CLCULO DA TENSO DE CISALHAMENTO NA VIGA-NAVIO

Na viga-navio, assim como em qualquer viga sob a carga de foras transversais, existe uma fora cortante Q agindo na seo transversal. Em sees de paredes pouco espessas, como em vigas caixo, importante saber como a fora cortante total Q se distribui pela seo, de forma a dimensionar adequadamente a espessura das paredes. Em outras palavras, necessrio determinar a distribuio da tenso cisalhante ao longo de toda a seo transversal.

Na figura 1 mostra-se uma viga (navio) de paredes finas e simtrica em

relao a um plano vertical, sujeita a uma fora cortante vertical Q. Da teoria bsica de vigas, sabemos que, num segmento diferencial de comprimento dx, Q provoca uma mudana no momento fletor dada por

dxQdM = (1)

Figura 1 Tenses de cisalhamento oriundas de fora cortante

Devido a essa mudana no momento fletor, as tenses de flexo A e B nas duas faces do segmento diferencial so diferentes. Portanto, ao isolarmos um pedao do segmento diferencial fazendo dois cortes, um na linha de centro da seo e o outro em um arco de comprimento s da linha centro, o desbalanceamento nas tenses normais longitudinais deve ser contrabalanado por tenses de cisalhamento longitudinais atuantes nas sees de corte. No entanto, devido a simetria, no devem existir tenses de cisalhamento no corte da linha de centro. Ento a fora que equilibra o corpo deve vir totalmente da tenso de cisalhamento do outro corte. Portanto o equilbrio longitudinal implica que:

= s s AB dstdstdxt0 0

(2)

Substituindo IyM = nas duas faces:

== ssAB dstyIdMdstyI MMdxt 00 (3) e substituindo dxQdM = temos:

= s dstyIQt 0 (4)

A integral do lado direito da equao funo da geometria da seo e da posio s ao longo da seo. Por convenincia chamamos de m essa quantidade:

= s dstym0

(5)

m o momento de primeira ordem em relao linha neutra da rea da

seo acumulada a partir da extremidade aberta (extremidade com tenso de cisalhamento nula) da seo.

Substituindo m em (5) e isolando :

ItmQ

= (6)

O produto t tem significado especial na toro de sees de paredes finas,

e h algumas analogias com o fluxo de um fluido ideal em tubulao fechada. Esse produto ento referido como um fluxo de cisalhamento e representado pelo smbolo q:

tq = (7)

O fluxo de cisalhamento tambm uma quantidade til no caso em estudo, uma vez que a tenso de cisalhamento resulta de um carregamento transversal. Da equao 6 observamos que o fluxo de cisalhamento dado por:

ImQq = (8)

Dado que Q e I so constantes na seo inteira, o fluxo de cisalhamento diretamente proporcional a m. De fato, a razo Q/I pode ser considerada um fator de escala e uma vez que a distribuio de m foi calculada, a distribuio do fluxo de cisalhamento idntica com unidades diferentes. Alm disso, uma outra vantagem de q que seu valor no varia abruptamente com a variao local da espessura como acontece com a tenso . Deve ser observado ao derivar-se (8) que os valores de Q e I so normalmente aqueles para toda a seo transversal da viga-navio, j que o clculo de m foi feito usando metade da seo. Esta a conveno que usada daqui para frente. Obviamente, os valores de Q e I para a metade da seo poderiam tambm ser usados desde que sua razo fosse constante. No entanto, m deveria sempre ser calculado para metade da seo. Se as duas metades da seo fossem usadas para derivar a equao (8), ento teramos duas faces de corte simtricas e idnticas, cada uma carregada com uma fora de cisalhamento de dxt . Neste caso o denominador de (8) seria It 2 . A conveno de usar meia seo para o clculo de m ainda mais apropriada porque na prtica meias-sees so usadas em desenhos estruturais. O clculo de m ilustrado na fig. 2 para uma viga-navio ideal. Para elementos horizontais o brao de momento y constante e ento m aumenta linearmente com o comprimento do arco. Isto ocorre no convs e no fundo se no h curvatura. Por exemplo, no convs:

11 )( stgsm D = (9) e

btgbmm DA == )( (10) Na lateral m parablico:

sA

s

sA tssgmdstymsm +=+= )21()( 2222022

(11)

Figura 2 Clculo do momento esttico ao longo dos trechos da seo Em navios de propores normais a parbola bem chata e consequentemente o fluxo de cisalhamento q praticamente constante na vertical. Devido variao na orientao e espessura das chapas que compe a seo da viga-navio, a integrao de m efetuada em segmentos. A integrao comea sempre na extremidade livre de qualquer segmento. Como ilustrado na fig. 3 no precisa ser necessariamente na linha de centro; pode ser na extremidade de um corte ou outra abertura.

