , y , t
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Lagrangeano x Euleriano
Todas as leis físicas são definidas para um referencial Lagrangeano:
conservação massa, quantidade de movimento, energia etc
Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa.
Como tratar os fluidos que possuem a propriedade de se deformarem
continuamente sob ação de uma tensão?
Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os
campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.
Algo semelhante foi realizado em EM461 onde a taxa de variação do
sistema foi expressa por medidas a partir de um Volume de Controle.
Em EM561 pode-se determinar a aceleração seguindo uma partícula a
partir de um referencial Euleriano usando a Derivada Substantiva!
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Um Experimento MENTAL... (Tente Imaginar)
Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A concentração
diminui a medida que é transportada pela correnteza. Você deve fazer
uma medida da poluição. Para isto você dispõe de: um bote a motor e um
medidor da concentração C do contaminante.
Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado
diferente! Tente explicar porque:
1) Com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração;
2) Com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração;
3) Com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.
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Barco Estacionário, Vb = 0
t
c
Dt
Dc
Se o barco está estacionário, o
sensor de poluição medirá uma
concentração C que passa pelo
ponto de medida e que varia com o
tempo apenas: x
y
A variação da concentração c é função
do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
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Barco Movimentando com
Vb ≠ 0
Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são
independentes mas estão relacionados por Vb:
bV
x
y
dtvdy e dtudx bb
A variação da concentração c é função
do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
A taxa temporal de c é determinada por:
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
dt
dy
y
c
dt
dx
x
c
t
c
Dt
Dcbb
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Barco Movimentando com
a correnteza Vb = V
V
x
y Se o bote desloca junto com a
correnteza então:
Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação
de ‘c’ SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela
correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
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Derivada Total, Material ou Substancial, D/Dt
• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa
temporal de variação de um escalar, ou vetor, SEGUINDO uma
partícula de fluido.
• A taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um
referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um
referencial EULERIANO.
• é uma variável genérica, sua derivada substancial:
• Importante: D/Dt é uma propriedade Lagrangeana (seguindo uma
partícula) obtida por meio de informação Euleriana (do campo de
velocidades e da propriedade )
termo notacao vetorial termo transiente
convectivo/advectivo
D u v V
Dt t x y t
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Nota sobre convecção e advecção
• Frequentemente os termos convecção e advecção
são empregados como sinônimos do transporte de uma
propriedade pelo campo de velocidades, por exemplo:
q. movimento, energia ou concentração. termo convectivo/advectivo bidimensional
u vx y
• Estes termos podem ser diferenciados pelas definições:
Convectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de
um fluido em resposta a adição ou remoção de calor;
Advectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de
algum material dissolvido ou em suspensão em um fluido.
As definições dadas não são um consenso na literatura. Usualmente
são usadas como se fossem sinônimos.
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Exemplos advecção
• As definições dadas no slide anterior não são um consenso na literatura.
Na prática elas são usadas como se fossem sinônimos.
Exemplos convecção
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Derivada Total de um Escalar • O escalar pode ser concentração espécie química, temperatura,
energia interna, entalpia, entropia, etc.
• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula para um sistema
de coordenadas Cartesianas é dada por:
f Transiente
Convectivo
T
c
u
h
tT u T x v T y
tc u c x v c y
u u x v u y
u h x v h y
tu
th
t V
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Derivada Total do Vetor Velocidade, DV/Dt
• A derivada total do vetor velocidade é aceleração da partícula
medida de um referencial Lagrangeano. :
• Para um escoamento 2D o vetor DV/Dt possui duas componentes:
f transiente convectivo
u
v
tu u u x v u y
tv u v x v v y
VVt
V
Dt
VD
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Para que serve mesmo o cálculo da derivada Total?
Lembre que todas as leis físicas foram feitas para sistemas.
A derivada total fornece a taxa de variação do sistema:
Como nossa próxima etapa é chegar a forma diferencial da Eq.
Quantidade de Movimento, estamos a um passo dela, já determinamos
a aceleração da partícula por exemplo!
Deve ser lembrado que a forma integral desta relação foi apresentada
no cap. 4 como sendo o Teorema de Transporte de Reynolds:
f
f
f
fV
tDt
D
dt
d
initezimalinf.C.Vsistema
r
sistema V C C SC
dB Dd dV V n dA
dt Dt t. .