Figura 3 Conservao do fluxo de cisalhamento nas junes

A fig. 3 mostra tambm o efeito de ramificaes mltiplas, por exemplo, conveses adicionais. Se um corte imaginrio for feito no ponto C a fora cisalhante naquele ponto deve equilibrar o desbalanceamento das tenses de flexo no segundo deck e em todo o chapeamento acima dele. Consequentemente toda essa rea deve ser includa no clculo de m no ponto C. A nova rea que includa ao passarmos de B para C a rea do segundo deck, e ento o incremento em m igual ao valor de m para o segundo deck. Isto , BAC mmm += e, desde que q diretamente proporcional a m, BAC qqq += . Isto ilustra uma das razes para o uso do termo fluxo de cisalhamento: em qualquer unio ou ramificao a variao no fluxo de cisalhamento igual ao fluxo que entra (ou sai) pelo ramo, como mostrado na fig. 3. Deve-se notar que uma vez que o deck e as chapas laterais devem ser distintos, a regra de continuidade para o fluxo de cisalhamento no vale para . A fig. 4 ilustra como varia com a mudana na espessura.

Figura 4a Exemplo de diagrama mostrando a direo do fluxo de cisalhamento

Figura 4b Variao de com a mudana de espessuras notrio (e.g., pelo crculo de Mohr) que pelo equilbrio na tenso de cisalhamento em um elemento diferencial em qualquer ponto ocorre na forma de duas tenses iguais e opostas, uma positiva e a outra negativa. Uma vez que so iguais faz pouca diferena distinguir qual qual, e portanto no h necessidade de uma conveno rigorosa para cada m ou ou q. A direo do fluxo de cisalhamento pode ser determinada analisando que na seo da viga-navio ele tem a mesma direo ascendente ou descendente da fora cortante Q. Em sees abertas como da fig. 4 o fluxo todo num sentido; a reverso da direo do fluxo rara e portanto geralmente s o mdulo de m e q interessam e seu sinal ser positivo. Alm disso, a integrao de m sempre comea em uma extremidade aberta de cada ramo para simplificar os clculos. Consequentemente, o brao de momento y sempre positivo no incio de cada ramo, no importando de que lado da linha neutra o ramo comea, e s fica negativo se e quando um ramo particular atravessar a linha neutra. Por esta razo, prefervel parar na linha neutra e terminar aquele ramo comeando

pela outra extremidade. Se isso no for possvel ento a integrao pode cruzar a linha neutra, contanto que um momento negativo seja usado para todos os pontos do outro lado. Tenso de Cisalhamento em Sees com Mltiplas Clulas Na definio de m, equao 5, foi assumido que a integral sempre comearia em um ponto com fluxo de cisalhamento nulo. Portanto, como observado anteriormente, se h alguma bifurcao (como um segundo convs ou um suporte fixado ao casco) ento cada ramificao deve ter fluxo de cisalhamento nulo na sua extremidade. Isto equivalente ao requisito que no deveria haver nenhum circuito fechado ou clula dentro da meia-seo da viga-navio. Consequentemente, para o navio tanque da fig. 5 o valor de m pode somente ser calculado ao longo de AB e FE; no pode ser calculado em nenhum lugar ao redor do permetro do tanque de asa BCDEB. A dificuldade aparece pelo fato que o fluxo de cisalhamento se divide no ponto B (e se junta no ponto E) e as componentes separadas no podem ser determinadas por esttica simples. O problema estaticamente indeterminado e, como recorrente neste tipo de problema, informao adicional deve ser obtida da considerao de compatibilidade geomtrica. A tcnica padro consiste de dois passos principais: 1. Remova um nmero suficiente de restries a fim de tornar o problema

determinado estaticamente. Isto far com que aparea um deslocamento quando na verdade este nulo.

2. Para cada restrio retirada, imponha deslocamento nulo para que a condio

geomtrica seja satisfeita. No caso em questo a restrio no um suporte externo, como no caso de vigas, mas sim uma auto-restrio da seo: uma parte da seo da viga-navio impondo uma restrio na parte adjacente (e a segunda impondo uma restrio igual e oposta na primeira).

Figura 5 Calculo do fluxo de cisalhamento em sees com mltiplas clulas O procedimento descrito ser ilustrado atravs da aplicao no navio tanque da fig. 5. O fluxo de cisalhamento na viga-navio se torna estaticamente determinado no ponto B fazendo-se ali um corte longitudinal, como mostrado na fig. 5b. Isto transforma a meia-seo da viga-navio numa seo aberta com trs ramos: ABE, BCDE e FE, cada um com fluxo de cisalhamento nulo nas suas extremidades. No caso geral, com N clulas fechadas, um total de N cortes deveriam ser feitos. O momento de primeira ordem m pode agora ser calculado. Para explicitar que este valor de m corresponde a uma seo cortada artificialmente, ele ser chamado de m*. A equao 5 fica ento

= s dstsysm0

)()(* (12)

Como anteriormente, m*(s) funo da posio dentro e ao redor da meia-seo da viga-navio. A posio de qualquer ponto especificada pelo arco de comprimento s a partir da extremidade de um ramo particular que aquele ponto pertena. O valor correspondente do fluxo de cisalhamento ser denotado como q* eq. (13) fica ento

)(*)(* smIQsq = (13)

Agora deve-se remover o erro que os cortes longitudinais introduziram na estrutura. O efeito de cada corte permitir o deslocamento longitudinal entre as extremidades cortadas. Portanto uma condio geomtrica deve ser imposta de maneira que o deslocamento seja nulo em cada corte, e afim de satisfazer esta condio alguma correo ou adio ao fluxo de cisalhamento deve ser feita. mostrado na seo 6.1 que o equilbrio de uma seo de paredes finas isolada requer um fluxo de cisalhamento constante dentro da seo. Ento, a correo no fluxo de cisalhamento introduzida na forma de N valores constantes do fluxo de cisalhamento, qi (i=1,...N), um para cada uma das clulas fechadas originais. A soma de todos estes valores, mais a distribuio q*, deve dar o correto fluxo de cisalhamento total q. Isto

=

+=N

iiqqq

1* (14)

A situao ilustrada na fig. 5 para o caso de um navio tanque. Neste caso h somente uma clula fechada e, portanto somente uma correo do fluxo de cisalhamento, q1 , como mostrado na fig. 5c. Agora para uma seo prismtica de paredes finas de comprimento unitrio, o deslocamento longitudinal que ocorreria devido a um corte igual a integral cclica da tenso longitudinal de cisalhamento de uma extremidade do corte at a outra ao redor de qualquer caminho na seo. Isto

dstq

Gds

Gdsdeformao === 11 (15)

Onde a deformao por cisalhamento em qualquer ponto da seo transversal. Neste caso o caminho de integrao para cada corte o permetro da clula fechada associada com aquele corte (i.e., a clula que foi aberta por aquele corte). Ento a condio de deslocamento nulo em cada corte trocada pela condio de que para cada clula a integral cclica mencionada acima nula. Isto nos leva a um sistema de N equaes:

0)( = dstqclulaj (j=1,...N) (16) Note que por causa do zero do lado direito da equao, G foi eliminado. Substituindo por q de (14) e aplicando a integral cclica para cada termo modificamos (16) para uma forma expandida:

=+++

=+++

=+++

dstqds

tqds

tqds

tq

dstqds

tqds

tqds

tq

dstqds

tqds

tqds

tq

clulaNclulaN

N

clulaNclulaN

clulaclula

N

clulaclula

clulaclula

N

clulaclula

*...

*...

*...

21

222

2

2

1

111

2

1

1

M (17)

Deve-se notar que todos os termos do lado esquerdo so da forma

dstq

celulaj

i e, ento, para quaisquer duas clulas i e j no adjacentes o termo correspondente ser nulo, e se forem adjacentes a integral cclica s resultar um valor no nulo ao longo da fronteira comum. Uma vez que o navio tanque da fig. 5 tem somente uma equao de compatibilidade:

dstq

tdsq

BCDEBBCDEB

= *1 E, portanto a correo do fluxo de cisalhamento no tanque de asa

=BCDEB

BCDEB

tds

dstq

q

*

1 (18)

Como requerido pela eq. (14) o fluxo de cisalhamento total obtido pela adio da parcela da correo do fluxo de cisalhamento q1 ao fluxo de cisalhamento estaticamente determinado (artificialmente) q*. Isto ilustrado na fig. 6. A expresso final pode ser simplificada notando que em (14) Q e I so constantes para a seo inteira. Ento estas componentes de q* podem ser tiradas da integral. O resultado final para o navio tanque fica

=

tds

dstm

mIQq

*

* (19)

Conveno de Sinais

Na aplicao desta teoria, alguns cuidados devem ser tomados em relao a conveno de sinais porque dois tipos diferentes de integrais de linha esto envolvidos: (1) a integral para o clculo de m*(s) para obter q*(s); e (2) as integrais

cclicas de tq * e

tqi em torno de cada uma das clulas fechadas. Estas duas

integrais envolvem convenes de sinais distintas.

1. Clculo de m* - A direo geral do fluxo de cisalhamento q* pode ser estabelecido por inspeo uma vez que a localizao dos cortes foi escolhida. Por este motivo usual fazer-se um croqui da seo de corte indicando as direes de q* por meio de setas, como na fig. 6a. Mais uma vez a integrao deve sempre comear na extremidade aberta de cada ramo, e y sempre positivo inicialmente e s se torna negativo se e quando aquele ramo em particular atravessa a linha neutra.

2. Integrao cclica de tq * e

tqi - Como observado anteriormente, a direo de q*

em qualquer ponto pode ser estabelecido por inspeo uma vez que a localizao dos cortes foi escolhida. necessrio saber a direo de q* em todos os pontos porque em todas as integrais cclicas do lado direito de (17) o sinal estipulado para q* depende da sua direo local. A conveno de sinais usada daqui para frente ser como se segue:

O fluxo de cisalhamento q* em qualquer ponto positivo se naquele ponto

a direo do fluxo for horrio em relao a sua clula. Dentro de cada equao de (17) (i.e., dentro de cada clula) todas as

integraes cclicas devem ser feitas na mesma direo. aconselhvel percorrer sempre cada clula no sentido horrio porque ento a definio do q* positivo mais fcil: q* positivo se ele flui com a integrao e negativo se ele flui contra.

A mesma conveno (sentido horrio positivo) usada para a parcela de correo do fluxo de cisalhamento, q1 . Se qualquer valor de q1 for negativo isto significa que nesta clula em particular a parcela de correo do fluxo de cisalhamento anti-horria (como acontece no exemplo da figura 6).

O mtodo apresentado nesta seo essencialmente uma tcnica manual, e ela se torna complicada para sees transversais com muitas clulas fechadas, como o graneleiro apresentado na fig. 6 Alguns programas de computador so disponveis e so verses automatizadas do mtodo acima.

Figura 6 Fluxo de cisalhamento em sees tpicas (Graneleiro) Fluxo de Cisalhamento em Sees Contendo Mdulos de Elasticidade

Diferentes (Avanado) A anlise anterior foi feita para uma seo transversal homognea e ser

agora generalizada para uma seo que tenha dois ou mais mdulos de Young. A tenso de flexo em (1) ser agora dada por que

tri I

yMT = e assim (1) se torna

= s itr

AB dstyTIMMdxt

0

(20) Agora se modificarmos o fator de transformao Ti multiplicando pela rea,

ou mais especificamente pela espessura t, obtemos uma seo homognea equivalente em que a espessura da parede tTi .

Como resultado desta escala, a integral em (20) o valor de m para a seo transformada; isto , o momento de primeira ordem da rea da seo transformada ao longo de um arco de comprimento s, pego sobre a linha neutra da seo transformada. Em conformidade com nossa notao para flexo, denotamos este valor de m como mtr

= str dstTiym0

(21)

e esta a verso generalizada de (3). A expresso para o fluxo de

cisalhamento (3.7.6) fica ento

tr

tr

ImQq = (22)

Para obter a tenso de cisalhamento em qualquer ponto dividimos o fluxo de

cisalhamento pela espessura local real t:

tImQ

tr

tr

= (23)

Ao contrrio da distribuio da tenso de flexo, a tenso de cisalhamento

no sofre uma mudana abrupta numa interface de material (a menos que haja tambm neste ponto uma ramificao, neste caso a mudana abrupta devida totalmente ao novo ramo). A distribuio da tenso de cisalhamento sofre, no entanto, uma mudana brusca de declividade em interface de material. Uma distribuio tpica da tenso de cisalhamento na chapa lateral de uma viga-navio de material composto mostrada na fig. 7.

Figura 7 Fluxo de cisalhamento em sees com mltiplos materiais.

Texto traduzido do Livro Hughes. Ship Structural Design: A Rationally-Based, Computer-Aided Optimization Approach, SNAME, 1995.